MATEMÁTICA 1 JRC El futuro pertenece a aquellos que creen en la belleza de sus sueños
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- Héctor Montero Franco
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1 MATEMÁTICA 1 JRC LÓGICA Es la ciencia formal que estudia los principios y procedimientos que permiten demostrar la validez o invalidez de una inferencia, es decir, reconocer entre un razonamiento correcto y un razonamiento incorrecto. PROPOSICIÓN LÓGICA: Se puede definir como una sucesión finita de signos (palabras o términos) que con propiedad se les puede calificar como verdadero o como falsos pero nunca como ambos valores a la vez; es decir, es imposible que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo ( principio de no contradicción ) ALOR DE ERDAD: Es la propiedad fundamental de toda proposición de ser verdadera o falsa, por Ejemplo: la proposición Arequipa es capital del Perú tiene como valor de verdad la falsedad; y la proposición 7 3 = 4 tiene como valor de verdad la verdad. El calor dilata los cuerpos ( ) El exceso de radiación ultravioleta, produce cáncer de piel y cataratas. ( ) 2 es un par ( ) Si no existiera la capa de ozono la vida sería muy feliz ( ) Si 14 + x 17 = 4, entonces x = 21 ( ) Cocachacra es la Capital de Islay ( ) Todos los números son divisibles por 4 ( ) La mitad de 9 es exactamente 4,5 ( ) El cuadrado es un redondo ( ) La circunferencia es un círculo ( ) El perímetro es la suma de los lados de un polígono ( ) El pentágono tiene 5 lados ( ) El dodecágono es un polígono regular ( ) Qué es una Proposición? Una proposición es una expresión de nuestro lenguaje que no admite ambigüedad y que goza de la propiedad de ser solo verdadero o solo falso ARIABLES PREPOSICIONALES Se denomina variables preposicionales a las letras minúsculas como p; q; r; s; t; con las que representaremos a las proposiciones. Por Ejemplo p: Todo los números positivos son mayores que 8 ( ) q:13 es divisor de 117 ( ) r: Cero entre cero es uno ( ) CONECTIOS LÓGICOS Un conectivo lógico es un término de enlace que nos permite formar una tercera proposición a partir de dos proposiciones dadas. Los conectivos son: no es cierto que, y, o, si entonces si sólo si, pero, si pues no es posible que, etc.
2 MATEMÁTICA 2 JRC Ejemplo: Dadas las proposiciones p; q p: 8 es mayor de 4 ( ) q: 8 es divisor de 40 ( ) A partir de estas dos proposiciones podemos formar las siguientes proposiciones compuestas: no p: no es cierto que 8 es mayor de 4 ( ) p y q: 8 es mayor que 4 y 8 es divisor de 40 ( ) si p entonces q; si 8 es múltiplo de 4 entonces 8 es divisor de 40 ( ) ENUNCIADO ABIERTO Qué es un enunciado abierto? Un enunciado abierto, llamado también funcional preposicional, es toda expresión que contiene por lo menos una variable y que goza de la propiedad de transformarse al sustituírsele la variable o variables por constantes. Ejemplo: P(x): x + 8=20 proposición abierta de una variable Si le otorgamos a x = 5 entonces; P(5): 5 +8 =20 ( ) SI x = 12 P(12); 12+8 = 20 ( ) TODO ENUNCIADO ABIERTO: Se transforma en proposición anteponiéndole las expresiones para todo ( ) ó existe ( ) Existe al menos un numero natural x que es múltiplo de 5 Todo numero natural x es múltiplo de 5 OBSERACIÓN: Toda proposición es un enunciado, pero no todo enunciado es una proposición CLASES DE PROPOSICIONES: Existen dos clases de proposiciones I. PROPOSICIÓN SIMPLE O ATÓMICA: Aquella que tiene un sujeto y un predicado (no llevan conectivos lógicos) Por ejemplo; t: cero es elemento neutro de la adición ( ) r: todo rombo es un cuadrado ( ) q: ladimiro es un héroe nacional ( ) p: El cuadrado de todo número natural es mayor que 100 ( ) 2 2 s: ( 2) = 2 ( ) II. PROPOSICIÓN COMPUESTA O MOLECULAR: combinación de 2 o más proposiciones simples, enlazadas por medio de conectivos.
3 MATEMÁTICA 3 JRC Por ejemplo; a) 4 y 5 son números pares ( ) b) El triangulo es polígono y 3 es numero natural. ( ) c) No todos los números elevados al cuadrado son positivos ( ) d) si 24 es múltiplo de 4, entonces 48 es múltiplo de 4 ( ) e) 8 1>5 si solo si 8 > 6 ( ) f) 4 y 9 es un número irracional ( ) b) El cubo es un cuadrado y 4 es numero natural. ( ) c) todos los números elevados al cuadrado son positivos ( ) d) si 24 es múltiplo de 4, entonces 8 es múltiplo de 4 ( ) e) 10 1>5 si solo si 8 > 6 ( ) PROPOSICIONES COMPUESTAS UNDAMENTALES Las proposiciones compuestas se pueden clasificar de acuerdo a su enlace lógico principal en: 1) Conjuntivas ( Λ): Cuándo el conectivo es de la forma y, pero, también, sin embargo, además, tal como, no obstante, aunque, a la vez etc.; los cuales equivalen al conectivo Λ Ejemplo: p q p Λ q yo ingresé y ella se casó { { p Λ q SU TABLA DE ERDAD SERÁ: La conjunción es verdadera sólo si sus componentes son verdaderas, en otro caso será falsa. 2) Disyunción de dos proposiciones ( ): La disyunción p q será verdadera si por lo menos una de las proposiciones componentes es verdadera. Sólo será falsa si ambas son falsas. SU TABLA DE ERDAD SERÁ: p q p q p q: 9 < = 1 ( )
4 MATEMÁTICA 4 JRC 3) Bicondicional de dos Proposiciones: ( ): Cuando el conectivo es de la forma: si y sólo si, si solamente si, cuando y sólo cuando, entonces y sólo entonces, los cuales equivalen al conectivo, (p es una condición necesaria y suficiente para q). SU TABLA DE ERDAD SERÁ: La bicondicional es verdadera sólo si los valores de sus componentes son iguales en caso contrario es falso p q p q 4) Condicional de dos Proposiciones ( ): Si hoy viajo, entonces hoy falto al colegio ( ) Si hoy viajo, entonces hoy no falto al colegio ( ) Si hoy no viajo, entonces hoy falto al colegio ( ) Si hoy no viajo, entonces hoy no falto al colegio ( ) SU TABLA DE ERDAD SERÁ: La condicional es falsa sólo si su antecedente es verdadero y su consecuente es falso, en otros casos será verdadero. p q p q Negación: Dada una proposición p cualquiera, su negación se denota por p que se lee no p o no es cierto que p. Ejemplo: p : 12 es par su negación: ~p: no es cierto que 12 es par Su tabla: p ~p
5 MATEMÁTICA 5 JRC TIPOS DE PROPOSICIÓN 1) Tautología: Un esquema proposicional es una tautología si al evaluar todas las posibles ordenaciones de los valores veritativos de las variables proposicionales que la componen siempre resulta verdadero. 2) Contradicción: Es una contradicción, si al evaluar todas las ordenaciones de los valores de verdad de las variables proposicionales que la componen resulta falso. 3) Contingencia: Un esquema proposicional es una contingencia, si su tabla de verdad contiene al menos un verdadero y al menos un falso. EJERCICIOS ~ p q ~ q ~ 1. Hallar la tabla de verdad de: [( ) p 2. Hallar la tabla de verdad de: [( p q) q ~ q 3. Hallar la tabla de verdad de: ( p q) p 4. Hallar la tabla de verdad de: [( p q) ~ q ~ p
6 MATEMÁTICA 6 JRC 5. Hallar la tabla de verdad de: [ p ( q ~ q) ~ p 6. Hallar la tabla de verdad de: ( ~ q ~ r) ~ p 7. Hallar la tabla de verdad de: ~ ( p q) ( ~ p ~ q) 8. Hallar la tabla de verdad de: ( ~ q ~ p) ~ q
7 MATEMÁTICA 7 JRC 9. Hallar la tabla de verdad de: {[ ( p ~ q) p ~ r} [ ~ r( ~ q q) EJERCICIOS Sabiendo que la variable p significa: p = está lloviendo y la variable q significa q = hace mucho frío. Traducir al lenguaje natural los siguientes esquemas moleculares. 10. ~~p Solución: No es verdad que no está lloviendo 11. ~ p q 12. p ~ q 13. p q 14. q ~ p 15. ~ p ( p q) 16. ~ ( p q) 17. ~ ~ p ~ q 18. ~ ( p q) ~ ( p q) Mediante el lenguaje simbólico formaliza las siguientes proposiciones lógicas empleando para ello las variables y los operadores adecuados.
8 MATEMÁTICA 8 JRC 19. No es cierto que haga frío o está lloviendo Solución: ~ ( p q) 20. Juan no estudia Matemática y no estudia ilosofía 21. No es cierto que haga frío o está lloviendo 22. Si María nació en Cocachacra, entonces es peruana RESUELE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS ~ p q ~ p ~ p 1) Resolver la tabla de verdad de [ ( ) 2) Resolver la tabla de verdad de ~ p [ q ~ ( p ~ p) 3) Resolver la tabla de verdad de ~ p [ q ~ ( p ~ p) 4) Resolver la tabla de verdad de ~ p [ q ~ ( p p) 5) Resolver la tabla de verdad de p [ q ~ ( p ~ p) 6) Resolver la tabla de verdad de ~ p [ q ( p ~ p) 7) Resolver la tabla de verdad de ~ p [ q ~ ( r ~ p) 8) Resolver la tabla de verdad de ~ p [ q ~ ( p ~ p) 9) Resolver la tabla de verdad de p [ q ( p p) 10) Resolver la tabla de verdad de p [ q ~ ( r ~ s) ANALIZA Y RESPONDE CORRECTAMENTE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS: 1. Ejemplos: 1) gobernantes corruptos generan pueblos corruptos y pueblos corruptos generan gobernantes corruptos. ( ) 2) = 6x ( ) 3) y + 34 = 90 ( ) 4) En un mundo de corruptos sólo los corruptos gobiernan a los corruptos ( ) 5) Si deseas ser joven por siempre no ceses de aprender ( ) 6) Si tiene precio no tiene valor, solamente los honestos pueden poseer el amor ( ) 7) 2x 4 = 8 ( ) 8) Los corruptos son bestias humanas culpables de la pobreza y miseria de un país ( )
9 MATEMÁTICA 9 JRC 9) Qué hora es? ( ) 10) 18 x = 81 QUÉ ES UN ENUNCIADO?.. 2 EJEMPLOS: 1) = 8 2) El número 9 es divisible por 3 ( ) 3) Cuzco es la capital arqueológica de América ( ) 4) = 10 4 ( ) 5) El calor dilata los cuerpos ( ) 6) El 4 es número primo ( ) 7) Si el agua se congela entonces la temperatura está bajo cero ( ) 8) Cinco no es mayor que cuatro ( ) 9) 13 es divisor de 117 ( ) 10) Todo triángulo es un cuadrado ( ) 11) El pentágono tiene 6 lados ( ) 12) El cuadro tiene 3 diagonales ( ) 13) El rectángulo es un cuadrilátero ( ) 14) Hexágono tiene 6 lados ( ) 15) Icoságono tiene 20 lados ( ) 16) El respeto es la base de toda convivencia en sociedad ( ) 17) La disciplina es la parte más importante del éxito ( ) 18) Arborizar es calidad de vida sana ( ) 19) Responsabilidad ambiental es no quemar la caña de azúcar ( ) 20) El hombre es responsable del desastre ecológico ( ) ( ) ( ) 21) 3 1 = ( ) 22) 3 es un decimal finito ( ) 2 23) El 12% de 150 es 18 ( ) 24) Reciclar es ahorrar recursos ( )
10 MATEMÁTICA 10 JRC 25) Reciclar disminuye la contaminación ( ) 26) Reciclar es alargar la vida de los materiales ( ) 27) Reciclar es ahorrar energía ( ) 28) El reciclaje evita la deforestación ( ) 29) Reciclaje genera empleo y riqueza ( ) 30) El triángulo tiene tres diagonales ( ) ) 27 = 9 ( ) 32) 2 3 es una función lineal ( ) 33) 3 es una función cuadrática ( ) 34) ( ) 35) ( ) 36) ( ) 37) ( ) 38) ( ) QUÉ ES UNA PROPOSICIÓN?. 3. QUÉ ES UN ENUNCIADO ABIERTO?.. Ejemplo: 39) x 90 = 3 ( ) ( ) 40) Él es presidente del Perú ( ) ( ) 41) Él es presidente de Cuba. ( ).. ( ) ESCRIBE 20 PROPOSICIONES Y 20 ENUNCIADOS ABIERTOS EN TU CUADERNO
11 MATEMÁTICA 11 JRC
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