EL DIABLODELOSNÚMEROS

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "EL DIABLODELOSNÚMEROS"

Transcripción

1 LA GACETA 447 EL DIABLODELOSNÚMEROS Sección a cargo de Javier Cilleruelo Mateo Pruebas determinísticas de rimalidad or Pedro Berrizbeitia La búsqueda de rimos grandes, y en articular de rimos de la forma 2 n ± 1, es una historia muy antigua. En este artículo contaremos una equeña arte de esa historia y exlicaremos de qué maneralabúsqueda de rimos de esta familia ha contribuido al desarrollo de resultados más generales. Los rimos del tio 2 n 1 se conocen como rimos de Mersenne y los de la forma 2 n + 1 son llamados rimos de Fermat. Nos referiremos a las roiedades de los rimeros como PM y a las de los segundos como PF. Con PG nos referiremos a roiedades generales que son alicables a todo entero ositivo. La rimera roiedad de los números de la forma 2 n 1 es una observación bien conocida. PM1: Si n es comuesto entonces 2 n 1 también lo es. En efecto, esto se deduce de la identidad algebraica x m 1=(x 1)(x m x +1),conx =2 d, donde d es un divisor no trivial de n = md. Porlotanto,labúsquedaderimosdelaforma2 n 1serestringealos valores rimos de n. Para los rimeros rimos =2, 3, 5, 7, el número 2 1 también es rimo. Sin embargo, = 2047 es un número comuesto, 2047 = Ya en el año 1603, Pietro Cataldi había verificado que , y son rimos, y aventuró quelomismoocurría ara =23, 29 y 31. Se equivocó con 23 y 29, como verificó en 1640, Pierre de Fermat. Para determinar la rimalidad de un número se contaba con una sencilla herramienta, conocida ya or Eratóstenes, que llamaremos PG1. PG1: Si n es un número comuesto, entonces n tiene un divisor rimo que es menor o igual a n. Fermat introdujo el famoso resultado conocido como Pequeño teorema de Fermat, añadiendo una oderosa herramienta al estudio de la rimalidad, ues ermite, de una forma bastante eficiente, determinar que un número es

2 448 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS comuesto, sin necesidad de conocer ninguno de sus divisores. Lo enunciamos a continuación. PG2 (Pequeño Teorema de Fermat): Si es un número rimo, y a es un entero, entonces a a (mod ). Este resultado es muy conocido, y su demostración se enseña en los rimeroscursosdeálgebra. Para los roósitos de este artículo, conviene resentar la siguiente demostración: El resultado es trivial si a es múltilo de. Sino lo es, entonces el orden de a módulo es el orden de la clase de a en el gruo multilicativo (Z/Z) del cuero finito Z/Z. Este orden divide al orden del gruo multilicativo, que es 1, or lo que a 1 1(mod), de donde se obtiene el resultado deseado. A rimera vista el equeño teorema de Fermat uede no arecer muy útil, ues si n es grande, entonces a n es inmenso. Sin embargo, lo que se necesita calcular es a n (mod n) y ara efectuar ese cálculo, escribiendo el exonente n en base dos, uede deducirse fácilmente que basta efectuar a lo sumo 2 log 2 n multilicaciones módulo n, lo que es laborioso ero osible, aún ara valores relativamente grandes de n. La limitación rincial de este resultado, si quiere decirse así, es que nunca nos ermite concluir que n es rimo, sólo sirve ara mostrar que es comuesto. En 1644, en el rólogo de su libro Cogitata Physica-Matematica, el monje francés Marin Mersenne afirmó quesi 257 entonces 2 1esrimo si, y sólo si, =2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ó 257. A esar de que la lista de Mersenne también resultó ser incorrecta (ni están todos los que son, ni son todos los que están), los números de la forma M =2 1, con rimo, reciben el nombre de números de Mersenne. La lista correcta ara 257 no se obtuvo sino hasta 1947, en la era de la comutadora. Desviemos brevemente nuestra atención hacia los números de la forma 2 n +1. PF1: Si n no es una otencia de 2, entonces2 n +1 es comuesto. Esto se deduce de la identidad algebraica x 2k+1 +1=(x +1)(x 2k... + x 2 x +1),conx =2 n/(2k+1), donde 2k + 1 es un divisor imar de n. Los números de la forma F m =2 2m +1, m 0, son llamados números de Fermat. Si m =0, 1, 2, 3ó4,elnúmero F m es rimo. Fermat conjeturó que F m esrimoaratodom. Estaba equivocado. De los muchos resultados matemáticos que se sabe Fermat anunció, éste es el único que no es correcto. Euler mostró quef 5 es comuesto, y hasta el día de hoy no se ha encontrado ningún otro rimo de Fermat aarte de los ya mencionados. Euler también mostró quem 31 es rimo. Para ello, Euler tuvo que comrobar que M 31 no tiene divisores rimos menores que M 31. Sin embargo, encontró roiedades de los números de Mersenne que le ermitió restringirla búsqueda de divisores rimos a ciertas rogresiones aritméticas. Lo que Euler mostró fueron las siguientes dos roiedades.

3 LA GACETA 449 PM2: Todo divisor rimo q de M satisface q 1(mod). Para ver esto obsérvese que si q es un divisor rimo de M, entonces se cumle que 2 1(modq). Como q 2, resulta que 2 tiene orden módulo q, orloque divide al orden del gruo (Z/qZ),queesq 1. PM3: Todo divisor rimo q de M, rimo imar, satisface q ±1(mod 8). Presentaremos una demostración al final de la siguiente sección. De las roiedades PM2 y PM3, Euler concluyó que los osibles divisores rimos q de M 31 debían satisfacer q 1 (mod 248) o q 63 (mod 248). Lo demás fue un cálculo ara finalmente verificar que M 31 es, en efecto, rimo. Euler encontró ydemostró roiedades análogas ara los números de Fermat, que le ermitió luego encontrar un factor rimo de F 5. Estas roiedades, que demostraremos más adelante, se resumen en la siguiente: PF2: Todo divisor rimo q de F m, m 2, satisface q 1(mod2 m+2 ). El trabajo de Euler fue realizado hacia 1770, más de 100 años desués de que Mersenne y Fermat hubieran hecho sus resectivas afirmaciones. Se necesitaba una idea nueva ara estudiar la rimalidad de los siguientes números de la lista original de Mersenne. Otros 100 años asaron, hasta que Eduardo Lucas, en 1876, verificó que M 127 es rimo (el número anterior de la lista de Mersenne, M 67 resultó ser comuesto). Lucas no hubiera odido realizar esto con la metodología emleada or Euler, ues M 127 es demasiado grande. De hecho, la metodología de Euler no uede utilizarse, ni siquiera haciendo uso de las comutadoras más modernas. En efecto, Lucas había descubierto una magnífica roiedad de los números de Mersenne, que ermitía determinar la rimalidad de esos números, sin necesidad de tener que dividir or todos los números rimos menores que M. PM4 (Teorema de Lucas): Sea S 0 =4y definamos la sucesión S k, ara k 0, de la siguiente manera: S k+1 = S 2 k 2. Si S 2 0(modM ) entonces M es rimo. Con este resultado, y un cálculo que no deja de ser monumental ara haber sido hecho a mano, Lucas demostró quem 127 es rimo. Posteriormente, ya en el siglo XX, D. H. Lehmer demostró que la condición de Lucas ara determinar la rimalidad de M también es necesaria. Por ello, el teorema, que da una condición necesaria y suficiente ara determinar la rimalidad de M, se conoce hoy como la Prueba de Lucas-Lehmer. La demostración original que Lucas dio de su teorema se basa en el estudio de las roiedades de las hoy conocidas como sucesiones de Lucas. Varios libros modernos, como [R], [B], [W], resentan ese esquema de demostración. En este artículo daremos una demostración diferente, creemos que más sencilla y clara. Pero antes sigamos con un oco de historia. En 1883, Pervouchine mostró quem 61, que no estaba

4 450 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS Eduardo Lucas en la lista de Mersenne, también es rimo. En el siglo XX, Powers mostró que también M 89 y M 107 son rimos. También estos rimos se le habían escaado a Mersenne. Por el contrario, M 257, que aarecía en la lista original de Mersenne ha resultado ser un número comuesto. La lista comleta de los rimos de Mersenne con 257 es la siguiente: =2, 3, 5, 6, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. El interés en la búsqueda de rimos grandes, y en articular de rimos de Mersenne, se ha mantenido hasta nuestros días. Los rogresos desués de Lucas han consistido rincialmente en mejoras en los algoritmos de multilicación modular, en ingeniosas formas de organizar la búsqueda, y el hallazgo de nuevos rimos ha sido osible también gracias al incremento en el oder comutacional de las máquinas. El algoritmo de Lucas sigue siendo la clave, resente en todas las búsquedas. Hoy se conocen 38 rimos de Mersenne, los 37 rimeros son los 37 más equeños. El último, el rimo más grande conocido hasta ahora es M , encontrado or Hajratwala, Woltman, Kurowsky et al, con el llamado GIMPS (the Great Internet Mersenne Prime Search) en No se sabe aún si existe algún otro rimo de Mersenne entre este rimo yelnúmero37delalista. En 1877, Teófilo Pein descubrió un resultado análogo a la Prueba de Lucas-Lehmer ara los números de Fermat: PF3 (Prueba de Pein): Sea m 1, seas 0 =3y definamos la sucesión S k, ara k 0, de la siguiente manera: S k+1 = S 2 k. Entonces F m es rimo si, ysólo si, S 2 m 1 1(modF m ).

5 LA GACETA 451 Este algoritmo, a esar de ser tan eficiente como el de Lucas-Lehmer, no ha servido ara encontrar nuevos rimos de Fermat. De hecho, se tienen ocas eseranzas de encontrar más. La demostración de este teorema es bastante sencilla. Se requiere sin embargo el manejo de las roiedades básicas del símbolo de Legendre, y de la Ley de Recirocidad Cuadrática, que enunciaremos a continuación. LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA La Ley de Recirocidad Cuadrática fue enunciada or Euler y demostrada or rimera vez or Gauss, hacia finales del siglo XVIII. Éste es uno de los resultados centrales de la Teoría de Números, y se han ublicado hasta ahora más de 150 demostraciones del mismo, las rimeras de las cuales se encuentran en el libro de Disquisitiones Arithmeticae, del roio Gauss. Sea un número rimo imar. Sea a un entero no divisible or. Sedice que a es un residuo cuadrático módulo si la ecuación x 2 a (mod ) tiene solución. En caso contrario se dice que a es un residuo no cuadrático módulo. Legendre ( ) introdujo el hoy llamado símbolo de Legendre ( de ) la siguiente manera: a =1sia es un residuo cuadrático módulo y a = 1 sia es un residuo no cuadrático módulo. Elsímbolo de Legendre tiene las siguientes roiedades elementales: ( ) ( ) 1) Si a b (mod ) entonces a = b. ( ) 2) a a ( 1)/2 (mod ). ( ) ( )( ) 3) Si no divide a ab entonces ab = a b. Con esta notación enunciamos la famosa Ley de Recirocidad Cuadrática. Ley de ( Recirocidad ) Cuadrática (LRC): Sean y q rimos imares. 1) 1 =( 1) ( 1)/2. ( 2) 2 ) =( 1) ( ( ) 3) q ) =( 1) 1 q q Esta ley rovee un eficiente algoritmo ara determinar si un rimo q es o no, ) un residuo cuadrático módulo, erosi y q son grandes, el cálculo de uede requerir de sucesivas alicaciones de la LRC y la factorización de ( q los números comuestos que van aareciendo comlicaría el cálculo. Esta dificultad se evita con una extensión de la LRC obtenida or Jacobi. Extendió lanoción de símbolo de Legendre a todos los números imares: Sea n un número imar y sea n = 1 s su descomosición en factores rimos. Sea a un entero, corimo con n. Se define el símbolo de Jacobi ( a n) or la

6 452 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS fórmula ( ( a a = n) 1 ) ( ) a. s El símbolo de Jacobi, que coincide con el de Legendre si n es rimo, satisface las roiedades 1) y 3) del símbolo de Legendre. Más aún, Jacobi demostróque el símbolo satisface la misma Ley de Recirocidad Cuadrática, reemlazando los rimos y q or cualquier ar de números imares n y m, corimos entre sí. Terminaremos esta sección demostrando las roiedades PM3 y PF2. Demostración de PM3: ( Sea ) q un divisor rimo de M.Porlaarte2)de la LRC basta mostrar que 2 q = 1. En la demostración de PM2 veíamos que, de la ecuación 2 1(modq), se deduce que divide a q 1. Más aún, como es imar, entonces divide a (q 1)/2, or lo que 2 q 1 2 ( ) 1(modq). Usando la roiedad 2) del símbolo de Legendre obtenemos 2 q =1. Demostración de PF2: Sea q un divisor de F m. Entonces 2 2m 1(modq), de donde se deduce que 2 tiene orden 2 m+1 módulo q. Sigueque2 m+1 divide a q 1ycomom 2, entonces resulta que q 1(mod8).PorlaLRC,se concluye que ( 2 q ) = 1, or lo que existe un entero a tal que a 2 2(modq). Como 2 tiene orden 2 m+1 (mod q), entonces a tiene orden 2 m+2 (mod q), de donde se obtiene el resultado deseado. LAS PRUEBAS DE PEPIN Y DE LUCAS-LEHMER. EXTENSIONES Contrariamente a lo ocurrido históricamente, en esta sección demostraremos rimero la rueba de Pein y una extensión suya conocida como el teorema de Proth. De la demostración de estos resultados extraeremos los elementos que nos ermitirán diseñar una estrategia que nos conducirá a una demostración de la Prueba de Lucas-Lehmer. Obsérvese que la Prueba de Pein uede enunciarse de la siguiente forma: Prueba de Pein: Sea m 1, F m =2 2m +1.Elnúmero F m es rimo si, y sólo si, se satisface 3 Fm (mod F m ). ( ) Demostración: ( ) Suongamos que F m es rimo. Usando la LRC obtenemos 3 F m = ( ) ( F m3 = 1 ) 3 = 1. De la roiedad 2) del símbolo de Legendre se deduce ( ). Recírocamente, suongamos que ( ) se satisface. Sea q un divisor rimo de F m. Por PG1, bastaría demostrar que q> F m ara concluir que F m es rimo. Obtenemos más que eso. En efecto, la hiótesis imlica que 3 Fm 1 2 = 3 22m 1 1(modq), or lo que la clase del 3 tiene orden

7 LA GACETA m = F m 1enelgruo(Z/qZ), de donde se deduce que F m 1 divide a q 1, lo que imlica que F m q. En 1878 Proth ublicó la siguiente extensión del teorema de Pein. ( Teorema de Proth: Sea n = A 2 m +1, 0 <A<2 m.seaa un entero tal que a ) n = 1, donde el símbolo es el de Jacobi. Entonces n es rimo si, y sólo si, a n 1 2 1(modn) ( ). Demostración: Si n es rimo, ( ) se deduce de la roiedad 2) del símbolo de Legendre. Recírocamente, suongamos que se satisface ( ). Obsérvese que A<2 m imlica que 2 m > n.seaq un divisor rimo de n. De( ) sigue que a n 1 2 =(a A ) 2m 1 1(modq), de donde se deduce que la clase de a A tiene orden 2 m en el gruo (Z/qZ). Entonces 2 m divide a q 1. En articular, q>2 m > n,orloquen es rimo. Analizaremos brevemente la estrategia emleada en la demostración de ambos teoremas. Al número n, cuya rimalidad queremos estudiar, se le asocia una ecuación en el gruo (Z/nZ). Las roiedades del símbolo de Legendre (incluyendo LRC en el caso de la rueba de Pein) ermiten deducir que la ecuación se satisface si n es rimo. Para el recíroco, el hecho fundamental es que n 1 es divisible or una otencia de 2 mayor que n, de donde se deduce eventualmente, que cualquier divisor rimo q de n también lo sería, lo cual sólo es osible si n es rimo. La misma metodología no uede alicarse a los números de Mersenne M, orque M 1=2 2 no es divisible or otencias grandes de 2. Pero si asociamos a M una ecuación en un gruo multilicativo de orden M +1 = 2, omúltilo de él, odemos tener éxito. Si M es rimo y R es el anillo de enteros algebraicos de una extensión cuadrática Q( ( d)deq, ) es un hecho básicodelateoría de estos anillos que la condición d M = 1 imlica que R/M R es un cuero finito de M 2 elementos. El gruo multilicativo (R/M R) es cíclico de orden M 2 1= (M +1)(M 1). Veremos ahora que d = 3 sirve nuestro roósito ara los números M,con rimo imar. Aún nos faltaría encontrar la ecuación que debe satisfacerse en el gruo. Usaremos el siguiente lema. Lema 1: Sea M =2 1, rimo imar. Entonces ( ) ( ) ( ) 3 2 = = 1, donde es el símbolo de Jacobi. M M Demostración: Es una consecuencia de LCR ara el símbolo de Jacobi. M

8 454 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS Sea R = Z[ 3]. Sea α =1+ 3, α =1 3. Obsérvese que αα = 2, α α = Obsérvese también que si M es rimo, entonces α M (1 + 3) M 1+ ) ( ) (3 M α (mod M ), M donde la congruencia ocurre en el anillo R. Estamos ahora en osición de demostrar el siguiente teorema, que incluye la Prueba de Lucas-Lehmer. Teorema: Sea un rimo imar. Las siguientes roosiciones son equivalentes: i) M es rimo ii) ( 2 3 ) (mod M ) iii) La ecuación definida or S 0 =4, S k+1 = Sk 2 2, k 0 satisface S 2 0 (mod M ). Demostración: i) ii) ( ) 2 ( 1) = ( 2) M 1 2 (αα) M 1 2 M ( M 1 α M+1) 2 ( M+1 α M 1) 2 (α/α) M+1 2 ( 2+ 3) 2 1 (2 3) 2 1 (mod M ) ii) i). Sea q un divisor rimo de M.SeaQ un ideal rimo de R que yace sobre q. La ecuación (2 3) 2 1 1(modQ) imlica que la clase de 2 3 tiene orden 2 en el gruo multilicativo (R/QR), cuyo orden divide a q 2 1. Sigue que 2 divide a (q +1)(q 1), de donde resulta q > M. La equivalencia entre iii) y ii) roviene de las siguientes observaciones: Los términos de la sucesión de iii) vienen dados or S k =(2 3) 2k + (2 + 3) 2k =(2 3) 2k +(2 3) 2k. (2 3) 2 2 +(2 3) (mod M )si,ysólo si, (2 3) (mod M ). Terminaremos esta sección enunciando una extensión de este resultado, análogo al teorema de Proth. Teorema: Sea n = A 2 m 1, A<2 m.sead un entero tal que ( d n) = 1. Sea R el anillo de enteros algebraicos de Q( d). Suongamos que α Ry denotamos or α al conjugado de α en Q( d). Suongamos que ( ) αα n = 1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) n es rimo. ii) (α/α) n+1 2 1(modn).

9 LA GACETA 455 iii) La sucesión definida or S 0 =(α/α) A +(α/α) A, S k+1 = Sk 2 2 ara k 0, satisface S m 2 0 (mod n). La demostración, que sigue los asos del teorema anterior, queda como ejercicio ara el lector. DESARROLLOS POSTERIORES: PRIMALIDAD DETERMINÍSTICA EN TIEMPOS MODERNOS Lucas extendió sus métodos ara estudiar la rimalidad de números de la forma n = A 3 m 1, A<3 m.más recientemente, desde la década de 1970, Hugh Williams desarrolló exhaustivamente la metodología de Lucas ara determinar la rimalidad de números de la forma n = A r m ± 1, A<r m, r rimo. La metodología emleada, y la mayor arte de sus resultados ueden encontrarse en su reciente libro [W]. Más recientemente, varios autores, entre los cuales me incluyo, han estudiado el roblema con una metodología diferente, que consiste en extender la resentada en este artículo, generalizando el teorema de Proth y usando las leyes de recirocidad de Eisenstein. Ambos métodos involucran aritmética en el anillo ciclotómico Z[ξ r ], donde ξ r es una raiz rimitiva r-ésima de la unidad. Unas ventajas que resentan los algoritmos basados en las generalizaciones del teorema de Proth sobre los anteriores es que son concetualmente más sencillos y se alican a una familia de números más grande. A rinciios de la década de los 80, Adleman, Pomerance y Rumely, desarrollaron un algoritmo, que robaron tiene comlejidad subexonencial, que ermite determinar la rimalidad de cualquier número n. Sus métodos consisten en asociar a n un conjunto de ecuaciones en un conjunto de gruos multilicativos, cuidadosamente seleccionados y extraer de éstas información sobre los osibles divisores de n, suficiente como ara determinar su rimalidad. Las ecuaciones se deducen a artir de roiedades de las sumas de Gauss y de Jacobi, elementos de anillos ciclotómicos. La validez del algoritmo se obtiene a artir de una ingeniosa alicación del rinciio de dualidad en gruos de caracteres. Cohen y Lenstra mejoraron e imlementaron el algoritmo en 1981, que hoy se conoce como el APRCL. Métodos determinísticos de rimalidad usando la teoría de curvas elíticas, han sido desarrollados en los últimos 20 años. De hecho, los resultados teóricos más interesantes se han obtenido sobre las bases de esta teoría. Ver [A-H]. El libro de Henry Cohen [C] contiene una descrición detallada, tanto de APRCL, como de los métodos con curvas elíticas. Para buscar rimos muy grandes, se siguen utilizando algoritmos que se restringen a familias más esecíficas, ues son algoritmos más eficientes. Para estas familias no sólo es imortante la comlejidad del algoritmo, sino una estimación más recisa del número de oeraciones modulares que debe efectuarse.

10 456 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS Varios roblemas, imortantes desde el unto de vista de la imlementación de estos algoritmos, siguen ocuando el tiemo de investigadores en el tema. BIBLIOGRAFÍA [A-H] ADLEMAN, L., HUANG, M., Recognizing rimes in random olynomial time, LN in Math 1512, Sringer-Verlag, Berlin, Heidelberg, [A-P-R ] ADLEMAN, L., POMERANCE, C., RAMELY, R., On distinghishing rime numbers from comosite numbers, Ann. of Math 117 (1983), [B] BRESSOUND, D., Factorization and Primality Testing, Sringer-Verlag, New York [B-B] BERRIZBEITIA, P., BERRY, T., Cubic Recirocity and generalized Lucas-Lehmer Test for rimality of A3 n ± 1, Proc. AMS 127 (1998), [B-O-T] BERRIZBEITIA, P., ODREMAN, M.,TENA, J., Primality Test for numbers M with alargeowerof5 dividing M 4 1, 1776 LNCS, Sringer 2000, [C] COHEN, H., A course in Comutational Algebraic Number Theory, Sringer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1993) [G] GUTHMANN, A., Effective Primality Test for Integers as the forms N = k3 n +1and N = k2 m 3 n +1, BIT 32 (1992), [L] LUCAS, E., Sur la recherche des grand nombre remiers, Assoc. Francaise. l Avanc. des Sciences, 5, (1876), [P] PEPIN, T. Sur la formule 2 2n +1, C.R. Acad. Sci. Paris, 85, (1877), [Pr] PROTH, F., Thèoréms sur les nombre remiers, C.R. Acad. Sci. Paris, 85, (1878) [R] RIBENBOIM, P., The Little Book of Big Primes, Sringer-Verlag, New York (1991) [W] WILLIAMS, H., Edouard Lucas and rimality testing, Canadian Mathematical Society Series of Monograhs and Advanced Texts, 22. AWiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, Pedro Berrizbeitia Deartamento de Matemáticas Universidad Simón Bolivar Caracas, Venezuela correo electrónico:

Capítulo 3. Congruencias. 3.1. Clases residuales

Capítulo 3. Congruencias. 3.1. Clases residuales Caítulo 3 Congruencias 3.1. Clases residuales En su obra Disquisitiones Arithmeticae, ublicada en el año 1801, Gauss introdujo el conceto de congruencia. Suongamos que a, b y m > 0 son números enteros.

Más detalles

Polinomios cuadráticos en F p

Polinomios cuadráticos en F p Polinomios cuadráticos en F Mario Pineda Ruelas Deartamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metroolitana-Iztaalaa correo electrónico: mr@xanum.uam.mx Gabriel D. Villa Salvador Deartamento de Control

Más detalles

Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 2009

Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 2009 Matemática: Teórico 009 Seguramente el lector ya conoce estructuras numéricas, naturales, enteros, racionales. Sus diferencias y carencias. Qué hizo necesario la creación de una estructura aún más amlia

Más detalles

CONVERGENCIA ESTOCÁSTICA Y TEOREMAS LIMITE. Estadística aplicada a la empresa I Prof. D. Juan José Pérez Castejón

CONVERGENCIA ESTOCÁSTICA Y TEOREMAS LIMITE. Estadística aplicada a la empresa I Prof. D. Juan José Pérez Castejón CONVERGENCIA ESTOCÁSTICA Y TEOREMAS IMITE. Estadística alicada a la emresa I Prof. D. Juan José Pérez Castejón 1 CONVERGENCIA ESTOCÁSTICA Y TEOREMAS IMITE. En este tema se ersigue introducir el conceto

Más detalles

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Alicaciones de las derivadas Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (molinas@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Concetos Ejemlos Alicaciones de las Derivadas

Más detalles

9. Lección 9: Cambios de Fase

9. Lección 9: Cambios de Fase 9. Lección 9: Cambios de Fase Cuando un sistema consiste de más de una fase, cada fase uede ser considerada como un sistema searado del todo. Los arámetros termodinámicos del sistema entero ueden ser construidos

Más detalles

Matemáticas para detectar y corregir errores

Matemáticas para detectar y corregir errores htt://www.sinewton.org/numeros ISSN: 887-98 Volumen 7, agosto de 009, áginas 87 00 Matemáticas ara detectar y corregir errores Miel Lezaun Iturralde (Universidad del País Vasco) Fecha de receción: 8 de

Más detalles

Capítulo 4. Diseño de filtros digitales 1

Capítulo 4. Diseño de filtros digitales 1 53 Caítulo 4 Diseño de filtros digitales 1 Diseñar un filtro consiste en encontrar su función de transferencia (realizable y estable) ara su osterior realización mediante una estructura adecuada. En la

Más detalles

Unidad 5. Aplicaciones de las derivadas. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno:

Unidad 5. Aplicaciones de las derivadas. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno: Unidad 5 Alicaciones de las derivadas Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Resolverá roblemas de ingreso utilizando el ingreso marginal. Resolverá roblemas de costos utilizando el costo marginal

Más detalles

Cálculo del poder estadístico de un estudio

Cálculo del poder estadístico de un estudio Investigación: Cálculo del oder estadístico de un estudio /7 Cálculo del oder estadístico de un estudio Pértegas Día, S. sertega@canalejo.org, Pita Fernánde, S. sita@canalejo.org Unidad de Eidemiología

Más detalles

Tema 4. Experimentos aleatorios. Cálculo de probabilidades.

Tema 4. Experimentos aleatorios. Cálculo de probabilidades. Tema 4. Exerimentos aleatorios. Cálculo de robabilidades. Indice 1. Tios de sucesos. Sucesos robabilísticos.... 2 2. Álgebra de oole... 2 2.1. efiniciones... 2 2.2. Oeraciones. Tios de sucesos... 3 2.3.

Más detalles

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 1

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 1 APROBADO EN EL CONSEJO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS ACTA 13 DEL 21 ABRIL 2010AIDEL PROGRAMAS DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS El presente formato tiene la finalidad

Más detalles

CORRELATION COPROCESSOR BASED ON FPGA COPROCESADOR DE CORRELACIÓN BASADO EN FPGA. fenrique@uacj.mx, rblanco@uacj.mx

CORRELATION COPROCESSOR BASED ON FPGA COPROCESADOR DE CORRELACIÓN BASADO EN FPGA. fenrique@uacj.mx, rblanco@uacj.mx ISSN: 69-757 Volumen Número 5 año - 005 CRREATIN CRCESSR BASED N FGA CRCESADR DE CRREACIÓN BASAD EN FGA Miguel. Arias Estrada, Francisco J. Enríquez Aguilera,, Ricardo E. érez Blanco. INAE, Coordinación

Más detalles

APROXIMACIÓN A LOS NÚMEROS PRIMOS. Pregunta de examen: El producto de dos números primos, es primo?

APROXIMACIÓN A LOS NÚMEROS PRIMOS. Pregunta de examen: El producto de dos números primos, es primo? APROXIMACIÓN A LOS NÚMEROS PRIMOS Pregunta de examen: El producto de dos números primos, es primo? Respuesta (un tanto airada) de un alumno: Pero, primos de quién? Francisco Bellot Rosado La lectura del

Más detalles

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5.

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5. 11 1.3. Factorización Como ya hemos mencionado, la teoría de ideales surgió en relación con ciertos problemas de factorización en anillos. A título meramente ilustrativo, nótese que por ejemplo hallar

Más detalles

M(1), Construcción de una 2-forma diferencial para las órbitas

M(1), Construcción de una 2-forma diferencial para las órbitas Construcción de una 2-forma diferencial ara las órbitas Pensamiento Actual. Universidad de Costa Rica. Volumen 11 - No. 16-17, 2011 ISSN 2215-3586 65-80 Construcción coadjuntas de de una los2-forma gruos

Más detalles

CAPÍTULO 4: FIJACIÓN DE LAS PRIMAS Y ANÁLISIS DE LA VARIABLE BORROSO ALEATORIA

CAPÍTULO 4: FIJACIÓN DE LAS PRIMAS Y ANÁLISIS DE LA VARIABLE BORROSO ALEATORIA arte III: Análisis de la determinación de las rimas en los seguros de vida y de la solvencia dinámica del asegurador cuando los tios de interés de valoración vienen estimados a través de números borrosos

Más detalles

sección página desplazamiento

sección página desplazamiento 1 1.- PROBLEMA (30%) Un sistema de gestion de memoria soorta esacios de direcciones logicas de 32 bits y un modelo de memoria aginado con tama~nos de agina de 4K bytes. Con estos datos, la tabla de aginas

Más detalles

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS Objetivos generales del tema En este tema definiremos y discutiremos diversas e imortantes distribuciones discretas, es decir, funciones masa de robabilidad o funciones

Más detalles

T-22: COMPORTAMIENTO IDEAL DE SISTEMAS GASEOSOS

T-22: COMPORTAMIENTO IDEAL DE SISTEMAS GASEOSOS T-22: COMPORTAMIENTO IDEAL DE SISTEMAS GASEOSOS 1. Estados de equilibrio de un sistema. ariables de estado. Transformaciones 1 2. Ecuación de estado ara comortamiento ideal de un gas 2 3. olumen molar

Más detalles

RENDIMIENTO de TRANSFORMADORES

RENDIMIENTO de TRANSFORMADORES ENDMENTO de TANSFOMADOES Norberto A. Lemozy NTODCCÓN El conocimiento del rendimiento de cualquier máquina, disositivo o sistema tiene una gran imortancia or el valor económico que ello reorta, tanto desde

Más detalles

Tema nº 10. Acciones Básicas de Control. Vicente Gómez Garay Dpto. de Ingeniería de Sistemas y Automática

Tema nº 10. Acciones Básicas de Control. Vicente Gómez Garay Dpto. de Ingeniería de Sistemas y Automática Tema nº 10 Acciones Básicas de Control Vicente Gómez Garay Dto. de Ingeniería de Sistemas y Automática Este tema forma arte de los auntes de teoría de la asignatura Automatización de Procesos Industriales,

Más detalles

ESTUDIO DE LA MÁQUINA DE C.C.

ESTUDIO DE LA MÁQUINA DE C.C. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS DE SAN SEBASTIÁN TECNUN UNIVERSIDAD DE NAVARRA Práctica nº 3: Sistemas Eléctricos ESTUDIO DE LA MÁQUINA DE C.C. Sistemas Eléctricos 2009-2010. La Máquina de Corriente Continua

Más detalles

El anillo de los enteros algebraicos y dominios de Dedekind

El anillo de los enteros algebraicos y dominios de Dedekind El anillo de los enteros algebraicos y dominios de Dedekind Trabajo de Grado Autor: Jorge Eliécer Gómez Ríos Director: Dr. Héctor Edonis Pinedo Tapia Universidad Industrial de Santander Facultad de Ciencias

Más detalles

Modelo para la ubicación de aerogeneradores y paneles fotovoltaicos en proyectos de electrificación rural con microrredes

Modelo para la ubicación de aerogeneradores y paneles fotovoltaicos en proyectos de electrificación rural con microrredes Modelo ara la ubicación de aerogeneradores y aneles fotovoltaicos en royectos de electrificación rural con microrredes Pág.1 Resumen Una tercera arte de la oblación mundial, casi en su totalidad en comunidades

Más detalles

Maximización n de la Utilidad

Maximización n de la Utilidad aimización n de la Utilidad icroeconomía Eco. Douglas Ramírez Los elementos básicos Hemos descrito hasta el momento los elementos básicos del roblema de decisión del consumidor Su conjunto de elección

Más detalles

EL PRIMER ESLABÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN LASFACULTADES DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES: LOS ANÁLISIS ECONÓMICOS LINEALES

EL PRIMER ESLABÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN LASFACULTADES DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES: LOS ANÁLISIS ECONÓMICOS LINEALES El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Emresariales: Los Análisis EL PRIMER ESLABÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN LASFACULTADES DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES: LOS ANÁLISIS

Más detalles

11. CAMBIOS DE FASE. Transiciones de fase de primer orden en sistemas de un componente. 11. Cambios de fase

11. CAMBIOS DE FASE. Transiciones de fase de primer orden en sistemas de un componente. 11. Cambios de fase 11. CAMBIOS DE FASE Discutiremos en este Caítulo las transiciones de fase y el equilibrio de fases, o sea el estudio de las condiciones bajo las cuales ueden coexistir dos o más fases. Entre los temas

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE MATEMÁTICAS MISIÓN

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE MATEMÁTICAS MISIÓN UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE MATEMÁTICAS MISIÓN Formar profesionales altamente capacitados, desarrollar investigación y realizar actividades de extensión, en Matemáticas y Computación, así

Más detalles

Semestre Económico ISSN: 0120-6346 semestreeconomico@udem.edu.co Universidad de Medellín Colombia

Semestre Económico ISSN: 0120-6346 semestreeconomico@udem.edu.co Universidad de Medellín Colombia Semestre Económico ISSN: 00-6346 semestreeconomico@udem.edu.co Universidad de Medellín Colombia Cárcamo C., Ulises LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA TEORÍA DE LAS FINANZAS (II): INCLUYENDO INCERTIDUMBRE

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

RESUMEN TEMA 8: TERMODINÁMICA. MÁQUINA TÉRMICA Y MÁQUINA FRIGORÍFICA. 1.- Transformación de un sistema termodinámico

RESUMEN TEMA 8: TERMODINÁMICA. MÁQUINA TÉRMICA Y MÁQUINA FRIGORÍFICA. 1.- Transformación de un sistema termodinámico Deartamento de Tecnología. IS Nuestra Señora de la Almudena Mª Jesús Saiz RSUMN TMA 8: TRMODINÁMICA. MÁUINA TÉRMICA Y MÁUINA FRIGORÍFICA La termodinámica es la arte de la física que se ocua de las relaciones

Más detalles

Índice general. Introducción. I. Números curiosos 1 1. Manejo de números... 2 2. Números amigos... 6. Índice alfabético 17

Índice general. Introducción. I. Números curiosos 1 1. Manejo de números... 2 2. Números amigos... 6. Índice alfabético 17 Índice general Introducción I I. Números curiosos 1 1. Manejo de números................................... 2 2. Números amigos..................................... 6 Índice alfabético 17 Capítulo I Números

Más detalles

La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx

La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx Resumen Se dan algunas definiciones básicas relacionadas con la divisibilidad

Más detalles

INDICE Capitulo. 0. Algunas Palabras Preliminares Parte I. Grupos Capitulo 1. Operaciones Binarias Capitulo 2. Grupos Capitulo 3.

INDICE Capitulo. 0. Algunas Palabras Preliminares Parte I. Grupos Capitulo 1. Operaciones Binarias Capitulo 2. Grupos Capitulo 3. INDICE Capitulo. 0. Algunas Palabras Preliminares 1 0.1. El papel de las definiciones 1 0.2. Conjuntos 2 0.3. Participaciones y relaciones de equivalencia 4 Parte I. Grupos 10 Capitulo 1. Operaciones Binarias

Más detalles

Regresión Logística. Introducción

Regresión Logística. Introducción Introducción En este tema estudiaremos cómo construir y analizar un modelo de regresión que retende reresentar la deendencia lineal de una variable resuesta con dos categorías (dicotómica) resecto a otras

Más detalles

El Cáncer al Pulmón en el Ecuador

El Cáncer al Pulmón en el Ecuador "Detección y análisis estadístico de los rinciales factores que inciden en el cáncer al ulmón" Por: Juan Javier Laínez Bolaños. Coautor: Mat. John Ramírez. Ingeniero en Estadística Informática. Director

Más detalles

Números de Bernoulli

Números de Bernoulli Números de Bernoulli Un estudio sobre su importancia, consecuencias y algunas aplicaciones en la Teoría de Números David José Fernández Bretón Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico

Más detalles

Los sistemas de gestión y sus vías de difusión. Aplicación a la difusión de la gestión de la Responsabilidad Social Corporativa en el sector hotelero*

Los sistemas de gestión y sus vías de difusión. Aplicación a la difusión de la gestión de la Responsabilidad Social Corporativa en el sector hotelero* 1 X Congreso de Ingeniería de Organización Valencia, 7 y 8 de setiembre de 2006 Los sistemas de gestión y sus vías de difusión. Alicación a la difusión de la gestión de la Resonsabilidad Social Cororativa

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA Y MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA Y MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA Y MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN ISMAEL GARCÍA MARTÍN PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA Prólogo PRÓLOGO Tanto en su vida diaria como, sobre todo, en la investigación científica, el hombre

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRÓNICA LABORATORIO DE CIRCUITOS II PRÁCTICA N 6 " FILTROS ACTIVOS "

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRÓNICA LABORATORIO DE CIRCUITOS II PRÁCTICA N 6  FILTROS ACTIVOS UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRÓNICA LABORATORIO DE CIRCUITOS II PRÁCTICA N 6 " FILTROS ACTIVOS " OBJETIVOS - Conocer algunas toologías ara el diseño de

Más detalles

GEOMETRÍA COMPUTACIONAL: EL PROBLEMA DEL CERCO

GEOMETRÍA COMPUTACIONAL: EL PROBLEMA DEL CERCO Ind. Revista data de 8(), la Facultad 005 de Ingeniería Industrial Vol. (8) :. 69-76 (005) UNMSM ISSN: 560-946 (imreso) / ISSN: 80-9993 (electrónico) GEOMETRÍA COMPUTACIONAL: EL PROBLEMA DEL CERCO CONVEXO

Más detalles

PRÁCTICA 4. De las dos primeras CPO operando y simplificando se obtiene la condición de tangencia:

PRÁCTICA 4. De las dos primeras CPO operando y simplificando se obtiene la condición de tangencia: .- Determine la exresión de la demanda del bien x ara la siguiente función de utilidad: Para calcular la del bien x hay que resolver el roblema de maximización de la utilidad condicionada a la renta disonible

Más detalles

Atractores en dominios tipo dumbbell

Atractores en dominios tipo dumbbell XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Alicaciones X Congreso de Matemática Alicada Sevilla, 24-28 setiembre 27 (. 1 8) Atractores en dominios tio dumbbell José M. Arrieta 1, Alexandre N. Carvalho 2,

Más detalles

Calor y Termodinámica

Calor y Termodinámica Calor y Termodinámica E S U E M A D E L A U N I D A D.. Historia y evolución del conceto ágina 4.. El equivalente entre trabajo mecánico y calor ágina 5.. Precisiones sobre calor y trabajo mecánico ágina

Más detalles

POSGRADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS

POSGRADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO POSGRADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIAS Divisores primos de x - 2 QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE MAESTRO(A) EN CIENCIAS P R E S E N T A Lic.

Más detalles

Dominios de factorización única

Dominios de factorización única CAPíTULO 3 Dominios de factorización única 1. Dominios euclídeos En la sección dedicada a los números enteros hemos descrito todos los ideales de Z. En este apartado introducimos una familia de anillos

Más detalles

UNIVERSIDAD DE MATANZAS

UNIVERSIDAD DE MATANZAS ASPECOS FUNDAMENALES DE LAS LEYES DE LA ERMODINAMICA. UNIERSIDAD DE MAANZAS CAMILO CIENFUEGOS DPO QUÍMICA E INGENIERÍA MECÁNICA ASPECOS FUNDAMENALES REFERENES A LOS PRINCIPIOS DE LA ERMODINÁMICA. Dr. Andres

Más detalles

Fundamentos algebraicos

Fundamentos algebraicos Fundamentos algebraicos 1. Grupos Sea S un conjunto. Se denota con S S el conjunto de los pares ordenados (s, t) con s, t en S. Un mapeo de S S en S se llama operación binaria en S. Esta definición requiere

Más detalles

UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS

UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS En nuestra educación matemática se nos introdujo muy pronto -generalmente en los primeros años de secundariaal estudio de los polinomios. Durante una temporada que parecía

Más detalles

6. Métodos para resolver la ecuación completa.

6. Métodos para resolver la ecuación completa. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. 6. Métodos ara resolver la ecuación comleta. Dedicamos esta sección a ver dos métodos que nos ermiten hallar una solución articular de la ecuación comleta y +

Más detalles

Preferencias. Teoría del consumidor. Preferencias. Preferencias. Tema 6

Preferencias. Teoría del consumidor. Preferencias. Preferencias. Tema 6 Preferencias Tema 6 Teoría del consumidor La Teoría del Consumidor arte del suuesto de que los individuos tienen referencias (gustos) sobre los bienes Problema: las referencias no son observables. No obstante,

Más detalles

Una generalización algebraica del teorema de Cantor-Bernstein a módulos inyectivos puros sobre dominios enteros

Una generalización algebraica del teorema de Cantor-Bernstein a módulos inyectivos puros sobre dominios enteros 17 Una generalización algebraica del teorema de Cantor-Bernstein a módulos inyectivos puros sobre dominios enteros Jorge Eduardo Macías Díaz 1 Bernardo Isidro Guerrero Macías 1 RESUMEN Este artículo presenta

Más detalles

Nombre/Código: Febrero 21 2015. Examen I. 5 /10pts. Total: /50pts

Nombre/Código: Febrero 21 2015. Examen I. 5 /10pts. Total: /50pts 1 Álgebra abstracta II Guillermo Mantilla-Soler Nombre/Código: Febrero 21 2015 Examen I Problemas Puntuación 1 /10pts 2 /10pts 3 /10pts 4 /10pts 5 /10pts Total: /50pts 2 Preguntas Problema 1[10 pts]: Sea

Más detalles

UNIDAD 2: ANILLOS. ISFD N o 127 Ciudad del Acuerdo. MSL (2010) 3 o Profesorado en Matemática-Álgebra 1

UNIDAD 2: ANILLOS. ISFD N o 127 Ciudad del Acuerdo. MSL (2010) 3 o Profesorado en Matemática-Álgebra 1 UNIDAD 2: ANILLOS En la unidad precedente se han tratado diversos aspectos de la teoría de grupos. Uno de los primeros ejemplos, fue Z con la operación suma. Sin embargo en Z hay otra operación, el producto.

Más detalles

VENTAJAS DE USAR SUBREDES EN UNA RED AD-HOC CON NODOS MOVILES

VENTAJAS DE USAR SUBREDES EN UNA RED AD-HOC CON NODOS MOVILES VETAJAS DE USAR SUBREDES E UA RED AD-HC C DS MVIES Johann óez, José M. Barceló, Jorge García-Vidal Deartamento de Arquitectura de Comutadores, Universidad Politécnica de Cataluña (UPC) C/Jordi Girona 1-3,

Más detalles

Contabilidad y Negocios ISSN: 1992-1896 revistacontabilidadynegocios@pucp.edu.pe. Departamento Académico de Ciencias Administrativas.

Contabilidad y Negocios ISSN: 1992-1896 revistacontabilidadynegocios@pucp.edu.pe. Departamento Académico de Ciencias Administrativas. Contabilidad y Negocios ISSN: 1992-1896 revistacontabilidadynegocios@uc.edu.e Deartamento Académico de Ciencias Administrativas Perú Alda García, Mercedes; Ferruz Agudo, Luis; Vicente Reñé, Ruth Análisis

Más detalles

PUESTA A TIERRA Y CONDUCTORES DE PROTECCIÓN

PUESTA A TIERRA Y CONDUCTORES DE PROTECCIÓN PUESTA A TIERRA Y CONDUCTORES DE PROTECCIÓN 1. DEFINICIONES Puesta a tierra: Conjunto constituido or una o más tomas de tierra interconectadas y sus conductores de tierra corresondientes, conectados al

Más detalles

Termodinámica. L = F. Δx. Como se ve en la figura, la presión del gas provoca sobre la superficie del pistón una fuerza que lo hace desplazarse.

Termodinámica. L = F. Δx. Como se ve en la figura, la presión del gas provoca sobre la superficie del pistón una fuerza que lo hace desplazarse. Termodinámica Hemos visto cómo la energía mecánica se uede transformar en calor a través, or ejemlo, del trabajo de la fuerza de rozamiento ero, será osible el roceso inverso? La resuesta es si, y esto

Más detalles

Una Introducción Matemática a la Criptografía (para mis alumnos de Álgebra I)

Una Introducción Matemática a la Criptografía (para mis alumnos de Álgebra I) Una Introducción Matemática a la Criptografía (para mis alumnos de Álgebra I) Pablo De Nápoli 31 de mayo de 2014 Pablo De Nápoli () Una Introducción Matemática a la Criptografía (para mis 31alumnos de

Más detalles

Carlos Ivorra Castillo

Carlos Ivorra Castillo Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE NÚMEROS La aritmética superior nos proporciona un conjunto inagotable de verdades interesantes de verdades que además no están aisladas, sino en estrecha relación unas

Más detalles

ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS PARA FAVORECER

ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS PARA FAVORECER ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS PARA FAVORECER El DESARROLLO DEL LENGUAJE ORAL A NIVEL FONOLÓGICO DE LOS NIÑOS DE CINCO A SEIS AÑOS DEL NIVEL PREESCOLAR DEL INSTITUTO MANIZALES LINA CLEMENCIA ARANGO VALENCIA UNIVERSIDAD

Más detalles

Apuntes de Microeconomía II

Apuntes de Microeconomía II . Facultad de Economía Auntes de Microeconomía II.......... Teoría del Consumidor, Teoría del Productor, Teoría de Juegos y Cometencia Imerfecta Por: Juan Carlos Mendieta Lóez jmendiet@uniandes.edu.co

Más detalles

Modelado, Control y Simulación de un Sistema Péndulo Invertido Sobre Base Móvil

Modelado, Control y Simulación de un Sistema Péndulo Invertido Sobre Base Móvil Modelado, Control y Simulación de un Sistema Péndulo Invertido Sobre Base Móvil Gabriel Romero-Rodríguez, Pablo Sánchez-Sánchez, Fernando Reyes-Cortés, Antonio Michua-Camarillo, Benjamín Calderón-Flores,

Más detalles

Congruencias... 1. Breve esquema teórico... 1. Contenido... 1. Introducción... 2. Números congruentes... 2. Definición... 2. Propiedades...

Congruencias... 1. Breve esquema teórico... 1. Contenido... 1. Introducción... 2. Números congruentes... 2. Definición... 2. Propiedades... CONGRUENCIAS BREVE ESQUEMA TEÓRICO Versión verano 2015 CONTENIDO Congruencias... 1 Breve esquema teórico... 1 Contenido... 1 Introducción... 2 Números congruentes... 2 Definición... 2 Propiedades... 3

Más detalles

Teoría de Números para Olímpiadas Matemáticas. José Heber Nieto Said

Teoría de Números para Olímpiadas Matemáticas. José Heber Nieto Said Teoría de Números para Olímpiadas Matemáticas Dedicado al profesor Darío Durán, maestro de maestros. José Heber Nieto Said jhnieto@gmail.com www.jhnieto.org Departamento de Matemática Facultad de Ciencias

Más detalles

Práctica 1: Transformada de Fourier virtual a distancia finita

Práctica 1: Transformada de Fourier virtual a distancia finita Práctica 1: Transformada de Fourier virtual a distancia finita 1.1 Objetivo El objetivo de esta ráctica es la observación y estudio de la transformada de Fourier de diversas redes de difracción y, en articular,

Más detalles

Uto-Fni Ingeniería Mecánica. Apuntes de Clase MEC 2250. Termodinámica de los compresores. Docente: Emilio Rivera Chávez

Uto-Fni Ingeniería Mecánica. Apuntes de Clase MEC 2250. Termodinámica de los compresores. Docente: Emilio Rivera Chávez Uto-Fni Ingeniería Mecánica Auntes de Clase MEC 50 ERMODINAMICA ECNICA II ermodinámica de los comresores Docente: Oruro, julio de 009 Auntes de Clase ermodinámica de los comresores de gas MEC50 0. Procesos

Más detalles

Unidad 0. Aritmética Elemental. Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año 2009

Unidad 0. Aritmética Elemental. Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año 2009 Unidad 0 Aritmética Elemental Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año 2009 1. Buen orden e inducción. Empezamos haciendo hincapié en el carácter intrínseco de sucesión que tiene

Más detalles

Introducción al Análisis Complejo

Introducción al Análisis Complejo Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010 Introducción Este trabajo

Más detalles

Economía Agraria y Recursos Naturales, ISSN: 1578-0732, Vol. 2, 2 (2002), pp. 3-26

Economía Agraria y Recursos Naturales, ISSN: 1578-0732, Vol. 2, 2 (2002), pp. 3-26 Economía Agraria y Recursos Naturales ISSN: 578-73 Vol.. 3-6 EXTENSIÓN MULTI-ÍNDICE DEL MÉTODO BETA EN VALORACIÓN AGRARIA José García Pérez Deartamento de Economía Alicada Universidad de Almería Salvador

Más detalles

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo Capítulo 2 Grupos 2.1 Introducción La estructura de grupo es una de las más comunes en toda la matemática pues aparece en forma natural en muchas situaciones, donde se puede definir una operación sobre

Más detalles

Análisis de la Tarificación por Sobre-consumo de los Sectores Eléctrico y Sanitario

Análisis de la Tarificación por Sobre-consumo de los Sectores Eléctrico y Sanitario Análisis de la Tarificación or Sobre-consumo de los Sectores Eléctrico y Sanitario Fernando Fuentes H. * Diciembre, 2008 Resumen Este artículo analiza ara el caso de Chile los efectos sobre la asignación

Más detalles

Capítulo 7 Teoría de los Números

Capítulo 7 Teoría de los Números Capítulo 7 Teoría de los Números Seguridad Informática y Criptografía Ultima actualización del archivo: 01/03/06 Este archivo tiene: 75 diapositivas v 4.1 Material Docente de Libre Distribución Dr. Jorge

Más detalles

Control de Fase. Capítulo 4. 4.1 Conceptos Teóricos

Control de Fase. Capítulo 4. 4.1 Conceptos Teóricos Caítulo 4 Control de Fase 4.1 Concetos Teóricos En este caítulo se resentará el método de control de fase ara convertidores AC/DC conmutados or línea, comúnmente conocidos como rectificadores controlados.

Más detalles

Logística sanitaria, experiencias de nuestro y otros sectores 23 septiembre 2014. Logística en Automoción: En constante Evolución FELIPE LÓPEZL

Logística sanitaria, experiencias de nuestro y otros sectores 23 septiembre 2014. Logística en Automoción: En constante Evolución FELIPE LÓPEZL Logística sanitaria, experiencias de nuestro y otros sectores 23 septiembre 2014 Logística en Automoción: En constante Evolución FELIE LÓEZL INGENIERO INDUSTRIAL VOCAL COMISIÓN N DE CALIDAD DEL COIIM-AIIM

Más detalles

Segmentación y detección de glóbulos blancos en imágenes médicas mediante el uso de algoritmos metaheurísticos

Segmentación y detección de glóbulos blancos en imágenes médicas mediante el uso de algoritmos metaheurísticos Diego Alberto Oliva Navarro Universidad Comlutense de Madrid Doctorado en Ingeniería Informática daoliva@ucm.es Segmentación y detección de glóbulos blancos en imágenes médicas mediante el uso de algoritmos

Más detalles

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA ELECTRÓNICA DE ALTA FRECUENCIA. TALLER 2: Fabricación y medición de inductancias

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA ELECTRÓNICA DE ALTA FRECUENCIA. TALLER 2: Fabricación y medición de inductancias UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA ELECTRÓNICA DE ALTA FRECUENCIA TALLER : Fabricación y medición de inductancia OBJETIVO: Lograr la habilidad ara imlementar inductore de caracterítica

Más detalles

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10 Tema 10 Espacios de Hilbert Vamos a desarrollar en lo que sigue los resultados básicos acerca de los espacios de Hilbert, un tipo muy particular de espacios de Banach con propiedades especiales que están

Más detalles

5.2. Selección Adversa

5.2. Selección Adversa 5.2. Selección Adversa Matilde P. Machado matilde.machado@uc3m.es 5.2. Selección Adversa Asimetría de información se da siemre que una de las artes en una transacción tiene más información que otra. Ejemlos:

Más detalles

Bloque 5. Probabilidad y Estadística Tema 1. Probabilidad Ejercicios resueltos

Bloque 5. Probabilidad y Estadística Tema 1. Probabilidad Ejercicios resueltos loque 5. Probabilidad y Estadística Tema 1. Probabilidad Ejercicios resueltos 5.1-1 Se lanzan al aire tres monedas iguales, describe todos los sucesos del esacio muestral. Sean los sucesos A = sacar al

Más detalles

Ecuaciones Lineales y Anillos Conmutativos

Ecuaciones Lineales y Anillos Conmutativos extracta mathematicae Vol. 17, Núm. 2, 247 257 (2002) Ecuaciones Lineales y Anillos Conmutativos J.J. Aparicio Pedreño Dpto. de Matemática Aplicada y Estadística, Univ. Politécnica de Cartagena 30203 Cartagena,

Más detalles

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08)

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas) Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con ejemplos resueltos (7-8) En estos apuntes, consideraremos las funciones anaĺıticas (holomorfas)

Más detalles

SERIES DE FOURIER, NOCIONES BÁSICAS

SERIES DE FOURIER, NOCIONES BÁSICAS SERIES DE FOURIER, NOCIONES BÁSICAS E. SÁEZ Recordemos que una función f, definida en el intervalo cerrado y centrado [,], > es seccionalmente continua si y sólo si tiene las dos roiedades siguientes:

Más detalles

CONTENIDOS PROGRAMÁTICOS. FECHA: Tunja, Enero de 2006 ASIGNATURA TEORÍA DE ANILLOS Y CUERPOS. TUTORIA 3 Horas

CONTENIDOS PROGRAMÁTICOS. FECHA: Tunja, Enero de 2006 ASIGNATURA TEORÍA DE ANILLOS Y CUERPOS. TUTORIA 3 Horas CONTENIDOS PROGRAMÁTICOS FECHA: Tunja, Enero de 2006 PROGRAMA ACADÉMICO MATEMÁTICAS SEMESTRE V ASIGNATURA TEORÍA DE ANILLOS Y CUERPOS CÓDIGO 8106437 INTENSIDAD HORARIA SEMANAL 4 créditos TUTORIA 3 Horas

Más detalles

Capítulo VI. Congruencias, Z n y Z n, Etc.

Capítulo VI. Congruencias, Z n y Z n, Etc. Capítulo VI Congruencias, Z n y Z n, Etc. En este capítulo se estudian congruencias módulo un entero positivo, y los sistemas de números Z n y Z n. Además del teorema chino del residuo, encontramos de

Más detalles

Principio de la Termodinámica

Principio de la Termodinámica ema.- Primer P Princiio de la ermodinámica..- El rabajo en la Mecánica. rabajo realizado or una fuerza externa F, que actúa sobre los límites del sistema, cuando su unto de alicación exerimenta un deslazamiento

Más detalles

Anillos Especiales. 8.1 Conceptos Básicos. Capítulo

Anillos Especiales. 8.1 Conceptos Básicos. Capítulo Capítulo 8 Anillos Especiales 8.1 Conceptos Básicos En este capítulo nos dedicaremos al estudio de algunos anillos especiales que poseen ciertas condiciones adicionales, aparte de las propias de la definición,

Más detalles

PLANES DE PENSIONES DE PRESTACIÓN DEFINIDA INTEGRADOS CON EL SISTEMA DE LA SEGURIDAD SOCIAL

PLANES DE PENSIONES DE PRESTACIÓN DEFINIDA INTEGRADOS CON EL SISTEMA DE LA SEGURIDAD SOCIAL PLANES DE PENSIONES DE PRESTACIÓN DEFINIDA INTEGRADOS CON EL SISTEMA DE LA SEGURIDAD SOCIAL Francisco J. Peláez Fermoso Ana García González Dto. de Economía Alicada (Matemáticas) Universidad de Valladolid

Más detalles

CAPÍTULO. Optimización

CAPÍTULO. Optimización 1 CAPÍTULO 10 Otimización 10.1 Problemas de otimización 1 Un roblema de otimización consiste en minimizar o maimizar el valor de una variable. En otras alabras se trata de calcular o determinar el valor

Más detalles

Las fórmulas de Cardano-Ferrari

Las fórmulas de Cardano-Ferrari Las fórmulas de Cardano-Ferrari Carlos Ivorra (http://www.uv.es/ivorra) Los métodos de resolución por radicales de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 13. Clases de Restos Módulo m

Apuntes de Matemática Discreta 13. Clases de Restos Módulo m Apuntes de Matemática Discreta 13. Clases de Restos Módulo m Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 13 Clases de restos módulo

Más detalles

Notaciones y Pre-requisitos

Notaciones y Pre-requisitos Notaciones y Pre-requisitos Símbolo Significado N Conjunto de los números naturales. Z Conjunto de los números enteros. Q Conjunto de los números enteros. R Conjunto de los números enteros. C Conjunto

Más detalles

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato. UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Deartamento de Matemática Tesis del Doctorado en Matemática PROBLEMAS DE FRONTERA

Más detalles

CREACIÓN MEDIANTE POWERPOINT DE ANIMACIONES DIDÁCTICAS DIRECTAMENTE CONTROLABLES

CREACIÓN MEDIANTE POWERPOINT DE ANIMACIONES DIDÁCTICAS DIRECTAMENTE CONTROLABLES CREACIÓN MEDIANTE POWERPOINT DE ANIMACIONES DIDÁCTICAS DIRECTAMENTE CONTROLABLES Arcadi Pejuan Escuela Universitaria Politécnica de Vilanova i la Geltrú arcadi.ejuan@uc.es 1. RESUMEN Entre los rofesionales

Más detalles

Búsqueda de Sitios Web con Autoridad en un Tema

Búsqueda de Sitios Web con Autoridad en un Tema Búsqueda de Sitios Web con Autoridad en un Tema Fernando R.A. Bordignon, Pablo J. Lavallén y Gabriel H. Tolosa {bordi, lavallen, tolosoft}@unlu.edu.ar Universidad Nacional de Luján Laboratorio de Redes

Más detalles

Teoría de Galois. por José Antonio Belinchón

Teoría de Galois. por José Antonio Belinchón Teoría de Galois por José Antonio Belinchón Última actualización Julio 008 II Índice general. Prólogo III 1. Anillos y cuerpos 1 1.1. Anillos..................................................... 1 1..

Más detalles

Una prueba sencilla del teorema de los ceros de Hilbert usando bases de Gröbner A simple proof of Hilbert s Nullstellensatz based on Gröbner bases

Una prueba sencilla del teorema de los ceros de Hilbert usando bases de Gröbner A simple proof of Hilbert s Nullstellensatz based on Gröbner bases Lecturas Matemáticas Volumen 34 (1) (2013), páginas 77 82 ISSN 0120 1980 Una prueba sencilla del teorema de los ceros de Hilbert usando bases de Gröbner A simple proof of Hilbert s Nullstellensatz based

Más detalles

Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CUERPOS DE CLASES

Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CUERPOS DE CLASES Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CUERPOS DE CLASES Esencialmente, el álgebra y el dinero determinan clases; la primera a nivel intelectual, el segundo a nivel práctico. Simone Weil Índice General Introducción

Más detalles