PROBLEMA DIRECTO ELECTROENCEFALOGRÁFICO PARA FUENTES EN LA CORTEZA CEREBRAL ASOCIADOS A FOCOS EPILÉPTICOS.

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1 PROBLEMA DIRECTO ELECTROENCEFALOGRÁFICO PARA FUENTES EN LA CORTEZA CEREBRAL ASOCIADOS A FOCOS EPILÉPTICOS. M.M. Morí-Castillo *, J.J. Oliveros-Oliveros **, C. Netzahualcoyotl Bautista **, G. García Aguilar ***, B. S. Soto Cruz *, S. Alcátara Iiesta *, E. M. Gutiérrez Arias *, E. Flores Mea *. * Facultad de Ciecias Físico Matemáticas, BUAP, Puebla México, oliveros@fcfm.bua.mx, etzahualcoyotl_4@hotmail.com ** Facultad de Ciecias de la Electróica, BUAP, Puebla, México, mmori@ece.bua.mx, blaca.soto@icbua.bua.mx, salvador@siu.bua.mx, jmgutierrez@ece.bua.mx, eflores@ece.bua.mx. ***Facultad de Psicología, BUAP. Puebla, México. gregorio.garcia@correo.bua.mx. RESUMEN E la actualidad hay u gra iterés or la ivestigació sobre los métodos o destructivos ara detecció de fuetes de actividad bioeléctrica e el cerebro. Estos métodos trata de idetificar algua(s) característica(s) el cerebro a artir del electroecefalograma (EEG) el cual registra la actividad eléctrica or medio de electrodos sobre el cuero cabelludo. La Electroecefalografía es ua de las técicas más coocidas de ivestigació o ivasiva del cerebro. Por medio de ella se registra los oteciales e u electroecefalograma; estos oteciales roviee de la actividad eléctrica de los tejidos excitables, y se cata midiedo la diferecia de otecial existete etre u electrodo exlorador y otro de referecia. Etre las vetajas de la técica del EEG se ecuetra que la iformació que roorcioa se catura e tiemo real, de maera simle, es o ivasiva además de ecoómica. Por medio de esta técica se ha detectado osibles aomalías e el cerebro y ua de sus riciales alicacioes se ecuetra e el diagóstico y detecció de focos eiléticos. La eilesia es ua alteració eurológica cróica, caracterizada or crisis covulsivas recurretes y esotáeas, roducidas or descargas eléctricas aormales de las euroas corticales. El Problema Iverso Electroecefalográfico (PIE) cosiste e determiar, a artir del EEG medido sobre el cuero cabelludo, las fuetes de actividad bioeléctrica que lo geera. E este trabajo se rooe modelos ara geerar el EEG roducido or u foco eilético ubicado e corteza cerebral. E estos modelos se rooe tres osibles casos: que la fuete esté ubicada e el volume de la corteza cerebral, sobre la suerficie de searació del cerebro y el resto de la cabeza o que or su ubicació esacial ocue tato volume de la corteza cerebral como arte la la mecioada frotera suerficie de searació. El objetivo es obteer u modelo matemático ara el Problema Directo Electroecefalográfico ara zoas eiletógeas, co lo cual odamos reroducir el EEG de acietes co diagóstico de la eilesia. Co ello se odrá estudiar el PIE ara este tio de fuetes.. INTRODUCCIÓN E diversos camos de la ivestigació, se reseta situacioes e las cuales es ecesario coocer las causas que roduce cierto feómeo a través de la iformació arcial que se obtiee del mismo ([]). Este tio de roblemas so llamados de idetificació y so amliamete estudiados e muchos camos de la ivestigació, etre otros la medicia, dode hay u gra iterés e el roblema de idetificació de fuetes bioeléctricas cerebrales, a artir de los datos obteidos or medio de u electroecefalograma (EEG) ya que ermite detectar osibles aomalías (daños, mal fucioamieto, etc.) lo que se ha hecho tradicioalmete a través de diferetes técicas de diagóstico.

2 E el área médica se utiliza diferetes técicas de idetificació como so: la tomografía or emisió de ositroes, la resoacia magética uclear, la electroecefalografía, esta ùltimal es de articular de iterés ara osotros, ya que ermite registrar los oteciales or medio de u electroecefalograma (EEG); estos oteciales roviee de la actividad eléctrica de los tejidos excitables, y se cata midiedo la diferecia de otecial existete etre u electrodo exlorador y otro de referecia. A las fuetes que so geeradas or la actividad electroquímica de estos órgaos se les cooce como fuetes bioeléctricas y se cosidera que está comuestos or grades coglomerados de euroas que actúa simultáeamete. Etre las vetajas de la técica del EEG se ecuetra que la iformació que roorcioa se catura e tiemo real, de maera simle, es o ivasiva además de ecoómica. E alguos casos odemos cosiderar que los geeradores está cocetrados e ua regió del cerebro y que uede reresetarse or fucioes de cuadrado itegrable defiidas sobre esa regió. E el caso articular e que se tiee ua fuete diolar (co la cual se rereseta a los focos eiléticos), es ecesario efocar el aálisis de este roblema a través de las distribucioes o fucioes geeralizadas. Para el estudio de este roblema se cosidera el roblema directo e iverso electroecefalográfico. El rimero de ellos cosiste e hallar el EEG cuado coocemos a la fuete. El segudo cosiste e determiar la fuete a artir del EEG. La corteza cerebral es ua lámia gris, formada or cueros de euroas, que cubre los hemisferios cerebrales y cuyo grosor varía de.5 mm e el lóbulo occiital a 4 mm e el lóbulo aterior. Cada hemisferio se divide e cuatro grades lóbulos: frotal, arietal, temoral y occiital. E geeral, los lóbulos se sitúa debajo de los huesos que lleva el mismo ombre. Así, el lóbulo frotal descasa e las rofudidades del hueso frotal, el lóbulo arietal debajo del hueso arietal, el lóbulo temoral debajo del hueso temoral y el lóbulo occiital debajo de la regió corresodiete a la rotuberacia del occiital. E este trabajo se está iteresado e la detecció de los focos eiléticos e la corteza cerebral. Los focos eiléticos uede ecotrarse e el volume o e la corteza cerebral. Para el rimer caso se utiliza la técica de la fució de Gree ara su aálisis y la teoría de fucioes geeralizadas, ara el caso e que los focos eiléticos se ecuetra e la corteza cerebral se busca la solució como suma de u otecial de caa doble más uo de caa simle. Para la detecció de los focos eiléticos e la corteza cerebral se va a resolver rimero el roblema directo es decir coozco la fuete (foco eilético) y lo que quiere obteer es la medició que roduce el EEG, ara esto se cosidera la solució e armóicos esféricos, ara resolver los modelos que se está rooiedo.. MODELO MATEMÁTICO El modelo matemático que se reseta e este trabajo ha sido amliamete utilizado ara el estudio del roblema de idetificació e ([], [3], [4], [5]); e él la cabeza humaa ha sido modelada or medio de caas coductoras co coductividad costate y diferete e cada caa. La actividad eléctrica del cerebro es registrada e el cuero cabelludo or medio del EEG. Se cosidera ara la modelació que el EEG es roducido or grades coglomerados de euroas que se activa simultáeamete que uede estar cocetradas e el volume, e la corteza o e ambas; a estos coglomerados de euroas se les cooce como geeradores o fuetes bioeléctricas ([4], [6]). Para la modelació se suoe que las corrietes que uede roducirse e la regió Ω se debe úicamete a la actividad eléctrica del cerebro y uede ser de dos tios: óhmicas e imresas. Las rimeras se debe al movimieto de cargas ióicas a través del fluido extracelular e el cerebro y las segudas a las corrietes de difusió a través de las membraas euroales ([6]) las cuales se deota or J y so las de iterés e el roblema de idetificació,

3 ya que el soorte de estas uede daros iformació sobre la ubicació esacial de la zoa afectada. Tomado e cueta que la corteza cerebral tiee u grosor se uede cosiderar tres modelos ara geerar los EEG cuado se cooce la fuete, el modelo cuado la fuete se ecuetra e el volume de la corteza cerebral, cuado la fuete esta sobre la suerficie de la corteza cerebral o la fuete se ecuetra e ambos lugares, volume y suerficie cerebral. Como se muestra e la figura () Figura : Reresetació de la corteza cerebral ara los modelos matemáticos. A artir de lo aterior, se demuestra que el estudio del Problema Directo Electroecefalográfico (PDE) ara el caso e que la fuete se ecuetra cocetrada e el volume, uede ser realizado a través del siguiete roblema de valores e la frotera ([], [4], [5], [7]): u = f e Ω, u = 0 e Ω, σ u = u e S, = σ e S, = 0, e S, dode Ω=Ω Ω rereseta a la cabeza, Ω el cerebro, Ω el resto de las caas que comoe la cabeza (líquido itracraeal, cráeo, cuero cabelludo), σ y σ so las coductividades de Ω y Ω las cuales se suoe costates (ver figura ), () () (3) (4) (5) div J f = es σ

4 llamada la fuete, u = u i =, y u rereseta al otecial eléctrico e Ω. El símbolo i Ωi rereseta al oerador Lalaciao, que tambié se simboliza como. Obsérvese que e este caso odremos recuerar sólo ua arte de la fuete bioeléctrica J. Las codicioes de frotera (3)-(4) so llamadas de trasmisió y la codició de frotera (5), se obtiee al cosiderar que la C coductividad de Ω es cero (la coductividad del aire). De las fórmulas de Gree se deduce la siguiete codició de comatibilidad Ω f ( x) dx = 0. E el caso e que sólo se cosidere fuetes corticales, su resecia se refleja sobre la codició de frotera asociada co la igualdad de flujos de corriete. Si deotamos or j a la desidad de corriete cortical etoces dicha codició de frotera toma la forma: σ = σ + j e S. Se deomia a j fuete cortical y satisface ua codició de comatibilidad similar a la (6). Si embargo, si cosideramos simultáeamete tato fuetes corticales como volumétricas esta codició se debe cumlir es f ( x) dx + j dx = 0. El caso de fuetes corticales ha sido Ω S estudiado e [8] y se busca la solució como la suma de u otecial de caa doble defiido más uo de caa simle defiido sobre S. E este caso la desidad diolar defiida sobre S uede reresetar la actividad de euroas iramidales y, or lo tato, bridar iformació sobre la zoa activa de la corteza cerebral. Si embargo, e ese trabajo sólo se cosideraro fuetes que uede reresetarse or fucioes camaa y o or fucioes geeralizadas co las cuales se rereseta las fuetes diolares. S Figura : Reresetació de la cabeza como dos medios coductores homogéeos acolados.

5 3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DIRECTO PARA FUENTES DIPOLARES E este trabajo estamos iteresados e el caso e que la fuete corresode a u foco eilético y la reresetació matemática de este tio de fuetes es or medio de las fucioes camaas. Más recisamete, u foco eilético cocetrado e el uto a uede reresetarse e la forma ([4]): J = δ ( x a), () dode rereseta al mometo diolar y δ ( x a) es la fució delta de Dirac cocetrada e a que es reresetada or fucioes camaas. La idea básica ara hallar la solució e este caso es la siguiete: ya que δ ( x a) es el límite de fucioes suaves cocetradas alrededor de a, ara cada ua de dichas fucioes suaves, se busca la solució clásica e térmios de ua fució de Gree y se toma el límite de dichas solucioes clásicas ara hallar la solució que corresode a divj f( x) = cuado J está dado or () ara el caso e que la fuete este e el σ volume y ara cuado la fuete está e la corteza la exresió es la (). Caso e el que la fuete está e el volume de la corteza cerebral. Cosideremos el modelo dado or las ecuacioes () a (5). Dado div J f( x) = lo que voy a buscar σ el la solució del roblema directo, es decir la medició que roduce la fuete. Para simlicidad vamos a cosiderar resolver el roblema e tres dimesioes Se va a cosiderar los oteciales ( θf) f r,, f r y ( θf, ) =. + u( r, θφ, ) = ( Ar + Br )y ( θφ, ) θφ = +,, u ( r,, ) ( C r D r )y ( θφ, ) Tomado las codicioes del roblema ()-(5), se obtiee los coeficietes A, B, C y D. A cotiuació se evalúa los coeficietes obteidos e el otecial u (,, ) r θφ, luego se evalúa u (,, ) r θφ y se llega a que la solució del roblema directo está dado como R vr (, θf, ) = u( R, θf, ) = + 3 σfr R(+ ) y (, ) θf, + + (4 + 6) (+ )( σ σ) R + (( σ σ) + σ) R dode vr (, θφ, ) es la medició sobre el cuero cabelludo (EEG).

6 Caso e el que la fuete está e la suerficie de la corteza cerebral E el caso e que solo se cosidere fuetes corticales, la resecia de estas se refleja sobre la codició de frotera co igualdad de corriete. Si deotamos or j. a la desidad de corriete cortical, etoces el roblema de estudio es σ u = 0 e Ω, (6) u = 0 e Ω, (7) u = u e S, (8) = σ + j e S. (9) = 0, e S, (0) Se resuelve el roblema e tres dimesioes. Así que dado f( x) = J., dode se va a cosiderar La solució se busca e la forma ( θf) =, f r,, f r y ( θf, ) = θφ u ( r, θφ, ) C r y (, ) u ( r, θφ, ) = ( A r + B r )y ( θφ, ) Cosiderado las codicioes de cotoro del roblema (6)-(0) se ecuetra los coeficietes C, A y B. Desués se evalúa los coeficietes obteidos e el otecial u (,, ) r θφ, luego se evalúa u (,, ) r θφ y se llega a que la solució del roblema directo está dado como R vr (, θf, ) = u( R, θf, ) = ( + ) f R R (+ )( σ σ) R + (( σ σ) + σ) R y, ( θf, ) dode vr (, θφ, ) es la medició sobre el cuero cabelludo (EEG). Caso e el que la fuete está sobre la corteza y volume Si cosideramos simultáeamete tato fuetes corticales como volumétricas el modelo se latea de la siguiete forma

7 σ u = f e Ω, () u = 0 e Ω, () u = u e S, (3) = σ + j e S. = 0, e S, (4) (5). Se resuelve el roblema e tres dimesioes. Dado Se cosidera ( θf) f r,, f r y ( θf, ) =. + (, θφ, ) = ( + ) ( θφ, ) θφ = +, u r A r B r y. u ( r,, ) ( C r D r ) y ( θφ, ) La solució del roblema directo del roblema ()-(5) es la suma de las solucioes de los dos casos ateriores. Así que la medició sobre el cuero cabello esta dado como vr (, θf, ) = u( R, θf, ) = fr((+ ) σr ) + ( + ) R y (, ) θf. + + (5+ 6) (+ )( σ σ) R + (( σ σ) + σ) R dode vr (, θφ, ) es la medició sobre el cuero cabelludo (EEG). 4. CONCLUSIONES Se reseta tres modelos ara el EEG roducido or ua fuete sobre corteza cerebral suoiedo que esta se cooce. Los modelos rouestos cosidera que la corteza cerebral está comuesta or u lámia de euroas iramidales cuyo esesor se ecuetra etre.5 mm e el lóbulo occiital a 4 mm. Se cosidera el modelo de esferas cocétricas ara rereseta a la cabeza y se halla la solució de u roblema de cotoro que os ermite simular el EEG. Estos modelos debe comararse co EEG reales lo cual es el aso siguiete de la ivestigació BIBLIOGRAFÍA. Fraguela A, Morí M. Oliveros J. Modelos Matemáticos e Electroecefalografía Iversa E: Jiméez Pozo M, Bustamate Gozález J, editores, Tóicos de la Teoría de Aroximació II, Caítulo 4. Textos Cietíficos, Beemérita Uiversidad Autóoma de Puebla, 007;

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