CALCULO DE CENTROS DE MASA

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CALCULO DE CENTROS DE MASA"

Andrea Saavedra Duarte
hace 7 años
Vistas:

1 CALCULO DE CENTOS DE MASA Determinar la posición del C.M. de un semicono. Solución: I.T.I., I.T.T., 4 Sea el semicono de la figura orientado a lo largo del eje X, de altura radio. Dado que el plano XY es un plano de simetría que divide al semicono en dos mitades simétricas, el C.M. se encontrará en dico plano, con lo cual la coordenada del C.M. será nula: C.M. Para el cálculo de la coordenada del C.M. dividimos al semicono en rodajas en forma de semidiscos de radio r espesor d. La abertura del cono nos da la relación entre la coordenada el radio r de los semidiscos: r r r El volumen de cada uno de los semidiscos será: π r d π d El volumen total del semicono será: V π d 6 π La coordenada del C.M. será: π d 8 π C.M. 4 Para la coordenada del C.M. vamos a utiliar los mismos diferenciales de volumen del cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma coordenada. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a

2 4r una distancia del diámetro, vamos a tomar esta posición como la π representativa de cada una de las rodajas utiliadas en el apartado anterior. semidisco 4r π 4r π πr d r d C.M. semidisco d 6 π Calcular el centro de masas de medio paraboloide ( ) de revolución alrededor del eje X, cuo radio en la base es, la altura es, su vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Solución: I.T.I., 4, I.T.T. Sea el semiparaboloide de la figura orientado a lo largo del eje X, de altura radio. Dado que el plano XY es un plano de simetría que divide al semiparaboloide en dos mitades simétricas, el C.M. se encontrará en dico plano, con lo cual la coordenada del C.M. será nula: C.M. r Para el cálculo de la coordenada del C.M. dividimos al semiparaboloide en rodajas en forma de semidiscos de radio r espesor d. La ecuación del paraboloide nos da la relación entre la coordenada el radio r de los semidiscos: k r k k r El volumen de cada uno de los semidiscos será: π r d π d

3 El volumen total del semiparaboloide será: V π d 4 π La coordenada del C.M. será: a π d 6 π C.M. Para la coordenada del C.M. vamos a utiliar los mismos diferenciales de volumen del cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma coordenada. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a 4r una distancia del diámetro, vamos a tomar esta posición como la π representativa de cada una de las rodajas utiliadas en el apartado anterior. 4r semidisco π 4r π πr d r d d C.M. semidisco π Determinar la posición del C.M. de una semiesfera. Solución: I.T.I., 4, I.T.T., 4 Sea la semiesfera de la figura orientada con su eje de revolución a lo largo del eje Z, de radio. Dado que el eje Z es un eje de simetría de la semiesfera, el C.M. se encontrará en dico eje, con lo cual las coordenadas e del C.M. serán nulas: C.M. C.M.

4 Para el cálculo de la coordenada del C.M. vamos a dividir la semiesfera en rodajas circulares de radio r espesor d. La ecuación de la circunferencia nos dará la relación entre r : r + r El volumen de la semiesfera es: r V ( ) d π r d π La coordenada del C.M. será: π ( ) d π 4 4 C.M. 8 π Determinar el centro de masas del cuerpo de la figura. parábola a Solución: I.T.I., I.T.T. 99, Dado que el plano XY es un plano de simetría que divide a la figura en dos mitades simétricas, el C.M. se encontrará en dico plano, con lo cual la coordenada del C.M. será nula: C.M. Para el cálculo de la coordenada del C.M. dividimos al semicono en rodajas en forma de semidiscos de radio r espesor d. La relación entre la coordenada el radio r de los semidiscos vendrá dada por la ecuación de la parábola: r C a C r a

5 El volumen de cada uno de los semidiscos será: π r d π a 4 d El volumen total de la figura será: V π a 4 d π a La coordenada del C.M. será: a π a 5 d π a C.M. 6 Para la coordenada del C.M. vamos a utiliar los mismos diferenciales de volumen del cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma coordenada. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a 4r una distancia del diámetro, vamos a tomar esta posición como la π representativa de cada una de las rodajas utiliadas en el apartado anterior. semidisco 6 5 4r π 4r π πr d a r d 6 d a 5 6 C.M. semidisco 5 a π 7 7

6 Calcular la posición del centro de masas del cuerpo de la figura. Solución: I.T.I., I.T.T. Si llamamos Z al eje de revolución del cuerpo su centro de masas, que va a estar situado por simetría en dico eje, sólo tendrá componente. Si descomponemos el cuerpo en dos pieas, un cono un cilindro, cada piea vendrá representada por la posición de su centro de masas el problema es equivalente al cálculo del c.m. de un sistema de dos partículas: + V π V π 5 4 c.m. V + V V + V 6

Documentos relacionados

Ix ʹ = 8 mb 2, I. c) El momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que pase por una de las masas (eje z ʹ ) será:

Ix ʹ = 8 mb 2, I. c) El momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que pase por una de las masas (eje z ʹ ) será: CALCULO DE MOMENTOS DE INECIA Se unen cuatro partículas de masa m mediante varillas sin masa, formando un rectángulo de lados a b. El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura que pasa