Capítulo 3 El Método de los Elementos de Contorno y la Formulación Hipersingular.

Transcripción

1 Capítulo 3 El Método de los Elementos de Contorno y la Formulación Hipersingular Introducción El Método de los Elementos de Contorno (MEC) se ha implantado firmemente en numerosos campos de la ingeniería como una competitiva técnica numérica alternativa a métodos tales como el Método de los Elementos Finitos o el Método de las Diferencias Finitas. El planteamiento numérico que aquí se propone, como posteriormente se verá, se basa en la idea de utilizar la ecuación integral de contorno en tracciones en combinación con la ecuación integral de contorno clásica para obtener, de este modo, una aproximación mixta de elementos de contorno muy apropiada para tratar problemas con dos superficies coplanarias en los que la aplicación del MEC da lugar a una degeneración matemática en la formulación numérica. Como consecuencia de la estrategia de colocación, se pueden tener dos o más ecuaciones por cada nodo, obtenidas al colocar en tantos puntos como elementos contienen al nodo. Estas ecuaciones se suman para obtener una única por nodo. 11

2 Merece la pena destacar que este Método de Colocación Múltiple (MCM) se utiliza únicamente para los nodos que pertenecen a una de las superficies coplanarias, excepto para aquellos situados dentro del elemento y los nodos del borde de las superficies coplanarias en los que no es necesario ningún punto de colocación ( ). Es también importante destacar que dado que el proceso de regularización da lugar a expresiones de las integrales de contorno con mayor número de términos que las integrales hipersingulares y fuertemente singulares originales, las expresiones regularizadas de las integrales se van a utilizar únicamente sobre una parte de la superficie Γ cercana al punto de colocación, mientras que las expresiones originales de las integrales de contorno se plantean en el resto del contorno donde éstas son no singulares. El Método de los Elementos de Contorno (MEC) aplicado en la resolución de problemas de grietas elástico-lineales proporciona mejoras bastante considerables respecto a otras técnicas numéricas. Comparando con el método de los elementos finitos (MEF), como se comentó en el capítulo de introducción, el MEC tiene la ventaja de usar una discretización más simple; matrices de menor tamaño, aunque llenas y no simétricas; no requiere de un refinamiento de la malla en aquellas zonas del dominio con una geometría compleja donde sea necesario conseguir una mayor información de la misma para la obtención de los campos de tensiones y desplazamientos; y de proporcionar una mayor exactitud para los problemas que se estudian en este proyecto. Por el contrario, presenta una serie de desventajas como pueden ser la integración de funciones singulares complejas, así como de soluciones fundamentales. Asimismo, el MEC es un método todavía en desarrollo con un largo camino por recorrer a diferencia del MEF, un método bien establecido. De todos modos, es posible comprobar cómo el MEC está ganando terreno rápidamente, debido al enorme esfuerzo de la comunidad científica para desarrollar nuevas aplicaciones y encontrar métodos de integración más eficientes. 12

3 3.2. Formulación integral en puntos de contorno Partiendo de las ecuaciones básicas de la elastostática lineal, en el caso de que no existan fuerzas de volumen, la representación integral de los desplazamientos para un punto interno de un cuerpo elástico Ω, cuyo contorno es una superficie regular Γ con normal exterior unitaria, se puede escribir como: (3.1.) donde las integrales representan el Valor Principal de Cauchy (VPC), y son las componentes cartesianas, y son las componentes de tracción y desplazamiento, respectivamente, y representan la solución fundamental del problema de Kelvin en tracción y desplazamiento, respectivamente, en la dirección en el punto del contorno cuando se aplica una carga en la dirección en el punto. Se tiene: (3.2.) Además las soluciones fundamentales del problema de Kelvin para el caso tridimensional, los desplazamientos y tensiones en el contorno, en un punto distancia del punto, se expresan como: a una 13

4 (3.3.) (3.4.) donde: es el módulo de Poisson del material. μ es el módulo de rigidez transversal del material. es la delta de Kronecker. es la normal exterior en el punto. viene dado por la expresión: (3.5.) siendo la coordenada del vector de origen en p y extremo en i Formulación Hipersingular del MEC. Como hemos indicado con anterioridad, no es posible aplicar directamente el MEC en desplazamientos sobre superficies coplanarias como las caras superior e inferior de una grieta, ya que ello conduce a una degeneración matemática. Por ello es necesario recurrir a herramientas como el uso de subregiones o reformular el problema en tracciones. 14

5 La formulación hipersingular es extremadamente útil, ya que de esta forma queda resuelto el problema de la degeneración en superficies coplanarias, a la vez que no se incrementa excesivamente el tamaño del problema (dificultad del uso de subregiones). Las tensiones en puntos internos del sólido elástico pueden obtenerse derivando los desplazamientos en un punto e introduciendo las deformaciones correspondientes en la relación tensión-deformación. Las componentes del vector de tracciones en un punto sobre una normal exterior unitaria son: (3.6.) La ecuación integral en tracciones en un punto del interior del sólido elástico y con normal, se obtiene derivando la ecuación integral en desplazamientos, así se tiene: (3.7.) donde y son combinaciones lineales de las derivadas de y respectivamente, con las siguientes expresiones: (3.8.) 15 (3.9.)

6 donde (3.10.) El núcleo tiene una singularidad fuerte de orden mientras que es hipersingular de orden cuando. Para obtener la representación integral para un punto suave del contorno se realiza un proceso de paso al límite en el contorno usando la geometría modificada de la Figura 3.1. (3.11) Figura 3.1. Dominio modificado alrededor de un punto del contorno 16

7 Desarrollando en serie las variables y en torno al punto se puede reescribir la ecuación como sigue: (3.12.) o también de la forma: (3.13.) 17

8 De modo que las integrales que presentan alguna dificultad, en cuanto a singularidad se refiere, se tratan matemáticamente permitiéndose así la integración de las mismas. Un análisis detallado de todo el procedimiento puede encontrarse en Ariza [3]. 18