Laboratorio: Las magnitudes físicas

Transcripción

1 Laboratorio: Las magitudes físicas Departameto de Física

2 CONTENIDO Las magitudes físicas y sus medidas. Aálisis dimesioal. Errores o icertidumbres eperimetales. La medida de magitudes físicas y sus errores. Valores medios y errores e el valor medio. Cifras sigificativas: Redodeo. Propagació de errores: Error de medidas idirectas. Represetacioes gráficas. Ajuste lieal de datos eperimetales. 2

3 Las magitudes físicas y sus medidas. Se deomia magitud física a todo lo que puede ser medido. Ejemplos secillos so: la masa, la temperatura o la velocidad. Para que ua magitud física se ecuetre bie determiada, es ecesario especificar e que uidades se ha epresado dicha magitud. Por ejemplo, si deseo medir la altura de ua persoa, he de usar ua regla cuyas uidades de medida suele estar epresadas segú u patró que es el metro: Mide: Uidades 1,75 metros Toda magitud física debe ir acompañada de las uidades utilizadas para su medida. Valor de la magitud física o Itesidad NO olvidar uca. No es lo mismo decir que mide 1,75 metros, que decir que mide 1,75 pies, o 1,75 pulgadas. El sistema de uidades más comú de medida es el Sistema Iteracioal (SI). 3

4 Las magitudes físicas y sus medidas. E el Sistema Iteracioal (SI), las uidades fudametales so las que se muestra e la tabla: Eiste uidades suplemetarias, de las cuales la más comú es el águlo plao. E el SI la uidad que mide los águlos es el radiá (su símbolo es rad). Es ua uidad adimesioal. Además del SI eiste multitud de sistemas de medida como el sistema cegesimal (CGS), el sistema aglosajó de uidades o el sistema atural de uidades. Magitudes fudametales Nombre de la Uidad Símbolo Logitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segudo s Itesidad de la corriete eléctrica amperio Temperatura kelvi K Catidad de sustacia Itesidad lumiosa mol cadela A mol cd Se recomieda, siempre que sea posible, trabajar co el SI. Esto evitará errores comues resultates de operar co magitudes e sistemas de uidades distitos. Para profudizar, se recomieza el siguiete elace: Proyecto Newto es u recurso de apredizaje de Física del Miisterio de Educació y Ciecia (Gobiero de España) 4

5 Aálisis dimesioal. Es fudametal coocer las uidades e que se mide cualquier magitud. El cálculo dimesioal permite obteer dichas uidades de forma secilla cuado se calcula ua magitud idirecta a partir de la epresió que permite obteerla. Lo mostraremos mediate u ejemplo secillo. Ejemplo: Determie las uidades de medida de la velocidad, sabiedo que la velocidad de u movimieto rectilíeo uiforme se obtiee mediate la ecuació: v s t ; s=espacio recorrido y t=tiempo. Los pasos a seguir so: 1.- Poemos todas las variables etre corchetes [..] para idicar que solo os iteresa la uidad e que se mide cada ua de las magitudes. 2.- Sustituimos cada corchete por las uidades e que se mide lo que hay e su iterior. 3.- E caso ecesario, simplificamos como si operásemos co variables comues. [] v [] s [] t m s [s]=metros =m [t]=segudos=s Por tato, la velocidad se mide e m/s. Resultado geeral: Las uidades e que se mide cualquier magitud física solo puede teer otras uidades de medidas elevadas a potecias, productos o divisioes: Los siguiete casos o so imposibles: m / s ; 4 m / kg ; A/ m si( m) 5

6 Aálisis dimesioal. Casos especiales: 1-. Si hay úmeros adimesioales, e lugar de ua uidad de medida se poe 1. Por ejemplo, e qué uidades se mide el volume de ua esfera? 4 [4] 1 V R ; R=radio [ V ] [ ][ R] 1 m m 3 [3] Ya que 4 y 3 so úmeros si dimesioes y metros cúbicos. o tiee dimesioes. Luego el volume se mide e 2-. La fucioes trigoométricas (seo, coseo, ), los logaritmos y sus operacioes iversas so adimesioales, i.e., o tiee dimesioes. Por ejemplo, e qué uidades se mide el desplazamieto de u movimieto armóico simple?: ( t) Asi( t) ; A=amplitud [ ] [ A][si( t)] m 1 m Ya que la amplitud se mide e m y el seo es adimesioal, por tato el desplazamieto se mide e metros. 6

7 Errores o icertidumbres eperimetales. Toda medida eperimetal se realiza co u error o icertidumbre. Por tato, toda medida eperimetal debe ir acompañada del error o icertidumbre cometido e su obteció. Los errores se puede clasificar e tres grupos segú su orige: Error de precisió: Todo equipo de medida tiee al meos ua escala. La escala determia la míima catidad que se puede medir co el equipo, es decir: su resolució, que determia el error de precisió cometido al utilizar el aparato. Este error se puede reducir utilizado u aparato de medida más preciso. Errores sistemáticos: Se dice que u error es sistemático cuado su efecto es icremetar o dismiuir el valor de la medida siempre e la misma catidad. Su orige suele deberse a u mal fucioamieto o calibració del equipo de medida. Ua vez determiado su orige es posible elimiarlo totalmete de la medida. Solo se puede elimiar asegurádose del correcto fucioamieto del aparato y del proceso de toma de medidas. Errores accidetales o aleatorios: so los resultates de la cotribució de umerosas fuetes icotrolables que desplaza de forma aleatoria el valor medido por ecima o por debajo de su valor real. Suele deomiarse errores aleatorios o estadísticos. Los errores accidetales, al cotrario de los errores sistemáticos, so ievitables y está presetes e todo eperimeto. Nota: Usaremos las palabras error e icertidumbre idistitamete. El térmio icertidumbre está sustituyedo al térmio error, y es el actualmete aceptado e el leguaje técico. 7

8 La medida de magitudes físicas y sus errores. Cálculo del error de ua medida directa: El error de la medida Δ está determiado por el error de precisió del aparato, deomiado ε p. Depediedo del tipo de aparto usado el error de precisió se calcula como: Aparatos aalógicos: El error de precisió es la mitad de la míima magitud que puede medir el aparato. p Míima magitud medible 2 Ejemplo: El error de precisió cometido al usar ua regla dividida e milímetros es ε p = 0,5 mm. Aparatos digitales: El error de precisió es la míima magitud que puede medir el aparato. p Míima magitud medible Ejemplo: El error de precisió cometido al usar u croómetro digital cuya medida míima es 1 segudo es ε p = 1 s. 8

9 La medida de magitudes físicas y sus errores. Cálculo del error cometido al realizar medidas de ua misma magitud: Tomar ua úica medida, 0, puede ser poco fiable. Para aumetar la fiabilidad de la medició de ua magitud física se suele tomar varias medidas, 1, 2,., de la misma magitud. Cada ua de estas medidas puede dar u valor distito y tiee asociado su error de precisió. Cuál valor es el mejor? Cuál es el error de la medida? Valor medio: El mejor valor de medidas eperimetales es el valor medio de todas las medias, obteido mediate su media aritmética: i 1 Error de la medida: El error asociado al cálculo del valor medio es el deomiado error accidetal ε acc. Se calcula como: acc i i 1 i 2 9

10 La medida de magitudes físicas y sus errores. Pero: Cuál es el error de la medida, el error de precisió o el accidetal? El error fial de la medida resultate de medidas, es el máimo etre el error de precisió y el accidetal. Ejemplo: Ma Se ha medido el diámetro D del troco de u árbol co ua aparato cuya míima divisió es 1 cm. Si los 15 valores obteidos del diámetro so los mostrados e la tabla, cuál es el diámetro del troco? Diámetro (cm) , p acc El error de precisió de cada medida directa es: 1 cm p 0,5 cm 2 El valor medio de las 15 medidas es: El error accidetal es: acc 15 2 i i 1 0, Wikimedia Commos i i 1 14, 4 cm El error de la medida es: D Ma 0.5, cm D cm cm 10

11 Cifras sigificativas: Redodeo. Cuado estimamos el error de ua medida, el valor obteido preseta co frecuecia u úmero arbitrario de cifras. No tiee setido emplear cualquier úmero de cifras e el error, ya que es la primera cifra distita de cero la que determia su magitud. Al proceso de elimiar las cifras o sigificativas se le deomia Redodeo. Las reglas para redodear so: 1.- Es ecesario coocer el valor de la medida y su error epresados e las mismas uidades. 2.- El error sólo debe teer ua cifra distita de cero, salvo cuado dicha cifra sea u 1 que tedrá dos cifras. Por ejemplo, 0,6341 s debe escribirse como 0,6 s, ó 0,2921 kg se debe escribir como 0,3 kg, mietras que 1243,3 s sería 1200 s. Las reglas para obteer este resultado so: a) Si la primera cifra que se suprime es mayor que 5, la última cifra coservada debe aumetarse e 1 uidad. Por ejemplo, si redodeamos u error de 0, s, debemos escribir 0,9 s ya que la primera cifra que se suprime es 6 > 5 co lo que hay que sumar ua uidad al 8. Otro ejemplo, si redodeamos u error de m la cifra redodeada es ya que se coserva dos cifras sigificativas al ser la más sigificativa 1 y la cifra que sigue al 2 es 3<5. b) Si la primera cifra que se suprime es meor que 5, la última cifra coservada o cambia. Por ejemplo 324,393 s se debe escribir 300 s ya que la cifra más sigificativa que se suprime es 2<5. c) Si la primera cifra que se suprime es igual a 5, puede darse dos casos: Algua de la siguietes cifras suprimidas es distita de cero: etoces, la última cifra coservada se aumeta e 1. Por ejemplo, 38,124 s se redodea a 40 s. Todas las cifras suprimidas so cero: e este caso, la última cifra coservada o varía. Por ejemplo, kg se redodea a 25 kg. 11

12 Cifras sigificativas: Redodeo. 3.- Ua vez redodeado el error, se redodea la medida aplicado las mismas reglas de redodeo 1 y 2 vistas. El valor de la medida debe de teer la misma precisió que el error. Por tato, las reglas de redodeo se aplica redodeado la cifra de la medida que coicide co la posició decimal de la cifra meos sigificativa del error sobre la que se realiza el redodeo. Ejemplos: Altura de ua persoa h=1,758 m, Δh=0,029 m : Cifra sobre la que se redodea 1º Se redodea el error: Δh=0,03 m Cifra co igual posició decimal e la medida 2º Se redodea el la medida: h=1,76 m h m Tiempo de t=1234,89324 s, Δt=123 s : Cifra sobre la que se redodea 1º Se redodea el error: Δt=120 m Cifra co igual posició decimal e la medida 2º Se redodea el la medida: t=1230 m t s 12

13 Propagació de errores: Error de medidas idirectas. Cuado ua media es idirecta, se obtiee mediate cálculo co ua ecuació a partir de medidas directas, el error de dicha media se obtiee mediate la teoría de propagació de errores a partir de los errores de las medidas directas y sus valores usados e el cálculo, y de ecuació utilizada. Eplicaremos el método más comú de cálculo de errores de medidas idirectas mediate la propagació del error de las medidas directas ivolucradas. Método de cálculo de propagació de errores: Regla de las derivadas parciales. Supoer que teemos varias medias,, de magitudes físicas, cada ua co su error: 1 Δ 1, 2 Δ 2,, Δ. A partir de estos datos y aplicado la ecuació y=f( 1, 2,, ) hemos calculado el valor de la magitud y. Cuál es el error Δy de la media idirecta y? f (,,, ) f (,,, ) f (,,, ) y i f ( 1, 2,, ) Por tato el error de la medida, Δy, es: i i y i 1 f ( 1, 2,, ) i i E el cálculo aterior se realiza derivadas parciales, que so iguales que ua derivada ormal e la que todas las variables se trata como costates, meos la que aparece e el deomiador que es respecto la que se deriva. 13

14 Propagació de errores: Error de medidas idirectas. Ejemplo: Se tiee ua barra de metal de secció cuadrada, lado a=(2,5 0,2) cm, y logitud L =(92,5±0,3) cm, cuyas dimesioes se ha obteido mediate medidas directas. Calcule el volume de la barra y su error? El volume de la barra se calcula mediate la ecuació: V V ( a, L) La Por tato, el volume de la barra es: V=578,125 cm 3 Como el volume se ha obteido mediate ua ecuació, es ua medida idirecta, y para calcular su error se debe aplicar el método de propagació de errores. 2 Redodeado el error: ΔV=90 cm 3. A cotiuació redodeamos el volume co el error redodeado V V=580 cm 3. Por tato, el resultado fial es: 3 cm 14

15 Masa (kg) Masa (kg) CURSO CERO DE FÍSICA.UC3M Represetacioes gráficas. La represetació de datos y resultados e gráficas cartesiaas es ua de las formas más comues y útiles de visualizar los resultados. Para ua correcta represetació de los datos solo hay que seguir ua serie de reglas secillas. 1.- Siempre hay que idicar qué se represeta e cada escala, juto co sus uidades. 2.- La escala elegida debe permitir ua fácil lectura e idetificació de los valores. 3.- Las ordeadas y abcisas puede teer distitas escalas. 4.- Los putos eperimetales debe de ser claramete visibles. 5.- Los ejes o tiee por qué empezar e el puto (0, 0). 6.- Las escalas de los ejes debe elegirse de forma que facilite la represetació gráfica, co los putos eperimetales lo más espaciados posibles. 7.- Si los putos eperimetales se ajusta a ua curva, se dibujará sta co trazo cotiuo. 8.- Muy importate, al mirar la gráfica os debe resultar agradable Tiempo (s) Tiempo (s)

16 Velocidad (m/s) CURSO CERO DE FÍSICA.UC3M Ajuste lieal de datos eperimetales. E muchos casos, las leyes físicas se puede epresar mediate la ecuació de ua recta, i.e., tiee ua depedecia lieal. U ejemplo es la velocidad e fució del tiempo de u movimieto rectilíeo uiformemete acelerado. v() t v0 at ; a=aceleració; t=tiempo; v0=velocidad iicial. Esta ecuació coicide co la ecuació de ua recta, dode: y b m Dode b es la ordeada e el orige y m la pediete de la recta. y b v v 0 t m a Si medimos la velocidad v e fució del tiempo t y represetamos los datos eperimetales (putos de la gráfica), se dispodrá más o meos a lo largo de ua recta. La ley física v= v 0 +a t es la ecuació de ua recta, y por tato, si midiésemos perfectamete todos los putos se dispodría a lo largo de ua recta. Esa recta es la que mejor ajusta a los putos eperimetales, y correspode aproimadamete co la que trazaríamos como mejor recta etre las posibles (líea azul) Tiempo (s)

17 Ajuste lieal de datos eperimetales. Si ajustamos los datos eperimetales a la ley física: v() t v0 at ; a=aceleració; t=tiempo; v0=velocidad iicial. obtedremos la aceleració y la velocidad iicial. Para ello seguimos el siguiete procedimieto gráfico. 1.- Trazamos la recta que a ojo mejor ajusta a los datos eperimetales. 2.- Idetificamos qué magitudes físicas correspode a cada uo de los parámetros de la recta: y b m y b v v Medimos e la gráfica la ordeada e el orige y calculamos la pediete. 4.- Idetificamos esos valores co las magitudes físicas que se desea obteer, y obteemos la ley física fial. t m a y 20 1,5 2 v0 0 9 m / s ; a m 13,3 m / s v( t) 9 13,3 t 17