1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar.

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1 NOTAS DE LASE ÁLULO III Unidad 4: INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEOREMAS FUNDAMENTALES Guía de Estudio Doris Hinestroza 1

2 Índice 1. INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEO- REMAS FUNDAMENTALES DEL ÀLULO VE- TORIAL Resumen de la Unidad Trabajo en clase Problemas resueltos Exámenes cortos realizados Exámenes finales realizados

3 GUIA DE ESTUDIO 4 1. INTEGRALES DE LINEA, DE SU- PERFIIE, TEOREMAS FUNDAMEN- TALES DEL ÀLULO VETORI- AL 1.1. Resumen de la Unidad 1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar. 2. Plantear y resolver integrales de línea e integrales de superficie. 3. Interpretar las aplicaciones físicas y geométricas de las integrales de lìnea y de superficie. 4. Entender y saber demostrar la ley de la conservación de la energía. 5. Saber las propiedades fundamentales de integrales de lìnea de campos vectoriales. 6. Resolver problemas sobre flujo de un campo vectorial. 7. Operar con gradiente, divergencia y rotor de un campo. 8. Resolver problemas aplicando los teoremas integrales (Gauss, Green y Stokes). 3

4 1.2. Trabajo en clase 1. Qué es un campo vectorial? Dé tres ejemplos que tengan un signficado físico. 2. Escriba la definición de F d r y de integral de superficie F d r, lo mismo de las definiciones para campos escalares S fds y de integral de superficie S fds. 3. Escriba una parametrización de la elipse y de la circunferencia. 4. Si f tiene derivadas continuas parciales sobre R 2 y es cualquier círculo, muestre que f dr =. i) Qué es un campo vectorial conservativo? ii) Qué es una función potencial? 5. Determine si los siguientes campos son conservativos o no I) F(x, y) = (x 2 yx, y 2 xy) II) F(x, y) = (x 2 yx, y 2 xy) 6. Encuentre la funciòn potencial si F(x, y, z) = i) Escriba la definición de una integral de línea de un campo vectorial, a lo largo de una curva suave. ii) Escriba la definición de una integral de línea de un campo escalar, a lo largo de una curva suave, con respecto a la longitud de arco. iii) ómo evaluaría dichas integrales de línea? i) Si F es un campo de fuerza. Qué significa F d r? 4

5 ii) Si k(t) = 1 2 mv2 (t) energía cinética. Demuestre que si r : [a, b] Ω R n (n = 2, n = 3) entonces F dr = k(b) k(a). iii) En el caso que F sea un campo de fuerzas conservativo. Demuestre la Ley de la onservación de la Energía. iv) Qué quiere decir que F d r es independiente de la trayectoria? v) Si sabemos que F d r es independiente de la trayectoria, qué podemos decir respecto de F? 7. Enuncie el Teorema de Green. 8. Escriba la fórmula para el área encerrada por una curva en términos de las integrales de línea alrededor de. 9. Sea sea F = (P, Q) un campo vectorial gradiente en R 2. ( F = f, donde f es un campo escalar f : R 2 R). a) Muestre que Q x P y para todos los puntos (x, y) en un dominio Ω cerrado y acotado. b) Use el teorema de Green para mostrar que Pdx + Qdy = Ω donde Ω es la frontera de Ω. 1. Sean b > a > los radios de dos cìrculos concéntrìcos en el origen 1 y 2 respectivamente y sea F = (P, Q) un campo vectorial diferenciable en la regiòn anular Ω. 5

6 Muestre que Ω ( Q x P y ) dxdy = Pdx + Qdy Pdx + Qdy 11. Si F es un campo vectorial sobre R 3. a) Defina Rot F = F. b) Defina divf = F. c) Si F es un campo de fluídos uáles son las interpretaciones físicas de Rot F y de divf? 12. Si F = P i + Q j = (P, Q). u ales son las condiciones sobre el campo vectorial F para que este sea un campo conservativo? i) Escriba la definición de una integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar f sobre un superficie S. ii) ómo evalua dicha integral si S es parametrizada por la función vectorial r (u, v)? iii) Qué pasa si S está definida como la gráfica de z = g(x, y)? 6

7 i) Enuncie el Teorema de Stokes. Dé un ejemplo. Dé un ejem- ii) Establezca el Teorema de la Divergencia. plo. iii) En qué forma son similares entre sí el Teorema de Green, el Teorema de Stokes y el Teorema de la Divergencia. 13. alcule el flujo del campo ( F (x, y, z) = 1 + r 3) (x, y, z), con r = x 2 + y 2 + z 2, a través de la esfera (x 1) 2 + (y 1) 2 + (z 1) 2 = 1 con la normal exterior Problemas resueltos 1. Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza F (x, y, z) = (z, y, x) = zi+yj xk al mover una partícula desde (1,, ) hasta (, π/2, 3) a lo largo de a) Una recta. b) La hélice x = cos t, y = t, z = 3sent Solución: La parametrización de la recta está dada por r (t) = (1,, )+t( 3, π/2, 3) = (1 3t, πt/2, 3t), t 1. Se tiene entonces que F ( r (t)) = (3t, πt/2, 3t 1) y F ( r (t)) r (t) = (3t, πt/2, 3t 1) ( 3, π/2, 3) = 9t+π 2 t/4+3(3t 1). 7

8 El trabajo es dado por W = = = F.d r = F (r(t)) r (t)dt (3t, πt/2, 3t 1) ( 3, π/2, 3)dt ( 9t + π 2 t/4 + 3(3t 1) ) dt = 9t 2 /2 + π 2 t 2 /8 + 3(3t 2 /2 t) 1 = 9/2 + π 2 /8 + 3/2 = 3π 2 /8 3 En el caso de la hélice consideremos β (t) = (3 cost, t, 3sent), t π/2, β (t) = ( 3sent, 1, 3 cost), F (β(t)) = (3sent, t, 3 cost) F ( β (t)) β (t) = 3sen 2 t+t 3 cos 2 t = 3 + t. Por lo tanto W = = π/2 π/2 F.d β = F (β(t)) β (t)dt ( 3 + t) dt = 3t + t 2 /2 π/2 = π 2 /4 3π/2 2. Use el teorema de la divergencia para hallar S F n ds donde F = (yz, xy, xz) y n es el vector normal a la superficie S, la cual es la frontera del sólido en el primer octante dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y entre los planos z = y 8

9 z = 4. Solución: La divergencia de F es div F = F = x (yz)+ y (xy)+ (xz) = +x+x = 2x. z Así, por el teorema de la divergencia tenemos que F n ds. = div F (x, y, z)dv = S = V π/2 1 4 = 8 r3 3 1 π/2 2r cos θrdzdrdθ cosθdθ = 8/3 V 2xdV 3. Si es cualquier curva cerrada simple y suave y si f y g son funciones reales derivables, muestre que f(x)dx+g(y)dy =. Solución: Aplicamos el teorema de Green. En este caso P(x, y) = f(x) y Q(x, y) = g(y). Puesto que Pdx+Qdy = ( Q P x y ( ) Ω Q tenemos que P = g(y) f(x) = y por lo tanto x y x x f(x)dx + g(y)dy =. 4. Usando el teorema de Green halle el àrea de la regiòn Ω acotada por la elipse con ecuaciòn x 2 a + y2 = 1, a, b >. 2 b2 Solución: Una parametrización de la elipse está dada por r (t) = (a cost, bsent). t 2π. Sea la curva parametrizada por r (t) ) da, 9

10 De acuerdo al teorema de Green area(ω) = dxdy = 1 ydx + xdy 2 = 1 2 = 1 2 = ab 2 Ω 2π 2π 2π ( bsen (t) ( asen (t)) + a cos (t) (b cos (t)))dt ab ( cos 2 (t) + sen 2 (t) ) dt dt = abπ 5. Sea S la parte del plano x + 2y + z 4 = limitada en el primer octante con vector normal apuntando al exterior. 1

11 Use el teorema de Stokes para hallar F.d α, donde es la curva orientada positivamente y que encierra la regiòn plana y F = (z, y, xy) Solución: Observemos que si resolvemos la integral de lìnea directamente sin utilizar el teorema de Stokes tendrìamos que resolver tres integrales de lìnea correspondientes a cada segmento. Usando el teorema de Stokes se reduce a calcular una integral doble. Hallemos inicialmente el rotacional del campo i j k Rot F = F = x y z z x xy = ( x, 1 + y, 1). La parametrización de la superficie plana está dada por r (u, v) = (u, v, 1 2u 2v) donde u 1/2, v 1 2u r u r v = (2, 2, 1) (vector exterior) 11

12 vector exterior. Entonces F.d α = Rot F d r = = = = = S 1/2 1 2u 1/2 1 2u 1/2 1/2 1/2 Rot F ( r (u, v)) r u r v dudv ( 2u + 2v + 3) dudv ( 2uv + v 2 + 3v ) 1 2u du 2u(1 2u) + (1 2u) 2 + 3(1 2u)du ( 8u 2 12u + 4 ) du = 5/6 6. onsidere la superficie determinada por la gráfica de la función z = x 2 + y 2 y el plano z = 4. a) Describa y grafique el sólido V limitado por esta superficie. b) alcule el area lateral de la superficie. c) Halle el flujo del campo dado por F = (x, y, z) a través de la frontera del sólido V en la dirección del vector exterior. solución: 12

13 La parametrizaciòn de la parte lateral està dada por r (u, v) = (u cos(v),usen (v),u 2 ) con u 2, v 2π. r u r v = i j k cos(v) sen(v) 2u usen(v) u cos(v) = ( 2u 2 cos(v), 2u 2 sen(v), u). r u r v = 4u 4 + u 2 = u 1 + 4u 2 Por lo tanto el àrea lateral està dada por Area_Lateral = 2π 2 u 4u 2 + 1dudv = π 6 ( 17 3/2 5 3/2). 13

14 Utilizando el teorema de la divergencia podemos calcular el flujo del campo. div( F ) = 3. Asì F.d r = div(f)dv V V = 3 dv = 3 V 2π r 2 rdzdrdθ = 6π rz 4 r dr = 6π r(4 r 2 )dr 2 = 24π 1.4. Exámenes cortos realizados QUIZ 8 1. Si f(x, y, z) = x 2 z 3 + y 2 y es el segmento que une el punto inicial ( 1, 1, 1)con el punto final (1, 1, 1), halle f dr. 2. Si f tiene derivadas continuas parciales sobre R 2 y es cualquier círculo, halle f dr. 3. Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza F (x, y, z) = (z, y, x) = zi+yj xk al mover una partícula desde (1, 1, 1) hasta (2, 4, 8) a lo largo de la curva y = x 2 y z = x 3. Determine si el trabajo es independiente del camino. 4. onsidere el perimetro del cuadrado unitario orientado en el sentido positivo con vértices (, ), (1, ), (1, 1) y (, 1). Halle x2 dx + yxdy. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 14

15 QUIZ Usando la definición de integral de línea calcule F dr donde F(x, y) = yi xj y es el círculo x 2 + y 2 = 9 orientado positivamente. 2. Usando el teorema de Green evalue ydx+(x2 +x)dy, donde es la circunferencia x 2 + y 2 = Que significa que un campo vectorial sea un campo conservativo? Podría demostrar la ley de la conservación de la energía? QUIZ 9 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& Determine cuando el enunciado es verdadero o falso. Justifique su respuesta. 1. Si F es un campo vectorial, entonces la div F es un campo vectorial. 2. Si F es un campo vectorial, entonces la rot F es un campo vectorial. 3. Si F es un campo vectorial conservativo, F dr es independiente del camino que una los puntos A y B. 4. Si S es una esfera y F es un campo vectorial constante, entonces S F n ds =. QUIZ 1 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 15

16 1. onsidere la superficie parametrizada por r(u, v) = (v cosu, vsen u, v), u 2π, v 1. a) Halle el área superficial de la superficie. b) Halle S x2 + y 2 + 1dS. c) Halle (x, y, z 2 ) ds. S 2. (a) Hallar (x, y, z) ds. donde S es la esferea x 2 +y 2 +z 2 = S (b) Evalue S yds donde S es la superficie &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& QUIZ a) Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza F (x, y, z) = (z, y, x) = zi+yj xk al mover una partícula desde (1,, ) hasta (, π/2, 3) a lo largo de: (a) Una recta. (b) La hélice x = cost, y = t, z = 3sent. ( y x b) onsidere el campo vectorial F(x, y) = x 2 + y 2, x 2 + y 2 alcule la integral de línea a lo largo de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 orientada positivamente. Es el campo conservativo? Explique. Podría aplicarse el teorema de Green para calcular la integral de línea que usted calculó. Explique. c) Si f(x; y) = x 2 y y es el segmento que une los puntos ( 1, 1) hasta el punto (2, 1), halle f d r. Que significa que un campo vectorial sea un campo conservativo? Podría demostrar la ley de la conservación de la energía? 16 ).

17 d) Use el teorema de Green para calcular y 3 dx x 3 dy donde es una curva simple orientada positivamente consistiendo en el segmento que va desde ( 2, ) hasta (2, ) y en la parte inferior de la circunferencia x 2 +y 2 = 4. e) Si es cualquier curva cerrada simple y suave y si f y g son funciones reales derivables, halle f(x)dx+g(y)dy. f ) Dado F (x, y, z) = (x cos(y), y sin(x), xyz), calcule; div F, rot F Exámenes finales realizados EXAMEN FINAL DE ALULO III 1. onsidere la función z = f(x, y) = yx 2 a) Haga un bosquejo de la curva de nivel de f que pasa por el punto (1, 1). Señale el gradiente tomado desde algún punto (1, 1) sobre la curva de nivel. b) Explique el significado de la dirección y la norma del gradiente de f en el punto (1, 1). c) alcule la deriva direccional en el punto P(1, 1) en la dirección del vector y = (3, 4). d) Encuentre la ecuación del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a la gráfica de f en el punto (5, 2, f(5, 2)). e) Si x = uv, y = 1 2 (u2 v 2 ), halle usando regla de la cadena z u. f ) Halle el valor máximo absoluto de la función f en la región acotada dada por x, y y x 2 + y

18 2. onsidere la superficie S definida por xy 2 + 4yz 3 xz = ( ) a) Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto P = (2, 1, 1). b) La ecuación (*) para S define a z como función implícita de x and y. alcule z y. 3. onsidere la integral I = 1 1 x x 2 1 x 2 y 2 x 2 +y 2 ( x 2 + y 2 + z 2) dzdydx a) Haga un bosquejo del sólido Ω. b) Exprese la integral en coordenadas cilíndricas. c) Exprese la integral en coordenadas esféricas. d) alcule I 4. La integral de cierta función f sobre una región Ω del plano esta dada por 3 π/2 r 3 dθdr Bosqueje la región de integración, halle la función z = f(x, y) y convierta la integral en coordenadas cartesianas. a) onsidere el campo vectorial ( ) y x F(x, y) = x 2 + y 2,. x 2 + y 2 18

19 alcule la integral de línea a lo largo de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 orientada positivamente. Es el campo conservativo? Explique. Podría aplicarse el teorema de Green para calcular la integral de línea que usted calculó. Explique. b) Si f(x; y) = xy 2 y es el segmento que une los puntos (1, 1) hasta el punto (3, 2), halle f d r. c) Use el teorema de Green para calcular y 3 dx x 3 dy donde es una curva simple orientada positivamente consistiendo en el segmento que va desde ( 3, ) hasta (3, ) y en la parte superior de la circunferencia x 2 +y 2 = 9. d) Dado F (x, y, z) = (x sin(y), y cos(x), xyz), calcule; div F, rot F. 5. Una partícula r(t) se mueve de tal manera que su vector velocidad en cada instante t es v (t) = r (t) = (e t, e t cost, e t sent). Halle: a) el vector tangente unitario T y el vector normal N y exprese el vector aceleración en la forma a(t) = a TT(t)+ a n N(t). b) la curvatura en t =. c) la distancia recorrida por la partícula desde t = hasta t = 2. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& EXAMEN FINAL OPIONAL DE ALULO III 1. [25pts] onsidere el paraboloide z = f(x, y) = x 2 + y

20 a) Bosqueje el paraboloide. b) Bosqueje la curva de nivel de f que pasa por el punto ( 1, 1) y señale el gradiente tomado desde el punto. c) Halle la máxima razón de cambio f en el punto ( 1, 1). d) Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto ( 1, 1, 1). e) Encuentre una ecuación vectorial de la recta que es normal al paraboloide y que pasa por el punto ( 1, 1, 1) 2. [2pts] a) Si un campo vectorial F cumple que F = ϕ donde ϕ(x, y) = x 2 + y calcule la integral de línea F dr donde es la semicircunferencia superior de x 2 +y 2 = 1 que va desde el punto ( 1, ) hasta (1, ). b) alcule rotf y divf si F = (x 2 z, 2xseny, 2z cos y). c) Use el teorema de Green para calcular y 3 dx x 3 dy donde es la circunferencia x 2 + y 2 = 1 orientada en el sentido contrario a las manecillas del reloj. d) onsidere el campo vectorial ( ) y x F(x, y) = x 2 + y 2,. x 2 + y 2 alcule la integral de línea a lo largo de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 orientada positivamente. Es el campo conservativo? Explique. Podría aplicarse el teorema de Green para calcular la integral de línea que usted calculó. Explique. 3. [2pts] onsidere la integral I = 2 2 x 2 4 x 2 y 2 x 2 +y 2 x x2 + y 2 + z 2 dzdydx 2

21 a) Haga un bosquejo del sólido Ω. b) Exprese la integral en coordenadas cilíndricas. c) Exprese la integral en coordenadas esféricas. d) alcule I 4. [15pts] a) Si la derivada direccional de T en el punto (1, 2) en la dirección 1 2 (1, 1) es y la derivada parcial de T respecto a y en el punto (1, 2) es 8, alcule T(1, 2). b) Si z = f(x, y) es una función diferenciable y x = uv, y = 1 2 (u2 v 2 ), halle usando regla de la cadena 2 z v u. c) Sea f(x, y) = x 4 y 4 4xy. Verifique que P(1, 1) es un punto crítico de f y determine su naturaleza. 5. [15 pts] Una partícula r(t) se mueve de tal manera que su vector velocidad en cada instante t es v (t) = r (t) = (e t, e t cost, e t sent). Halle a) Halle la longitud de la curva entre r () y r (1). b) Halle v, T, N c) Halle las componentes a T y a N. Exprese el vector aceleración a como combinación lineal de T y N. d) Halle k(t) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& EXAMEN FINAL DE ALULO III(OT) (A) PRIMERA PARTE (3%) 1. Halle la dirección de máximo y derivada direccional máxima de f(x, y) = x 2 y 2 en (1, 1). 21

22 2. Encuentre la ecuación vectorial de la recta perpendicular a la curva de nivel de f(x, y) = x 3 xy 2 que pasa por el punto (1, 2). 3. Sea f(x, y) = x 4 y 4 4xy. Verifique que P(1, 1) es un punto crítico de f y determine su naturaleza. 4. alcule la integral x 1 e x2 dydx. 5. Exprese la integral Ω (x 2 + y 2 )dxdy en coordenadas polares si Ω es la región acotada en el primer cuadrante entre el eje x, la recta y = x y la circunferencia x 2 + y 2 = Si un campo vectorial F cumple que F = ϕ para cierto campo escalar, calcule la integral de línea F dr donde es la circunferencia x 2 + y 2 = 1 orientada positivamente. SEGUNDA PARTE (7 %) 5% 1. Una partícula se mueve en el espacio de tal forma que en el instante t = t, el vector velocidad es (1, 1, 1) y el vector aceleración es ( 2, 1, ). Halle a T (t ), a N (t ) a) Si una partícula describe una curva en el espacio de tal manera que los vectores aceleración y velocidad tienen siempre magnitud constante, pruebe que la curvatura es constante en cada punto de la curv 1% 2. onsidere la función z = f(x, y) = x 2 + (y 1) 2 i) Bosqueje la curva de nivel de f que pasa por el punto (1, 1) y señale el gradiente tomado desde el punto. ii) Halle la derivada direccional de f en el punto (1, 1) y en la dirección hacia ( 1, 6). 22

23 iii) Si x = u z, y = uv. Halle v u. iv) Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (2, 2, f(2, 2)). 5% 2. Encuentre los valores extremos de f(x, y) = x 3 + x 2 + y2 3 en el disco x 2 + y % 3. Exprese el volumen del sólido entre las esferas x 2 +y 2 +z 2 = 4 y x 2 +y 2 +z 2 = 1 y dentro del cono z = 1 3 x2 + y 2, usando a) oordenadas cartesianas. b) oordenadas cilíndricas. c) oordenadas esféricas. 1% 4. Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza F (x, y, z) = (z, y, x) = zi+yj xk al mover una partícula desde (1,, ) hasta (, π/2, 3) a lo largo de a) Una recta. b) La hélice x = cos t, y = t, z = 3sent 1% 5 (a) Establezca el teorema de la divergencia para un campo vectorial en R 3. (b) Use el teorema de la divergencia para hallar S F n ds donde F = (yz, xy, xz) y n es el vector normala a la superficie S la cual es la frontera del sólido en el primer octante dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y entre los planos z = y z = 4. 1% 6. onsidere el campo vectorial F = (yz, xz, xy) y S es la superficie determinada por parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y arriba del plano xy (ver figura). 23

24 a) Halle la ecuación vectorial de la curva. b) Halle F.d r c) Halle S Rot F ds PRIMERA PARTE (4 %) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1. Responda a cada una de las siguientes puntos i. Halle la una parametrización de una circunferencia centrada en el origen y orientada positivamente. ii. Trace una curva en el plano, señale su orientacion y en un punto cualquiera de la curva señale los vectores tangente unitario, normal unitario y la aceleración ( en este caso considete que la componente tangencial de la aceleración es negativa). iii. Determine si existe lím (x,y) (,) xy x 2 + y 2 iv. Invierta el orden de integración y calcule la integral 1 1 dxdy. y ex2 24

25 v. Sea r : I R R n es diferenciable y es tal que r (t) = c (constante) para todo t I. Que propiedad geométrica tiene esta curva? vi. Si f(x, y) = y 3 xy, halle la máxima razón de cambio f y la dirección de máximo crecimiento en el punto donde x = 1, y = 1. vii. Mencione algunas propiedades de un campo vectorial F que sea conservativo. viii. Sea x = u, y = uv u >, v >. Al hacer el cambio de variable y transformar la región T en el plano v uv, por la región Ω en el planoxy. Escriba la integral f(x, y)dxdy usando el nuevo sistema de coordenadas u, Ω v. ix. Sea z = f(x, y) donde x = uv, y = u v. Usando regla de la cadena, halle 2 z v u x. Sea una curva cerrada simple orientada positivamente, encerrando una región Ω en el plano xy. Halle la integral de línea ( y + x 2 )dx + (x + y 2 )dy SEGUNDA PARTE (6 %) 1. [15pts] Encuentre el máximo y mínimo absoluto de f(x, y) = x 2 y 2 + x 3, sobre la región Ω : x 2 + y [25 pts] onsidere la integral 1 1 x x 2 y 2 (x 1 x 2 x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 dv. 2 +y 2 Haga un bozquejo de la región de integración y exprese la integral en coordenadas cilíndricas y esféricas. alcule la integral en el sistema de coordenadas que usted considere más conveniente. 5. [2pts] Si r (u, v) = (u, v, 1 u 2 v 2 ), Ω = {(u, v) : u 2 + v 2 1}, es la parametricación de una superficie S. 25

26 a) Haga un bozquejo de la superficie S. b) Halle r u r v y la ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto r ( 2, 2 ). 4 4 c) onsidere el campo vectorial F (x, y, z) = (x, y, z). Halle F d r donde es la circunferencia unitaria en el plano z = con centro en el punto (,, ) orientada positivamente. d) onsiderando la región acotada por el paraboloide S y por el plano z =, determine el flujo del campo vectorial F que sale de dicha región. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& EXAMEN FINAL DE ALULO III PRIMERA PARTE (4 %) Para cada parte, escoja y marque la o las respuestas. i. Los bosquejos de los sólidos de integración en las integrales 2π 1 2 r 2 2π 2 π/4 triples rdzdrdθ y ρ 2 sen ϕdϕdρdθ son ii. La longitud de la curva r(t) = (t, sen(t), cos(t)) para t π/2 es A. 2π B. π 2 2. π 2 D. π F es conservativo. Señale la afir- iii. Si un F campo vectorial mación verdadera 26

27 A. F.d r : es una curva cerrada B. RotF = F. F = ϕ para algún campo escalar ϕ D. div F = F = iv. La ecuación del plano tangente a la superficie z = e x +cos(y) en el punto (,, 2) es A. x + y + z = 1 B. z = x + 2. z = 3x + 2y D. x + y z + 1 = v. El vector binormal de una curva está dado por B = N T. Dos afirmaciones son falsas, seleccionelas A. db dt y B son perpendiculares B. dn dt y N perpendiculares. db dt y T son colineales D. N y T son colineales vi. Al invertir el orden de integración, tenemos que la integral 1 1 dxdy es igual a y ex2 A. 1 1 dxdy B. 1 y y ex2 dydx ex2. 1 x dydx D. o ex2 1 1 dydx x ex2 vii. Si (x 2 + y 2 ) z = xy y z = f(x; y) implicitamente, si z = 1/2 cuando x = y = 1, el valor de z (1, 1) es x A. 3 B D. viii. La integral (x 2 + y 2 ) da en coordenadas polares, en la Ω región sombreada es A. 1 2π 2 π r2 dθdr B. 2 2π rdθdr 1 π 27

28 . 2 2π 1 π r2 dθdr D. 2 2π 1 π r3 dθdr II PARTE (6) 1. [2 pts] a) Halle los máximos y mínimos (si existen) de la función f(x, y) = x+y en el conjunto ecuación Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 4}. Geometricamente explique sus soluciones. b) Aplique el teorema de Green para calcular y 3 dx x 3 dy donde esta dada por x 2 + y 2 = 4. c) Si r (u, v) = (u, v, 3 u 2 v 2 ), Ω = {(u, v) : u 2 + v 2 3}, es la parametricación de una superficie. Haga un bosquejo de la superficie. Halle r u r v cuando u = 1, v = 1. Halle la ecuación del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta en el punto r ( 1, 1). de la superficie. d) f(x, y) = 2x 3 y y es el segmento que une los puntos (1, 1) hasta el punto (2, 1), halle f.d r. e) Sea f una función de dos variables con derivadas de orden dos continuas. Si z = f(x, y) y x = u 2 + v y y = v u, halle usando regla de la cadena z u,. 2 z v u. f ) Si f(x, y) = y 3 x 3, halle la máxima razón de cambio f y la dirección de máximo crecimiento en el punto donde x = 1, y = 1. 2.[1pts] Sea r (t) = ( t3/2, t, 1 2 t2 ) una parametrización de una curva. 28

29 a) Halle la longitud de la curva entre r () y r (1). b) Halle v, v y a. c) Halle las componentes a T y a N. d) Halle k(t) 3. [15 pts] Exprese la integral (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 dv, en coordenadas Ω cartesianas, cilíndricas y esféricas donde Ω es la región acotada en el primer octante por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1, dentro del cono z = x 2 + y 2 alcule la integral en el sistema de coordenadas que usted considere más conveniente. 4. [15 pts] Sea F (x, y, z) = (xy, z, x). a) Halle F d r donde es la circunferencia unitaria en el plano z = con centro en el punto (,, ). b) Halle div F (x, y, z) = F (x, y, z) y Rot F (x, y, z) = F (x, y, z) c) alcule el flujo de F a través de la superficie dada por x 2 + y 2 1, z =. d) alcule el flujo a través del volumen acotado por el cilindro x 2 + y 2 = 1, entre los planos z = y z = 1. 29

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