ITM, Institución universitaria. Guía de Laboratorio de Física Mecánica. Práctica 3: Teoría de errores. Implementos

Transcripción

1 ITM, Istitució uiversitaria Guía de Laboratorio de Física Mecáica Práctica 3: Teoría de errores Implemetos Regla, balaza, cilidro, esfera metálica, flexómetro, croómetro, computador. Objetivos E esta práctica se pretede que el estudiate alcace alguas habilidades e el maejo de catidades que se mide e el laboratorio, las cuales debe estar acompañadas al fial por u térmio que expresa el grado de precisió de la medida realizada, esto es llamado teoría de errores. Tambié se espera que el estudiate domie las reglas de redodeo de cifras y el maejo de cifras sigificativas, aplicadas al maejo de la propagació de errores. Teoría Todo istrumeto de medida tiee u error asociado, que idica la fieza o precisió de ua medida tomada co él. Éste error es tambié llamado icertidumbre e la medida. E todo aparato de medida el error está dado por la míima divisió de la escala del aparato. E ua regla ormal, la míima divisió es de milímetros (1mm) o décimas de cetímetro (0,1cm). Toda medida tomada e u experimeto debe escribirse como: B' B B Dode B es la lectura de la medida e el istrumeto usado, llamada valor cetral, y ΔB es el error asociado co el aparato. Ua medida tomada co ua regla se escribiría como: A =(2,5±0,1)cm, o tambié como A =(25±1)mm. E este caso el valor cetral es 2,5cm y el error es 0,1cm. Ua iterpretació de esto es que la medida está etre 2,4 y 2,6cm. Es icorrecto escribir por ejemplo A =(2,5±0,01)cm, ya que la última cifra de la icertidumbre o error debe teer la misma posició decimal que la última cifra del valor cetral. Por la misma razó tambié es u error escribir A =(2,05±0,1)cm. Los errores se clasifica e tres tipos: sistemáticos, de escala y aleatorios. Los errores sistemáticos itroducidos al tomar medidas e el laboratorio so e geeral debidos a las técicas de medida empleadas o a los aparatos usados. La descalibració de los istrumetos de medida es ua causa comú de errores sistemáticos. Estos errores se reproduce igual bajo las mismas codicioes de medida (siempre tiee el mismo valor), pero puede ser idetificables y elimiables e buea parte. Tambié se preseta errores de paralaje debidos a ua mala posició del observador

2 respecto a los idicadores del aparato. Los llamados errores de escala está asociados co la precisió del istrumeto (lo cual o debe cofudirse co la calibració), ya que al tomar ua medida co u istrumeto cuya precisió es del mismo orde que escala del aparato de medida, predomia el error de escala sobre otros. El error de escala correspode al míimo valor que puede medirse co el istrumeto. Los errores aleatorios se asocia a las codicioes e las que se realiza el motaje experimetal que busca hacer ua medició determiada. Se debe a evetos idividuales e imposibles de cotrolar durate las medicioes. Este tipo de error se cotrapoe al cocepto de error sistemático y e geeral so sus orígees so difíciles de idetificar y corregir, uca desaparece totalmete. Redodeo Ya que e adelate se va a tratar co catidades experimetales, que frecuetemete debemos redodear o ajustar para expresar correctamete, vamos a ver alguas reglas para el maejo de cifras sigificativas y redodeo de decimales. Al redodear úmeros, la cifra que se va a descartar debe estar etre cico y ueve para que la última cifra que queda se aumete e uo. Ejemplo: Al redodear 3,45681 a tres decimales se obtiee 3,457. Si se fuera a redodear a u decimal quedaría 3,5. Cuado la cifra a descartar está etre cero y cuatro, la última cifra que queda o se modifica. Ejemplo: Al redodear 87,58276 a dos decimales se obtiee 87,58. Esta regla es ua versió más simplificada, ya que lo usual es que cuado la cifra a descartar es cico, hay que etrar a aalizar las cifras que le sigue, pero o cosideraremos por ahora esta regla por agilidad e el trabajo. Cifras sigificativas 1. El úmero de cifras sigificativas de ua catidad se cueta de izquierda a derecha comezado por el primer dígito diferete de cero. Ejemplo: e 23,456 hay cico cifras sigificativas. E el úmero 0,00897 hay tres cifras sigificativas. 2. Los ceros que de lugar a potecias de diez o cueta como cifras sigificativas. Ejemplo: el úmero tiee tres cifras sigificativas puesto que se puede escribir 1,44x10 8. El úmero 0,08972 puede escribirse como 8,972x10-2, por lo que tiee cuatro cifras sigificativas. El úmero 123,004 tiee seis cifras sigificativas ya que estos ceros o da lugar a potecias de diez. 3. Al sumar o restar dos úmeros co cifras decimales, el resultado debe teer el mismo úmero de cifras decimales que la catidad que meos tega de las dos que se multiplicaro. Ejemplo: al multiplicar 23,657 por 84,3 se obtiee 1994,2851, que usado la regla de redodeo se debe escribir como 1994,3. 4. Al multiplicar o dividir dos úmeros, el úmero de cifras sigificativas e la respuesta debe ser igual al del térmio que meos tega. Ejemplo: al multiplicar 12,90x10-4 por 34 se obtiee 438,6x10-4 ó tambié 4,386x10-2, pero debe escribirse co dos cifras por lo que queda 4,4x10-2.

3 5. El error asociado co ua medida debe expresarse co ua sola cifra sigificativa, puesto que la icertidumbre expresa ua duda e la última cifra de la medida como se explicó e la itroducció. Si embargo e alguos casos especiales el error se escribe co más de ua cifra y esto puede deberse a que proviee de medidas idirectas o a algua otra razó técica. Operacioes etre catidades co error. Propagació de errores Las medidas tomadas e u laboratorio usualmete so usadas para realizar operacioes etre ellas, por ejemplo, si se mide los dos lados de u rectágulo para coocer su área, se debe multiplicar dos catidades co error. Al realizar la operació se debe teer e cueta que el resultado debe teer u error asociado o propagado, que a su vez respete las reglas de redodeo y de cifras sigificativas. Lo primero que hay que hacer es redodear el error propagado a ua cifra y luego se ajusta el úmero de cifras del valor cetral para que su última posició decimal coicida co la del error, para lo cual a veces es ecesario escribir el valor cetral e potecias de diez. E la siguiete tabla se resume los errores asociados co las operacioes básicas, cuado predomia errores de escala, que e uestro caso so los más relevates. Las catidades correspodietes a dos úmeros co error se escribe (A±ΔA) y (B±ΔB), se opera segú idica la siguiete tabla y el resultado es u úmero de la forma (Z±ΔZ), dode Z es el resultado de operar los dos valores cetrales A y B, y por otro lado ΔZ se ecuetra realizado la operació de la tercera columa de la tabla, segú sea la operació. Nombre de la Operació Operació Icertidumbre Multiplicació por ua C(X± Δx) = CX± Δz Δz = C Δx costate Potecia (X± Δx) =X ± Δz z x 1 x Suma o Diferecia (X ± Δx) ± (Y± Δy) =X±Y± Δz z x y Producto (X± Δx) (Y± Δy) = XY± Δz x y z x. y x y Cociete X x X z x x y z Y y Y y x y Producto de potecias (X± Δx) (Y± Δy) m = X Y m z x y z x m. y m x y Fució seo se(θ± Δθ) = seθ ± Δz Δz = (cosθ ) θ Fució coseo cos(θ± Δθ) = cosθ ± Δz Δz = (seθ ) θ Fució tagete ta(θ± Δθ) = taθ± Δz Δz = (sec 2 θ ) θ Tabla 1. Operacioes etre catidades co error

4 Ejemplos: Al sumar (12,34±0,02) co (84,3±0,1) si teer e cueta las cifras decimales se obtiee (96,64±0,12) puesto que los errores se suma segú la tabla, pero e primer lugar la respuesta debe teer u error propagado de 0,1. El valor cetral debe etoces teer ua cifra decimal, por lo cual se redodea a 96,6. El resultado se expresa como 96,6±0,1. Si se multiplica estos mismos dos úmeros el valor cetral da 1040,262. Mietras el error se calcula mediate la fórmula correspodiete al producto e la tabla, para dar: 0, 02 01, z ( 12, 34 )* ( 84, 3) 2, 92 12, 34 84, 3 Que redodeado a ua cifra sigificativa da ΔZ=3. Al escribir el resultado del valor cetral teiedo e cueta las posicioes decimales vemos que el resultado de la operació icluyedo la propagació de errores debe escribirse como 1040±3. Error para ua catidad medida muchas veces E alguos casos es ecesario repetir muchas veces ua medida para obteer u dato más aproximado a la realidad o debido a la aleatoriedad de algú proceso, por lo cual el resultado debe teer e cueta las reglas de la estadística a la hora de expresar los datos obteidos. E estos casos la medida repetida veces de la variable X se expresa como: X x Dode x es el valor medio o el promedio de la medida, y está dado por x i 1 x i mietras que e este caso el error es llamado desviació estádar σ, y se calcula usado la fórmula: 1 1 i1 x i x 2 Porcetaje de error Cuado se cooce el valor teórico V teor de ua catidad, se calcula el porcetaje de error comparado este valor co el valor experimetal obteido V exp, mediate la siguiete fórmula: % Error V teor V V teor exp 100

5 Iforme El iforme escrito de esta práctica debe icluir: Portada, relato o descripció de todo el proceso de la toma de medidas, datos y operacioes correspodietes a cada umeral, cálculos a mao de los valores pedidos e el desarrollo de la práctica. Icluya coclusioes y causas de error. 1. Tome la regla y mida la altura y el diámetro del cilidro y expréselas correctamete. 2. Calcule el volume del cilidro teiedo e cueta todas las reglas de redodeo, cifras y operacioes etre catidades co error descritos al iicio de esta guía. Tega e cueta las uidades para que exprese el resultado e cm Use la balaza para medir la masa del cilidro y escriba adecuadamete la medida. 4. Calcule la desidad del cilidro e g/cm 3, teiedo e cueta todas las reglas de redodeo y cifras. Busque e iteret ua tabla de desidades para que por comparació establezca el material del que está hecho el cilidro. Calcule el porcetaje de error para la desidad del cilidro tomado el dato cosultado como el valor teórico. 5. Use el flexómetro para medir y señalar ua altura de dos metros e la pared respecto al piso. Realice ua tabla dode cosige diez medidas del tiempo que tarda la esfera metálica e caer al piso al ser soltada desde el reposo a ua altura de 2m. Exprese el valor cetral y el error tal como se idica e la secció correspodiete a ua medida repetida varias veces. 6. Use la expresió y = 0,5gt 2 para calcular la gravedad e el laboratorio. Calcule el porcetaje de error comparado la gravedad obteida co la gravedad e Medellí 9,77 m/s 2 (teórica). 7. Escriba sus propias coclusioes de la práctica, así como las causas de error e las medidas tomadas.