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1 LA GACETA 447 EL DIABLODELOSNÚMEROS Sección a cargo de Javier Cilleruelo Mateo Pruebas determinísticas de rimalidad or Pedro Berrizbeitia La búsqueda de rimos grandes, y en articular de rimos de la forma 2 n ± 1, es una historia muy antigua. En este artículo contaremos una equeña arte de esa historia y exlicaremos de qué maneralabúsqueda de rimos de esta familia ha contribuido al desarrollo de resultados más generales. Los rimos del tio 2 n 1 se conocen como rimos de Mersenne y los de la forma 2 n + 1 son llamados rimos de Fermat. Nos referiremos a las roiedades de los rimeros como PM y a las de los segundos como PF. Con PG nos referiremos a roiedades generales que son alicables a todo entero ositivo. La rimera roiedad de los números de la forma 2 n 1 es una observación bien conocida. PM1: Si n es comuesto entonces 2 n 1 también lo es. En efecto, esto se deduce de la identidad algebraica x m 1=(x 1)(x m x +1),conx =2 d, donde d es un divisor no trivial de n = md. Porlotanto,labúsquedaderimosdelaforma2 n 1serestringealos valores rimos de n. Para los rimeros rimos =2, 3, 5, 7, el número 2 1 también es rimo. Sin embargo, = 2047 es un número comuesto, 2047 = Ya en el año 1603, Pietro Cataldi había verificado que , y son rimos, y aventuró quelomismoocurría ara =23, 29 y 31. Se equivocó con 23 y 29, como verificó en 1640, Pierre de Fermat. Para determinar la rimalidad de un número se contaba con una sencilla herramienta, conocida ya or Eratóstenes, que llamaremos PG1. PG1: Si n es un número comuesto, entonces n tiene un divisor rimo que es menor o igual a n. Fermat introdujo el famoso resultado conocido como Pequeño teorema de Fermat, añadiendo una oderosa herramienta al estudio de la rimalidad, ues ermite, de una forma bastante eficiente, determinar que un número es

2 448 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS comuesto, sin necesidad de conocer ninguno de sus divisores. Lo enunciamos a continuación. PG2 (Pequeño Teorema de Fermat): Si es un número rimo, y a es un entero, entonces a a (mod ). Este resultado es muy conocido, y su demostración se enseña en los rimeroscursosdeálgebra. Para los roósitos de este artículo, conviene resentar la siguiente demostración: El resultado es trivial si a es múltilo de. Sino lo es, entonces el orden de a módulo es el orden de la clase de a en el gruo multilicativo (Z/Z) del cuero finito Z/Z. Este orden divide al orden del gruo multilicativo, que es 1, or lo que a 1 1(mod), de donde se obtiene el resultado deseado. A rimera vista el equeño teorema de Fermat uede no arecer muy útil, ues si n es grande, entonces a n es inmenso. Sin embargo, lo que se necesita calcular es a n (mod n) y ara efectuar ese cálculo, escribiendo el exonente n en base dos, uede deducirse fácilmente que basta efectuar a lo sumo 2 log 2 n multilicaciones módulo n, lo que es laborioso ero osible, aún ara valores relativamente grandes de n. La limitación rincial de este resultado, si quiere decirse así, es que nunca nos ermite concluir que n es rimo, sólo sirve ara mostrar que es comuesto. En 1644, en el rólogo de su libro Cogitata Physica-Matematica, el monje francés Marin Mersenne afirmó quesi 257 entonces 2 1esrimo si, y sólo si, =2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ó 257. A esar de que la lista de Mersenne también resultó ser incorrecta (ni están todos los que son, ni son todos los que están), los números de la forma M =2 1, con rimo, reciben el nombre de números de Mersenne. La lista correcta ara 257 no se obtuvo sino hasta 1947, en la era de la comutadora. Desviemos brevemente nuestra atención hacia los números de la forma 2 n +1. PF1: Si n no es una otencia de 2, entonces2 n +1 es comuesto. Esto se deduce de la identidad algebraica x 2k+1 +1=(x +1)(x 2k... + x 2 x +1),conx =2 n/(2k+1), donde 2k + 1 es un divisor imar de n. Los números de la forma F m =2 2m +1, m 0, son llamados números de Fermat. Si m =0, 1, 2, 3ó4,elnúmero F m es rimo. Fermat conjeturó que F m esrimoaratodom. Estaba equivocado. De los muchos resultados matemáticos que se sabe Fermat anunció, éste es el único que no es correcto. Euler mostró quef 5 es comuesto, y hasta el día de hoy no se ha encontrado ningún otro rimo de Fermat aarte de los ya mencionados. Euler también mostró quem 31 es rimo. Para ello, Euler tuvo que comrobar que M 31 no tiene divisores rimos menores que M 31. Sin embargo, encontró roiedades de los números de Mersenne que le ermitió restringirla búsqueda de divisores rimos a ciertas rogresiones aritméticas. Lo que Euler mostró fueron las siguientes dos roiedades.

3 LA GACETA 449 PM2: Todo divisor rimo q de M satisface q 1(mod). Para ver esto obsérvese que si q es un divisor rimo de M, entonces se cumle que 2 1(modq). Como q 2, resulta que 2 tiene orden módulo q, orloque divide al orden del gruo (Z/qZ),queesq 1. PM3: Todo divisor rimo q de M, rimo imar, satisface q ±1(mod 8). Presentaremos una demostración al final de la siguiente sección. De las roiedades PM2 y PM3, Euler concluyó que los osibles divisores rimos q de M 31 debían satisfacer q 1 (mod 248) o q 63 (mod 248). Lo demás fue un cálculo ara finalmente verificar que M 31 es, en efecto, rimo. Euler encontró ydemostró roiedades análogas ara los números de Fermat, que le ermitió luego encontrar un factor rimo de F 5. Estas roiedades, que demostraremos más adelante, se resumen en la siguiente: PF2: Todo divisor rimo q de F m, m 2, satisface q 1(mod2 m+2 ). El trabajo de Euler fue realizado hacia 1770, más de 100 años desués de que Mersenne y Fermat hubieran hecho sus resectivas afirmaciones. Se necesitaba una idea nueva ara estudiar la rimalidad de los siguientes números de la lista original de Mersenne. Otros 100 años asaron, hasta que Eduardo Lucas, en 1876, verificó que M 127 es rimo (el número anterior de la lista de Mersenne, M 67 resultó ser comuesto). Lucas no hubiera odido realizar esto con la metodología emleada or Euler, ues M 127 es demasiado grande. De hecho, la metodología de Euler no uede utilizarse, ni siquiera haciendo uso de las comutadoras más modernas. En efecto, Lucas había descubierto una magnífica roiedad de los números de Mersenne, que ermitía determinar la rimalidad de esos números, sin necesidad de tener que dividir or todos los números rimos menores que M. PM4 (Teorema de Lucas): Sea S 0 =4y definamos la sucesión S k, ara k 0, de la siguiente manera: S k+1 = S 2 k 2. Si S 2 0(modM ) entonces M es rimo. Con este resultado, y un cálculo que no deja de ser monumental ara haber sido hecho a mano, Lucas demostró quem 127 es rimo. Posteriormente, ya en el siglo XX, D. H. Lehmer demostró que la condición de Lucas ara determinar la rimalidad de M también es necesaria. Por ello, el teorema, que da una condición necesaria y suficiente ara determinar la rimalidad de M, se conoce hoy como la Prueba de Lucas-Lehmer. La demostración original que Lucas dio de su teorema se basa en el estudio de las roiedades de las hoy conocidas como sucesiones de Lucas. Varios libros modernos, como [R], [B], [W], resentan ese esquema de demostración. En este artículo daremos una demostración diferente, creemos que más sencilla y clara. Pero antes sigamos con un oco de historia. En 1883, Pervouchine mostró quem 61, que no estaba

4 450 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS Eduardo Lucas en la lista de Mersenne, también es rimo. En el siglo XX, Powers mostró que también M 89 y M 107 son rimos. También estos rimos se le habían escaado a Mersenne. Por el contrario, M 257, que aarecía en la lista original de Mersenne ha resultado ser un número comuesto. La lista comleta de los rimos de Mersenne con 257 es la siguiente: =2, 3, 5, 6, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. El interés en la búsqueda de rimos grandes, y en articular de rimos de Mersenne, se ha mantenido hasta nuestros días. Los rogresos desués de Lucas han consistido rincialmente en mejoras en los algoritmos de multilicación modular, en ingeniosas formas de organizar la búsqueda, y el hallazgo de nuevos rimos ha sido osible también gracias al incremento en el oder comutacional de las máquinas. El algoritmo de Lucas sigue siendo la clave, resente en todas las búsquedas. Hoy se conocen 38 rimos de Mersenne, los 37 rimeros son los 37 más equeños. El último, el rimo más grande conocido hasta ahora es M , encontrado or Hajratwala, Woltman, Kurowsky et al, con el llamado GIMPS (the Great Internet Mersenne Prime Search) en No se sabe aún si existe algún otro rimo de Mersenne entre este rimo yelnúmero37delalista. En 1877, Teófilo Pein descubrió un resultado análogo a la Prueba de Lucas-Lehmer ara los números de Fermat: PF3 (Prueba de Pein): Sea m 1, seas 0 =3y definamos la sucesión S k, ara k 0, de la siguiente manera: S k+1 = S 2 k. Entonces F m es rimo si, ysólo si, S 2 m 1 1(modF m ).

5 LA GACETA 451 Este algoritmo, a esar de ser tan eficiente como el de Lucas-Lehmer, no ha servido ara encontrar nuevos rimos de Fermat. De hecho, se tienen ocas eseranzas de encontrar más. La demostración de este teorema es bastante sencilla. Se requiere sin embargo el manejo de las roiedades básicas del símbolo de Legendre, y de la Ley de Recirocidad Cuadrática, que enunciaremos a continuación. LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA La Ley de Recirocidad Cuadrática fue enunciada or Euler y demostrada or rimera vez or Gauss, hacia finales del siglo XVIII. Éste es uno de los resultados centrales de la Teoría de Números, y se han ublicado hasta ahora más de 150 demostraciones del mismo, las rimeras de las cuales se encuentran en el libro de Disquisitiones Arithmeticae, del roio Gauss. Sea un número rimo imar. Sea a un entero no divisible or. Sedice que a es un residuo cuadrático módulo si la ecuación x 2 a (mod ) tiene solución. En caso contrario se dice que a es un residuo no cuadrático módulo. Legendre ( ) introdujo el hoy llamado símbolo de Legendre ( de ) la siguiente manera: a =1sia es un residuo cuadrático módulo y a = 1 sia es un residuo no cuadrático módulo. Elsímbolo de Legendre tiene las siguientes roiedades elementales: ( ) ( ) 1) Si a b (mod ) entonces a = b. ( ) 2) a a ( 1)/2 (mod ). ( ) ( )( ) 3) Si no divide a ab entonces ab = a b. Con esta notación enunciamos la famosa Ley de Recirocidad Cuadrática. Ley de ( Recirocidad ) Cuadrática (LRC): Sean y q rimos imares. 1) 1 =( 1) ( 1)/2. ( 2) 2 ) =( 1) ( ( ) 3) q ) =( 1) 1 q q Esta ley rovee un eficiente algoritmo ara determinar si un rimo q es o no, ) un residuo cuadrático módulo, erosi y q son grandes, el cálculo de uede requerir de sucesivas alicaciones de la LRC y la factorización de ( q los números comuestos que van aareciendo comlicaría el cálculo. Esta dificultad se evita con una extensión de la LRC obtenida or Jacobi. Extendió lanoción de símbolo de Legendre a todos los números imares: Sea n un número imar y sea n = 1 s su descomosición en factores rimos. Sea a un entero, corimo con n. Se define el símbolo de Jacobi ( a n) or la

6 452 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS fórmula ( ( a a = n) 1 ) ( ) a. s El símbolo de Jacobi, que coincide con el de Legendre si n es rimo, satisface las roiedades 1) y 3) del símbolo de Legendre. Más aún, Jacobi demostróque el símbolo satisface la misma Ley de Recirocidad Cuadrática, reemlazando los rimos y q or cualquier ar de números imares n y m, corimos entre sí. Terminaremos esta sección demostrando las roiedades PM3 y PF2. Demostración de PM3: ( Sea ) q un divisor rimo de M.Porlaarte2)de la LRC basta mostrar que 2 q = 1. En la demostración de PM2 veíamos que, de la ecuación 2 1(modq), se deduce que divide a q 1. Más aún, como es imar, entonces divide a (q 1)/2, or lo que 2 q 1 2 ( ) 1(modq). Usando la roiedad 2) del símbolo de Legendre obtenemos 2 q =1. Demostración de PF2: Sea q un divisor de F m. Entonces 2 2m 1(modq), de donde se deduce que 2 tiene orden 2 m+1 módulo q. Sigueque2 m+1 divide a q 1ycomom 2, entonces resulta que q 1(mod8).PorlaLRC,se concluye que ( 2 q ) = 1, or lo que existe un entero a tal que a 2 2(modq). Como 2 tiene orden 2 m+1 (mod q), entonces a tiene orden 2 m+2 (mod q), de donde se obtiene el resultado deseado. LAS PRUEBAS DE PEPIN Y DE LUCAS-LEHMER. EXTENSIONES Contrariamente a lo ocurrido históricamente, en esta sección demostraremos rimero la rueba de Pein y una extensión suya conocida como el teorema de Proth. De la demostración de estos resultados extraeremos los elementos que nos ermitirán diseñar una estrategia que nos conducirá a una demostración de la Prueba de Lucas-Lehmer. Obsérvese que la Prueba de Pein uede enunciarse de la siguiente forma: Prueba de Pein: Sea m 1, F m =2 2m +1.Elnúmero F m es rimo si, y sólo si, se satisface 3 Fm (mod F m ). ( ) Demostración: ( ) Suongamos que F m es rimo. Usando la LRC obtenemos 3 F m = ( ) ( F m3 = 1 ) 3 = 1. De la roiedad 2) del símbolo de Legendre se deduce ( ). Recírocamente, suongamos que ( ) se satisface. Sea q un divisor rimo de F m. Por PG1, bastaría demostrar que q> F m ara concluir que F m es rimo. Obtenemos más que eso. En efecto, la hiótesis imlica que 3 Fm 1 2 = 3 22m 1 1(modq), or lo que la clase del 3 tiene orden

7 LA GACETA m = F m 1enelgruo(Z/qZ), de donde se deduce que F m 1 divide a q 1, lo que imlica que F m q. En 1878 Proth ublicó la siguiente extensión del teorema de Pein. ( Teorema de Proth: Sea n = A 2 m +1, 0 <A<2 m.seaa un entero tal que a ) n = 1, donde el símbolo es el de Jacobi. Entonces n es rimo si, y sólo si, a n 1 2 1(modn) ( ). Demostración: Si n es rimo, ( ) se deduce de la roiedad 2) del símbolo de Legendre. Recírocamente, suongamos que se satisface ( ). Obsérvese que A<2 m imlica que 2 m > n.seaq un divisor rimo de n. De( ) sigue que a n 1 2 =(a A ) 2m 1 1(modq), de donde se deduce que la clase de a A tiene orden 2 m en el gruo (Z/qZ). Entonces 2 m divide a q 1. En articular, q>2 m > n,orloquen es rimo. Analizaremos brevemente la estrategia emleada en la demostración de ambos teoremas. Al número n, cuya rimalidad queremos estudiar, se le asocia una ecuación en el gruo (Z/nZ). Las roiedades del símbolo de Legendre (incluyendo LRC en el caso de la rueba de Pein) ermiten deducir que la ecuación se satisface si n es rimo. Para el recíroco, el hecho fundamental es que n 1 es divisible or una otencia de 2 mayor que n, de donde se deduce eventualmente, que cualquier divisor rimo q de n también lo sería, lo cual sólo es osible si n es rimo. La misma metodología no uede alicarse a los números de Mersenne M, orque M 1=2 2 no es divisible or otencias grandes de 2. Pero si asociamos a M una ecuación en un gruo multilicativo de orden M +1 = 2, omúltilo de él, odemos tener éxito. Si M es rimo y R es el anillo de enteros algebraicos de una extensión cuadrática Q( ( d)deq, ) es un hecho básicodelateoría de estos anillos que la condición d M = 1 imlica que R/M R es un cuero finito de M 2 elementos. El gruo multilicativo (R/M R) es cíclico de orden M 2 1= (M +1)(M 1). Veremos ahora que d = 3 sirve nuestro roósito ara los números M,con rimo imar. Aún nos faltaría encontrar la ecuación que debe satisfacerse en el gruo. Usaremos el siguiente lema. Lema 1: Sea M =2 1, rimo imar. Entonces ( ) ( ) ( ) 3 2 = = 1, donde es el símbolo de Jacobi. M M Demostración: Es una consecuencia de LCR ara el símbolo de Jacobi. M

8 454 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS Sea R = Z[ 3]. Sea α =1+ 3, α =1 3. Obsérvese que αα = 2, α α = Obsérvese también que si M es rimo, entonces α M (1 + 3) M 1+ ) ( ) (3 M α (mod M ), M donde la congruencia ocurre en el anillo R. Estamos ahora en osición de demostrar el siguiente teorema, que incluye la Prueba de Lucas-Lehmer. Teorema: Sea un rimo imar. Las siguientes roosiciones son equivalentes: i) M es rimo ii) ( 2 3 ) (mod M ) iii) La ecuación definida or S 0 =4, S k+1 = Sk 2 2, k 0 satisface S 2 0 (mod M ). Demostración: i) ii) ( ) 2 ( 1) = ( 2) M 1 2 (αα) M 1 2 M ( M 1 α M+1) 2 ( M+1 α M 1) 2 (α/α) M+1 2 ( 2+ 3) 2 1 (2 3) 2 1 (mod M ) ii) i). Sea q un divisor rimo de M.SeaQ un ideal rimo de R que yace sobre q. La ecuación (2 3) 2 1 1(modQ) imlica que la clase de 2 3 tiene orden 2 en el gruo multilicativo (R/QR), cuyo orden divide a q 2 1. Sigue que 2 divide a (q +1)(q 1), de donde resulta q > M. La equivalencia entre iii) y ii) roviene de las siguientes observaciones: Los términos de la sucesión de iii) vienen dados or S k =(2 3) 2k + (2 + 3) 2k =(2 3) 2k +(2 3) 2k. (2 3) 2 2 +(2 3) (mod M )si,ysólo si, (2 3) (mod M ). Terminaremos esta sección enunciando una extensión de este resultado, análogo al teorema de Proth. Teorema: Sea n = A 2 m 1, A<2 m.sead un entero tal que ( d n) = 1. Sea R el anillo de enteros algebraicos de Q( d). Suongamos que α Ry denotamos or α al conjugado de α en Q( d). Suongamos que ( ) αα n = 1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) n es rimo. ii) (α/α) n+1 2 1(modn).

9 LA GACETA 455 iii) La sucesión definida or S 0 =(α/α) A +(α/α) A, S k+1 = Sk 2 2 ara k 0, satisface S m 2 0 (mod n). La demostración, que sigue los asos del teorema anterior, queda como ejercicio ara el lector. DESARROLLOS POSTERIORES: PRIMALIDAD DETERMINÍSTICA EN TIEMPOS MODERNOS Lucas extendió sus métodos ara estudiar la rimalidad de números de la forma n = A 3 m 1, A<3 m.más recientemente, desde la década de 1970, Hugh Williams desarrolló exhaustivamente la metodología de Lucas ara determinar la rimalidad de números de la forma n = A r m ± 1, A<r m, r rimo. La metodología emleada, y la mayor arte de sus resultados ueden encontrarse en su reciente libro [W]. Más recientemente, varios autores, entre los cuales me incluyo, han estudiado el roblema con una metodología diferente, que consiste en extender la resentada en este artículo, generalizando el teorema de Proth y usando las leyes de recirocidad de Eisenstein. Ambos métodos involucran aritmética en el anillo ciclotómico Z[ξ r ], donde ξ r es una raiz rimitiva r-ésima de la unidad. Unas ventajas que resentan los algoritmos basados en las generalizaciones del teorema de Proth sobre los anteriores es que son concetualmente más sencillos y se alican a una familia de números más grande. A rinciios de la década de los 80, Adleman, Pomerance y Rumely, desarrollaron un algoritmo, que robaron tiene comlejidad subexonencial, que ermite determinar la rimalidad de cualquier número n. Sus métodos consisten en asociar a n un conjunto de ecuaciones en un conjunto de gruos multilicativos, cuidadosamente seleccionados y extraer de éstas información sobre los osibles divisores de n, suficiente como ara determinar su rimalidad. Las ecuaciones se deducen a artir de roiedades de las sumas de Gauss y de Jacobi, elementos de anillos ciclotómicos. La validez del algoritmo se obtiene a artir de una ingeniosa alicación del rinciio de dualidad en gruos de caracteres. Cohen y Lenstra mejoraron e imlementaron el algoritmo en 1981, que hoy se conoce como el APRCL. Métodos determinísticos de rimalidad usando la teoría de curvas elíticas, han sido desarrollados en los últimos 20 años. De hecho, los resultados teóricos más interesantes se han obtenido sobre las bases de esta teoría. Ver [A-H]. El libro de Henry Cohen [C] contiene una descrición detallada, tanto de APRCL, como de los métodos con curvas elíticas. Para buscar rimos muy grandes, se siguen utilizando algoritmos que se restringen a familias más esecíficas, ues son algoritmos más eficientes. Para estas familias no sólo es imortante la comlejidad del algoritmo, sino una estimación más recisa del número de oeraciones modulares que debe efectuarse.

10 456 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS Varios roblemas, imortantes desde el unto de vista de la imlementación de estos algoritmos, siguen ocuando el tiemo de investigadores en el tema. BIBLIOGRAFÍA [A-H] ADLEMAN, L., HUANG, M., Recognizing rimes in random olynomial time, LN in Math 1512, Sringer-Verlag, Berlin, Heidelberg, [A-P-R ] ADLEMAN, L., POMERANCE, C., RAMELY, R., On distinghishing rime numbers from comosite numbers, Ann. of Math 117 (1983), [B] BRESSOUND, D., Factorization and Primality Testing, Sringer-Verlag, New York [B-B] BERRIZBEITIA, P., BERRY, T., Cubic Recirocity and generalized Lucas-Lehmer Test for rimality of A3 n ± 1, Proc. AMS 127 (1998), [B-O-T] BERRIZBEITIA, P., ODREMAN, M.,TENA, J., Primality Test for numbers M with alargeowerof5 dividing M 4 1, 1776 LNCS, Sringer 2000, [C] COHEN, H., A course in Comutational Algebraic Number Theory, Sringer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1993) [G] GUTHMANN, A., Effective Primality Test for Integers as the forms N = k3 n +1and N = k2 m 3 n +1, BIT 32 (1992), [L] LUCAS, E., Sur la recherche des grand nombre remiers, Assoc. Francaise. l Avanc. des Sciences, 5, (1876), [P] PEPIN, T. Sur la formule 2 2n +1, C.R. Acad. Sci. Paris, 85, (1877), [Pr] PROTH, F., Thèoréms sur les nombre remiers, C.R. Acad. Sci. Paris, 85, (1878) [R] RIBENBOIM, P., The Little Book of Big Primes, Sringer-Verlag, New York (1991) [W] WILLIAMS, H., Edouard Lucas and rimality testing, Canadian Mathematical Society Series of Monograhs and Advanced Texts, 22. AWiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, Pedro Berrizbeitia Deartamento de Matemáticas Universidad Simón Bolivar Caracas, Venezuela correo electrónico:

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