Regresión lineal SIMPLE MÚLTIPLE N A Z IRA C A L L E J A

Transcripción

1 Regresión lineal REGRESIÓN LINEAL SIMPLE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE N A Z IRA C A L L E J A

2 Qué es la regresión? El análisis de regresión: Se utiliza para examinar el efecto de diferentes variables (VIs / predictoras) sobre una variable de resultados (VD).

3 Qué es la regresión? El análisis de regresión: Intenta describir la naturaleza de la asociación mediante la creación de un modelo matemático de "mejor ajuste".

4 Qué es la regresión? El uso del término predicción es central. Se analiza si una variable predice (explica / impacta) a otra variable.

5 Qué es la regresión? Al utilizar la regresión lineal asumimos que: Las variables están medidas a nivel cuantitativo, y las variables se asocian de manera lineal.

6 Qué es la regresión? Ejemplo: Asociación entre: Consumo de tabaco y Pérdida de fijación dental

7 Qué es la regresión? Línea de ajuste de la asociación entre el consumo de tabaco (número de cigarros fumados por día) y la pérdida de fijación dental (en mm). N = 28 fumadores. smoking amount and attachment level (28 smokers) mean attachment level (mm) Pérdida media de fijación dental (mm) Número de cigarros self-reported fumados cigarettes por smoked/day día (autorreporte)

8 MODELO DE REGRESIÓN LINEAL Para variables que posiblemente están asociadas (X y Y) asumimos el modelo: Coeficientes desconocidos Y = α + β X + ε α = β 0 β = β 1 Variables que observamos Parte de Y que X no explica. Es el error aleatorio que define los valores de la vida real.

9 Modelo de regresión lineal ε = error (diferencia entre lo observado y lo predicho α = β 0 Intercepto La ecuación Y = α + β X define la asociación promedio entre X e Y. β ε (x, y) β 1 Pendiente α es un valor constante e indica el punto en el que la línea cruza el eje de las ordenadas (donde X = 0). β es el valor de la pendiente. Valor predicho para Y por Xi Valor observado para Y por Xi x

10 Regresión lineal vs. Correlación La correlación es una medida de la fuerza de la asociación. ρ 2 (coeficiente de determinación) puede describirse como el porcentaje de variación en Y que es explicado por la variación en X. La regresión intenta describir la forma de la asociación. El parámetro β (la pendiente) está relacionada con ρ: Y X

11 Encontrar la línea del mejor ajuste Para encontrar la línea que ajuste mejor se evalúa qué tan cercanamente se ajusta cada una de las posibles líneas a los datos observados. Para ello se calculan las distancias verticales de todos los puntos (x,y) a la línea. Estas distancias se llaman residuales y corresponden al error, e i.

12 Encontrar la línea del mejor ajuste x La línea de mejor ajuste se define como aquélla en la que la suma de los cuadrados de los residuales es mínima.

13 Encontrar la línea del mejor ajuste Los coeficientes de la línea de mejor ajuste, a y b (las estimaciones de α y β, respectivamente), pueden calcularse con las fórmulas: ( x x)( y i i i b ( x x) 2 i i y) a y bx

14 Ejemplo: Pérdida de fijación dental y cigarros fumados por día mean attachment level (mm) Pérdida media de fijación dental (mm) Consumo de tabaco y pérdida de fijación dental (28 fumadores) smoking amount and attachment level (28 smokers) Número de self-reported cigarros fumados cigarettes por smoked/day día (autorreporte)

15 Ejemplo: Pérdida de fijación dental y cigarros fumados por día Coef ficients a α Model Unstandardized Coefficients B Std. Error Standardized Coefficients Beta t Sig. 1 (Constant) β a. cigar ettes sm oked/day Dependent Variable: mean attachment level Este resultado de SPSS dice que: a = 2.319, b = La línea de mejor ajuste es: Y = X Donde Y = nivel promedio de fijación y X = cigarros fumados por día.

16 Ejemplo: Pérdida de fijación dental y cigarros fumados por día Y = X puede interpretarse como: Cada cigarro fumado extra por día se asocia con una pérdida adicional de mm de fijación dental." También : Cada paquete fumado al día (20 cigarros) se asocia con una pérdida adicional de = 1.34 mm de fijación dental."

17 Las predicciones basadas en regresión La mejor estimación (estimación puntual o predicción) de Y a partir de X es: y = a + bx Ejemplo: Qué nivel de fijación dental tendrá alguien que fuma 30 cigarros al día?

18 Utilización del modelo estimado para predecir La mejor estimación del nivel de pérdida de fijación dental promedio de las personas que fuman 30 cigarrillos / día es: Y = X Y = (0.067 x 30) = mm

19 Bondad de ajuste Una medida clave de la fuerza de la asociación es la Media Cuadrática de Error", las MCE o MSE, que es básicamente la media de los residuales elevados al cuadrado. MSE 1 n 2 e 1 n 2 y i ( a i ) 2 i i bx i Si este valor es pequeño con respecto a la varianza de la muestra de y s, entonces se considera que el modelo de regresión es una buena explicación de la asociación. 2

20 Bondad de ajuste La MCE o MSE también se utiliza para estimar el error estándar (ES) de b. SE( b) ( n MSE 1) 2 s x Hay que tener en cuenta que: 1. El ES(b) en la medida en que MCE 2. El ES(b) en la medida en que s x Es decir, se obtienen mejores estimaciones de β cuando la línea constituye un buen ajuste, y cuando los puntajes de X son más dispersos.

21 Bondad de ajuste El ajuste del modelo se prueba con el estadístico F: ANOVA b Model 1 Regression Residual Total Sum of Squares df Mean Square F Sig a a. Predictors: (Constant), self report cigs./day b. Dependent Variable: mean attachment level (mm) Número de cigarros fumados por día (autorreporte) Pérdida media de fijación dental (mm) Descriptive Statistics Número de cigarros fumados mean attachment por día (autorreporte) level (mm) Pérdida media de fijación self dental r eport cigs./day (mm) Mean Std. Deviation N

22 Inferencia para los coeficientes de regresión Es posible probar H0: β = 0 vs H1: β 0 utilizando el estadístico t: t b SE(b)

23 Ejemplo: Pérdida de fijación dental y cigarros fumados por día 1. Hipótesis de investigación: El autorreporte de cigarros fumados por día está relacionado con la fijación dental. 2. Hipótesis estadísticas: H0: β = 0 H1: β Prueba estadística: Prueba t para la regresión lineal.

24 Ejemplo: Pérdida de fijación dental y cigarros fumados por día 4. Regla de decisión: Puede rechazarse Ho, con p < 0.05, si t 26 > Cálculos: Model 1 (Constant) cigar ettes sm oked/day Dependent Variable: mean attachment level Coef ficients a Unstandardized Coefficients B Std. Error Standardized Coefficients Beta t Sig. t a. p( t 26 > 2.098) = 0.046).

25 Ejemplo: Pérdida de fijación dental y cigarros fumados por día 6. Resultados Se rechaza Ho. 7. Conclusión: Existe relación entre el número de cigarros fumados diariamente y la fijación dental.

26 Intervalo de confianza para β Un intervalo de confianza de 1-α para β es: b t SE( b n 2,1 / 2 b: Constante (pendiente de la línea de regresión) t: valor de t en tablas n 2: grados de libertad % de confianza: 1-α: 1-error tipo 1 / 2 (dos colas) MSE SE(b): Media cuadrática de b SE( b) 2 ) ( n 1) s x

27 Intervalo de confianza para β Ejemplo: Pérdida de fijación dental y cigarros fumados por día b = n = 28 gl = 26 α = 05/2 colas =.025 t = SE(b) = El intervalo de confianza de 95% para β es: b t SE( b n 2,1 / ± )

28 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

29 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE La regresión múltiple es una extensión muy utilizada de la regresión lineal. El modelo de regresión lineal se puede ampliar para incluir múltiples variables independientes. Y = α + β1 X1 + β2 X βk Xk + ε. Examina el efecto de múltiples predictores X1, X2, Xk sobre una VD (Y).

30 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Los coeficientes se estiman minimizando los residuales cuadrados. En esta situación más complicada no hay fórmulas sencillas para las estimaciones. Generalmente se utiliza una computadora para el cálculo de los coeficientes.

31 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

32 Regresión lineal múltiple En el ejemplo del efecto del número de cigarros fumados (Y) sobre la pérdida de fijación dental (X1), se puede agregar la edad como un segundo predictor (X2): X1.402 Y X2.440

33 Regresión lineal múltiple ANOVA b Model 1 Regression Residual Total Sum of Squar es df Mean Squar e F Sig a a. Predictors: (Constant), age (yrs), self report cigs./day Edad, Número de cigarros fumados por día (autorreporte) b. Dependent Variable: mean Pérdida attachment media level de fijación (mm) dental (mm) El ajuste del modelo mejora con una segunda variable predictiva buena.

34 Regresión lineal múltiple En el ejemplo del efecto del número de cigarros fumados (Y) sobre la pérdida de fijación dental (X1), se puede agregar la edad como un segundo predictor (X2): Coef ficients a α Model 1 (Constant) Unstandardized Coefficients B Std. Error Standardized Coefficients Beta 95% Confidence Interval for B t Sig. Lower Bound Upper Bound β1 β2 self report cigs./day Número de cigarros fumados por día age (y rs) Edad a. Dependent Variable: mean attachment Pérdida level media (mm) de fijación dental (mm) Y = α + β1 X1 + β2 X2 + ε Y = X X2 + ε

35 Ejemplo 2. Regresión Múltiple Satisfacción con los restaurantes Satisfacción con los precios Satisfacción con un destino turístico Nacionalidad del turista 1 = europeos 2 = norteamericanos

36 Modelo de Regresión Múltiple 1er. paso: Obtener las correlaciones entre las VIs y la VD Satisfacción con los restaurantes r = 2.53 Satisfacción con los precios r = 0.13 Satisfacción con un destino turístico r = 2.59 Nacionalidad del turista

37 Tablas en Regresión Múltiple 2o. paso: Correr el análisis 3er. paso: Interpretar los resultados Hay tres tablas generales que deben interpretarse en los resultados del análisis de regresión. 1ª Resumen del modelo 2ª ANOVA 3ª Coeficientes

38 Regresión múltiple en SPSS 1ª tabla La información que se toma de esta tabla es el R 2, que es la proporción de variación en la VD que es explicada por las VIs. Se expresa como porcentaje. También se llama coeficiente de determinación.

39 Modelo de Regresión Múltiple Satisfacción con los restaurantes Satisfacción con los precios Nacionalidad del turista r = 2.53 r = 0.13 r = 2.59 R 2 = 12.1% Satisfacción con un destino turístico El 12.1% de la variación en la satisfacción turística total (VD) puede ser explicada por las tres VIs del modelo: satisfacción con los restaurantes, satisfacción con los precios y nacionalidad del turista.

40 Regresión múltiple en SPSS 2ª tabla La tabla prueba el modelo. Muestra si la proporción de varianza explicada en la primera tabla es significativa. También dice si el efecto total de las VIs sobre la VD es significativa.

41 Regresión múltiple en SPSS 2ª tabla En el ejemplo, la significancia (p) es.000, que es menor al nivel de.05; por tanto, se concluye que el modelo total es estadísticamente significativo, o que las variables tienen un efecto combinado significativo sobre la VD (la satisfacción total).

42 Regresión múltiple en SPSS 3ª tabla Lo primero que se ve es la significancia para determinar cuáles son los predictores significativos de (o significativamente relacionados con) la VD.

43 Regresión múltiple en SPSS 3ª tabla Los coeficientes beta estandarizados indican la fuerza y dirección de la relación (se interpretan como coeficientes de r).

44 Regresión múltiple en SPSS 3ª tabla En el ejemplo, puede observarse que la nacionalidad (p =.000) y la satisfacción con los restaurantes (p =.000) son predictores significativos de la satisfacción turística total.

45 Regresión múltiple en SPSS 3ª tabla La nacionalidad es una variable dicotómica, donde 1 = europeos, y 2 = norteamericanos. El coeficiente se interpreta como que los turistas americanos reportaron niveles más altos de satisfacción total en comparación con los europeos.

46 Redacción de resultados de Regresión múltiple Se efectuó un análisis de regresión múltiple para examinar si la nacionalidad, la satisfacción con los restaurantes y la satisfacción con los precios impactan la satisfacción total con el destino. El modelo explicó 13.3% de la varianza, lo cual resultó significativo estadísticamente, F (3,216) = 11.09, p <.001. Los datos de los predictores individuales revelaron que la satisfacción con los restaurantes (b =.25, p <.001) y la nacionalidad (b =.26, p <.001) fueron predictores significativos de la satisfacción turística total con el destino.

47 Redacción de resultados de Regresión múltiple Los niveles más altos de satisfacción con los restaurantes se asociaron con los niveles más altos de satisfacción total con el destino, y los turistas norteamericanos reportaron significativamente más satisfacción que los europeos.