Optimización con restricciones de desigualdad: Condiciones de Kuhn-Tucker
|
|
- Eduardo Campos Páez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Optimización con restricciones de desigualdad: Condiciones de Kuhn-Tucker Hasta ahora, hemos estudiado como maximizar o minimizar una función sujeta a restricciones en forma de ecuaciones de igualdad. En esta sección, nos ocuparemos de problemas de programación no lineal, con restricciones en forma de desigualdad. Los programas con restricciones de desigualdad, tienen una historia mucho más reciente que los programas analizados anteriormente. Las características y métodos de resolución de estos, se empiezan a dar a conocer en los años cincuenta de este siglo, mientras que los programas con restricciones de igualdad o sin restricciones conforman la optimización clásica, y han sido utilizados desde el siglo XVIII. Los métodos teóricos de resolución de los programas no lineales, con restricciones de desigualdad, son conocidos a partir de los trabajos de los matemáticos norteamericanos Kuhn y Tucker, publicados en Este tipo de programas representan con más fidelidad, las circunstancias en las que se desenvuelve la actividad económica, ya que normalmente se dispone de cantidades limitadas de recursos - más de una vez habremos leído que la economía es la ciencia de la escasez - pero sin la obligación de emplearlas en su totalidad, si ello no resulta necesario. Así, este nuevo tipo de programas, nos posibilita obtener soluciones óptimas que no saturen 1 necesariamente todas las restricciones, pudiendo quedar recursos que no sea necesario utilizar hasta su agotamiento. Consideremos el problema sencillo de programación no lineal: max (, ) (, ) 1 Un punto factible (, ) satura o activa la restricción (, ) cuando se verifique que (, ) =. En caso contrario (, ) < diremos que (, ) no satura la restricción. Página1
2 Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Curso 2013/2014 Lo primero que haremos es escribir unn procedimiento, que nos n permitaa obtener todos los puntos (, ) que pudieran resolver el problema. Este procedimiento establece las denominadas condiciones necesarias de Kuhn-Tucker, que son condiciones necesarias para que un punto - que cumple la hipótesis de cualificación de lass restricciones 2 - sea óptimo. Regla para resolver (,, ) sujeta a (, ) 1. Asociar un multiplicador constante de Lagrange, a la restricción (, ) y definir la función lagrangiana: (, ) = (, ) +( ((, ) ) 2. Igualar a cero las derivadas parciales de (, ): (, ) = (, ) + (, ) = 0 (, ) = (, ) + (, ) = 0 3. Introducir la condiciónn de holgura complementaria: 0, = 0 (, ) < 4. Exigir que (, ) satisfaga la restricción: (, ) Hallar todos los puntos (, ) que, junto con los valores asociados a de, satisfacen las condiciones (2), (3), y (4). Adviértase, que los pasos 1 y 2 son exactamente los que se usaron en el método lagrangiano de la sección anterior. Comoo la condición 4 se tiene que satisfacer obviamente, la única novedadd es la condición 3. Condición 3 Esta condición dice que debe ser no positivo y, además que = si (,) <. Así si <0, se debe tener (,) =. Una formulación alternativa de esta condición es que: 2 Ver Nota p.s. Página2
3 0, (, ) =0 Nótese que es posible que sean =0 y (, ) = a la vez en (3). Decimos que 0 y (, ) son desigualdades complementarias en el sentido de que a lo más se puede "dar holgura" a una, esto es, a lo más una es estricta. Equivalentemente, al menos una debe ser una igualdad. Las ecuaciones (2) y (3) se conocen como las condiciones de Kuhn-Tucker. Nótese que ellas son, esencialmente, condiciones necesarias para la solución del problema (1). Nota Hipótesis de Cualificación de las restricciones Las condiciones de Kuhn-Tucker son necesarias solamente si se satisface una disposición específica llamada hipótesis de cualificación de la restricción (h.c.r.), que impone una cierta condición sobre las funciones de restricción, con el propósito de descartar ciertas irregularidades en la frontera del conjunto factible, que invalidarían la condiciones de Kuhn-Tucker como necesarias, dándose la posibilidad de la existencia de puntos que siendo óptimos del problema, no verifiquen dichas condiciones. Esta disposición h.c.r. es en general difícil de comprobar, por ello en la práctica, se exige el cumplimiento de la condición de regularidad, que es una condición suficiente para que se verifique la h.c.r. Condición de Regularidad de un Punto Un punto (, ) es regular si no satura ninguna de las restricciones, o bien, en el caso de saturar alguna de ellas, los gradientes de las restricciones saturadas en dicho punto son vectores linealmente independientes. Supondremos que se verifica la denominada h.c.r, de modo que las condiciones de Kuhn-Tucker serán condiciones necesarias, que deberá cumplir cualquier posible óptimo del conjunto factible. Página3
4 Ejemplo Resolver el problema: max (, ) =x +y + y 1 sujeta a (, ) =x +y 1 Solución La función lagrangiana es: (, ) =x +y +y 1+(x +y 1) (i) Las condiciones de primer orden son: (, ) = = 0 (, ) =2+1+2=0 (ii) (iii) La condición de holgura complementaria es: 0, = 0 x +y <1 (iv) Queremos hallar todos los pares (, ) que verifican estas condiciones para un valor adecuado de. Consideramos primero la condición (ii), que es 2(1 +) =0. Hay dos posibilidades: = 1 o =0. Si = 1 entonces (iii) da 1 =0, que es una contradicción. Por tanto, =0. Supongamos que x +y =1 y así =±1 ya que según acabamos de ver =0. Tomemos primero =. Entonces (iii) implica que = 3/2 y así se verifica (iv). Por tanto, (0,1) con = 3/2, es un candidato a óptimo porque se satisfacen todas las condiciones (ii) a (iv). Página4
5 Tomemos ahora =. La condición (iii) da = 1/2 y se verifica también (iv). Por tanto, (0,1) con = 1/2 es otro candidato a óptimo. Finalmente consideremos el caso en que =0 y x +y <1. Esto es: 1 < < 1. Entonces (iv) implica que =0 y (iii) da = 1/2. Por tanto, (0, -1/2) con =0 es un candidato a óptimo. La conclusión es entonces que hay tres candidatos a óptimo. Ahora bien: (0,1) = 1 (0, 1) = 1 (0, 1/2) = 5/4 (v) Si sustituimos dichos puntos en la función objetivo, deducimos que en el punto =0 e =1 se encuentra un máximo local del problema, mientras que en el punto (0, 1/2) hay un mínimo local. Método de Resolución del Problema General Un problema de programación no lineal general es el siguiente: (,, ) max (,, ).. (,, ) Ahora ya es muy fácil dar una regla para resolver el problema general (1) de programación no lineal. Damos la regla en el siguiente recuadro Página5
6 Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Curso 2013/2014 Regla para resolver el problema general de programación no lineal max () donde = (,, ). () ( = 1,, ) 1. Escribir la función lagrangiana: () =() + () donde,, son multiplicadores de Lagrange asociadas con las restricciones. 2. Igualar a cero todas lass derivadas parciales de primer orden de () ): () = () () + = 0 ( = 1,, ) 3. Imponer las condiciones de holgura complementaria: 0, =0 () < 4. Exigir que x satisfaga las l restricciones: () ( = 1,, ) Hallar todos los x, y los valores asociados de,, que satisfagan todas esas condiciones. Estos son los candidatos a óptimo, y, si el problema tiene solución, al menos uno de ellos lo resuelve. El conjunto de vectores = (,, ) que verifican todas las restricciones se s llama conjunto admisible, o más frecuentemente, el conjunto factible. Nótese que minimizar (,, ) es equivalente a maximizar (,, ). También una desigualdad como (,, ) see puede escribir como (,, ), y una igualdadd (,, )= ess equivalente a las dos desigualdades (,, ) y Página6
7 Matemáticas Avanzadas para la Economía Curso 2013/2014 Manuel Sánchez Sánchez (UNED) (,, ). De esta maneraa la mayoria de loss problemas de optimización restringida se pueden expresarr en la forma (1). Como en la sección anterior, las condiciones de Kuhn-Tucker son esencialmente necesarias para la solución del problema (1), pero no son suficientes. Ell siguiente teorema nos ofrece condiciones suficientes: Condiciones Suficientes dee Kuhn-Tucker Las condiciones suficientes conllevan distintas implicaciones que q las condiciones necesarias, ya que si un punto satisface una condición suficiente paraa máximos, entonces ese punto debe maximizar la función objetivo. En estee sentido, las condiciones suficientes nos proporcionan un tipo de prueba más definitivo, aunque al ser sólo suficiente, una solución genuinamente óptima puede no satisfacer la condición suficiente. En la práctica aparecen con frecuenciaa programas de optimización en los que el conjunto factible S es convexo y la función objetivo es cóncava o convexa en S. Estos programas se denominan convexos y simplifican considerablemente la resolución del problema de optimización. Concretamente en un programa convexo, el óptimo local es también global y además las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker son también suficientes. Condiciones Suficientes de Óptimo Global Consideremos el problema ( 1), y supongamos que el punto es un punto regular, que satisface las condiciones de Khun-Tucke er (2), (3) y (4), siendo las funciones de restricción g i diferenciables en S, entonces: Si el conjunto factible S es convexo y la función f es diferenciable y (convexa) en S, el punto es máximo (mínimo) global. Si f es estrictamente cóncava o estrictamente convexa, entonces, el punto máximo o mínimo global estricto.. cóncava es un Página7
8 Nota En general no siempre es fácil determinar si el conjunto factible S es convexo, Sin embargo cuando las restricciones g i son convexas en el dominio de optimización, podemos asegurar que el conjunto factible S es convexo. Ejemplo Un individuo consume dos bienes en cantidades e, y deriva utilidad según la función (, ) = +. Los precios de los dos bienes son =10 y =5, respectivamente, y el ingreso del individuo es = 350. Supongamos que consumir una unidad del primer bien toma 0,1 horas, mientras que una del segundo se consume en 0,2 horas. El individuo dispone en total de 8 horas, como máximo, para dedicar a su consumo de los dos bienes. Cuáles son los niveles de consumo óptimos de esta persona? Solución. El problema es: max (, ) = + 0,1 + 0,2 8 La función lagrangiana es: (, ) =+ln+ ( ) + (0,1 + 0,2 8) luego las condiciones necesarias para que (, ) resuelva el problema son que existan y tales que: = ,1 = 0 (i) = ,2 = 0 (ii) 0, = < 350 (iii) Página8
9 0, = 0 0,1 +0,2 < 8 (iv) Para cada una de las dos restricciones tenemos bien igualdad (si la restricción esta activa) o desigualdad (si la restricción esta inactiva). Así, hay cuatro casos diferentes: I Ambas restricciones están activas. En este caso: = 350 (v) y 0,1 +0,2 =8 (vi) La solución de (v) y (vi) es (, ) = (20,30). Si insertamos estos valores en (i) y (ii), obtenemos el sistema de dos ecuaciones: 10 +0,1 = 1/ ,2 = 1/30. La solución de este sistema es (, )=(, ), luego hemos encontrado un candidato a ser solución, puesto que las condiciones de Khun-Tucker se satisfacen. (nótese que es importante verificar que 0 y 0) II La primera restricción esta activa, la segunda no. En este caso, (v) se sigue cumpliendo pero no así (vi), que ahora resulta: 0,1 +0,2 <8. De (iv) sabemos que =0, mientras (i) y (ii) implican que =2. Reemplazando en (v), obtenemos que = 17,5 y, por tanto =2 =35. Pero esto implica que 0,1 +0,2 =8,75 lo cual viola la segunda restricción, luego concluimos que no puede haber una solución bajo este caso. Página9
10 III La segunda restricción esta activa, la primera no. Aquí, (vi) se cumple pero: < 350. De (iii) tenemos que =0, mientras que (i) y (ii) nos dicen que 0,1 =0,2. Reemplazando en (vi), obtenemos que =20 y, por tanto =40. Pero esto implica que = 500, lo cual viola la primera restricción. Nuevamente, podemos concluir que no puede haber una solución bajo este caso. IV Ambas restricciones están inactivas. En este caso = =0, lo cual hace que (i) y (ii) sean imposibles de satisfacer. Conclusión: Hay solo un candidato a solución: el punto (20,30). Al ser la función f estrictamente cóncava su matriz Hessiana es definida negativa -, y la región factible convexa ya que está formada por restricciones lineales - concluimos que en el punto hallado se encuentra el máximo global estricto. Nota: El método general para hallar todos los candidatos a óptimo en un problema de programación con restricciones de desigualdad se puede formular así: Estudiar primero el caso en que todas las restricciones están activas, A continuación estudiar la totalidad de los casos en que todas menos una están activas, luego aquellos en que todas menos dos están activas, y así sucesivamente. Se termina por el estudio del caso en que ninguna restricción esta activa. Por supuesto que el orden no importa, pero hay que considerar cada caso. En cada paso hallamos todos los vectores x, junto con los valores asociados de los multiplicadores de Lagrange, que satisfacen todas las condiciones relevantes. Por último buscamos entre todas las posibilidades para hallar la mejor. Página10
11 Resolución Gráfica de Problemas de Optimización Restringida Cuando el programa de optimización está definido sobre el plano, es decir, la función objetivo es de dos variables, el estudio gráfico del problema puede ser en muchos casos un método útil para su resolución, evitando así, las ecuaciones de Kuhn-Tucker. Para resolver gráficamente un problema de optimización, seguiremos los siguientes pasos: Se dibujan las curvas de nivel de la función objetivo. Observando el crecimiento de las curvas de nivel y el conjunto factible, es posible determinar gráficamente dónde se encuentran los óptimos del problema. Si el óptimo es un vértice del conjunto factible punto de intersección de las restricciones -, su cálculo se realiza fácilmente a partir de las restricciones. Si el óptimo se encuentra en el interior del conjunto factible, el problema es equivalente a un problema de optimización sin restricciones. Si el óptimo es punto de tangencia entre una curva de nivel de la función (, ) y una de las curvas (, ) = de las restricciones, el problema es equivalente a un problema de optimización con restricciones de igualdad.. Ejemplo Un proceso productivo transforma dos inputs en cantidades x e y en un output en cantidades Q 1 siguiendo la relación: =3+ La utilidad de este proceso ha sido analizada, obteniéndose en función de los inputs como: (, ) = Si por restricciones del mercado sabemos que nunca se deben obtener más de 4 unidades de. Cuáles será las cantidades de inputs que maximizan la utilidad del proceso? Solución: Al ser el conjunto factible =(, ): 3 + 4, 0, 0 convexo y la función objetivo (, ) = cóncava, ya que su matriz Hessiana es semidefinida negativa, podemos aplicar la condición suficiente de globalidad de modo que si existe un máximo ha de ser global. Página11
12 Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Curso 2013/2014 Por otra parte, al ser el conjunto factible compacto cerrrado y acotado -, y la función objetivoo continua, el teorema de los valores extremos 3, asegura la existencia de óptimos globales. De la representación gráfica observamos que la curva de nivel máxima que se puede alcanzar sujeta a la restricción planteada en el enunciado del problema, se encuentran en el punto A = (0,4). Observemos que es el punto del conjunto factible que pertenece p a la curva de mayor nivel de la función de utilidad. Condiciones de no negativid dad paraa las variables. Es frecuente que las variables que aparecen en los problemass económicos de optimización sean no negativas por su propia naturaleza. A continuaciónn veremos como no es difícil incorporar esas restricciones a la formulación del problema de optimización; por ejemplo, la 3 Ver Apéndice. Página12
13 restricción 0 se pueden representar por (,, )= 0, y se introduce un multiplicador de Lagrange adicional para ella. Sin embargo, para no tener que manejar demasiados multiplicadores de Lagrange, se suelen formular las condiciones necesarias de solución de los problemas de programación no lineal con restricciones de no negatividad de las variables de una forma ligeramente distinta. Consideremos primero el problema: max (, ) (, ), 0, 0 Introducimos las funciones: (, ) = y (, ) = Las restricciones del problema pasan a ser: (, ), (, ) 0 (, ) 0. A continuación tomamos la función lagrangiana: (, ) =(, ) +((, ) ) + ( ) + ( ) Las condiciones de Khun-Tucker son: = (, ) + (, ) =0 (i) = (, ) + (, ) =0 (ii) 0 (= 0 (, ) <) (iii) 0 (= 0 > 0) (iv) 0 (= 0 >0) (v) De (i) obtenemos: (, ) + (, ) =. De (iv) obtenemos que: 0 y =0 si >0. Asi (i) y (iv) equivalen conjuntamente a: (, ) + (, ) 0, (, ) + (, ) = 0 > 0 (vi) De manera análoga, (ii) y (v) equivalen conjuntamente a: Página13
14 (, ) + (, ) 0, (, ) + (, ) = 0 > 0 (vii) Por tanto, las nuevas condiciones de Khun-Tucker son (vi), (vii) y (iii). Nótese que, después de sustituir (i) y (iv) por (vi) y (ii) y (v) por (vii), sólo el multiplicador asociado con (, ) permanece. Se puede extender la misma idea al problema de variables: (,, ) max (,, ).. (,, ) 0,., 0 (I) Formuladas brevemente, las condiciones necesarias de solución de (I) son que, para cada =1,,: () + () 0, () + () = 0 > 0 (II) 0, =0 () < ( = 1,, ) (III) Nota: supongamos que es admisible y satisface las condiciones (II), y las de holgura complementaria, (III). Entonces se demuestra que si la función lagrangiana () es cóncava, resuelve el problema de maximización. Ejemplo Resolver el siguiente problema: max (x, y) = 2 3 x 1 2 x y, sujeta a x 5 x + y 1 x 0, y 0 Página14
15 Solución La función lagrangiana asociada es: () = 2 3 x 1 2 x y+ ( 5) + ( + 1) Las condiciones necesarias para que (, ) resuelva el problema son que existan números y tales que: = + 0 = 0 >0 (i) = + 0, = 0 >0 (ii) 0, = 0 < 5 (iii) 0, = 0 + <1 (iv) De la condición (ii) se sigue que <0, lo cual implica, por (iv), que + =1. Como 0, lo anterior implica que = +1>0, y así, que = 1/12, por (ii). Supongamos que <0 Esto implicaría, por (iii) que =5. Pero este valor de y = 1/12 implicaría, por (i), que >0, lo cual es imposible. Debe ser cierto, entonces que =0, en cuyo caso (i) nos dice que: + = + >0 De (i) se sigue entonces que + =0 =3/4 Esto a su vez implica que: =1+ =1+ =7/4 =7/4 Concluimos entonces que (, ) = (3/4, 7/4) con =0 y = 1/12, satisface todas las condiciones. Por último, se comprueba fácilmente que la función lagrangiana es cóncava, luego este candidato es la solución del problema de maximización planteado. Página15
16 Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Curso 2013/2014 Apéndice Topología del plano. En el caso de las funciones de varias variables se puede analizar a las distinciones más relevantes de los distintos tipos de dominios, mediante el uso de los siguientes conceptos de topología elemental. Punto Interior Un punto (a,b) se llama un punto interior de un conjunto S dell plano, si existe un círculo con centro (a,b) totalmente contenido en S. Conjunto abierto Un conjunto se llama abierto si todos suss puntos son interiores. Punto frontera El punto (a,b) se llama un punto de frontera de un conjuntoo S, si todoo círculo con centro (a,b) contiene puntos de S y puntos no pertenecientes a S. S Un puntoo frontera de S no pertenece necesariamente a S. Conjunto cerrado Si S contiene a todos sus puntos frontera se dice que S es cerrado. Estos conceptos se representann en la siguiente figura (I). Nótese que un conjunto que contiene algunos de suss puntos frontera pero no a todos, como el último de los representados, no es ni abierto ni cerrado. Un conjunto es cerrado si y solo s si su complemento es abierto. Página16
17 Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Curso 2013/2014 En muchos de los problemas de optimización, los dominios están e definidos por una o más desigualdades. Los puntos frontera pertenecen al conjunto allí donde aparezcan signos de menor o igual. Por ejemplo, si, y son parámetros (x,y) que verifican las desigualdades: positivos, el conjunto (presupuestario) de los puntos +,, (i) es cerrado. Este conjunto es un triángulo, como se muestra en la siguiente figura f (II). Su frontera son los tres lados del triángulo. Cada uno de los tres lados corresponde a que una de las desigualdades de (i) sea una igualdad. Por otra parte, el conjunto que se obtiene sustituyendo por < y por > es abierto.. En general: Si (, )es una función contínua y es un numero real, los tres conjuntos: (, ) ):(,), (,, ):(,) ), (,):(, ) = son cerrados. Página17
18 Matemáticas Avanzadas para la Economía Curso 2013/2014 Manuel Sánchez Sánchez (UNED) Si sustituimos por >, o por <, los conjuntos correspondientes son abiertos. Conjunto acotadoo Un conjunto se llama acotadoo si se puedee encontrar un círculo que q lo contenga. Los conjuntos de las figuras (I) y (II) son acotados. Por el contrario, el conjunto de todos los (,) que verifican 1 e 0 es cerrado pero no acotadoo El conjunto es cerrado porque contiene a todos sus puntos frontera Conjunto Compacto Un conjunto cerrado y acotado se llama compacto. Topologia en R Los conceptos topológicos que acabaos de introducir se generalizan muy fácilmente a R. Recordemos que se define la distancia entre dos vectores = (,, ) y =(,, ) como = ( ) + +( ) Una -bola con centro = (,, ) y radio es el conjunto de todos los puntos = (,, ) tales que <. Si sustituimos la palabra "círculo" y conjunto S que usamos enn las definiciones de topología plana por "-bola", y entorno N 4, siguenn valiendo en R las definiciones d de punto interior, i conjunto abierto, punto frontera, conjunto cerrado y conjunto compacto. 4 Un entorno N de un punto a es un conjunto que contiene una -bola conn centro a. Página18
19 Teorema de los Valores Extremos: Este es un teorema de existencia puro, ya que nos da condiciones suficientes para asegurar la existencia de puntos óptimos, pero no nos dice como hallarlos. Para encontrarlos Teorema Si f es una función continua sobre un conjunto compacto (cerrado y acotado) S de R, entonces existe al menos un máximo =(,, ) y un mínimo =(,, ) en S; esto es, existen c y d en S tales que () () () para todo x de S Página19
May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN
May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p
Más detallesUniversidad del Rosario Economía Matemática II Taller 8 - Kuhn Tucker
. En los siguientes problemas de optimización: Universidad del Rosario Economía Matemática - 202-II Taller 8 - Kuhn Tucker a. Dibuje el conjunto K de puntos factibles y las curvas de nivel de la función
Más detallesClase 9 Programación No Lineal
Pontificia Universidad Católica Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Clase 9 Programación No Lineal ICS 110 Optimización Profesor : Claudio Seebach Apuntes de Clases
Más detallesUNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL
UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL 1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una inecuación que en forma reducida se puede expresar de la siguiente forma:
Más detallesProgramación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones
Programación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones Ejemplos de los problemas que se aplica la programación NO Lineal: Problema de transporte con descuentos por cantidad : El precio unitario de
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL PROGRAMACIÓN LINEAL.
PROGRAMACIÓN LINEAL. La programación lineal es una técnica de modelado (construcción de modelos). La programación lineal (PL) es una técnica matemática de optimización, es decir, un método que trata de
Más detallesIN Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0
IN3701 - Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0 Acá va una pequeña guía con problemas resueltos de Geometría en Programación Lineal con problemas básicamente extraídos del
Más detallesEL PROBLEMA GENERAL DE OPTIMIZACION
EL PROBLEMA GENERAL DE OPTIMIZACION Terminología Tipos de soluciones Resultados teóricos sobre existencia y unicidad de soluciones Método gráfico de resolución Problemas de optimización Este tipo de problemas
Más detalles5.- Problemas de programación no lineal.
Programación Matemática para Economistas 7 5.- Problemas de programación no lineal..- Resolver el problema Min ( ) + ( y ) s.a 9 5 y 5 Solución: En general en la resolución de un problema de programación
Más detallesFormulación del problema de la ruta más corta en programación lineal
Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal En esta sección se describen dos formulaciones de programación lineal para el problema de la ruta más corta. Las formulaciones son generales,
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesMáximos y mínimos. Mínimo global Máximo global máximo relativo mínimo relativo
Máximos y mínimos. Anteriormente estudiamos métodos para obtener los extremos de funciones de una variable. Extenderemos esas técnicas a funciones de dos variables. Sea una función de dos variables, definida
Más detallesCálculo en varias variables
Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad
Más detallesTema 2.- Formas Cuadráticas.
Álgebra. 004 005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema.- Formas Cuadráticas. Definición y representación matricial. Clasificación de las formas
Más detallesINTERVALOS Y SEMIRRECTAS.
el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones pág 1 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS La ordenación de números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una representación geométrica en la recta real
Más detallesDerivadas Parciales (parte 2)
40 Derivadas Parciales (parte 2) Ejercicio: Si donde y. Determinar Solución: Consideraremos ahora la situación en la que, pero cada una de las variables e es función de dos variables y. En este caso tiene
Más detallesParciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni.
Parciales Matemática CBC 2012 Parciales Resueltos - Exapuni www.exapuni.com.ar Compilado de primeros parciales del 2012 Parcial 1 1) Sea. Hallar todos los puntos de la forma, tales que la distancia entre
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detallesMÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA
Universidad de Valladolid Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Subsección de Matemáticas Esquemas teóricos de la asignatura de las licenciaturas en Economía
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesOPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA. Tema 4 Optimización no Lineal
OPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA Tema 4 Optimización no Lineal ORGANIZACIÓN DEL TEMA Sesiones: El caso sin restricciones: formulación, ejemplos Condiciones de optimalidad, métodos Caso con restricciones:
Más detallesClase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange
Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange C.J. Vanegas 7 de abril de 008 1. Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Estamos interesados en maximizar o minimizar una función
Más detallesun conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:
CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse
Más detallesIdentificación de inecuaciones lineales en los números reales
Grado Matematicas - Unidad Operando en el conjunto de Tema Identificación de inecuaciones lineales en los números reales Nombre: Curso: A través de la historia han surgido diversos problemas que han implicado
Más detallesProblemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 4
Problemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 4 Ejercicio Determinar las funciones enteras f para las que Solución f( + w) = f()f(w), w C. En primer lugar, f(0) = f(0 + 0) = f(0)f(0) = f(0) 2,
Más detallesJesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014
Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj 1 / 18 Jesús Getán y Eva Boj 2 / 18 Un Programa lineal consta de: Función objetivo. Modeliza
Más detallesCAPÍTULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n.
April 15, 2009 En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n. 1. Introducción Definición 1.1. Dada una aplicación f : D R, definimos la derivada parcial segunda de f como D ij f = 2 f = ( ) x
Más detallesEspacios Vectoriales
Leandro Marín Octubre 2010 Índice Definición y Ejemplos Paramétricas vs. Impĺıcitas Bases y Coordenadas Para definir un espacio vectorial tenemos que empezar determinando un cuerpo sobre el que esté definido
Más detallesTeorema del valor medio
Práctica 6 - Parte 1 Teorema del valor medio El teorema del valor medio para derivadas (o teorema de Lagrange) es un resultado central en la teoría de funciones reales. Este teorema relaciona valores de
Más detallesTEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y
Álgebra II: Tema 8. TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y NúMERO DE CONDICIóN Índice. Introducción 2. Norma vectorial y norma matricial. 2 2.. Norma matricial inducida por normas vectoriales......... 4 2.2. Algunos
Más detallesLección 12: Sistemas de ecuaciones lineales
LECCIÓN 1 Lección 1: Sistemas de ecuaciones lineales Resolución gráfica Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas.
Más detallesContinuidad y monotonía
Tema 14 Continuidad y monotonía Generalizando lo que se hizo en su momento para sucesiones, definiremos la monotonía de una función, en forma bien fácil de adivinar. Probaremos entonces dos resultados
Más detallesPráctica 2: Análisis de sensibilidad e Interpretación Gráfica
Práctica 2: Análisis de sensibilidad e Interpretación Gráfica a) Ejercicios Resueltos Modelización y resolución del Ejercicio 5: (Del Conjunto de Problemas 4.5B del libro Investigación de Operaciones,
Más detallesTEORÍA DE LA EMPRESA. ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana
TEORÍA DE LA EMPRESA ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana asienrag@gmail.com. Conjuntos y funciones de producción El conjunto de posibilidades
Más detallesZ Optima X 1 + X 2 5 Z 1 -X 1 + 2X Región factible. Figura 1
Método Gráfico El procedimiento geométrico, es únicamente adecuado para resolver problemas muy pequeños (con no más de dos variables debido al problema de dimensionalidad). Este método provee una gran
Más detallesMatemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 2011/ ?
Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1 1) (1 punto) Dado el subespacio vectorial,,,,,,,,,,, a) Obtener la dimensión, unas ecuaciones implícitas, unas
Más detallesPrograma Oficial de Asignatura. Ficha Técnica. Presentación. Competencias y/o resultados del aprendizaje. Contenidos Didácticos
Ficha Técnica Titulación: Grado en Administración y Dirección de Empresas Plan BOE: BOE número 67 de 19 de marzo de 2014 Asignatura: Módulo: Métodos cuantitativos de la empresa Curso: 2º Créditos ECTS:
Más detalles5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales.
5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales. 5.1 Funciones reales de varias variables reales. Curvas de nivel. Continuidad. 5.1.1 Introducción al Análisis Matemático. El
Más detallesGráfica de Sistemas de desigualdades lineales en dos variables
Gráfica de Sistemas de desigualdades lineales en dos variables Una ecuación lineal con dos variables x y y, es de la forma: ax+by+c=0, a,b ambos no iguales a cero Donde tiene un conjunto solución que se
Más detallesTeorema del Valor Medio
Tema 6 Teorema del Valor Medio Abordamos en este tema el estudio del resultado más importante del cálculo diferencial en una variable, el Teorema del Valor Medio, debido al matemático italo-francés Joseph
Más detallesPAUTA AUXILIAR Nº4. 1. Sean los puntos,,. Pruebe que no son colineales y encuentre la ecuación
PAUTA AUXILIAR Nº4 1. Sean los puntos,,. Pruebe que no son colineales y encuentre la ecuación vectorial del plano que definen. Encontramos 2 vectores directores: Para ver si son colineales o no, creamos
Más detallesAx + By + C = 0. Que también puede escribirse como. ax + by + c = 0 y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta
ECUACIÒN DE LA RECTA La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados
Más detallesUniversidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3
Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas 1000003-5 Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se
Más detallesANÁLISIS I MATEMÁTICA 1 ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009
ANÁLISIS I MATEMÁTICA ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009 Derivadas parciales de orden superior - Polinomio de Taylor - Convexidad y Extremos Derivadas de orden superior. Calcular las derivadas
Más detalles4. Resolución de indeterminaciones: la regla de L Hôpital.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Funciones y derivada. 4. Resolución de indeterminaciones: la regla de L Hôpital. Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto I R y sea
Más detallesTEMA 2: PROGRAMACIÓN LINEAL.
TEMA : PROGRAMACIÓN LINEAL.. 1. INTRODUCCIÓN. La Programación Lineal (PL) puede considerarse como uno de los grandes avances científicos habidos durante la primera mitad del siglo XX y sin duda es una
Más detallesPROBLEMA 1. Considere el siguiente problema de programación lineal:
PROBLEMA 1 Considere el siguiente problema de programación lineal: Sean h1 y h2 las variables de holgura correspondientes a la primera y segunda restricción, respectivamente, de manera que al aplicar el
Más detallesPOST-OPTIMIZACIÓN Y SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS LINEALES.
POST-OPTIMIZACIÓN Y SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS LINEALES. Una de las hipótesis básicas de los problemas lineales es la constancia de los coeficientes que aparecen en el problema. Esta hipótesis solamente
Más detallesLección 4. Ecuaciones diferenciales. 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Trayectorias ortogonales.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Traectorias ortogonales. Muchas aplicaciones problemas de la ciencia, la ingeniería la economía se formulan en términos
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.
PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Más detallesMÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD)
MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD) Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado
Más detallesSESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
SESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS I. CONTENIDOS: 1. Función inversa, conceptos y definiciones 2. Derivación de funciones trigonométricas inversas 3. Ejercicios resueltos 4. Estrategias
Más detallesDUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL
DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL Relaciones primal-dual Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal denominado problema dual (PD), que posee importantes propiedades y relaciones
Más detallesLuego, en el punto crítico
Matemáticas Grado en Química Ejercicios propuestos Tema 5 Problema 1. Obtenga y clasique los puntos críticos de las siguientes funciones: a fx, y = x +y, b fx, y = x y, c fx, y = x 3 + y. Solución del
Más detallesMATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO Curso EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES
MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO Curso 9-1 EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES A. Inecuaciones lineales con una incógnita x x1 x3 > 1 3 4 x x1 x3 4( x ) 3( x1) 6( x3) 1
Más detallesColegio Universitario Boston
Función Lineal. Si f función polinomial de la forma o, donde y son constantes reales se considera una función lineal, en esta nos la pendiente o sea la inclinación que tendrá la gráfica de la función,
Más detallesProgramación Lineal (PL)
Programación Lineal (PL) Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la siguiente situación. El objetivo es Optimizar, una función objetivo, lo cual implica
Más detallesLo que se hace entonces es introducir variables artificiales ADAPTACIÓN A OTRAS FORMAS DEL MODELO.
Clase # 8 Hasta el momento sólo se han estudiado problemas en la forma estándar ADAPTACIÓN A OTRAS FORMAS DEL MODELO. Maximizar Z. Restricciones de la forma. Todas las variables no negativas. b i 0 para
Más detallesConjuntos y funciones convexas
Conjuntos y funciones convexas Un conjunto X R n se dice convexo si para todo par de puntos x 1 y x 2 en X, λ x 1 + ( 1- λ) x 2 X, para todo λ [0,1] Qué significa esto geométricamente? Un punto λ x 1 +
Más detalles4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Análisis de funciones de una variable 49 4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una variable: En la parte final hay ejercicios
Más detallesEspacios compactos. Capítulo Cubiertas. En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico.
Capítulo 3 Espacios compactos 1. Cubiertas En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico. Definición 3.1. Sea (X, d) un espacio métrico y A X. Una cubierta de A es una familia
Más detallesFabio Prieto Ingreso 2003
Fabio Prieto Ingreso 00. INECUACIONES CON UNA VARIABLE.. Inecuación lineal Llamaremos desigualdad lineal de una variable a cualquier epresión de la forma: a + b > 0 o bien a + b < 0 o bien a + b 0 o bien
Más detallesUnidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.
Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Más detallesUna ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matemáticas diversas),en la que intervienen una o más letras,
Más detallesSistem as de ecuaciones lineales
Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a
Más detallesInecuaciones: Actividades de recuperación.
Inecuaciones: Actividades de recuperación. 1.- Escribe la inecuación que corresponde a los siguientes enunciados: a) El perímetro de un triángulo equilátero es menor que 4. (x = lado del triángulo) b)
Más detallesCálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Más detallesNOCIONES PRELIMINARES (*) 1
CONJUNTOS NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 Conjunto no es un término definible, pero da idea de una reunión de cosas ( elementos ) que tienen algo en común. En matemática los conjuntos se designan con letras
Más detallesTEMA 4: Sistemas de ecuaciones lineales II
TEM 4: Sistemas de ecuaciones lineales II ) Teorema de Rouché-Frobenius. ) Sistemas de Cramer: regla de Cramer. 3) Sistemas homogeneos. 4) Eliminación de parámetros. 5) Métodos de factorización. 5) Métodos
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Generalidades Definición [Sistema de ecuaciones lineales] Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de m igualdades
Más detallesSISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Ecuación lineal con dos incógnitas Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal.
Liceo A 10 Manuel Barros Borgoño Departamento de Matemática SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Ecuación lineal con dos incógnitas Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal. Una ecuación lineal
Más detallesFunciones de Clase C 1
Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,
Más detallesClub GeoGebra Iberoamericano. 9 INECUACIONES 2ª Parte
9 INECUACIONES 2ª Parte INECUACIONES INTRODUCCIÓN Los objetivos de esta segunda parte del tema serán la resolución de inecuaciones con GeoGebra y la aplicación que tiene este software para la representación
Más detallesDerivada de una función en un punto. Función derivada. Diferencial de una función en un punto. dy = f (x) dx. Derivada de la función inversa
Derivada de una función en un punto Las tres expresiones son equivalentes. En definitiva, la derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor
Más detallesentonces las derivadas laterales existen y son iguales. y vale lo mismo. Si existen las derivadas laterales y son iguales, entonces existe f (a)
DERIVADAS. TEMA 2. BLOQUE 1 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se llama derivada de la función y = f ( en el punto de abscisa x = a al límite f ( f ( a f ( a = lím x a x a Si existe f (a entonces
Más detallesDirección de operaciones. SESIÓN # 2: Programación lineal
Dirección de operaciones SESIÓN # 2: Programación lineal Contextualización Dentro de la sesión anterior conocimos el concepto y alcance de la administración de operaciones, dicho de otro modo el qué, ahora
Más detallesSubconjuntos notables de un Espacio Topológico
34 Capítulo 4 Subconjuntos notables de un Espacio Topológico 4.1 Adherencia Definición 4.1.1 (Punto adherente). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S un subconjunto de X. Diremos que x X es un punto
Más detallesTema 2 Resolución de EcuacionesNo Lineales
Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales E.T.S.I. Informática Indice Introducción 1 Introducción 2 Algoritmo del método de Bisección Análisis del 3 4 5 6 Algoritmo de los métodos iterativos Interpretación
Más detallesSESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES
SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la
Más detallesUNIDAD 3. La derivada. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno:
UNIDAD La derivada Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Calculará la derivada de funciones utilizando el álgebra de derivadas. Determinará la relación entre derivación y continuidad. Aplicará la
Más detallesRESUMEN TEORIA MATEMATICAS 5
RESUMEN TEORIA MATEMATICAS 5 LIMITES Definición. Sea :, lim,,, Significa que cuando, esta cerca de, entonces, esta cerca de L. De otra forma se dice que, pertenece a una bola centrada en, por otro lado,
Más detallesDesigualdades o inecuaciones lineales en una variable. Prof. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas UPR - Arecibo
Desigualdades o inecuaciones lineales en una variable Prof. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas UPR - Arecibo Desigualdades Usamos los símbolos de una desigualdad son: ,, para representar
Más detallesTerceras Jornadas Investigaciones en la Facultad de Ciencias Económicas y Estadística, octubre de 1998
ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER. ORDEN. APLICACIÓN DE DERIVE A LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA MICROECONÓMICO QUE RELACIONA EL VOLUMEN DE VENTAS DE UN BIEN Y EL PRECIO. Furno, Graciela Koegel, Liliana Sagristá,
Más detallesOptimización no lineal
Capítulo Optimización no lineal.1. Introducción En este capítulo se estudian algunos aspectos relacionados con la que hemos dado en llamar cuestión estática de los problemas de optimización. Se presentan
Más detallesTema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases.
Tema 3: El Método Simplex Algoritmo de las Dos Fases 31 Motivación Gráfica del método Simplex 32 El método Simplex 33 El método Simplex en Formato Tabla 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo
Más detallesSemana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones
Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesMAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial
Más detallesLaboratorio N 8, Extremos condicionados, Multiplicadores de Lagrange.
Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Cálculo III Laboratorio N 8, Extremos condicionados, Multiplicadores de Lagrange. Introducción. En este laboratorio
Más detallesDesigualdades lineales en una variable. Prof. Anneliesse Sánchez Adaptada por Prof. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas UPR - Arecibo
Desigualdades lineales en una variable Prof. Anneliesse Sánchez Adaptada por Prof. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas UPR - Arecibo Desigualdades o Inecuaciones Una desigualdad, es una oración
Más detallesSoluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 2009
Soluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 009 Comisión Académica 1 Nivel Menor Problema 1. Considere un triángulo cuyos lados miden 1, r y r. Determine
Más detallesFunciones convexas Definición de función convexa. Tema 10
Tema 10 Funciones convexas Los resultados obtenidos en el desarrollo del cálculo diferencial nos permiten estudiar con facilidad una importante familia de funciones reales de variable real definidas en
Más detallesEspacios topológicos. 3.1 Espacio topológico
Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1 Espacio topológico Definición 3.1.1. Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes
Más detallesDepartamento de Matemáticas http://matematicasiestiernogalvancom 1 Desigualdades e inecuaciones de primer grado Hemos visto ecuaciones de 1º y º grados, en los cuales el número de soluciones era siempre
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesPROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX
Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés Planteamiento del problema: PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX Una compañía de manufactura se dedica a la fabricación de tres productos: A,
Más detallesExtremos condicionados. APUNTE: Extremos condicionados Multiplicadores de Lagrange
APUNTE: Etremos condicionados Multiplicadores de Larane UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asinatura: Matemática Carreras: Lic en Administración, Lic en Turismo, Lic en Hotelería Profesor: Prof Mabel Chrestia
Más detalles1 Método de la bisección. 1.1 Teorema de Bolzano Teorema 1.1 (Bolzano) Contenido
E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 3: Solución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña
Más detallesƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
Más detalles