Guía del docente. Guía para el docente Estadística y probabilidad Regla de multiplicación de las probabilidades

Transcripción

1 Guía del docente Descripción curricular: - Nivel: 2.º Medio - Sector: Matemática - Unidad temática: - Palabras clave: frecuencia, probabilidad, experimento aleatorio, espacio muestral, suceso simple, suceso compuesto suceso dependiente, suceso independiente, propiedad multiplicativa de las probabilidades - Contenidos curriculares: - Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales, semejanza de figuras planas y nociones de probabilidad; iniciándose en el reconocimiento y la aplicación de modelos matemáticos. - Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las probabilidades en juegos de azar sencillos, estableciendo las diferencias entre los fenómenos aleatorios y los deterministas. - Explorar sistemáticamente diversas estrategias para la resolución de problemas; profundizar y relacionar contenidos matemáticos. - Percibir la relación de la matemática con otros ámbitos del saber. - Analizar invariantes relativas a cambios de ubicación y ampliación o reducción a escala, utilizando el dibujo geométrico. - Contenidos relacionados: - 1.º Medio: Números racionales e irracionales. Resolución de problemas, estimaciones de cálculos, redondeos. Uso de la calculadora. Proporcionalidad directa e inversa, constantes de proporcionalidad, su relación con un cuociente o un producto constante. Lectura e interpretación de situaciones que involucren porcentaje. 1

2 - 2.º Medio: - 3.º Medio: - 4.º Medio: Guía para el docente Resolución de problemas en los que el referente asociado a 100 está implícito. Relación entre decimales y fracciones. Juegos de azar sencillos; representación y análisis de los resultados; uso de tablas y gráficos. Comentarios históricos acerca de los inicios del estudio de la probabilidad. La probabilidad como proporción entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles, en el caso de experimentos con resultados equiprobables. Sistematización de recuentos por medio de diagramas de árbol. Iteración de experimentos sencillos, por ejemplo, lanzamiento de una moneda; relación con el triángulo de Pascal. Interpretaciones combinatorias. Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica. Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un experimento estadístico. Relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Ley de los grandes números. Uso de programas computacionales para la simulación de experimentos aleatorios. Resolución de problemas sencillos que involucren suma o producto de probabilidades. Probabilidad condicionada. Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos contextos. utilizados en distintas informaciones. Crítica del uso de ciertos descriptores Selección de diversas formas de organizar, presentar y sintetizar un conjunto de datos. Ventajas y desventajas. Comentario histórico sobre los orígenes de la estadística. Uso de planilla de cálculo para análisis estadístico y para construcción de tablas y gráficos. 2

3 Muestra al azar, considerando situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, ecología, salud pública, control de calidad, juegos de azar, etc. Inferencias a partir de distintos tipos de muestra. - Aprendizajes esperados: - Juegos de azar sencillos; representación y análisis de los resultados; uso de tablas y gráficos. - Comentarios históricos acerca de los inicios del estudio de la probabilidad. - La probabilidad como proporción entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles, en el caso de experimentos con resultados equiprobables. Sistematización de recuentos por medio de diagramas de árbol. - Iteración de experimentos sencillos, por ejemplo, lanzamiento de una moneda; relación con el triángulo de Pascal. Interpretaciones combinatorias. Aprendizajes esperados de esta actividad: - Leen una tabla de doble entrada que corresponde al espacio muestral de un experimento aleatorio. - Reconocen el número de elementos de un espacio muestral. - Completan una tabla de doble entrada que corresponde al espacio muestral de un experimento aleatorio. - Analizan la tabla de doble entrada para obtener aquellos elementos del espacio muestral que cumplen con un requisito dado. - Leen la frecuencia de los elementos del espacio muestral que cumplen con una condición dada. - Calculan con calculadora y sin ella la probabilidad de un suceso simple, expresando el resultado como fracción o como porcentaje, pudiendo aproximar o redondear. - Analizan si un suceso compuesto es dependiente o independiente. - Calculan la probabilidad de un suceso compuesto e independiente, usando la propiedad multiplicativa de las probabilidades. 3

4 - Desarrollan habilidades relativas al interés y la capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y la información para tomar decisiones fundamentadas. - Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las actividades de organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, mediante contenidos y actividades de aprendizaje de procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro. - Desarrollan habilidades relacionadas con el trabajo, actitudes de rigor, perseverancia y análisis de sus procedimientos, así como de flexibilidad, originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades de recibir y aceptar consejos y críticas. Recursos digitales asociados de - Ficha temática:. - Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM15. Actividades propuestas para este tema: Proponemos la actividad Acertar: dependencia o independencia de los sucesos?, referente a la lectura de frecuencias desde una tabla de doble entrada que corresponde al espacio muestral de un experimento aleatorio, análisis de todas las frecuencias que satisfacen una condición; reconocimiento de suceso simple y compuesto; cálculo de probabilidad de sucesos simples y compuestos, particularmente de los sucesos independientes usando la propiedad multiplicativa de las probabilidades. 4

5 ACTIVIDAD: Acertar: dependencia o independencia de los sucesos? 1. Mapa de contenidos tratados Duración: 2 horas pedagógicas 2. Desarrollo de la actividad: Acertar: dependencia o independencia de los sucesos? Paso 1 Como actividad de motivación e introducción, haga el siguiente resumen a sus alumnos. Recuerde a sus alumnos que la fórmula que se utiliza para calcular la probabilidad de un suceso simple es: P (suceso simple) = número de casos favorables número de casos posibles Explique a sus alumnos que los sucesos que arrojan más de un resultado se llaman sucesos compuestos. 5

6 En ocasiones, la existencia de un suceso afecta la probabilidad de un segundo suceso (aunque no siempre). Si no lo afecta, entonces se denomina suceso independiente. Si los sucesos no son independientes, el segundo suceso será el suceso dependiente. Enseguida, haga las siguientes preguntas a sus alumnos: 1) Estás en el punto de partida del juego de El gran Santiago. Necesitas lanzar dos dados para obtener dos tres consecutivos (uno en cada lanzamiento y respetando los turnos del juego). Estos dos sucesos, son dependientes o independientes entre sí? 2) Si lanzamos simultáneamente un dado y una moneda, una sola vez, los resultados que obtengamos dependen uno del otro? La moneda depende del dado y viceversa? Pida a sus estudiantes que respondan estas preguntas expresando lo que piensan, fundamentando siempre su respuesta y dando ejemplos. Así, da oportunidad para que los estudiantes se manifiesten según sus propios conocimientos. Es recomendable ir escribiendo en la pizarra una síntesis de lo que van diciendo. Entrégueles bibliografía o direcciones en la red para que indaguen y corroboren sus respuestas. Paso 2 Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible en el portal Es recomendable que esta guía sea resuelta en forma grupal de dos alumnos. Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la actividad. Las respuestas aparecen en azul. Entonces: 6

7 Quizás hayas jugado el juego Monopoly Guía para el docente o Monopolio. Este juego se puede encontrar en muchas jugueterías alrededor del mundo, impreso en varios idiomas. Muchas de las versiones extranjeras utilizan nombres de los lugares locales para las propiedades en lugar de los nombres de Atlantic City y New Jersey, que es el juego original. Por eso es que en Chile tenemos El Gran Santiago. Todo empezó en 1933 cuando un hombre cesante de nombre Charles B. Darrow creó un pasatiempo en el cual los jugadores tenían la oportunidad de comprar y vender inmuebles y se volvían ricos. Durante la Gran Depresión muchos estadounidenses quedaron sin trabajo y Darrow pensó que su invento era una fantasía que muchos jugadores podrían disfrutar. Darrow trató de vender su idea a la empresa de juguetes Parker Brothers, pero no fue aceptada. Los ejecutivos de la empresa pensaron que un juego basado en compra-venta de propiedades no llamaría la atención. De igual modo, pensaron que los jugadores se aburrirían jugando alrededor de un tablero sin obtener ninguna meta real, y que el juego era demasiado largo. Los ejecutivos de Parker Brothers pensaban que un juego debía tomar alrededor de 45 minutos para poder mantener el interés de las personas. El juego Monopoly podía durar varias horas. Después de probarlo, la empresa de juguetes escribió a Darrow diciéndole que no se interesaba en su juego. Darrow no se dio por vencido. Con la ayuda de un amigo impresor, él mismo produjo varias miles de copias del juego. Vendió 5000 a una tienda de Philadelphia. El juego fue un éxito entre el público. Parker Brothers escuchó acerca del éxito de Darrow y cambió de opinión sobre el juego Monopoly. Dos años después de que había rechazado la propuesta de Darrow, la empresa compró los derechos de Monopoly. La idea de Darrow finalmente lo hizo millonario y dio a la Parker Brothers uno de los juegos de salón más populares del mundo. 7

8 Pídales a los estudiantes que utilicen el tablero de El Gran Santiago muestra para responder las preguntas. que se 1) Cuál crees que es el elemento más importante para ganar el juego El Gran Santiago? Las respuestas pueden variar. Tener suficiente dinero para comprar propiedades y edificar, tomar buenas decisiones para comprar o no las propiedades, no caer en las propiedades de otros jugadores, tener suerte, etc. 2) Esta tabla muestra todos los resultados posibles de obtener cuando se lanza un par de dados. a) Cuál es la suma mínima que se puede obtener? 2 b) Cuál es la suma máxima que se puede obtener? 2 c) Completa la tabla escribiendo la suma total que es posible obtener con el lanzamiento de un par de dados. Se han llenado algunas casillas a modo de ejemplo. 8

9 3) La que tiene la más alta frecuencia: secundaria) a) Cuál suma es? El 7 b) Cuál es su frecuencia? 6 c) Tiene alguna distribución especial en la tabla? Sí, está en una diagonal de la tabla (la diagonal d) Cuál es la probabilidad de obtener esta suma al lanzar dos dados simultáneamente? Escribe como fracción y porcentaje. 6 = 16,7 % 36 4) Para obtener una suma igual a tres : a) De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa suma? De 2 formas. b) Cuáles son esas formas sumar tres? 1+2 o 2+1 9

10 c) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga la suma tres? Escribe como fracción y porcentaje. 2 = 5,6 % 36 Los sucesos que arrojan más de un resultado se llaman sucesos compuestos. En ocasiones, la existencia de un suceso afecta la probabilidad de un segundo suceso (aunque no siempre). Si no lo afecta, entonces se denomina suceso independiente. Si los sucesos no son independientes, el segundo suceso será el suceso dependiente. Si los sucesos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que ambos ocurran se calcula con la ecuación: P(A y B) = P(A) P(B). Esta propiedad de los sucesos independientes se llama propiedad multiplicativa. Usando una representación geométrica de la multiplicación de fracciones, se 5 puede ver con este ejemplo que si la probabilidad del suceso A es y la 7 probabilidad del suceso B es 3 2, entonces la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es: =

11 Es decir: 5) Estás en el punto de partida. Si necesitas lanzar los dos dados para obtener dos tres consecutivos (uno en cada lanzamiento y respetando los turnos de juego) con el propósito de llegar primero a la calle Lira y enseguida a Gran Avenida. a) Estos dos sucesos, son dependientes o independientes entre sí? Son sucesos independientes. b) Cuál es la probabilidad que tienes de conseguir ambos propósitos? Escribe como fracción y porcentaje = = 0,31 % ) Estás en el Cine. Necesitas hacer el lanzamiento de los dos dados en dos oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a su debido tiempo y respetando los turnos de juego). Ello, con el propósito de llegar primero al Hotel y luego a la Clínica. Entonces: a) Debes conseguir una misma suma en cada lanzamiento? Sí. b) Cuál es esa suma? 5 en cada caso. c) De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa suma? De 4 formas. d) Cuáles son esas formas de sumar? 1+4; 2+3; 3+2; 4+1 e) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga la suma que se necesita? Escribe como fracción y porcentaje = = 1,2 %

12 7) Estás en la Compañía de Teléfonos. Necesitas hacer el lanzamiento de los dos dados en tres oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a su debido tiempo y respetando los turnos de juego). Ello, con el propósito de llegar a un punto de destino que es la calle Diez de Julio. Entonces: a) Cuántas casillas en total debes avanzar para llegar a Diez de Julio? 12 casillas b) Es posible hacer dos paradas en el camino? Sí. c) Considerando que vas a llegar a destino haciendo tres lanzamientos de dados, esas paradas podrán estar separadas una de otra por una misma cantidad de casillas? Sí. d) Cuál es esa cantidad idéntica de casillas que separan una parada de otra? 4 casillas. e) A qué calles corresponden? Irarrázaval y Avda. Matta. f) Entonces, qué suma debes obtener en cada uno de los tres lanzamientos que harás de los dados? 4. g) De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa suma? De 3 formas. h) Cuáles son esas formas de sumar? 1+3; 2+2; 3+1. i) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados en tres oportunidades obtengas la suma que necesitas? Escribe como fracción y porcentaje = = 0,08 %

13 j) Tienes posibilidades? Poquísimas. 8) Estás en la Compañía de Gas. La próxima vez que te corresponda tirar los dos dados: a) Puedes llegar a la Compañía de Teléfonos? No. b) Por qué? Porque no se puede obtener una suma igual a 1 lanzando simultáneamente dos dados. c) Cuál es la probabilidad? Escribe como fracción y porcentaje. 0 = 0 % 36 9) Estás en la Clínica. La próxima vez que te corresponda tirar los dos dados en dos oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a su debido tiempo y respetando los turnos de juego) quieres llegar primero a Providencia y luego a Ahumada. Entonces: a) Debes conseguir una misma suma en cada lanzamiento? No. b) Si la respuesta es no, cuál es cada suma en cada oportunidad? 6 y 2. c) De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar la primera suma? De 5 formas. d) De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar la segunda suma? De 1 forma. e) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga la primera suma? Escribe como fracción y porcentaje. 5 = 13,9 % 36 13

14 f) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga la segunda suma? Escribe como fracción y porcentaje. 1 = 2,8 % 36 g) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga la primera y la segunda suma? Escribe como fracción y porcentaje = = 0,4 % h) Tienes posibilidades? Poquísimas. 10) El lanzamiento simultáneo de un dado y una moneda, una sola vez: a) Es un suceso dependiente o independiente? Independiente. b) Por qué? Porque la existencia de un suceso (lanzar un dado) no afecta la probabilidad del otro suceso (lanzar una moneda). c) Cuál es la probabilidad de obtener sello en la moneda? Escribe como fracción y porcentaje. 1 = 50 % 2 d) Cuál es la probabilidad de obtener cinco en el dado? Escribe como fracción y porcentaje. 1 = 16,7 % 6 14

15 e) Cuál es la probabilidad de obtener sello y cinco? Escribe como fracción y porcentaje = = 8,3 % f) Cómo calificarías este suceso compuesto en relación con la probabilidad? Poco probable? Imposible? Igualmente probable? Poco probable. 11) Se aplicará una prueba en una determinada asignatura. La prueba tiene dos ítems: Verdadero y Falso y Selección múltiple. Considera que acertar en las respuestas son sucesos independientes. En el ítem de V o F existen 8 preguntas. Entonces: a) Cuál es la probabilidad de acertar en una respuesta de V o F? Escribe como fracción y porcentaje. 1 = 50 % 2 b) Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de V o F? Escribe como fracción y porcentaje = = 0,39 % En el ítem de Selección múltiple existen cinco preguntas con cuatro alternativas cada una (A, B, C, D). Entonces: c) Cuál es la probabilidad de acertar en una respuesta de Selección múltiple? Escribe como fracción y porcentaje. 1 = 25 % 4 d) Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de Selección múltiple? Escribe como fracción y porcentaje. 1 5 = = 0,09 % 15

16 e) Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de V o F y de Selección múltiple? Escribe como fracción y porcentaje = = 0,00038 % Nota: afortunadamente las pruebas de conocimiento no dependen del azar o la buena suerte. El éxito en una prueba de conocimiento depende de tus conocimientos. Paso 3 Concluya la actividad con este resumen. Si volvemos a la pregunta inicial: Acertar: dependencia o independencia de los sucesos? Los sucesos que arrojan más de un resultado se llaman sucesos compuestos. En ocasiones, la existencia de un suceso afecta la probabilidad de un segundo suceso (aunque no siempre). Si no lo afecta, entonces se denomina suceso independiente. Si los sucesos no son independientes, el segundo suceso será el suceso dependiente. Si los sucesos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que ambos ocurran se calcula con la ecuación: P(A y B) = P(A) P(B). Esta propiedad de los sucesos independientes se llama propiedad multiplicativa. Entonces, si se tienen varios sucesos consecutivos e independientes entre sí, la probabilidad de acertar a todos ellos a la vez corresponde al producto de las probabilidades que por separado tenga cada suceso. Es lo que ocurre con las preguntas iniciales que se formularon. 16

17 1) Estás en el punto de partida del juego de El gran Santiago. Necesitas lanzar dos dados para obtener dos tres consecutivos (uno en cada lanzamiento y respetando los turnos del juego). Estos dos sucesos, son dependientes o independientes entre sí? 2) Si lanzamos simultáneamente un dado y una moneda, una sola vez, los resultados que obtengamos dependen uno del otro? La moneda depende del dado y viceversa? Ambos sucesos son compuestos e independientes. Por lo tanto, se aplica la propiedad multiplicativa de las probabilidades de cada suceso simple. P (suceso simple) = número de casos favorables número de casos posibles Analice los resultados aritméticos y algebraicos obtenidos y refuerce los aprendizajes que presentan más problemas. 17