Cálculo en varias variables

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Cálculo en varias variables"

Transcripción

1 Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga

2 Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 2 3 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange

3 Motivación Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Conceptos matemáticos Funciones x(w, t) = t w sen w t w 2 Continuidad, ĺımite,... Derivada, aproximación lineal,... Integral, volumen,... Mundo real

4 Motivación Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Conceptos matemáticos Funciones x(w, t) = t w sen w t w 2 Continuidad, ĺımite,... Derivada, aproximación lineal,... Integral, volumen,... Mundo real

5 Motivación Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Conceptos matemáticos Funciones x(w, t) = t w sen w t w 2 Continuidad, ĺımite,... Derivada, aproximación lineal,... Integral, volumen,... Mundo real

6 Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Definición de función R n A: Dominio R B: Imagen f : A B z = f (x, y) Definición Una función f asigna exactamente un elemento z de B a cada elemento (x, y) de A. Ejemplos f (x, y) = x y 2 f (x, y) = x 2 e y f (x, y, z) = x y 2 cosz f (x, y, z) = 3 z x 2 e y

7 Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Dominio de una función Definición El dominio es el (máximo) conjunto A R n tal que la función f : A B está definida. Ejemplo: f (x, y) = 4 (x y 2 ) x 2 > 4 = 4 (x y 2 ) < 0 y 2 > 1 = 4 (x y 2 ) < 0 A = [ 2, 2] [ 1, 1]?

8 Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Dominio de una función Definición El dominio es el (máximo) conjunto A R n tal que la función f : A B está definida. Ejemplo: f (x, y) = 4 (x y 2 ) x 2 > 4 = 4 (x y 2 ) < 0 y 2 > 1 = 4 (x y 2 ) < 0 A = [ 2, 2] [ 1, 1]?

9 Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Gráfica de una función Definición La gráfica de una función f : A R n B es el conjunto de puntos (x 1, x 2,... x n, y) R n+1 con y = f (x 1, x 2,... x n ). Ejemplo con n = 2: f (x, y) = 4 (x 2 +4 y 2 )

10 Curvas de nivel Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Definición Una curva de nivel de la función z = f (x, y) es la curva en el plano R 2 definida (impĺıcitamente) por la ecuación f (x, y) = k para alguna constante k.

11 Límites y continuidad Operaciones con funciones Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Al componer funciones, el dominio de definición puede reducirse: f (x, y) = g(x, y) + h(x, y), D f = D g D h f (x, y) = g(x, y) h(x, y), D f = D g D h f (x, y) = g(x, y) h(x, y), D f = D g D h g(x, y) f (x, y) = h(x, y), D f = (D g D h ) {x h(x, y) = 0}

12 Límites y continuidad Límite de una función Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Definición Para que lim f (x, y) = L tenemos que: (x,y) (a,b) dado cualquier ɛ, conseguir f (x, y) L < ɛ buscando un δ(ɛ) y haciendo (x, y) (a, b) < δ Dominio (x, y) en R 2 Gráfica (x, y, z) en R 3

13 Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Recuerdo de ĺımites en una variable Simplificaciones algebraicas, racionalización, etc. x 2 1 lim x 1 x 1 Límites laterales: el ĺımite, si existe, es único. x lim x 0 x Teorema de compresión: 0 acotado = 0. lim x 0 x sen 1 x Aproximación diferencial: L Hôpital, Taylor. lim x 0 1 cos x e x 1 sen x

14 Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Cálculo de ĺımites en varias variables Simplificaciones algebraicas, racionalización, etc. x 2 y 2 1 lim (x,y) (1,1) x y 1 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 x 2 + y Teorema de compresión: 0 acotado = 0. lim (x,y) (0,0) x y 2 x 2 + y 2 Aproximación diferencial: L Hôpital, Taylor. 1 cos(x 2 y) lim ( ) (x,y) (2,4) 2 x y

15 Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Límites por trayectorias Se fija una trayectoria y = g(x) por la que (x, y) (a, b). Tiene que cumplir g(b) = a. Se puede calcular el ĺımite en una sola variable: lim (x,y) (a,b) y=g(x) f (x, y) = lim x a f (x, g(x)) Si por dos trayectorias se obtienen distintos valores del ĺımite, entonces el ĺımite no existe. Algunas trayectorias sencillas: x = a, y = b, y = a + m (x b),... Ejemplos f (x, y) = x y x 2 + y 2 f (x, y) = x y 2 x 2 + y 4

16 Continuidad Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables Definición Una función f (x, y) es continua en un punto (a, b) R 2 si f (x, y) = f (a, b). lim (x,y) (a,b) Ejemplo: Estudiar la continuidad de la siguiente función y, si es posible, extender su definición por continuidad. f (x, y) = x y 2 x 2 + y 2

17 Resumen Límites y continuidad 1 Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 2 3 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange

18 Límites y continuidad Recuerdo de derivadas en una variable La derivada es: Una medida del crecimiento. f f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim x a x a h 0 h Una aproximación geométrica: recta tangente. y f (a) = f (a) (x a)... anaĺıtica: aproximación lineal. f (x) f (a) + f (a) (x a)

19 La derivada parcial representa el crecimiento de la función con respecto a una sola de las variables, considerando las demás como constantes. Derivada parcial respecto de x de f (x, y) en (a, b) f f (x, b) f (a, b) f (a + h, b) f (a, b) (a, b) = lim = lim x x a x a h 0 h Derivada parcial respecto de y de f (x, y) en (a, b) f f (a, y) f (a, b) f (a, b + h) f (a, b) (a, b) = lim = lim y y b y b h 0 h

20 La derivada parcial representa el crecimiento de la función con respecto a una sola de las variables, considerando las demás como constantes. Derivada parcial respecto de x de f (x, y) en (a, b) f f (x, b) f (a, b) f (a + h, b) f (a, b) (a, b) = lim = lim x x a x a h 0 h Comparar: f f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim x a x a h 0 h

21 g(x) = f (x, b) f x (a, b) = g (a) h(y) = f (a, y) f y (a, b) = h (b) Ejemplo: f (x, y) = 4 x 2 4 y 2 f x = 2 x f y = 8 y

22 Derivada direccional La derivada es una medida del crecimiento de la función. : direcciones de (1, 0), (0, 1). Derivadas direccionales: dirección de u = (u 1, u 2 ). Definición La derivada direccional en la dirección del vector unitario u = (u 1, u 2 ) de la función f (x, y) en el punto (a, b) es: D u f (a, b) = lim h 0 f (a + h u 1, b + h u 2 ) f (a, b) h

23 de orden superior Las derivadas parciales de f (x, y) son, a su vez, funciones de (x, y) y tienen derivadas parciales. ( ) f x = 2 f x x 2 ( ) f y x = 2 f x y Teorema (de Schwarz) ( ) f x y ( ) f y y = 2 f y x = 2 f y 2 Si todas las derivadas parciales segundas son continuas, entonces: 2 f x y = 2 f y x

24 Plano tangente Al hacer constante una de las variables, la derivada parcial proporciona un vector tangente. La combinación lineal de estos vectores también será tangente. Definición Si f (x, y) tiene derivadas parciales continuas, entonces el plano tangente en (a, b) es: z f (a, b) = f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y

25 Plano tangente Al hacer constante una de las variables, la derivada parcial proporciona un vector tangente. La combinación lineal de estos vectores también será tangente. Definición Si f (x, y) tiene derivadas parciales continuas, entonces el plano tangente en (a, b) es: z f (a, b) = f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y

26 Aproximación lineal El plano tangente: z f (a, b) = f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y puede usarse para calcular valores aproximados de la función. Definición La aproximación lineal L(x, y) de la función f (x, y) en el punto (a, b) es la aplicación (afín): L(x, y) = f (a, b) + f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y Ejemplo: f (x, y) = 2 x + e x2 y Calcular la aproximación lineal en (0, 0). Aproximar el valor f (0.1, 0.1).

27 Vector gradiente Definición El vector gradiente es el vector de las derivadas parciales: ( ) f f f (a, b) = (a, b), (a, b) x y a = (a, b) x = (x, y) Plano tangente Comparar: z f (a, b) = f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y z f ( a) = f ( a) ( x a) y f (a) = f (a) (x a)

28 Vector gradiente Definición El vector gradiente es el vector de las derivadas parciales: ( ) f f f (a, b) = (a, b), (a, b) x y a = (a, b) x = (x, y) Aproximación lineal Comparar: f (x, y) f (a, b) + f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y f (x, y) f ( a) + f ( a) ( x a) f (x) f (a) + f (a) (x a)

29 La existencia de derivadas parciales no garantiza: Continuidad. Plano tangente único. Derivadas direccionales. Ejemplo: f (x, y) = x y x 2 +y 2 Definición La función f (x, y) es diferenciable si: f (x, y) (f (a, b) + f (a, b) (x a, y b)) lim = 0 (x,y) (a,b) (x a, y b)

30 Teorema Si todas las derivadas parciales de f (x, y) en (a, b) existen y son continuas, entonces f es diferenciable en (a, b). Si f es diferenciable, entonces f es continua. Si f es diferenciable, entonces el plano tangente aproxima linealmente a la superficie z = f (x, y). Si f es diferenciable, entonces existe la derivada direccional en cualquier dirección u = (u 1, u 2 ): D u f (a, b) = f x (a, b) u 1 + f y (a, b) u 2 = f u

31 Gradiente y geometría vectorial Si f es diferenciable, entonces la derivada direccional mide el crecimiento de f en la dirección de u = (u 1, u 2 ): D u f (a, b) = f u = f u cos θ = f cos θ Si cos θ = 1: La tasa de crecimiento adopta el máximo valor posible. La derivada direccional es D u f (a, b) = f. El vector u va en la dirección del vector gradiente. Si cos θ = 0: La tasa de crecimiento es nula. El vector u es tangente a una curva de nivel. El vector u es norma al vector gradiente. Ejemplo: calcular el plano tangente a la superficie definida (impĺıcitamente) por x 3 z z 2 + y 2 = 7 en el punto (1, 3, 2).

32 Regla de la cadena Recuerdo de la regla de la cadena en una variable: Teorema d z d x = d z d y d y d x Sean z = f (x, y), x(t), y(t) funciones diferenciables. Entonces: Ejemplo: d z d t = z d x x d t + z d y y d t z y x z = e xy, x = 3 s sen t, y = 4 s t 2 Calcular z s y z t.

33 Derivación impĺıcita Sea una función y = f (x) dada impĺıcitamente por una ecuación F (x, y) = 0. Si llamamos x = t, y = f (t): 0 = d F d t = F d x x d t + F d y y d t = F x + F d y y d x F d y d x = x F y Ejemplos: Sea F (x, y) = x 3 + x y y 3 = 0 que define y = f (x). Calcular dy dx. Sea F (x, y, z) = x y 2 + z 3 + sen(xyz) = 0 que define z = f (x, y). Calcular z x y z y.

34 Resumen Límites y continuidad Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange 1 Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 2 3 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange

35 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange Recuerdo de extremos en una variable Teorema Si a es un extremo local de f (x), entonces a es un punto crítico. Un punto crítico a cumple una de estas condiciones: f (a) = 0 f (a) no existe Teorema Sea a un punto crítico de f (x). Entonces: El punto a es un mínimo si f (a) > 0. El punto a es un máximo si f (a) < 0.

36 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange Máximos y mínimos locales Un punto crítico (a, b) cumple una de estas condiciones: f f (a, b) = 0 y (a, b) x y f f (a, b) no existe o (a, b) no existe x y Teorema Si (a, b) es un extremo local de f (x, y), entonces (a, b) es un punto crítico. Ejemplo: f (x, y) = 3 x 2 6 x y y 3

37 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange Clasificación de extremos Definición La matriz hessiana es la matriz de segundas derivadas parciales: 2 f (a, b) 2 f x 2 x y (a, b) Hf (a, b) = 2 f y x (a, b) 2 f (a, b) y 2 Teorema Sea (a, b) un punto crítico de f (x, y) con f (a, b) = 0: El punto (a, b) es un extremo si H > 0 y además es un máximo si H 11 > 0. es un mínimo si H 11 < 0. El punto (a, b) es un punto de silla si H < 0. Nota: Las condiciones equivalen a que H sea definida positiva, definida negativa o no definida, respectivamente.

38 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange Optimización con restricciones Ejemplo: Buscar los extremos de f (x, y) = x 2 + y 2 sujetos a la condición g(x, y) = x y 4 = 0. Teorema Si f (x, y) tiene un extremo en (a, b) sujeto a la restricción g(x, y) = 0, entonces existe un número λ tal que se cumple: f x f y g (a, b) = λ (a, b) x g (a, b) = λ (a, b) y g(x, y) = 0

39 Optimización sin restricciones Multiplicadores de Lagrange Extremos absolutos Teorema (de Weierstrass) Una función continua en una región cerrada y acotada alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos de la región. Estos extremos deben ser puntos críticos (incluyendo los puntos de la frontera). Para encontrar los extremos absolutos de f (x, y) en una región: 1 Hallar los extremos en el interior (sin restricciones). 2 Hallar los extremos en la frontera (con restricciones). 3 Comparar los valores de la función en cada punto crítico. Ejemplo: calcular los máximos y mínimos absolutos de la función f (x, y) = x 2 x y y 2 en el triángulo limitado por las rectas y = 2, y = x, y = x.

Funciones Reales de Varias Variables

Funciones Reales de Varias Variables Funciones Reales de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica II Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 162 CONTENIDO Funciones

Más detalles

2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables. Mayo, 2009

2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables. Mayo, 2009 Cálculo 2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables Mayo, 2009 Definición IR 2 = {(x 1,x 2 )/x 1 IR,x 2 IR} Sean dos puntos a y b, de coordenadas respectivas (a 1,a 2 ) y (b 1,b 2 ). Definición

Más detalles

CÁLCULO II Funciones de varias variables

CÁLCULO II Funciones de varias variables CÁLCULO II Funciones de varias variables Facultad de Informática (UPM) Facultad de Informática (UPM) () CÁLCULO II Funciones de varias variables 1 / 36 Funciones de varias variables Función vectorial de

Más detalles

3. Funciones de varias variables

3. Funciones de varias variables Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 17 3. Funciones de varias variables Función real de varias variables reales Sea f una función cuyo dominio es un subconjunto D de R n

Más detalles

(1.5 p.) 2) Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 de la función g(x) = e 1 x2 centrado en x 0 = 1 y usarlo para dar una aproximación de e 5/4.

(1.5 p.) 2) Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 de la función g(x) = e 1 x2 centrado en x 0 = 1 y usarlo para dar una aproximación de e 5/4. Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Examen final 0 de enero de 0.75 p. Se considera la función escalar de una variable real fx = lnlnx. lnx a Calcular el

Más detalles

Funciones de varias variables: continuidad derivadas parciales y optimización

Funciones de varias variables: continuidad derivadas parciales y optimización Titulación: Ingeniero en Telecomunicación. Asignatura: Cálculo. Relación de problemas número 4. Funciones de varias variables: continuidad derivadas parciales y optimización Problema 1. Determinar el dominio

Más detalles

Funciones Reales de Varias Variables

Funciones Reales de Varias Variables Funciones Reales de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica II Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 54 CONTENIDO Funciones

Más detalles

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Examen-Modelo para el curso 2014-2015 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables 1. Conceptos elementales Funciones IR n IR m. Definición Una función f (también f o f): A IR n IR m es una aplicación que a cada x (también x o x) A IR n le hace corresponder

Más detalles

TEORIA MATEMATICAS 5 PRIMER PARCIAL

TEORIA MATEMATICAS 5 PRIMER PARCIAL Def: Grafica de una función TEORIA MATEMATICAS 5 PRIMER PARCIAL Sea:. Definimos la grafica de f como el subconjunto de formado por los puntos, de en los que es un punto de U. Simbólicamente grafica es:

Más detalles

(3 p.) 3) Se considera la superficie z = z(x, y) definida implícitamente por la ecuación. 3x 2 z x 2 y 2 + 2z 3 3yz = 15.

(3 p.) 3) Se considera la superficie z = z(x, y) definida implícitamente por la ecuación. 3x 2 z x 2 y 2 + 2z 3 3yz = 15. Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Curso 2012/2013 21 de junio de 2013 4 p.) 1) Se considera la función fx) = x 4 e 1 x 2. a) Calcular los intervalos de

Más detalles

1. Sea g(x, y) =. Determine, la Derivada Direccional de la función compuesta g(g(x, y),g(x, y)) en el punto (2,1) en la dirección tangente a la curva C definida implícitamente por g(x, y)=0 en el punto

Más detalles

INDICE 1. Desigualdades 2. Relaciones, Funciones, Graficas 3. La Línea Recta 4. Introducción al Cálculo. Límites

INDICE 1. Desigualdades 2. Relaciones, Funciones, Graficas 3. La Línea Recta 4. Introducción al Cálculo. Límites INDICE 1. Desigualdades 1 1. Desigualdades 1 2. Valor absoluto 8 3. Valor absoluto y desigualdades 11 2. Relaciones, Funciones, Graficas 16 1. Conjunto. Notación de conjuntos 16 2. El plano coordenado.

Más detalles

Cálculo Diferencial en una variable

Cálculo Diferencial en una variable Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia

Más detalles

ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía

ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía LÍMITES, CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES Prueba de Evaluación Continua Grupo ºA 3-Octubre-04.- Sea la función 5 si (,) 4

Más detalles

DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES

DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES CAPITULO IV CALCULO II 4.1 DEFINICIÓN DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras

Más detalles

PROGRAMA DE CURSO UNIDADES TEMÁTICAS. Cálculo en varias variables. Unidades Docentes Cátedra Auxiliares Trabajo Personal

PROGRAMA DE CURSO UNIDADES TEMÁTICAS. Cálculo en varias variables. Unidades Docentes Cátedra Auxiliares Trabajo Personal PROGRAMA DE CURSO Código MA1003 Nombre del Curso Cálculo en varias variables Unidades Docentes Cátedra Auxiliares Trabajo Personal 10 3 2 5 Requisitos Requisitos específicos Carácter del curso MA1002,

Más detalles

Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange

Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange C.J. Vanegas 7 de abril de 008 1. Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Estamos interesados en maximizar o minimizar una función

Más detalles

FUNCIONES DE DOS VARIABLES

FUNCIONES DE DOS VARIABLES FUNCIONES DE DOS VARIABLES - Funciones de dos variables reales - Límites 3- Continuidad de funciones de dos variables 4- Derivabilidad de funciones de dos variables 5- Diferenciabilidad de funciones de

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a

Más detalles

Derivación de funciones de varias variables.

Derivación de funciones de varias variables. Derivación de funciones de varias variables. En este apartado se presentan los conceptos básicos que aparecen en la derivación de funciones de varias variables. La idea es establecer un método para estudiar

Más detalles

Aproximaciones de funciones y problemas de extremos

Aproximaciones de funciones y problemas de extremos Aproximaciones de funciones y problemas de extremos José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 5.- Aproximaciones de funciones y problemas de extremos 1 Teorema de

Más detalles

Derivadas Parciales (parte 2)

Derivadas Parciales (parte 2) 40 Derivadas Parciales (parte 2) Ejercicio: Si donde y. Determinar Solución: Consideraremos ahora la situación en la que, pero cada una de las variables e es función de dos variables y. En este caso tiene

Más detalles

x (0) si f (x) = 2s 1, s > 1 d) f 3. Analizar la existencia de derivadas laterales y de derivada en a = 0, para las siguientes funciones:

x (0) si f (x) = 2s 1, s > 1 d) f 3. Analizar la existencia de derivadas laterales y de derivada en a = 0, para las siguientes funciones: FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 7 1. Usando sólo la definición de derivada,

Más detalles

Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos

Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos Lección 2: Funciones vectoriales: límite y continuidad. Diferenciabilidad de campos vectoriales 1.1 Introducción En economía, frecuentemente, nos interesa explicar la variación de unas magnitudes respecto

Más detalles

Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Diferenciabilidad

Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Diferenciabilidad Diferenciabilidad 1 Función diferenciable 2 Regla de la cadena (2 variables) 3 Regla de la cadena (vectorial) OBJETIVO Generalizar el concepto de diferenciabilidad (conocido ya para funciones de una variable)

Más detalles

Funciones reales de varias variables.

Funciones reales de varias variables. Tema 4 Funciones reales de varias variables. 4.1. El espacio euclídeo R n. Definición 4.1.1. Se define el producto escalar entre vectores de R n como la aplicación: ( ) : R n R n R : x y = (x 1, x 2,...,

Más detalles

Capítulo VI. Diferenciabilidad de funciones de varias variables

Capítulo VI. Diferenciabilidad de funciones de varias variables Capítulo VI Diferenciabilidad de funciones de varias variables La definición de diferenciabilidad para funciones el cociente no tiene sentido, puesto que no está definido, porque el cociente entre el vector

Más detalles

Funciones Reales de Varias Variables

Funciones Reales de Varias Variables UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Mecánica Curso: Cálculo Vectorial Funciones Reales de Varias Variables Pro: Hermes Pantoja C. NOTA HISTORICA. Mar Faira Somerville (1780-187).

Más detalles

Lección 11: Derivadas parciales y direccionales. Gradiente. Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión

Lección 11: Derivadas parciales y direccionales. Gradiente. Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión Lección 11: Derivadas parciales y direccionales. Gradiente Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión Recordar: - Cálculo de ĺımites - Reglas de derivación Derivadas parciales f : R 2 R función

Más detalles

MATERIA: MATEMÁTICAS II

MATERIA: MATEMÁTICAS II UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a

Más detalles

5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales.

5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales. 5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales. 5.1 Funciones reales de varias variables reales. Curvas de nivel. Continuidad. 5.1.1 Introducción al Análisis Matemático. El

Más detalles

= f (a) R. f(x) f(a) x a. recta por (a, f(a)) de pendiente f(a+h2) f(a) recta tangente por (a, f(a)) de pendiente f (a)

= f (a) R. f(x) f(a) x a. recta por (a, f(a)) de pendiente f(a+h2) f(a) recta tangente por (a, f(a)) de pendiente f (a) 1 1. DERIVACIÓN 1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PRINCIPALES Definición 1.1. Derivada. Sea f una función definida en un intervalo abierto I con a I. Decimos que f es derivable en a si existe y es real el

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen

CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar

Más detalles

PROGRAMA DE ASIGNATURA CLAVE: 1211 SEMESTRE: 2 CÁLCULO VECTORIAL HORAS SEMESTRE CARACTER ECUACIONES DIFERENCIALES

PROGRAMA DE ASIGNATURA CLAVE: 1211 SEMESTRE: 2 CÁLCULO VECTORIAL HORAS SEMESTRE CARACTER ECUACIONES DIFERENCIALES UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN DIVISIÓN DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍA LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL ACATLÁN PROGRAMA DE ASIGNATURA CLAVE: 1211 SEMESTRE:

Más detalles

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO VECTORIAL EXTREMOS DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO VECTORIAL EXTREMOS DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL (Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO VECTORIAL EXTREMOS DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL En numerosas aplicaciones de la ingeniería se presentan problemas de optimización,

Más detalles

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior. Derivadas parciales y direccionales

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior. Derivadas parciales y direccionales Derivadas parciales y direccionales 1 Derivadas parciales 2 Derivadas direccionales 3 Derivadas parciales de orden superior Derivadas parciales (de campos escalares de dos variables) Sea A = [a 1, b 1

Más detalles

2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones

2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto

Más detalles

ANÁLISIS I MATEMÁTICA 1 ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009

ANÁLISIS I MATEMÁTICA 1 ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009 ANÁLISIS I MATEMÁTICA ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009 Derivadas parciales de orden superior - Polinomio de Taylor - Convexidad y Extremos Derivadas de orden superior. Calcular las derivadas

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA 3: Derivadas parciales y diferenciación.

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA 3: Derivadas parciales y diferenciación. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS SOLUCIONES ) 3-1. Calcular, para las siguientes funciones. a) fx, y) x cos x sen y b) fx, y) e xy c) fx, y) x + y ) lnx + y )

Más detalles

Plan de Estudios 1994

Plan de Estudios 1994 LINEA DE ESTUDIO: MÉTODOS CUANTITATIVOS Programa de la asignatura: MATEMÁTICAS II Objetivo El estudiante establecerá las funciones de varias variables, así como su derivación y aplicaciones a la economía.

Más detalles

Tema 4 Funciones convexas y optimización convexa

Tema 4 Funciones convexas y optimización convexa Tema 4 Funciones convexas y optimización convexa José R. Berrendero Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid Contenidos del tema 4 Repaso de algunos resultados sobre optimización de funciones.

Más detalles

(x x 0 ) y 0. O bien z z 0 = x 0. y notamos a este límite ᾱ (t 0 ) = dᾱ dt (t 0).

(x x 0 ) y 0. O bien z z 0 = x 0. y notamos a este límite ᾱ (t 0 ) = dᾱ dt (t 0). O bien z z 0 = x 0 z 0 (x x 0 ) y 0 z 0 (y y 0 ). Para obtener la ecuación cartesiana de este plano hacemos x 0 (x x 0 )+y 0 (y y 0 )+z 0 (z z 0 ) = 0, como x 0 + y0 + z0 = x 0 + y0 + r (x 0 + y0) = r

Más detalles

MATEMÁTICAS II (2º BACHILLERATO)

MATEMÁTICAS II (2º BACHILLERATO) MATEMÁTICAS II (2º BACHILLERATO) 1.1.1 Contenidos y temporalización. Matemáticas II 1.1.1.1 Bloque 1. Análisis (Total : 56 sesiones) Límite de una función en un punto. Límites laterales. Cálculo de límites.

Más detalles

Guía Semana 7 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

Guía Semana 7 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática . RESUMEN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 08- Guía Semana 7 Teorema de la función inversa. Sea f : Ω Ê N Ê N, Ω abierto, una función de clase

Más detalles

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( )

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( ) Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 3 (DERIVADAS) Profesora: Yulimar Matute Febrero 2012 DERIVADAS POR DEFINICIÓN

Más detalles

1. Funciones diferenciables

1. Funciones diferenciables 1. diferenciables Volvamos sobre el significado de la derivada de una función real de una variable real, Como vimos en el capítulo anterior, f : (a, b) R derivable en x 0, equivale a que f(x) f(x 0 ) =

Más detalles

RESUMEN TEORIA MATEMATICAS 5

RESUMEN TEORIA MATEMATICAS 5 RESUMEN TEORIA MATEMATICAS 5 LIMITES Definición. Sea :, lim,,, Significa que cuando, esta cerca de, entonces, esta cerca de L. De otra forma se dice que, pertenece a una bola centrada en, por otro lado,

Más detalles

Cátedra Matemática del PIT. Gradiente y Derivada Direccional

Cátedra Matemática del PIT. Gradiente y Derivada Direccional Cátedra Matemática del PIT Gradiente y Derivada Direccional Propósito de la Unidad Hallar y usar las derivadas direccionales de una función de dos variables. Hallar el gradiente de una función de dos variables.

Más detalles

Proyectos de trabajos para Matemáticas

Proyectos de trabajos para Matemáticas Proyectos de trabajos para Matemáticas 14 de julio de 2011 Resumen En cada uno de los Proyectos elegidos, los estudiantes deberán completar las etapas siguientes: Comprender el problema. Tomarse el tiempo

Más detalles

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Sergio Stive Solano Sabié 1 Mayo de 2013 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Más detalles

Elementos de Cálculo en Varias Variables

Elementos de Cálculo en Varias Variables Elementos de Cálculo en Varias Variables Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 5 de octubre de 009 Índice Introducción Derivada parcial El Jacobiano de una Función 5 Derivadas Superiores 5 5 Derivada

Más detalles

ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica Industrial, Especialidad de Electricidad

ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica Industrial, Especialidad de Electricidad ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica Industrial, Especialidad de Electricidad Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Diciembre de 5. Primera parte Tiempo: horas. Se recuerda

Más detalles

2.11. Diferencial de funciones vectoriales.

2.11. Diferencial de funciones vectoriales. 2 Diferencial de funciones vectoriales Definición 2 Una función vectorial es una aplicación f : D R n R m tal que a cada vector x = (x, x 2,, x n D R n le hace corresponder un vector y = (y, y 2,, y m

Más detalles

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales. Juan-Miguel Gracia

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales. Juan-Miguel Gracia Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales Juan-Miguel Gracia Índice Sistemas lineales 2 Búsqueda de una solución especial 3 Aplicación a sistemas 4 Problema de condiciones iniciales 2 / 2 Sistemas

Más detalles

Soluciones de los ejercicios del examen de Cálculo del 29 de junio de 2007 Primero de Ingeniería de Telecomunicación

Soluciones de los ejercicios del examen de Cálculo del 29 de junio de 2007 Primero de Ingeniería de Telecomunicación Soluciones de los ejercicios del examen de del 29 de junio de 27 Primero de Ingeniería de Telecomunicación Ejercicio a Justifica que la ecuación x 2 = x sen x+ cos x tiene exactamente dos soluciones reales.

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID. PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) MODELO DE EXAMEN (Curso )

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID. PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) MODELO DE EXAMEN (Curso ) UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) MODELO DE EXAMEN (Curso 00-003) MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN INSTRUCCIONES:

Más detalles

Ejercicios recomendados: Cálculo III

Ejercicios recomendados: Cálculo III Ejercicios recomendados: Cálculo III Cátedra de MA 1003 II ciclo 2017 Los ejemplos que siguen están tomados del libro: Claudio Pita Ruiz Cálculo Vectorial Prentice-Hall Hispanoamericana México 1995 Ejemplos

Más detalles

PROGRAMA. Asignatura MAT 215 CALCULO EN VARIAS VARIABLES"

PROGRAMA. Asignatura MAT 215 CALCULO EN VARIAS VARIABLES Facultad de Ciencias Instituto de Matemática http://ima.ucv.cl Blanco Viel 596, Cerro Barón, Valparaíso Casilla 4059, Valparaíso Chile Tel: (56-32) 2274001 Fax:(56-32) 2274041 CARLOS MARTINEZ YAÑEZ, Secretario

Más detalles

MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II

MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II CÁLCULO EN UNA VARIABLE. Tema 1. - Números Reales. Nociones de topología en R. 1.1 - Números reales racionales e irracionales. El cuerpo de los números reales. 1.2 - Valor

Más detalles

CONTENIDO OBJETIVOS TEMÁTICOS HABILIDADES ESPECIFICAS

CONTENIDO OBJETIVOS TEMÁTICOS HABILIDADES ESPECIFICAS UNIDAD: REGIONAL CENTRO EJE BÁSICO, DIVISIÓN DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO: MATEMATICAS ACADEMIA: (SERVICIO) HORAS DE CATEDRA CARACTER: OBLIGATORIA CREDITOS: 08 TEORICA:03 TALLER: 02 80 REQUISITO: Cálculo

Más detalles

Cálculo de una y varias variables (con prácticas en wxmaxima) M.ª Victoria Sebastián Guerrero M.ª Antonia Navascués Sanagustín

Cálculo de una y varias variables (con prácticas en wxmaxima) M.ª Victoria Sebastián Guerrero M.ª Antonia Navascués Sanagustín Cálculo de una y varias variables (con prácticas en wxmaxima) M.ª Victoria Sebastián Guerrero M.ª Antonia Navascués Sanagustín Prensas Universitarias de Zaragoza Textos Docentes, 201 2011, 450 pp., 17

Más detalles

CONTENIDO PRÓLOGO LAS FUNCIONES... 5

CONTENIDO PRÓLOGO LAS FUNCIONES... 5 CONTENIDO PRÓLOGO... 1 1. LAS FUNCIONES... 5 1.1 FORMAS DE REPRESENTACIÓN... 5 1.1.1 Representación de funciones... 6 1.1.2 Funciones definidas a trozos... 7 1.1.3 Simetría... 8 1.1.4 Funciones crecientes

Más detalles

BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE

BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE El concepto de derivada. Relación entre continuidad y derivabilidad. Función derivada. Operaciones con derivadas. Derivación de las funciones

Más detalles

Derivación. Aproximaciones por polinomios.

Derivación. Aproximaciones por polinomios. Derivación... 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Matemáticas (Grado en Químicas) Contenidos Derivada 1 Derivada 2 3 4 5 6 Outline Derivada 1 Derivada 2 3 4 5 6 Definición

Más detalles

1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES

1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1 1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES Definición 1.1. Sea f : R n R, ā R n y v R n. Se define la derivada direccional de f en ā y en la dirección de v como:

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) y = ex cos y. e x cos y e x sin y. y 2.

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) y = ex cos y. e x cos y e x sin y. y 2. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES HOJA 4: Derivadas de orden superior 4-1. Sea u : R R definida por u(x, y e x sen y. Calcula las cuatro parciales segundas,

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Programa para la Licenciatura en Física

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Programa para la Licenciatura en Física CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Programa para la Licenciatura en Física BIBLIOGRAFÍA: M.Spivak, Cálculo Infinitesimal N. Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral 4 1/2 hs de Teórico por semana (67 1/2

Más detalles

Guía de asignatura. Información general. Cálculo II. Asignatura. Código. Tipo de asignatura Obligatoria X Electiva. Obligatoria profesional

Guía de asignatura. Información general. Cálculo II. Asignatura. Código. Tipo de asignatura Obligatoria X Electiva. Obligatoria profesional Guía de asignatura Formato institucional Rev. Abril 2013 Información general Asignatura Código Cálculo II 73210017 Tipo de asignatura Obligatoria X Electiva Tipo de saber Básico X Obligatoria profesional

Más detalles

= lim. y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )

= lim. y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Tema 4 Diferenciabilidad 4.1 Funciones Diferenciables Cuando estudiamos el Cálculo en una variable real, se definía función derivable en un punto como aquélla para la cual existía la derivada en dicho

Más detalles

Temas 1 y 2: Cálculo Diferencial y Optimización ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

Temas 1 y 2: Cálculo Diferencial y Optimización ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO CÁLCULO II. Ejercicio de Examen Final Temas 1 y : Cálculo Diferencial y Optimización Calificación: FECHA: 1/06/1 TIEMPO RECOMENDADO: 40 m Puntuación/TOTAL:,5/10 ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

Más detalles

OCW-Universidad de Málaga, (2014). Bajo licencia. Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3.

OCW-Universidad de Málaga,  (2014). Bajo licencia. Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3. OCW-Universidad de Málaga, http://ocw.uma.es (014). Bajo licencia Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3.0 Spain Matemáticas III Relación de ejercicios Tema 1 Ejercicios Ej. 1 Encuentra

Más detalles

Programación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones

Programación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones Programación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones Ejemplos de los problemas que se aplica la programación NO Lineal: Problema de transporte con descuentos por cantidad : El precio unitario de

Más detalles

Derivada y diferencial

Derivada y diferencial Derivada y diferencial Una cuestión, que aparece en cualquier disciplina científica, es la necesidad de obtener información sobre el cambio o la variación de determinadas cantidades con respecto al tiempo

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Cálculo III.

Ejercicios Resueltos de Cálculo III. Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como

Más detalles

Coordinación de Matemáticas III (MAT 023) x a. Además, diremos que f es continua en U si f es continua en cada punto de U.

Coordinación de Matemáticas III (MAT 023) x a. Además, diremos que f es continua en U si f es continua en cada punto de U. Coordinación de Matemáticas III (MAT 023) 1 er Semestre de 2013 Continuidad de Funciones en Varias Variables 1. Continuidad Definición 1.1. Sean U R n abierto, a U y f : U R una función real de varias

Más detalles

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma

Más detalles

x y x y y x a) Dibujar el conjunto de puntos del plano donde f no está definida. b) Estudiar la continuidad de f en (0,0) y

x y x y y x a) Dibujar el conjunto de puntos del plano donde f no está definida. b) Estudiar la continuidad de f en (0,0) y ( ) (, ) (,) 1.- Dada la función f(, ) : (, ) (,) a) Dibujar el conjunto de puntos del plano donde f no está definida. b) Estudiar la continuidad de f en (,) c) Calcular (,) (,) (si es necesario prolongar

Más detalles

INDICE Presentación Preliminar del Cálculo 1. Funciones y Modelos 2. Límites y Derivadas Problemas especiales 3. Reglas de Derivación

INDICE Presentación Preliminar del Cálculo 1. Funciones y Modelos 2. Límites y Derivadas Problemas especiales 3. Reglas de Derivación INDICE Presentación Preliminar del Cálculo 2 1. Funciones y Modelos 10 1.1. Cuatro maneras de representar una función 11 1.2. Modelos matemáticos 24 1.3. Nuevas funciones a partir de funciones ya conocidas

Más detalles

EXAMEN DE MATEMÁTICAS I. Test

EXAMEN DE MATEMÁTICAS I. Test Primer Parcial 16 de febrero de 005 Test Sólo una respuesta a cada cuestión es correcta. Respuesta correcta: 0. puntos. Respuesta incorrecta: -0.1 puntos Respuesta en blanco: 0 puntos 1.- Considerando

Más detalles

2 OBJETIVOS TERMINALES. Como resultado del proceso de aprendizaje activo del curso, el estudiante estará en capacidad de:

2 OBJETIVOS TERMINALES. Como resultado del proceso de aprendizaje activo del curso, el estudiante estará en capacidad de: MATERIA: Matemáticas para Economía CÓDIGO: 08307 REQUISITOS: Cálculo integral (08301), Teoría de Probabilidades (08131) PROGRAMAS: Economía y Negocios Internacionales, Economía con énfasis en Políticas

Más detalles

TEMA 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 9.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

TEMA 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 9.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO TEMA 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN MATEMÁTICAS II º Bach TEMA 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 9. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición Se llama tasa de variación

Más detalles

Polinomio de Taylor. Extremos.

Polinomio de Taylor. Extremos. CAPÍTULO 6 Polinomio de Taylor. Extremos. En este capítulo trabajamos con el polinomio de Taylor de una función de varias variables y su aplicación al estudio de los extremos de funciones de más de una

Más detalles

1 Funciones de Varias Variables

1 Funciones de Varias Variables EJECICIOS DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (DISEO) Funciones de Varias Variables. Dada f(x, y) ln ( x + ln(y) ). a) Calcular la derivada direccional en el punto (x, y) (, e 2 ) en la dirección del vector v (3,

Más detalles

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL TEMARIO

CÁLCULO INTEGRAL TEMARIO CÁLCULO INTEGRAL TEMARIO 1. LA INTEGRAL 1.1 La integral indefinida Antiderivadas o primitivas. Funciones con la misma derivada. Antiderivada general. Antiderivada particular. Integral indefinida. Elementos

Más detalles

Funciones de Una Variable Real I. Derivadas

Funciones de Una Variable Real I. Derivadas Contents : Derivadas Universidad de Murcia Curso 2010-2011 Contents 1 Funciones derivables Contents 1 Funciones derivables 2 Contents 1 Funciones derivables 2 3 Objetivos Funciones derivables Definir,

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhabreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimenez@ull.es) M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ (imarrero@ull.es)

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO AREA: INGENIERÍA CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO AREA: INGENIERÍA CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO AREA: INGENIERÍA CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS I. Identificación PLAN DE CURSO Nombre MATEMÁTICAS IV

Más detalles

Clase 9 Programación No Lineal

Clase 9 Programación No Lineal Pontificia Universidad Católica Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Clase 9 Programación No Lineal ICS 110 Optimización Profesor : Claudio Seebach Apuntes de Clases

Más detalles

Funciones de Variable Real

Funciones de Variable Real Tema 1 Funciones de Variable Real 1.1. La Recta Real Los números reales se pueden ordenar como los puntos de una recta. Los enteros positivos {1, 2, 3, 4,...} que surgen al contar, se llaman números naturales

Más detalles

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto

Más detalles

f, y el Funciones de varias variables Función de dos variables Definición. Es una función f que asigna a cada pareja ordenada ( xy, ) de D un

f, y el Funciones de varias variables Función de dos variables Definición. Es una función f que asigna a cada pareja ordenada ( xy, ) de D un Funciones de varias variables Función de dos variables Definición. Es una función f que asigna a cada pareja ordenada (, ) de D un único número real f (, ). El conjunto D es el dominio de f, el correspondiente

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EVALUACIÓN PARA EL ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso Modelo

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EVALUACIÓN PARA EL ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso Modelo UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EVALUACIÓN PARA EL ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2017-2018 Modelo MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y = f (x) 5 3 5 3 9 14 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(3), f'(9) y f'(14). Di otros tres puntos en los

Más detalles

INDICE Capitulo 1. Números Capitulo 2. Secuencias Capitulo 3. Funciones, Límites y Continuidad

INDICE Capitulo 1. Números Capitulo 2. Secuencias Capitulo 3. Funciones, Límites y Continuidad INDICE Capitulo 1. Números 1 Conjuntos 1 Números reales 1 Representación decimal de los números reales 2 Representación geométrica de los números reales 2 Operación con los números reales 2 Desigualdades

Más detalles

Resumen de Análisis Matemático IV

Resumen de Análisis Matemático IV Resumen de Análisis Matemático IV 1. Funciones inversas e implícitas y extremos condicionados 1.1. Teorema de la función inversa Teorema de la función inversa: Sea A abierto de R n, f : A R n tal que f

Más detalles