I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA MATERIA: MATEMÁTICAS II OPCIÓN A

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1 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA Cuo V-00 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El examen conta de do opcione, A y B. El alumno debeá elegi UNA Y SÓLO UNA de ella y eolve lo cuato ejecicio de que conta. No e pemite el uo de calculadoa con capacidad de epeentación gáfica. PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejecicio e indica en el encabezamiento del mimo. Tiempo: 90 minuto. OPCIÓN A Ejecicio.- Calificación máxima: punto. a) (,5 punto). Etudia, en función del paámeto k lr, la poición elativa de lo plano π x + y z = y π x y k z k + =. b) (0,5 punto). Exite algún valo de k paa el que lo plano π y π ean pependiculae? Ejecicio.- Calificación máxima: punto. x y z Dado el plano π 5x 4y + z = 0 y la ecta : = = contenida en π, obtene la ecta 3 contenida en π que e pependicula a, y que paa po el oigen de coodenada O = (0,0,0). Ejecicio 3.- Calificación máxima: 3 punto. Se conidean la ecta: x y z x 5 y z + : = = : = = 6 a) (,5 punto). Detemina la ecuación de la ecta t que cota a y, y que contiene al oigen de coodenada. b) (,5 punto) Detemina la mínima ditancia ente la ecta y. Ejecicio 4.-. Calificación máxima: 3 punto. a) ( punto). Sean u y v do vectoe tale que: (u + v) (u v) = 7 y u = 9. Calcula el módulo del vecto v. b) Conidea lo vectoe: a = (,,4) y b = (0,3,m) con m lr.. ( punto). Halla el valo de m paa que a y b ean otogonale.. ( punto). Paa m = 0 calcula el áea del paalelogamo que tiene po lado lo vectoe a y b. Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

2 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo OPCIÓN B Ejecicio.- Calificación máxima:,5 punto. x = Se conidea la ecta definida po y = z = λ ecuación de la ecta pependicula común a y. y la ecta definida po x = µ y = µ. Halla la z = Ejecicio.- Calificación máxima:,5 punto. x + y = Conidea la ecta definida po : y + z = 0 y B = (,0, ). a) ( punto). Etudia la poición elativa de amba ecta. y la ecta que paa po lo punto A = (,,0) b) (,5 punto) Detemina un punto C de la ecta tal que lo egmento pependiculae. CA y CB ean Ejecicio 3.- Calificación máxima: punto. a) ( punto). Halla la ditancia dede el punto P = (,3, ) a la ecta: x = + 3λ : y = + λ. z = λ b) ( punto). Calcula la ditancia ente la ecta de ecuacione: 3x y = y z 3 : y x = =. 7x z = Ejecicio 4.- Calificación máxima: 3 punto. Dado el plano π x + 3y + z = 4, e pide: a) ( punto). Calcula el punto imético P del punto O = (0,0,0) epecto del plano π. b) ( punto). Calcula el coeno del ángulo α que foman el plano π y el plano x = 0. c) ( punto). Calcula el volumen del tetaedo T deteminado po el plano π y lo plano x = 0, y = 0, z = 0. Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

3 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo OPCIÓN A, Ejecicio A. SOLUCIONES a) (,5 punto). Etudia, en función del paámeto k lr, la poición elativa de lo plano π x + y z = y π x y k z k + =. b) (0,5 punto). Exite algún valo de k paa el que lo plano π y π ean pependiculae? a) Lo vectoe nomale a lo plano on n = (,, ) y n = (,, k ). Analizamo cuándo π π on paalelo (coodenada popocionale): = = = = ± k k k o Si k ±, lo vectoe nomale no on paalelo π y π e cotan en una ecta. π x + y z = o Si k =, lo plano on π x + y z = π x + y z = o Si k =, lo plano on π x + y z = b) Si (,5 punto) π y π on coincidente. π y π on paalelo. π π = = + + = = n n n n 0 (,, ) (,, k ) 0 k 0 k π π π π deci, no exite olución eal y, po lo tanto, π y π no pueden e pependiculae. (0,5 punto), e Ejecicio A. Dado el plano π 5x 4y + z = 0 y la ecta x y z : = = contenida en π, obtene la ecta 3 contenida en π que e pependicula a, y que paa po el oigen de coodenada O = (0,0,0). n π π Conocemo el vecto nomal al plano: π 5x 4y + z = 0 n = (5, 4,) También e encillo deduci un punto de la ecta y un vecto diecto: P (0,0,0) d = (,,3) π Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

4 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo Calculamo un vecto diecto de la ecta : d = d n = (,,3) (5, 4,) = 3 = (4,4, 4) Tomamo como vecto diecto d = (,, ) π x = λ y = λ ó z = λ 5 4 ; ademá P (0,0,0), luego: x y z = =. También e podía habe coneguido, con oto método, ( punto) 5x 4y + z = 0. x + y + 3z = 0 Ejecicio A.3 Se conidean la ecta: x y z x 5 y z + : = = : = = 6 a) (,5 punto). Detemina la ecuación de la ecta t que cota a y, y que contiene al oigen de coodenada. b) (,5 punto) Detemina la mínima ditancia ente la ecta y. a) Conocemo un punto y un vecto diecto de cada ecta: P (0,,) ; d = (,, ) P (5,0, ) d = (6,,) ó d = (3,,) o Calculamo la ecuación del plano π que contiene a y al oigen de coodenada: P = O(0, 0, 0) π 0 x π u d (3,,) y 0 z x x y 0 = = π = π = v = OP = (5, 0, ) z π 4x + y z = 0 o Calculamo la ecuación del plano π que contiene a y al oigen de coodenada: P = O(0, 0, 0) π 3 5 x π u d (3,,) 0 y 0 5y x 5z 3y 0 = = π = π + = v = OP = (5, 0, ) z π x + 8y 5z = 0 o La ecuación de la ecta t que cota a y a, y que contiene al oigen de coodenada e la inteección de lo do plano: 4x + y z = 0 t. (,5 punto) x + 8y 5z = 0 Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

5 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo b) La ditancia ente la ecta y e la altua del paalelepípedo geneado po lo vectoe d, d y PP, e deci: d,d,pp Volumen del paalelepípedo 3 3 dit (,) = = = = u. Áea de la bae d d 5 5 P P = (5, 0, ) (0,,) = (5,, 3) d,d,pp = = = 5 3 d d = (,, ) (3,,) = = (3, 5, 4) = = 50 = 5 3 (,5 punto) Ejecicio A.4 a) ( punto). Sean u y v. do vectoe tale que: (u + v) (u v) = 7 y u = 9. Calcula el módulo del vecto v b) Conidea lo vectoe: a = (,,4) y b = (0,3,m) con m lr.. ( punto). Halla el valo de m paa que a y b ean otogonale.. ( punto). Paa m = 0 calcula el áea del paalelogamo que tiene po lado lo vectoe a y b. a) Se tata de una identidad notable, po lo tanto, (u + v) (u v) = 7 u v = 7 u v = = v v = 64 ( punto) b). Aplicamo la condición de otogonalidad ( pependiculaidad): 3 a b a b = 0 (,, 4) (0,3, m) = m = 0 m = 4 ( punto). El áea del paalelogamo e, implemente, el módulo del poducto vectoial: A = a b = 4 = (, 0, 6) = ( ) = 80 = 6 5 u ( punto) v = 8 Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

6 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo OPCIÓN B, Ejecicio B. SOLUCIONES x = x = µ Se conidea la ecta definida po y = y la ecta definida po y = µ. Halla la z = λ z = ecuación de la ecta pependicula común a y. Pue etá fenomenal eto de que no den en paamética la ecuación de la ecta. Aí eulta encillo identifica un punto y un vecto diecto de cada una de ella: P (,, ) ; d = (0, 0,) P (0,0, ) ; P P = (,, ) d = (,, 0) o Vecto diecto de la ecta t pependicula a y a : d = d d = (0, 0,) (,, 0) = 0 0 = (,, 0) t o Ecuación del plano α que contiene a y a t: 0 P = P (,, ) α 0 x α u = d = (0, 0,) α 0 y = 0 α y + x + = 0 α x y + = 0 v = d = (,,0) 0 z + t o Ecuación del plano β que contiene a y a t: P = P (0, 0, ) β x β u = d = (,, 0) β y = 0 β z + + z + = 0 β z + = 0 v = d = (,,0) 0 0 z + t o La ecuación de la ecta t pependicula a y a e la inteección de lo do plano: x y + = 0 t = α β t. (,5 punto) z + = 0 Nota.- Ete pocedimiento de eolución e válido tanto i la ecta e cotan como i e cuzan. Ejecicio B. Conidea la ecta definida po A = (,, 0) y B = (,0, ). x + y = : y + z = 0 a) ( punto). Etudia la poición elativa de amba ecta. y la ecta que paa po lo punto b) (,5 punto) Detemina un punto C de la ecta tal que lo egmento CA y CB ean pependiculae. Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

7 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo a) Neceitamo uno cuanto elemento paa etudia la poición elativa ente y : o Punto de : Paa y = 0, e obtiene P (,0,0) o Vecto diecto de : d = (,, 0) (0,,) = 0 = (,,) 0 o Vecto diecto de : d = BA = (,, 0) (, 0, ) = (,,) o Vecto que une y : P P = (,, 0) (, 0, 0) = (0,,) Con todo eto ingediente ya podemo cocina la poición elativa de la ecta a tavé del etudio de ango: 0 ; como 0 / M = M Po lo tanto tenemo 0 an (M) = =. Ademá, / / M = = 0 an (M ) =. / an (M) = = an (M ) y e cotan. ( punto) b) La ituación e imila a eta, conideando que el ángulo en C ha de e ecto: C B A Expeamo el punto C lr de foma genéica, utilizando la ecuacione paamética: Calculamo lo vectoe CA y CB C = ( + λ, λ, λ ) y aplicamo el citeio de pependiculaidad: o CA = A C = (,,0) ( + λ, λ, λ ) = ( λ, + λ, λ) o CB = B C = (,0, ) ( + λ, λ, λ ) = ( λ, λ, λ) = λ + λ λ λ λ λ = λ + λ + λ + λ + λ + λ = CA CB CA CB 0 (,, ) (,, ) 0 0 3λ + 3λ = 0 3 λ ( + λ ) = 0 λ = 0 ó λ = o Paa λ = 0, e obtiene C(,0,0). o Paa λ =, e obtiene C(,, ). (,5 punto) Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

8 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo Ejecicio B.3 a) ( punto). Halla la ditancia dede el punto P = (,3, ) a la ecta: x = + 3λ : y = + λ. z = λ b) ( punto). Calcula la ditancia ente la ecta de ecuacione: 3x y = y z 3 : y x = =. 7x z = a) Idea clave: La ditancia ente un punto y una ecta e la altua del paalelogamo geneado po lo vectoe d y P P. P P P P d Po lo tanto, d P P Áea del paalelogamo = Bae altua d P P = d dit(p,) dit(p,) = = d dit(p,) = = 4 4 = 45 u ( punto) d P P = (3,, ) (, 4, 3) = 3 = (5,,3) = = 35 d = (3,, ) = = b) Idea clave: La ditancia ente la ecta y e la altua del paalelepípedo geneado po lo vectoe d, d y PP. Bueno, pue tanquilamente calculamo lo elemento neceaio paa detemina eta ditancia: 3x y = o : ; paa x = 0 e obtiene y =, z = 4 P (0,,4) 7x z = 4 o d = (3,, 0) (7, 0, ) = 3 0 = (,3, 7) o P (,,3) 7 0 P P = (,, ) d = (,3, 4) 3 7 d,d,pp = 3 4 = = 5 = 5 o Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

9 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo d d = (,3, 7) (,3, 4) = 3 7 = ( 9,3, 0) = = 90 o 3 4 Ya etá todo! d,d,pp Volumen del paalelepípedo dit (,) = = = = = = Áea de la bae d d ( punto) 0 u. Ejecicio B.4 Dado el plano π x + 3y + z = 4, e pide: a) ( punto). Calcula el punto imético P del punto O = (0,0,0) epecto del plano π. b) ( punto). Calcula el coeno del ángulo α que foman el plano π y el plano x = 0. c) ( punto). Calcula el volumen del tetaedo T deteminado po el plano π y lo plano x = 0, y = 0, z = 0. a) Calculamo la ecuacione paamética de la ecta que contiene al punto O = (0, 0, 0) y e pependicula al plano π : x = λ P = O(0,0,0) = λ d = n = (,3,) π z = λ y 3 Hallamo el punto M en el que la ecta cota al plano π : x = λ y = 3λ M λ + 9λ + λ = 4 λ = M =,, z = λ x + 3y + z = 4 Pue bien, M e el punto medio del egmento que une O = (0,0,0) con u punto imético P(x, y,z), y po lo tanto e cumple: x y z = x = ; = y = ; = z = P,,. ( punto) O(0,0,0) M π P(x,y,z) Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

10 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo b) El ángulo que foman do plano e el mimo que el que foman u vectoe nomale: n n π x= 0 (,3,) (, 0, 0) co α = = =. ( punto) n n π x= 0 c) Calculamo lo vétice del tetaedo: x = 0 V y 0 V (0,0,4) = ; x + 3y + z = 4 x = 0 4 V z 0 V 0,,0 = 3 x + 3y + z = 4 (0,0,4) y = 0 (4,0,0) (0,4/3,0) V z 0 V (4,0,0) 3 = 3 x + 3y + z = 4 El cuato vétice e el oigen de coodenada, po lo tanto el volumen e: V = 0 4 / 3 0 = = u. ( punto) 9 Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

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