I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA MATERIA: MATEMÁTICAS II OPCIÓN A

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA MATERIA: MATEMÁTICAS II OPCIÓN A"

Transcripción

1 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA Cuo V-00 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El examen conta de do opcione, A y B. El alumno debeá elegi UNA Y SÓLO UNA de ella y eolve lo cuato ejecicio de que conta. No e pemite el uo de calculadoa con capacidad de epeentación gáfica. PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejecicio e indica en el encabezamiento del mimo. Tiempo: 90 minuto. OPCIÓN A Ejecicio.- Calificación máxima: punto. a) (,5 punto). Etudia, en función del paámeto k lr, la poición elativa de lo plano π x + y z = y π x y k z k + =. b) (0,5 punto). Exite algún valo de k paa el que lo plano π y π ean pependiculae? Ejecicio.- Calificación máxima: punto. x y z Dado el plano π 5x 4y + z = 0 y la ecta : = = contenida en π, obtene la ecta 3 contenida en π que e pependicula a, y que paa po el oigen de coodenada O = (0,0,0). Ejecicio 3.- Calificación máxima: 3 punto. Se conidean la ecta: x y z x 5 y z + : = = : = = 6 a) (,5 punto). Detemina la ecuación de la ecta t que cota a y, y que contiene al oigen de coodenada. b) (,5 punto) Detemina la mínima ditancia ente la ecta y. Ejecicio 4.-. Calificación máxima: 3 punto. a) ( punto). Sean u y v do vectoe tale que: (u + v) (u v) = 7 y u = 9. Calcula el módulo del vecto v. b) Conidea lo vectoe: a = (,,4) y b = (0,3,m) con m lr.. ( punto). Halla el valo de m paa que a y b ean otogonale.. ( punto). Paa m = 0 calcula el áea del paalelogamo que tiene po lado lo vectoe a y b. Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

2 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo OPCIÓN B Ejecicio.- Calificación máxima:,5 punto. x = Se conidea la ecta definida po y = z = λ ecuación de la ecta pependicula común a y. y la ecta definida po x = µ y = µ. Halla la z = Ejecicio.- Calificación máxima:,5 punto. x + y = Conidea la ecta definida po : y + z = 0 y B = (,0, ). a) ( punto). Etudia la poición elativa de amba ecta. y la ecta que paa po lo punto A = (,,0) b) (,5 punto) Detemina un punto C de la ecta tal que lo egmento pependiculae. CA y CB ean Ejecicio 3.- Calificación máxima: punto. a) ( punto). Halla la ditancia dede el punto P = (,3, ) a la ecta: x = + 3λ : y = + λ. z = λ b) ( punto). Calcula la ditancia ente la ecta de ecuacione: 3x y = y z 3 : y x = =. 7x z = Ejecicio 4.- Calificación máxima: 3 punto. Dado el plano π x + 3y + z = 4, e pide: a) ( punto). Calcula el punto imético P del punto O = (0,0,0) epecto del plano π. b) ( punto). Calcula el coeno del ángulo α que foman el plano π y el plano x = 0. c) ( punto). Calcula el volumen del tetaedo T deteminado po el plano π y lo plano x = 0, y = 0, z = 0. Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

3 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo OPCIÓN A, Ejecicio A. SOLUCIONES a) (,5 punto). Etudia, en función del paámeto k lr, la poición elativa de lo plano π x + y z = y π x y k z k + =. b) (0,5 punto). Exite algún valo de k paa el que lo plano π y π ean pependiculae? a) Lo vectoe nomale a lo plano on n = (,, ) y n = (,, k ). Analizamo cuándo π π on paalelo (coodenada popocionale): = = = = ± k k k o Si k ±, lo vectoe nomale no on paalelo π y π e cotan en una ecta. π x + y z = o Si k =, lo plano on π x + y z = π x + y z = o Si k =, lo plano on π x + y z = b) Si (,5 punto) π y π on coincidente. π y π on paalelo. π π = = + + = = n n n n 0 (,, ) (,, k ) 0 k 0 k π π π π deci, no exite olución eal y, po lo tanto, π y π no pueden e pependiculae. (0,5 punto), e Ejecicio A. Dado el plano π 5x 4y + z = 0 y la ecta x y z : = = contenida en π, obtene la ecta 3 contenida en π que e pependicula a, y que paa po el oigen de coodenada O = (0,0,0). n π π Conocemo el vecto nomal al plano: π 5x 4y + z = 0 n = (5, 4,) También e encillo deduci un punto de la ecta y un vecto diecto: P (0,0,0) d = (,,3) π Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

4 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo Calculamo un vecto diecto de la ecta : d = d n = (,,3) (5, 4,) = 3 = (4,4, 4) Tomamo como vecto diecto d = (,, ) π x = λ y = λ ó z = λ 5 4 ; ademá P (0,0,0), luego: x y z = =. También e podía habe coneguido, con oto método, ( punto) 5x 4y + z = 0. x + y + 3z = 0 Ejecicio A.3 Se conidean la ecta: x y z x 5 y z + : = = : = = 6 a) (,5 punto). Detemina la ecuación de la ecta t que cota a y, y que contiene al oigen de coodenada. b) (,5 punto) Detemina la mínima ditancia ente la ecta y. a) Conocemo un punto y un vecto diecto de cada ecta: P (0,,) ; d = (,, ) P (5,0, ) d = (6,,) ó d = (3,,) o Calculamo la ecuación del plano π que contiene a y al oigen de coodenada: P = O(0, 0, 0) π 0 x π u d (3,,) y 0 z x x y 0 = = π = π = v = OP = (5, 0, ) z π 4x + y z = 0 o Calculamo la ecuación del plano π que contiene a y al oigen de coodenada: P = O(0, 0, 0) π 3 5 x π u d (3,,) 0 y 0 5y x 5z 3y 0 = = π = π + = v = OP = (5, 0, ) z π x + 8y 5z = 0 o La ecuación de la ecta t que cota a y a, y que contiene al oigen de coodenada e la inteección de lo do plano: 4x + y z = 0 t. (,5 punto) x + 8y 5z = 0 Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

5 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo b) La ditancia ente la ecta y e la altua del paalelepípedo geneado po lo vectoe d, d y PP, e deci: d,d,pp Volumen del paalelepípedo 3 3 dit (,) = = = = u. Áea de la bae d d 5 5 P P = (5, 0, ) (0,,) = (5,, 3) d,d,pp = = = 5 3 d d = (,, ) (3,,) = = (3, 5, 4) = = 50 = 5 3 (,5 punto) Ejecicio A.4 a) ( punto). Sean u y v. do vectoe tale que: (u + v) (u v) = 7 y u = 9. Calcula el módulo del vecto v b) Conidea lo vectoe: a = (,,4) y b = (0,3,m) con m lr.. ( punto). Halla el valo de m paa que a y b ean otogonale.. ( punto). Paa m = 0 calcula el áea del paalelogamo que tiene po lado lo vectoe a y b. a) Se tata de una identidad notable, po lo tanto, (u + v) (u v) = 7 u v = 7 u v = = v v = 64 ( punto) b). Aplicamo la condición de otogonalidad ( pependiculaidad): 3 a b a b = 0 (,, 4) (0,3, m) = m = 0 m = 4 ( punto). El áea del paalelogamo e, implemente, el módulo del poducto vectoial: A = a b = 4 = (, 0, 6) = ( ) = 80 = 6 5 u ( punto) v = 8 Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

6 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo OPCIÓN B, Ejecicio B. SOLUCIONES x = x = µ Se conidea la ecta definida po y = y la ecta definida po y = µ. Halla la z = λ z = ecuación de la ecta pependicula común a y. Pue etá fenomenal eto de que no den en paamética la ecuación de la ecta. Aí eulta encillo identifica un punto y un vecto diecto de cada una de ella: P (,, ) ; d = (0, 0,) P (0,0, ) ; P P = (,, ) d = (,, 0) o Vecto diecto de la ecta t pependicula a y a : d = d d = (0, 0,) (,, 0) = 0 0 = (,, 0) t o Ecuación del plano α que contiene a y a t: 0 P = P (,, ) α 0 x α u = d = (0, 0,) α 0 y = 0 α y + x + = 0 α x y + = 0 v = d = (,,0) 0 z + t o Ecuación del plano β que contiene a y a t: P = P (0, 0, ) β x β u = d = (,, 0) β y = 0 β z + + z + = 0 β z + = 0 v = d = (,,0) 0 0 z + t o La ecuación de la ecta t pependicula a y a e la inteección de lo do plano: x y + = 0 t = α β t. (,5 punto) z + = 0 Nota.- Ete pocedimiento de eolución e válido tanto i la ecta e cotan como i e cuzan. Ejecicio B. Conidea la ecta definida po A = (,, 0) y B = (,0, ). x + y = : y + z = 0 a) ( punto). Etudia la poición elativa de amba ecta. y la ecta que paa po lo punto b) (,5 punto) Detemina un punto C de la ecta tal que lo egmento CA y CB ean pependiculae. Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

7 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo a) Neceitamo uno cuanto elemento paa etudia la poición elativa ente y : o Punto de : Paa y = 0, e obtiene P (,0,0) o Vecto diecto de : d = (,, 0) (0,,) = 0 = (,,) 0 o Vecto diecto de : d = BA = (,, 0) (, 0, ) = (,,) o Vecto que une y : P P = (,, 0) (, 0, 0) = (0,,) Con todo eto ingediente ya podemo cocina la poición elativa de la ecta a tavé del etudio de ango: 0 ; como 0 / M = M Po lo tanto tenemo 0 an (M) = =. Ademá, / / M = = 0 an (M ) =. / an (M) = = an (M ) y e cotan. ( punto) b) La ituación e imila a eta, conideando que el ángulo en C ha de e ecto: C B A Expeamo el punto C lr de foma genéica, utilizando la ecuacione paamética: Calculamo lo vectoe CA y CB C = ( + λ, λ, λ ) y aplicamo el citeio de pependiculaidad: o CA = A C = (,,0) ( + λ, λ, λ ) = ( λ, + λ, λ) o CB = B C = (,0, ) ( + λ, λ, λ ) = ( λ, λ, λ) = λ + λ λ λ λ λ = λ + λ + λ + λ + λ + λ = CA CB CA CB 0 (,, ) (,, ) 0 0 3λ + 3λ = 0 3 λ ( + λ ) = 0 λ = 0 ó λ = o Paa λ = 0, e obtiene C(,0,0). o Paa λ =, e obtiene C(,, ). (,5 punto) Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

8 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo Ejecicio B.3 a) ( punto). Halla la ditancia dede el punto P = (,3, ) a la ecta: x = + 3λ : y = + λ. z = λ b) ( punto). Calcula la ditancia ente la ecta de ecuacione: 3x y = y z 3 : y x = =. 7x z = a) Idea clave: La ditancia ente un punto y una ecta e la altua del paalelogamo geneado po lo vectoe d y P P. P P P P d Po lo tanto, d P P Áea del paalelogamo = Bae altua d P P = d dit(p,) dit(p,) = = d dit(p,) = = 4 4 = 45 u ( punto) d P P = (3,, ) (, 4, 3) = 3 = (5,,3) = = 35 d = (3,, ) = = b) Idea clave: La ditancia ente la ecta y e la altua del paalelepípedo geneado po lo vectoe d, d y PP. Bueno, pue tanquilamente calculamo lo elemento neceaio paa detemina eta ditancia: 3x y = o : ; paa x = 0 e obtiene y =, z = 4 P (0,,4) 7x z = 4 o d = (3,, 0) (7, 0, ) = 3 0 = (,3, 7) o P (,,3) 7 0 P P = (,, ) d = (,3, 4) 3 7 d,d,pp = 3 4 = = 5 = 5 o Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

9 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo d d = (,3, 7) (,3, 4) = 3 7 = ( 9,3, 0) = = 90 o 3 4 Ya etá todo! d,d,pp Volumen del paalelepípedo dit (,) = = = = = = Áea de la bae d d ( punto) 0 u. Ejecicio B.4 Dado el plano π x + 3y + z = 4, e pide: a) ( punto). Calcula el punto imético P del punto O = (0,0,0) epecto del plano π. b) ( punto). Calcula el coeno del ángulo α que foman el plano π y el plano x = 0. c) ( punto). Calcula el volumen del tetaedo T deteminado po el plano π y lo plano x = 0, y = 0, z = 0. a) Calculamo la ecuacione paamética de la ecta que contiene al punto O = (0, 0, 0) y e pependicula al plano π : x = λ P = O(0,0,0) = λ d = n = (,3,) π z = λ y 3 Hallamo el punto M en el que la ecta cota al plano π : x = λ y = 3λ M λ + 9λ + λ = 4 λ = M =,, z = λ x + 3y + z = 4 Pue bien, M e el punto medio del egmento que une O = (0,0,0) con u punto imético P(x, y,z), y po lo tanto e cumple: x y z = x = ; = y = ; = z = P,,. ( punto) O(0,0,0) M π P(x,y,z) Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

10 Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo b) El ángulo que foman do plano e el mimo que el que foman u vectoe nomale: n n π x= 0 (,3,) (, 0, 0) co α = = =. ( punto) n n π x= 0 c) Calculamo lo vétice del tetaedo: x = 0 V y 0 V (0,0,4) = ; x + 3y + z = 4 x = 0 4 V z 0 V 0,,0 = 3 x + 3y + z = 4 (0,0,4) y = 0 (4,0,0) (0,4/3,0) V z 0 V (4,0,0) 3 = 3 x + 3y + z = 4 El cuato vétice e el oigen de coodenada, po lo tanto el volumen e: V = 0 4 / 3 0 = = u. ( punto) 9 Depatamento de Matemática. IES Atenea. San Sebatián de lo Reye.

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II 2º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática Supongamo, po ejemplo, que queemo etudia la poición elativa de una ecta que

Más detalles

La mediatriz del segmento AB, que está contenida en el plano π, es una recta perpendicular al segmento y al vector normal. respecto de dicha recta.

La mediatriz del segmento AB, que está contenida en el plano π, es una recta perpendicular al segmento y al vector normal. respecto de dicha recta. Geometía analítica del epacio. Matemática II Febeo 04 Opción A Ejecicio. (untuación máxima: punto),,,, petenecen al plano x y + 3z + 5 = 0. Halla la ecuacione Lo punto A = ( 0 ) y B = ( 5 0 0) de la ecta

Más detalles

= = u r y v s son l.d. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Ecuaciones generales RECTAS COINCIDENTES RECTAS SECANTES RECTAS PARALELAS

= = u r y v s son l.d. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Ecuaciones generales RECTAS COINCIDENTES RECTAS SECANTES RECTAS PARALELAS POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Ecuacione geneale : Ax + By + C = : Ax + By + C = A B A B RECTAS SECANTES \ Un punto en común A B C = A B C RECTAS PARALELAS Ningún punto en común A B C = = A B C RECTAS

Más detalles

Geometría euclídea MATEMÁTICAS II 1

Geometría euclídea MATEMÁTICAS II 1 Geometía euclídea MATEMÁTICAS II EL ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL En lo do anteioe tema, e han etudiado poblema que e efeían a incidencia, inteección y paalelimo de punto, ecta o plano, peo no poblema

Más detalles

2x y 2z. Entonces Rang A = 4 > Rang A Sistema incompatible r y s no se cortan y el problema no tiene solución. = =

2x y 2z. Entonces Rang A = 4 > Rang A Sistema incompatible r y s no se cortan y el problema no tiene solución. = = Geometía analítica del epacio. Matemática II Mazo 04 Opción A Ejecicio. (untuación máxima: punto) z Calcula la ecuación de una efea que tiene u cento en la ecta x 3 y, y e tangente al plano x y z 4 0,,.

Más detalles

TEMA12: ESPACIO MÉTRICO

TEMA12: ESPACIO MÉTRICO TEMA1: ESPACIO MÉTRICO 1. PERPEDICULARIDAD A) RECTA-RECTA: Do ecta on pependiculae i u vectoe diectoe on otogonale: V. W = 0. ota que eta condición no implica que la ecta e coten, pueden tene dieccione

Más detalles

Geometría Analítica. Ejercicio nº 1.-

Geometría Analítica. Ejercicio nº 1.- Geomeía Analíica Ejecicio nº.- a Aveigua el puno iméico de A ) con epeco a B ). b Halla el puno medio del egmeno de eemo A ) B ). Ejecicio nº.- a Halla el puno medio del egmeno cuo eemo on A( ) con epeco

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. 2º Bachillerato ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS. u v. u v.

PROBLEMAS MÉTRICOS. 2º Bachillerato ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS. u v. u v. ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS ROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESACIO 2º Bachilleato Ángulo ente do vectoe. u v = u v co(u, v) u u v α co(u, v) = v u v co α = u v u v ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS Ángulo ente do

Más detalles

ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE 2017

ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE 2017 GEOMETRÍA (Selectividad 017) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE 017 1 Andalucía, junio 17 Ejecicio 4B Sean lo vectoe u = (1,

Más detalles

TEMA 13: EL ESPACIO MÉTRICO

TEMA 13: EL ESPACIO MÉTRICO TEMA 3: EL ESACIO MÉTRICO. DISTANCIA ENTRE DOS UNTOS. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS 3. VECTOR NORMAL CARACTERÍSTICO O ASOCIADO AL LANO 4. ANGULO ENTRE DOS LANOS 5. ANGULO ENTRE RECTA Y LANO 6. DISTANCIA DE UN

Más detalles

UNIDAD Nº 5: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

UNIDAD Nº 5: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA I.E.S. Ciudad de Ajona Depatamento de Matemática. º BAC UNIDAD Nº 5: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. VECTORES. DEFINICIÓN Y OPERACIONES Definición: Un ecto fijo AB e un egmento oientado ue tiene u oigen en

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 2 opción A, modelo_1 Junio 2014

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 2 opción A, modelo_1 Junio 2014 IES Fco Ayala de Ganada Junio de 014 (Modelo 1) Soluciones Gemán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejecicio 1 opción A, modelo_1 Junio 014 Sea f : R R definida po f(x) x + ax + bx + c. [1 7 puntos] Halla a, b

Más detalles

TEMA IV: DISTANCIA ENTRE ELEMENTOS

TEMA IV: DISTANCIA ENTRE ELEMENTOS TEMA IV: DISTANCIA ENTRE ELEMENTOS 4.1.D Ditancia ente do punto Teniendo en cuenta la elacione mética que e etablecen ente la poyeccione otogonale obe un plano de un egmento AB e puede obtene la ditancia

Más detalles

2λ λ. La ecuación del plano que buscamos es p: 5x 2y + 2z

2λ λ. La ecuación del plano que buscamos es p: 5x 2y + 2z Poducto escala 060 Halla la ecuación de la ecta que cota a y s pependiculamente. x = 1 x = 6 µ : y = 11+ s: y = + µ z = 1+ z = + µ Hallamos un punto P y un punto Q s de modo que el vecto PQ sea pependicula

Más detalles

A r. 1.5 Tipos de magnitudes

A r. 1.5 Tipos de magnitudes 1.5 Tipos de magnitudes Ente las distintas popiedades medibles puede establecese una clasificación básica. Un gupo impotante de ellas quedan pefectamente deteminadas cuando se expesa su cantidad mediante

Más detalles

4.- (1 punto) Como ya sabéis, el campo eléctrico creado por una carga en un punto P, es una magnitud vectorial que viene dada por la expresión E K u

4.- (1 punto) Como ya sabéis, el campo eléctrico creado por una carga en un punto P, es una magnitud vectorial que viene dada por la expresión E K u Nombe: Cuso: º Bachilleato B Examen I Fecha: 5 de febeo de 08 Segunda Evaluación Atención: La no explicación claa y concisa de cada ejecicio implica una penalización del 5% de la nota.- (,5 puntos) Halla

Más detalles

Unidad 12: Posiciones y Métrica en el espacio.

Unidad 12: Posiciones y Métrica en el espacio. Unidad 12: Poicione y Mética en el epacio. 1) Poicione elativa en el epacio: a) De un punto con ecta y plano: a1) Un punto A petenece a una ecta i cumple u ecuacione geneale, en cao contaio e dice que

Más detalles

81 BAC CNyS GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA ÍNDICE 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO 3. ECUACIONES DE LA RECTA 4.

81 BAC CNyS GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA ÍNDICE 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO 3. ECUACIONES DE LA RECTA 4. GEOMETRÍ NLÍTIC LN 81 C CNyS ÍNDICE 1. RESENTCIÓN DEL TEM 2. UNTOS Y VECTORES EN EL LNO 3. ECUCIONES DE L RECT 4. HZ DE RECTS 5. RLELISMO Y ERENDICULRIDD 6. OSICIONES RELTIVS DE DOS RECTS 7. NGULO QUE

Más detalles

Autoevaluación. Bloque II. Geometría. BACHILLERATO Matemáticas II. Página 200

Autoevaluación. Bloque II. Geometría. BACHILLERATO Matemáticas II. Página 200 Boque II. Geometía Autoevauación Página Detemina todo o vectoe de móduo que on otogonae a o vectoe u(,, ) y v (,, ). Lo vectoe pependicuae a o do vectoe a a vez on popocionae a poducto vectoia de ambo.

Más detalles

Parametrizando la epicicloide

Parametrizando la epicicloide 1 Paametizando la epicicloide De la figua se obseva que cos(θ) = x 0 + ( 0 + ) cos(θ) = x sen(θ) = y 0 + ( 0 + ) sen(θ) = y po tanto las coodenadas del punto A son: A = (( 0 + ) cos(θ), ( 0 + ) sen(θ))

Más detalles

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con vectores AB (2,1,0) y AP (2,0,0) será:

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con vectores AB (2,1,0) y AP (2,0,0) será: xyz0 1. Dados la ecta : y el punto P(1, 0, 1) exteio a : x y z a) Halla la ecuación en foma geneal del plano que contiene a y a P b) Halla la ecuación (como intesección de dos planos) de la ecta s que

Más detalles

XIII. La a nube de puntos-variables

XIII. La a nube de puntos-variables XIII. La a nube de punto-vaiable Una vaiable e epeentada con un vecto en R n. El conunto de etemidade de lo vectoe que epeentan la vaiable contituyen la nube de punto N. m im m n i m Pogama PRESTA - 999

Más detalles

6: PROBLEMAS METRICOS

6: PROBLEMAS METRICOS Unidad 6: PROBLEMAS METRICOS 6.1.- DIRECCIONES DE RECTAS Y PLANOS Los poblemas afines tatan de incidencias (ve si un punto está contenido en una ecta o en un plano y ve si una ecta está contenida en un

Más detalles

1. (JUN 04) Se consideran la recta y los planos siguientes: 4

1. (JUN 04) Se consideran la recta y los planos siguientes: 4 Matemáticas II Cuso.. (JUN ) Se considean la ecta los planos siguientes ; ;. Se pide (a) Detemina la posición elativa de la ecta con especto a cada uno de los planos. (b) Detemina la posición elativa de

Más detalles

UNIDAD 11: PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

UNIDAD 11: PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO I.E.. Isabel Peillán y Quiós Matemáticas Depatamento de Matemáticas UNIDAD : Puntos, ectas y planos en el espacio UNIDAD : PUNTO, RECTA Y PLANO EN EL EPACIO Ecuaciones de la ecta Ecuaciones del plano Posiciones

Más detalles

Tema 7 Geometría en el espacio Matemáticas II 2º Bachillerato 1

Tema 7 Geometría en el espacio Matemáticas II 2º Bachillerato 1 Tema Geometía en el espacio Matemáticas II º Bachilleato ÁNGULOS EJERCICIO 5 : λ Dados las ectas : λ, s : λ calcula el ángulo que foman: a) s b) s π el plano π : ; i j k a) Hallamos el vecto diecto de

Más detalles

Bloque 3. Geometría y Trigonometría Tema 3 La recta en el plano Ejercicios resueltos

Bloque 3. Geometría y Trigonometría Tema 3 La recta en el plano Ejercicios resueltos Bloque 3. Geometía y Tigonometía Tema 3 La ecta en el plano Ejecicio euelto 3.3-1 Halla la ecuación vectoial, en paamética, continua y geneal de la ecta que paa po el punto indicado y tiene po vecto dieccional

Más detalles

ÁNGULOS. Tema 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (r 1,r 2 ) = cos ( v 1, v 2 ) =

ÁNGULOS. Tema 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (r 1,r 2 ) = cos ( v 1, v 2 ) = Tema 7 Recta y plano en el epacio- Matemática II º Bachilleato ÁNGULOS ANGULO ENTRE DOS RECTAS Co (, ) co (, ).. ANGULO ENTRE DOS PLANOS Co (Π, Π ) co( n, n ) n n.n. n ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Sen (,

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO Detemina la posición elativa de las siguientes paejas de planos a) 8 ' 4 6 6 b) 6 7 ' 4 c) ' 6 7 d) 4 7 Dado el plano que contenga al punto A(-,, 4), detemina

Más detalles

MAGNITUDES VECTORIALES:

MAGNITUDES VECTORIALES: Magnitudes ectoiales MAGNITUDES VECTORIALES: Índice 1 Magnitudes escalaes ectoiales Suma de ectoes libes Poducto de un escala po un ecto 3 Sistema de coodenadas ectoiales. Vectoes unitaios 3 Módulo de

Más detalles

Matemáticas 4º ESO Fernando Barroso Lorenzo GEOMETRÍA ANALÍTICA. r r

Matemáticas 4º ESO Fernando Barroso Lorenzo GEOMETRÍA ANALÍTICA. r r Fenando Baoso Loenzo GEOMETRÍA ANALÍTICA 1. Dados los vectoes cuyas coodenadas son u = ( 10, 2) y v = (13, 2), calcula el módulo u 43 u 298621 del vecto esultante de la siguiente combinación lineal w =

Más detalles

TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS

TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS Depatamento e Matemática º Bachilleato TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS 1- HAZ DE PLANOS PARALELOS Too lo plano paalelo a un plano Ax + By + Cz + D tenán el mimo vecto nomal que el e : n A, Po lo tanto, too

Más detalles

www.fisicaeingenieria.es Vectores y campos

www.fisicaeingenieria.es Vectores y campos www.fisicaeingenieia.es Vectoes y campos www.fisicaeingenieia.es www.fisicaeingenieia.es ) Dados los vectoes a = 4$ i + 3$ j + k$ y c = $ i + $ j 7k$, enconta las componente de oto vecto unitaio, paa que

Más detalles

EJERCICIOS DEL TEMA VECTORES

EJERCICIOS DEL TEMA VECTORES EJERCICIOS DEL TEMA VECTORES 1) Considea el vecto w, siguiente: w Dibuja, en cada caso uno de los siguientes casos, un vecto v, que sumado con u dé como esultado w : a) b) c) d) u u u u 2) A la vista de

Más detalles

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II 2º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática Supongamo, po ejemplo, que queemo etudia la poición elativa de una ecta que

Más detalles

TEMA10. VECTORES EN EL ESPACIO.

TEMA10. VECTORES EN EL ESPACIO. TEMA0. VECTORES EN EL ESPACIO..- Coodenadas en el espacio: En el espacio tidimensional, un punto P iene deteminado po tes coodenadas P(x, y, z) que epesentan las distancias diigidas desde los planos de

Más detalles

a) Estudiar su posición relativa en el espacio. b) Calcular las distancias entre ellas. c) Trazar una recta que corte perpendicularmente a ambas.

a) Estudiar su posición relativa en el espacio. b) Calcular las distancias entre ellas. c) Trazar una recta que corte perpendicularmente a ambas. º-Halla a y b paa que las ectas siguientes sean paalelas: x+ay - z s 4x y +6 z a ; b- x+y +bz º-Dadas las ectas de ecuaciones x z - y - (x, y,z) (,0,)+ (,,-) a) Estudia su posición elativa en el espacio.

Más detalles

RECTAS EN EL PLANO. r datos, podemos dar la ecuación de dicha recta de varias P o Ecuación vectorial

RECTAS EN EL PLANO. r datos, podemos dar la ecuación de dicha recta de varias P o Ecuación vectorial RECTAS EN EL PLANO Ecuación de la ecta La ecuación de una ecta puede dase de difeentes fomas, que veemos a continuación. Conocidos un punto P(p 1, p ) y un vecto de diección d = (d 1, d ) (o sea, un vecto

Más detalles

Matemáticas II Hoja 6: Puntos, rectas y planos en el espacio

Matemáticas II Hoja 6: Puntos, rectas y planos en el espacio Pofeso: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachilleato) Matemáticas II Hoja 6: Puntos, ectas y planos en el espacio Ejecicio : a) Halla el punto de cote ente el plano 6x y + z y la ecta que pasa po el punto P

Más detalles

Ejercicios resueltos de Geometría Afín Euclídea

Ejercicios resueltos de Geometría Afín Euclídea IES Ramón Gialdo Ejecicios esueltos de Geometía Afín Euclídea Dados los planos xyz0 y yz 0, encuenta azonadamente la ecuación geneal o implícita de la ecta paalela a los planos y que pase po el punto P0,,,

Más detalles

2.7 Cilindros, conos, esferas y pirámides

2.7 Cilindros, conos, esferas y pirámides UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 58.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides OBJETIVOS Calcula el áea y el volumen de cilindos, conos, esfeas y piámides egulaes Resolve poblemas de solidos

Más detalles

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con vectores AB (2,1,0) y AP (2,0,0) será:

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con vectores AB (2,1,0) y AP (2,0,0) será: xyz0. Dados la ecta : y el punto P(, 0, ) exteio a : x y z a) Halla la ecuación en foma geneal del plano que contiene a y a P b) Halla la ecuación (como intesección de dos planos) de la ecta s que pasa

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º Bach Tema 5: Vectores José Ramón BLOQUE 2: GEOMETRÍA DEL ESPCACIO. Tema 5: Vectores

MATEMÁTICAS 2º Bach Tema 5: Vectores José Ramón BLOQUE 2: GEOMETRÍA DEL ESPCACIO. Tema 5: Vectores MATEMÁTICAS º Bach Tema 5: Vectoes José Ramón BLOQUE : GEOMETRÍA DEL ESPCACIO Tema 5: Vectoes MATEMÁTICAS º Bach Tema 5: Vectoes José Ramón Definición de vecto Un sistema de ejes tidimensional se constuye

Más detalles

9 Ángulos y rectas OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Recta, semirrecta y segmento. Rectas paralelas, perpendiculares y secantes.

9 Ángulos y rectas OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Recta, semirrecta y segmento. Rectas paralelas, perpendiculares y secantes. 826464 _ 0341-0354.qxd 12/2/07 10:04 Página 341 Ángulo y ecta INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD A nueto alededo encontamo ecta y ángulo que influyen en nueto movimiento: calle, avenida, plano, etc. El

Más detalles

Si solo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V

Si solo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V IES Pae Poea (Guaix) UNIDAD 0 GEOMETRÍA MÉTRICA Si olo tenemo en cuenta la elacione exitente ente lo punto el epacio y lo ectoe e V, la geometía etingiá u etuio a la poicione elatia e punto, ecta y plano

Más detalles

0 1 a 1. a a = a + 2a a = 2a = 0 a = a = 2 0 Sistema incompatible a 1 1 a a a 2a 2a. a a.

0 1 a 1. a a = a + 2a a = 2a = 0 a = a = 2 0 Sistema incompatible a 1 1 a a a 2a 2a. a a. Pueba de Acceso a la Univesidad. SEPTIEMBRE 00. Instucciones: Se poponen dos opciones A y B. Hay que elegi una de las dos opciones y contesta a sus cuestiones. La puntuación está detallada en cada una

Más detalles

EXÁMENES DE CURSOS ANTERIORES

EXÁMENES DE CURSOS ANTERIORES EXÁMENES DE CURSOS NTERIORES CURSO 8 LOQUE. GEOMETRÍ EXMEN. Geoetía afín euclídea en el epacio tidienional. RECUPERIÓN EXMEN. Geoetía afín euclídea en el epacio tidienional. º CT. MTEMÁTICS II. LOQUE.

Más detalles

Si sólo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V

Si sólo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V IES Pae Poea (Guaix) Matemática II UNIDAD 0 GEOMETRÍA MÉTRICA Si ólo tenemo en cuenta la elacione exitente ente lo punto el epacio y lo ectoe e V, la geometía etingiá u etuio a la poicione elatia e punto,

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL. Operaciones con vectores libres. , siendo las componentes de ( )

CÁLCULO VECTORIAL. Operaciones con vectores libres. , siendo las componentes de ( ) CÁLCULO VECTOIAL Opeaciones con vectoes libes Suma de vectoes libes La suma de n vectoes libes P P P n es un vecto libe llamado esultante = i j k la suma de las componentes espectivas, siendo las componentes

Más detalles

MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias

MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y ectas en el espacio Poblemas de ángulos, paalelismo y pependiculaidad, simetías y distancias Ángulos ente

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA GEOMETRÍ NLÍTIC PLN / Ecuaciones de la ecta Un punto y un vecto Dos puntos Un punto y la pendiente,,,,,, Coodenadas del vecto diecto ECUCION VECTORIL (x, y) (p, p ) + τ (v, v ) ECUCION PRMETRIC x p + τ

Más detalles

Elementos de geometría en el espacio

Elementos de geometría en el espacio Elemento de geometía en el epacio 1 Elemento de geometía en el epacio Elemento báico del epacio Lo elemento báico del epacio on: punto, denominado con leta mayúcula, po ejemplo P. ecta, denominado con

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA JUNIO 2012 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos OPCIÓN A

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA JUNIO 2012 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos OPCIÓN A IES STER DJOZ PRUE DE ESO (OGSE) UNIVERSIDD DE EXTREMDUR JUNIO (GENER) (RESUETOS po ntonio Menguiano) MTEMÁTIS II Tiempo máimo: hoa y minutos Instucciones: El alumno elegiá una de las dos opciones popuestas

Más detalles

Tema 7 Problemas métricos

Tema 7 Problemas métricos Tema 7 Poblemas méticos. Plano pependicula. Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A (- -) B ( -) es pependicula al plano. Los vectoes AB n (vecto nomal del plano ) uno de los puntos A o

Más detalles

VECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES

VECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES VECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEFINICIÓN Un vecto es un segmento oientado. Un vecto AB queda deteminado po dos puntos, oigen A y extemo B. Elementos de un vecto: Módulo de un vecto es la

Más detalles

. Desarrollando esta ecuación vectorial, obtenemos: a = 3. : a = 2, b =, c = 0, y para w : a = 0, b =, c = -2.

. Desarrollando esta ecuación vectorial, obtenemos: a = 3. : a = 2, b =, c = 0, y para w : a = 0, b =, c = -2. 1 Sean los vectoes: v 1 ( 1, 1, 1) v (,, ) y v (, 1, ) Compueba que foman una base de V. Halla las coodenadas especto de dicha base de los vectoes u ( 1,, ) y w ( 1,, 1). Paa ve si son linealmente independientes

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO PROUTO ESLR a b a1 b1 + a b + a b (uando sepamos las coodenadas de a y b). a b a b cosx (uando queamos halla el ángulo que foman a y b). uando los vectoes son pependiculaes su

Más detalles

I.E.S. Mediterráneo de Málaga Modelo5_09_Soluciones Juan Carlos Alonso Gianonatti. Opción A. Ejercicio 1A

I.E.S. Mediterráneo de Málaga Modelo5_09_Soluciones Juan Carlos Alonso Gianonatti. Opción A. Ejercicio 1A Opción A Ejecicio A [ 5 puntos] Se sabe que la función f: R R definida po f ( - +b+ si ) =, es deiable. a -5+a si > Detemina los aloes de a y b Paa se deiable debe de se, pimeamente, función continua,

Más detalles

3 y un vector director Supongamos también que P x, y,

3 y un vector director Supongamos también que P x, y, . Coodenadas o componentes de un vecto Sean dos puntos a, a2, a y, 2, vecto son: b a, b a, b a b b b del espacio. Entonces las coodenadas o componentes del. Dos vectoes, CD son equivalentes ( CD ) si tienen

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE VECTORES

EJERCICIOS SOBRE VECTORES EJERCICIOS SOBRE VECTORES 1) Dados los puntos A = ( 2, 1,4) ( 3,1, 5) uuu vecto AB B =, calcula las componentes del 2) Dados los puntos A = ( 2, 1,4), B = ( 3,1, 5) ( 4,2, 3) C =, detemina las uuu uuu

Más detalles

Universidad de Tarapacá Facultad de Ciencias Departamento de Física

Universidad de Tarapacá Facultad de Ciencias Departamento de Física Univesidad de Taapacá Facultad de Ciencias Depatamento de Física Aplica el álgea de vectoes: Poducto escala Poducto vectoial Magnitudes físicas po su natualeza Escalaes Vectoiales Es un escala que se

Más detalles

RECTAS EN EL ESPACIO

RECTAS EN EL ESPACIO IES Pade Poeda (Guadi UNIDAD 9 GEOMETRÍA AFÍN RETAS EN EL ESPAIO. EUAIONES DE LA RETA Una ecta queda deteminada po Un punto A ( a a a Un ecto de diección ( A ( A; se le llama deteminación lineal de la

Más detalles

z a3 Ecuaciones continuas de la recta: eliminando el parámetro de (2) = = u u u

z a3 Ecuaciones continuas de la recta: eliminando el parámetro de (2) = = u u u Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega. Coodenadas o componentes de un vecto Sean dos puntos ( a, a ) y ( ) uuu uuu vecto son: = ( b a, b a, b a

Más detalles

1. Dado el triángulo de vértices A(5,2), B(-1,6) y C(3,-2), hallar las ecuaciones de las rectas mediana y mediatriz correspondientes al lado AB.

1. Dado el triángulo de vértices A(5,2), B(-1,6) y C(3,-2), hallar las ecuaciones de las rectas mediana y mediatriz correspondientes al lado AB. 7 GEOMETRÍ. Dado el iángulo de véice () B(-) C(-) halla la ecuacione de la eca mediana mediaiz coepondiene al lado B. B C Paa calcula la mediana (eca que une el véice opueo al lado B (véice C) con el puno

Más detalles

A continuación obligamos, aplicando el producto escalar, a que los vectores:

A continuación obligamos, aplicando el producto escalar, a que los vectores: G1.- Se sabe que el tiángulo ABC es ectángulo en el vétice C, que petenece a la ecta intesección de los planos y + z = 1 e y 3z + 3 = 0, y que sus otos dos vétices son A( 2, 0, 1 ) y B ( 0, -3, 0 ). Halla

Más detalles

( ) TEMA V. 1. Ecuaciones del plano. Tema 5 : Rectas y planos en el espacio

( ) TEMA V. 1. Ecuaciones del plano. Tema 5 : Rectas y planos en el espacio TEMA V. Ecuaciones del plano. Ecuaciones de la ecta. Haz de planos 4. Incidencia de planos y ectas 5. Ángulos en el espacio 6. Condiciones de pependiculaidad 7. Distancias en el espacio. Ecuaciones del

Más detalles

Tema 6 Puntos, rectas y planos en el espacio

Tema 6 Puntos, rectas y planos en el espacio Tema 6 Puntos, ectas planos en el espacio. Punto medio. Los puntos A (,, ) B (-,, -) son vétices de un paalelogamo cuo cento es el punto M (,, ). Halla Los otos dos vétices las ecuaciones del lado AB.

Más detalles

A para α = 1. ( α 2) 2 2( α 1) 1 α ( ) y además sabemos que A 0 A. Calculemos A 1 : A A = = A 1 1 0

A para α = 1. ( α 2) 2 2( α 1) 1 α ( ) y además sabemos que A 0 A. Calculemos A 1 : A A = = A 1 1 0 Pueba de cceso a la Univesidad. JUNIO 0. Instucciones: Se poponen dos opciones y B. Hay que elegi una de las dos opciones y contesta a sus cuestiones. La puntuación está detallada en cada una de las cuestiones

Más detalles

Problemas de la Unidad 1

Problemas de la Unidad 1 Poblemas de la Unidad.- Dado el vecto a = i + 5 j - k, calcula: a) Sus componentes catesianas, b) Módulo de las componentes catesianas, c) Módulo del vecto a, d) Los cosenos diectoes, e) Ángulo que foma

Más detalles

GEOMETRÍA. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta 2x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia

GEOMETRÍA. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta 2x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia Puebas de Acceso a la Univesidad GEOMETRÍA Junio 94.. Sin esolve el sistema detemina si la ecta x y + = 0 es exteio secante ó tangente a la cicunfeencia (x ) + (y ) =. Razónalo. [5 puntos]. Dadas las ecuaciones

Más detalles

Solución a los ejercicios de vectores:

Solución a los ejercicios de vectores: Tema 0: Solución ejecicios de intoducción vectoes Solución a los ejecicios de vectoes: Nota : Estas soluciones pueden tene eoes eatas (es un ollo escibios las soluciones bonitas con el odenado), así que

Más detalles

C. E. C. y T. No. 11 WILFRIDO MASSIEU PÉREZ

C. E. C. y T. No. 11 WILFRIDO MASSIEU PÉREZ C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Altua A Recta paalela a BC C Distancia (0, 0) Bisectiz B Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ La unidad de Apendizaje

Más detalles

3) (1p) Estudia la posición relativa de recta y plano.

3) (1p) Estudia la posición relativa de recta y plano. CURSO 007-008. 16 de mayo de 008. 1) (1p) Si A(x 1,y 1,z 1 ) y B(x,y,z ) son dos puntos del espacio, demuesta que [AB ]=(x -x 1,y -y 1,z -z 1 ). ) (1p) Deduce la ecuación vectoial de la ecta. ) (1p) Estudia

Más detalles

TANGENCIAS Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión TEMA5. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1.

TANGENCIAS Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión TEMA5. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1. ANGNIAS angencia como aplicación de lo concepto de potencia e inveión A5 DIBUJ GÉI bjetivo y oientacione metodológica l objetivo de ete tema e hace aplicación de lo concepto de potencia e inveión en la

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO PROUTO ESLR GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO a b a b cosx (uando sepamos el ángulo que foman a y b). a ba b+ a b + a3 b3 ( uando sepamos las coodenadas de a y b ). uando los vectoes son pependiculaes su poducto

Más detalles

1. Dado el triángulo de vértices A(5,2), B(-1,6) y C(3,-2), hallar las ecuaciones de las rectas mediana y mediatriz correspondientes al lado AB.

1. Dado el triángulo de vértices A(5,2), B(-1,6) y C(3,-2), hallar las ecuaciones de las rectas mediana y mediatriz correspondientes al lado AB. CURSO / FICH BLOQUE. GEOMETRÍ. Dado el iángulo de véice () B(-) C(-) halla la ecuacione de la eca mediana mediaiz coepondiene al lado B. B C Paa calcula la mediana (eca que une el véice opueo al lado B

Más detalles

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa calcla la ecación de la ecta debo conoce n pnto A(a, a 2, a 3 ) y n vecto en la diección de la ecta llamado vecto diecto. v=(v,v 2,v 3) OP=OA+AP

Más detalles

UNIDAD 7 Problemas métricos

UNIDAD 7 Problemas métricos Pág. 1 e x = 11 + 4l x = 11 9l 1 1 : y = + l : y = l z = 7 + l z = 7 7l a) Halla las istancias ente los puntos e cote e 1 y con π: x y + z 4 = 0. b) Halla el ángulo e 1 con. c) Halla el ángulo e 1 con

Más detalles

Junio 2010 OPCIÓN A. A vemos que se diferencian en el cuadrado de la matriz unitaria. Dado que en este caso. por ser la matriz nula.

Junio 2010 OPCIÓN A. A vemos que se diferencian en el cuadrado de la matriz unitaria. Dado que en este caso. por ser la matriz nula. Junio OPCÓN Poblema. a) Si obsevamos los desaollos de ) ( y ) ( vemos que se difeencian en el cuadado de la matiz unitaia. Dado que en este caso se veifica: ) ( ) ( ) ( ) ( + + ) ( ) ( ) ( b) b.) Paa que

Más detalles

Introducción al cálculo vectorial

Introducción al cálculo vectorial GRADUADO EN INGENIERÍA Y CIENCIA AGRONÓMICA GRADUADO EN INGENIERIA ALIMENTARIA GRADUADO EN INGENIERÍA AGROAMBIENTAL Intoducción al cálculo vectoial Magnitudes escalaes y vectoiales Tipos de vectoes Opeaciones

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN Puebas de selectividad PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD.004 ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN Instucciones: a)duación: 1 hoa y 0 minutos. b) Tienes que elegi ente ealiza únicamente los cuato ejecicios de la Opción

Más detalles

ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIONES DE LA RECTA Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos

Más detalles

avance de un sacacorchos que gira como lo hacemos para llevar el primer vector sobre el segundo por el

avance de un sacacorchos que gira como lo hacemos para llevar el primer vector sobre el segundo por el /5 Conceptos pevios PRODUCTO VECTORIAL DE DO VECTORE. Es oto vecto cuyo módulo viene dado po: a b a b senα. u diección es pependicula al plano en el ue se encuentan los dos vectoes y su sentido viene dado

Más detalles

ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS

ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS ÁNGULOS y DISTANCIAS ente RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática 1. PROBLEMAS DE ÁNGULOS 1 1.1 ÁNGULO DE DOS RECTAS: Si la do ecta on paalela

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL GEOMETRÍA

ÁLGEBRA LINEAL GEOMETRÍA ÁLGER LINEL GEOMETRÍ ESPCIO VECTORIL DE LOS VECTORES LIRES: V 3 Se llama vecto fijo de oigen y extemo al egmento oientado. Si el oigen y el extemo coinciden, hablamo del vecto nulo : = 0. Un vecto fijo

Más detalles

Selectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009

Selectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009 Selectividad Septiembe 9 OPCIÓN A PROBLEMAS SEPTIEMBRE 9 1.- Sea la función f () =. + 1 a) Halla el dominio, intevalos de cecimiento y dececimiento, etemos elativos, intevalos de concavidad y conveidad,

Más detalles

ÁREAS Y VOLÚMENES I. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.- a) determinen un paralelepípedo de volumen 10. b) sean linealmente dependientes.

ÁREAS Y VOLÚMENES I. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.- a) determinen un paralelepípedo de volumen 10. b) sean linealmente dependientes. Ejecicio nº.- Halla elvalo de m y v, m, sea. ÁREAS Y VOLÚMENES I paa qe el áea del paalelogamo deteminado po,, Ejecicio nº.- Dados los vectoes,,, v,, y w,, 5 ; halla elvalo de paa qe: a) deteminen n paalelepípedo

Más detalles

ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIONES DE LA RECTA Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos

Más detalles

CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO PRUEBA A

CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO PRUEBA A CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se obsevaán fundamentalmente los siguientes aspectos: coecta utilización de los conceptos,

Más detalles

RECTAS EN EL ESPACIO.

RECTAS EN EL ESPACIO. IES Pade Poeda (Guadi UNI 9 GEOETRÍ FÍN RETS EN EL ESPIO EUIONES E L RET Una ecta queda deteminada po Un punto ( a a a Un ecto de diección ( ( ; se le llama deteminación lineal de la ecta Si X ( es un

Más detalles

Potencial eléctrico. Trabajo y energía potencial en el campo eléctrico. Potencial de una carga puntual: Principio de superposición

Potencial eléctrico. Trabajo y energía potencial en el campo eléctrico. Potencial de una carga puntual: Principio de superposición Potencial eléctico Intoducción. Tabajo y enegía potencial en el campo eléctico Potencial eléctico. Gadiente. Potencial de una caga puntual: Pincipio de supeposición Potencial eléctico de distibuciones

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II CSTILL-L MNCH CONVOCTORI SEPTIEMRE 00 SOLUCIÓN DE L PRUE DE CCESO UTOR: José Luis Péez Sanz Pime loque Llamamos al adio de la base y h a la altua del cilindo. Como la capacidad del depósito

Más detalles

El Espacio Afín. I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

El Espacio Afín. I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Depatamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachilleato El Espacio Afín Po Javie Caoquino CaZas Catedático de matemáticas del I.E.S. Siete Colinas Ceuta 005 El Espacio

Más detalles

IV. Geometría plana. v v2 2. u v = u v cos α

IV. Geometría plana. v v2 2. u v = u v cos α Talle de Matemáticas 16 IV. Geometía plana IR 2 = {(x, y)/x, y IR} puede identificase con el espacio de vectoes libes del plano utilizando la base canónica: v =(v 1,v 2 )=v 1 (1, 0) + v 2 (0, 1) = v 1

Más detalles

Calcular el rango de ( AB )T. (1 punto)

Calcular el rango de ( AB )T. (1 punto) Pueba de Acceso a la Univesidad. JUNIO. Instucciones: Se poponen dos opciones A y B. Hay que elegi una de las dos opciones y contesta a sus cuestiones. La puntuación está detallada en cada una de las cuestiones

Más detalles