DECISIONES GERENCIALES II Bibliografía Básica

Transcripción

1 DECISIONES GERENCIALES II Bibliografía Básica Métodos Cuantitativos para los Negocios. Barry Render y Otros (libro texto) Métodos Cuantitativos para Administración. Frederick Hiller y otros. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. F. J. Gould y otros. Investigación de Operaciones. Wayne Winston. Investigación de Operaciones. Handy Taha. Programación Lineal: Elementos Básicos y Problemas Resueltos. Marisela Hernández.

2 LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES Estrategia de Evaluación Se realizarán cuatro (4) pruebas presénciales que aportarán el 80% de la calificación total de cada estudiante. Igualmente los estudiantes entregarán un informe escrito con el análisis de las interpretaciones de casos propuestos, artículos, o cualquier otro material que el profesor crea conveniente, el cual será expuesto y aportará el 20% para completar la nota total individual de los estudiantes. La asistencia a clases es estrictamente obligatoria, sobre todo a las exposiciones, la cuales se desarrollan en el transcurso del semestre. La ausencia sin justificación a cada exposición será motivo suficiente para restar cinco (5) puntos sobre la exposición inherente a cada estudiante. No hay recuperativo, solo diferido debidamente justificado y comprobado con certificación de CAMIULA si fuese el caso.

3 LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES Un administrador puede incrementar la toma de decisiones aprendiendo más sobre metodología cuantitativa y comprendiendo mejor su contribución al proceso de toma de decisiones. Aquel administrador que se familiarice con los procedimientos cuantitativos de toma de decisiones estará en mucha mejor posición para comparar y evaluar las fuentes cualitativas y cuantitativas, y finalmente de combinar ambas, a fin de tomar la mejor decisión posible.

4 LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES La revolución de la Administración Científica que inició Frederick W. Taylor, a principios del siglo pasado, puso las bases para el uso del los métodos cuantitativos en la administración, pero se considera que el uso de los métodos cuantitativos se originó a mediados de los cuarenta, cuando se formaron grupos para resolver problemas mediante métodos científicos. Años más tarde, gran parte de estos equipos multidisciplinarios continuaron investigando procedimientos cuantitativos par la TOMA DE DECISIONES. Tres hechos llevaron al desarrollo y uso de los métodos cuantitativos: Descubrimiento por parte de George Dantzing en 1947 del método simplex para la resolución de problemas de programación lineal. Publicación del primer libro sobre Investigación de Operaciones en el año 1957 por parte de Churchman, Ackoff, y Arnoff. Desarrollo del procesador electrónico.

5 ROL DEL ANÁLISIS CUALITATIVO Y CUANTITATIVO Estructuración del Problema Análisis del Problema Definir el problema Identificar alternativas Determinar los criterios Análisis Cualitativo Resumen y Evaluación Análisis Cuantitativo Toma de Decisión

6 LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES El análisis cualitativo se basa principalmente en el juicio del administrador; incluye la intuición del administrador en relación con el problema. Si el administrador ha tenido experiencia en problemas similares, o si el problema es relativamente simple, se puede poner mucho énfasis en el análisis cualitativo. Sin embargo, si el administrador ha tenido poco experiencia en problemas similares, o si el problema es lo suficientemente complejo, entonces un análisis cuantitativo puede resultar de especial importancia en la decisión final del administrador. Las habilidades en el procedimiento cuantitativo sólo pueden aprenderse mediante el estudio y el uso de los métodos cuantitativos. El analista se concentra en los hechos o los datos cuantitativos asociados con el problema y desarrollará expresiones matemáticas que describan los objetivos, los límites y otras relaciones que existen dentro del problema, para así recomendar un curso de acción

7 LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES Métodos más utilizados 1. Programación Lineal 2. Programación Lineal Entera 3. Gerencia de Proyectos (PERT-CPM) 4. Modelos de Inventarios 5. Modelos de Líneas de Espera (colas) 6. Simulación por Computadora 7. Análisis de Decisiones 8. Pronósticos 9. Teoría de Juegos

8 TEMA I PROGRAMACIÓN CON ENTEROS (PE) En una solución óptima para programación lineal a veces las variables de decisión tendrán un valor entero, esto es un número entero (0, 1, 2, ). Sin embargo, algunas veces tendran un valor fraccionario (por ejemplo, 2¾ o 4,11353). Ninguna de las rectricciones de un modelo de programación lineal prohibe valores fraccionarios. En algunas aplicaciones, las variables de decisión tendrán sentido si y sólo si tienen valores enteros. Por ejemplo, puede ser necesario asignar personas, máquinas, o vehículos a actividades en cantidades enteras. Este es el tipo de situación que estudia la programación entera. Tipos de problemas de programación entera Programación entera pura Programación entera mixta Pueden ser con variables binarias (valores de 0 o 1)

9 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS (PE) Ejemplo-problema TBA Airlines es una compañía regional pequeña que se especializa en vuelos cortos en aviones pequeños. La compañía ha tenido un buen desempeño y la administración decidió ampliar sus operaciones. El asunto básico que ahora enfrenta la administración es si comprar más aviones pequeños para agregar algunos vuelos o comenzar a desplazarse al mercado nacional, comprando algunos aviones grandes para nuevos vuelos a través de todo EEUU (o ambos). Entraran muchos factores en la decisión final de la administración, pero el más importante es cual estrategia es probable que sea más redituable. La información pertinente se encuentra en la siguiente tabla: Avión pequeño Avión grande Capital disponible Ingreso neto anual por avión $1 millón $5 millones Costo de compra por avión $5 millones $50 millones 100 millones Número máximo de compra 2 Sin máximo Cuántos aviones de cada tipo se deben comprar para maximizar la ganancia anual neta total?

10 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS PL vs. PE Suposiciones Básicas de un PL Suposición de divisibilidad de Programación Lineal (PL): las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluso valores fraccionarios, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se puede suponer que las actividades pueden realizarse a niveles fraccionarios. Si se viola esta suposición porque el problema real requiere que las variables de decisión tengan valores enteros, entonces, debe emplearse la Programación Entera (PE) en lugar de la Programación Lineal (PL). Para el problema de TBA Airlines, las actividades son las compras de aviones de tipos diferentes, de modo que el nivel de cada actividad es el número de aviones de ese tipo comprados. Dado que el número comprado tiene que tener un valor entero, es necesario violar el supuesto de divisibilidad.

11 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Solución de TBA Airlines por PE La formulación de Programación Entera de este problema es exactamente la misma que la de Programación Lineal, salvo por una diferencia crucial: se agregan restricciones que requieren que las variables de decisión tengan valores enteros. Por lo tanto, la forma algebraica del modelo de programación entera es: F. O. Max. U = x + 5y S. S. R. 1) 5x + 50y 100 2) x 2 3) x, y 0 X, y son enteros Las únicas soluciones factibles para este problema entero son las soluciones enteras que se encuentran en la región sombreada, es decir (0,0), (1,0), (2,0), (0,1), (1, 1), (2, 1) y (0,2).

12 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Solución de TBA Airlines por PE Método de RAMIFICAR Y ACOTAR En la práctica, la mayoría de los problemas de Programación Entera se resuelven mediante el uso de la técnica de ramificar y acotar. Los métodos de ramificar y acotar encuentran la solución óptima para una PE mediante la enumeración eficiente de los puntos en la región factible de un subproblema. Antes de explicar como funciona la ramificación y el acotamiento es necesario hacer la siguiente observación elemental, pero importante: si resuelve la relajación PL de una PE pura y obtiene una solución en la cual las variables son números enteros, entonces la solución óptima de la relajación PL será también la solución óptima del PE.

13 Pasos: PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Solución de TBA Airlines por PE Método de RAMIFICAR Y ACOTAR * La solución óptima para el problema relajado es: z = 11, x = 2, y y = 1.8. Esto significa que el valor óptimo de z para el PE no puede ser mayor que 11. * Luego procedemos a dividir la región factible del problema relajado en un intento de buscar más información que me ayude a optimizar el problema. Para ello escogemos arbitrariamente cualquier variable fraccionaria de los valores que nos haya otorgado la función objetivo, en este caso seleccionamos y (además es la única variable fraccionada). Ahora obsérvese que cada punto en la región factible para el PE tiene que ser y 1, o bien y 2. ( Por qué no puede tener una solución factible para PE, 1 < y < 2). Con esto en mente, ramificamos respecto a la variable y y creamos los siguientes dos subproblemas: Subproblema 2: Subproblema 1 + la Restricción y 2 Subproblema 3: Subproblema 1 + la Restricción y 1

14 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Solución de TBA Airlines por PE Método de RAMIFICAR Y ACOTAR Obsérvese que ni el subproblema 2, ni el subproblema 3 incluyen puntos con y = 1.8. Esto significa que la solución óptima para la relajación PL no puede volver a aparecer cuando resolvamos el subproblema 2 o el subproblema 3. Procedemos entonces a acotar el problema. * En este problema relativamente sencillo resulta que la solución al PE se obtuvo al desarrollar el subproblema 2. Encontramos la solución final en el Método de Ramificar y Acotar, cuando los subproblemas otorguen resultados enteros y en donde se optimice z. * Si los resultados de los subproblemas fuesen fraccionados, se continua ramificando y acotando hasta encontrar una solución final.

15 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Tipos de problemas de PE Los problemas de Programación Lineal Pura son aquellos donde todas las variables de decisión tienen que ser enteros. Los problemas de Programación Entera Mixta sólo requieren que algunas variables tengan valores enteros (de modo que el supuesto de divisibilidad se cumple para el resto). Muchas aplicaciones de Programación Entera (ya sea pura o mixta) restringen aun más las variables enteras a sólo dos valores, 0 o 1. Las variables binarias son variables cuyos únicos valores posibles son 0 y 1. Los problemas de Programación Entera Binaria son aquellos donde las variables de decisión restringidas a valores enteros, están además restringidas a ser variables binarias. También estos problemas pueden ser puros y mixtos. Importarte: de manera análoga al algoritmo simplex, se podría esperar resolver un PE mediante un algoritmo que pasara una solución entera factible a una solución entera mejor. Por desgracia no se conoce tal algoritmo. Normalmente en más difícil resolver un PE que resolver la relajación PL de un PE.

16 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Problema resuelto en clase La carpintería de Juanita fabrica mesas y sillas. Una mesa requiere 1 hora de trabajo y 9 pies de tabla de madera; una silla requiere e 1 hora de trabajo y 5 pies de tabla de madera. Actualmente se dispone de 6 horas de trabajo y 45 pies de madera. Cada tabla contribuye con 8 dólares a la utilidad, y cada silla contribuye con 5 dólares a la utilidad. Formule y resuelva por PE a fin de maximizar la utilidad por el método de ramificar y acotar.

17 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Ejemplo-problema Cierta empresa considera cuatro inversiones. La inversión 1 proporcionará un valor actual neto (VAN) de dólares; la inversión 2 un VAN de dólares; la inversión 3 un VAN de dólares; y la inversión 4 un VAN de 8000 dólares. Cada inversión requiere cierto flujo de caja en el momento actual: la inversión 1, 5000 dólares; la inversión 2, 7000 dólares; la inversión 3, 4000 dólares; y la inversión 4, 3000 dólares respectivamente. Se dispone de dólares para la inversión. Formule un PE cuya solución dirá a esta empresa como maximizar el VAN global obtenido de las inversiones 1-4.

18 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Solución al PEB Como en las formulaciones de los PL, empezamos con la definición de una variable para cada decisión que esta empresa debe tomar. Esto conduce a definir una variable 0-1; 1 si se realiza la inversión j x j ( j = 1, 2, 3, 4 ) = 0 de otra manera Por ejemplo, x 2 = 1 si se realiza la inversión 2, y x 2 = 0 si no se realiza. Planteamiento formal: Max = 16x x x 3 + 8x 4 s.s.r. 5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 3x 4 14 x j = 0 o 1 (j = 1, 2, 3, 4)

19 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Solución al PEB Continuación Cualquier PE, tal como el ejemplo anterior, que tiene solamente una restricción, se llama problema de la mochila. Max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n S.S.R. a 1 x 1 + a 2 x a n x n b X i = 0 o 1 (i = 1, 2,, n) Cuando se resuelven problemas de mochila mediante el método de ramificar y acotar, se simplifican enormemente dos aspectos del enfoque de ramificar y acotar. Ya que cada variable debe ser igual a 0 y 1, la ramificación con respecto x i, proporcionará una rama x i = 0, y otra rama con x i = 1. También se puede resolver la relajación PL (y otros subproblemas) mediante inspección. Para darse cuenta de ello, observe que se puede interpretar c i /a i como el beneficio que obtiene el artículo i por cada unidad del recurso que usa el artículo i. Así, los mejores artículos tienen mayores valores c i /a i y los peores artículos tienen valores mas pequeños de c i /a i. Para resolver cualquier subproblema que se presenta en un problema de mochila, calcule todas las razones c i /a i. Luego

20 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Solución al PEB Continuación coloque el mejor artículo en la mochila. Después coloque el artículo que quedo en el segundo lugar en la mochila. Siga así de esta manera hasta que el mejor artículo que quede rebose la mochila. Entonces llene la mochila con la mayor cantidad posible de este artículo. Ramifique y acote de acuerdo a los artículos más rentables hasta obtener la solución candidato aceptable. Ejercicio: Max = 40x x x x 4 + 4x 5 +20x 6 +60x 7 s.s.r. 40x x x x x 5 +40x 6 +30x x j = 0 o 1 (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

21 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Método de Enumeración Implícita El método de la enumeración implícita se usa frecuentemente para resolver PE 0-1. En la enumeración implícita se aplica el hecho de que cada variable debe ser igual a 0 o 1 para simplificar las componentes de ramificar y de acotar a fin de determinar eficazmente cuándo un nodo no es factible. El árbol que se utiliza en la enumeración implícita es similar a los árboles que se utilizaron para resolver problemas 0-1 tipo mochila. Cada rama de árbol se especificará, para alguna variable xi, tal que xi = 0 o xi = 1. De tal manera que para llegar a cada nodo, se deben especificar algunas de las variables. En la medida en que se va ramificando el árbol, en esa misma medida se van descartando variables por ser tomadas en cuenta en el desarrollo de dicha ramificación, a estas variables se les llama variables fijas, y las restantes que queden por fijar se les denomina variables libres.

22 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Método de Enumeración Implícita La idea de este método en general, es la verificación de si un nodo tiene una integración factible (para cualquier nodo, una especificación o asignación de valores 0 o 1 de todas las variables libres se denomina integración) al observar cada restricción y al asignar el mejor valor a variable libre. Para la asignación de estos valores (0-1) resulta de gran utilidad a la siguiente tabla: TIPO DE RESTRICCIÓN SIGNO DEL COEFICIENTE DE LA VARIABLE LIBRE EN LA RESTRICCIÓN VALOR ASIGNADO A LA VARIABLE LIBRE EN LA VERIFICACIÓN DE FACTIBILIDAD Si la asignación de una determinada integración a un nodo no satisface alguna restricción, sabemos que el nodo no tiene un completamiento factible. En este caso, el nodo no puede proporcionar la solución óptima para la PE original.

23 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Método de Enumeración Implícita Ejemplo: Utilice la enumeración implícita para resolver el siguiente PE 0-1: Pasos para la solución: Max z = -7x 1 3x 2 2x 3 4x 4 2x 5 SSR: 1) -4x 1 2x 2 + x 3 2x 4 x 5-3 2) -4x 1 2x 2 + 4x 3 + x 4 2x 5-7 3) x i = 0 o 1 (i = 1, 2, 3, 4, 5) a) Al inicio (el nodo 1), todas las variables son libres. Primero verificamos si la mejor integración del nodo 1 es factible. La mejor integración del nodo 1 es x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0, que no es una solución factible (viola ambas restricciones). b) Ahora verificamos si el nodo 1 tiene una integración factible, aplicando y verificando los valores de las variables libres de acuerdo a la tabla suministrada anteriormente en cada restricción.

24 PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Método de Enumeración Implícita c) Si en realidad el nodo 1 tiene una integración factible, procedemos a ramificar con respecto a una variable libre: seleccionamos cualquiera arbitrariamente. d) Se sigue el mismo procedimiento para cada nodo restante. e) Importante: en la ramificación y resolución de los nodos se le debe dar prioridad a la resolución del último nodo graficado (esto también es aplicable a los métodos de ramificación explicados anteriormente). La regla LIFO (del inglés last-in-first-out) señala esta conveniencia, que luego señalará de manera práctica. Nota: estimados estudiantes, al pasar el problema al pizarrón se presentaron errores de trascripción. Es decir el problema que deben resolver es el que se encuentra en la diapositiva anterior (compárenla con la que tienen en el cuaderno). De todas maneras esta clase se repetirá (18/04/06), ya que no asistieron todos por motivos de las entrevistas programadas. La respuesta final es x 1 = x 3 = 1, x 2 = 4x 4 = 2x 5, Ver solución gráfica en la web.

25 2.1 Introducción. 2.2 Estructura del sistema. DECISIONES GERENCIALES II Tema II TEORÍA DE COLAS 2.3 Modelo de colas con un servicio único. 2.4 Modelo de colas con servicio múltiple. Introducción: Las colas (líneas de espera) son parte de nuestra vida cotidiana. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, efectuar un depósito bancario, pagar víveres, enviar un paquete por correo, obtener comida en la cafetería, comenzar un recorrido en un parque de diversiones, etcétera. Nos hemos acostumbrado a cantidades notables de espera, pero aún nos molestamos con las esperas prolongadas. Sin embargo, tener que esperar no es sólo una pequeña molestia personal. La cantidad de tiempo que la población de un país desperdicia esperando en las colas es un factor primordial tanto de la calidad de vida como de la eficiencia de un país.

26 Estructura del sistema: DECISIONES GERENCIALES II Tema II TEORÍA DE COLAS a) Insumo. Son dos los elementos que constituyen los insumos del sistema: la población y la tasa de llegadas. La población que deberá atenderse puede venir de una porción de la población indefinida, por ejemplo la población de una región dada, o de una porción de una población determinada, por ejemplo el conjunto de camiones que deberán cargarse en una empresa. La tasa de llegada del insumo puede ser constante (las piezas que se desplazan por una línea de montaje) o variable (la llegada de pacientes a una clínica de emergencias). Por tanto, el número de llegadas puede definirse por una distribución aleatoria. b) Sistema de servicio. En éste se distinguen dos zonas: la zona de espera y la zona de servicio. Los dos elementos que definen la zona de espera son la estructura de la línea y la regla de prioridad. La línea de espera o cola se caracteriza por la longitud (infinita o limitada) y por su número (una sola línea o varias). La regla de prioridad puede ser: la primera llegada es la que se atiende primero; las llegadas anteriores ceden su lugar a los casos de urgencia; los pedidos de duración más corta son los primeros en atenderse, etc.

27 DECISIONES GERENCIALES II Tema II TEORÍA DE COLAS c) Producto. En cuanto al producto se distinguen dos categorías: la que volverá al sistema y reconstituirá así parte de la población que deberá atenderse (clientes de sucursales bancarias, de salas de emergencia y de estaciones de servicio, etc.), y la que no volverá (productos terminados no defectuosos). Modelos de líneas de espera. a) Línea única y canal único de servicio c) Varias líneas y canales múltiples de servicios b) Línea única y canales múltiples de servicios d) Línea única y canal único con etapas múltiples

28 TEORÍA DE COLAS Elementos de un sistema de colas Los actores principales en una línea de espera o cola son el cliente y el servidor. Los clientes se generan en una fuente. Al llegar a la instalación pueden recibir servicio de inmediato, o esperar en una cola, si la instalación está ocupada. Cuando en una instalación se termina un servicio, en forma automática se atrae a un cliente en espera, si lo hay, de la cola. Si la cola está vacía, la instalación se vuelve inactiva hasta la llegada de un nuevo cliente. Desde el punto de vista del análisis de las colas, el proceso de llegada se representa con el tiempo entre llegadas, de los clientes sucesivos, y el servicio se describe con el tiempo de servicio por cada cliente. Por lo general, los tiempos entre llegadas y servicio pueden ser probabilísticos, como el funcionamiento de una oficina de correos, o determinísticos, como en la llegada de solicitudes a las entrevistas de trabajo. El tamaño de la cola desempeña un papel en el análisis de las colas, y puede ser finito, como en el área de reserva entre dos máquinas consecutivas, o puede se infinito, como en las instalaciones de pedidos por correo.

29 TEORÍA DE COLAS Elementos de un sistema de colas La disciplina de la cola, que representa el orden en el que se seleccionan los clientes de una cola, es un factor importante en el análisis de los modelos de colas. La disciplina más común es la de primero en llegar, primero en servirse. Entre otras disciplinas están último en llegar, primero en servirse, y de dar servicio en orden aleatorio. También, los clientes se pueden seleccionar en la cola con base en cierto orden de prioridad. Por ejemplo, los trabajos urgentes en un taller se procesan antes que los trabajos normales. El comportamiento de los clientes en espera juegan un papel en el análisis de las líneas de espera. Los clientes humanos se pueden saltar de una cola a otra, tratando de reducir la espera. También pueden rehusar totalmente a la cola por haber esperado demasiado. La fuente en donde se generan los clientes puede ser finita o infinita. Una fuente finita limita a los clientes que lleguen al servicio (por ejemplo, las máquinas que piden el servicio de mantenimiento). También, una fuente infinita es abundante por siempre (por ejemplo, las llamadas que llegan a una central telefónica).

30 TEORÍA DE COLAS Modelo Generalizado de Cola de Poisson La siguiente teoría y fórmulas se derivan del modelo general de cola en donde se combinan llegadas y salidas, basándose en la hipótesis de Poisson: los tiempos entre llegadas y de servicio tienen una distribución exponencial. El modelo es la base para deducir modelos especializado de Poisson que se verán más adelante. El desarrollo de este modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo, o de estado estable, de la cola, que se alcanza después de que el sistema ha funcionado durante un tiempo suficientemente largo. Esta clase de análisis contrasta con el comportamiento transitorio (de calentamiento) que prevalece durante el inicio del funcionamiento del sistema. Una razón para no describir el comportamiento transitorio en esta parte del programa es su complejidad analítica. Otra es que el estudio de la mayor parte de los casos de líneas de espera sucede bajo condiciones de estado estable. El modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegadas como de salidas dependen del estado, y eso quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicio.

31 TEORÍA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Definición de las medidas de desempeño 1. Cuántos clientes suelen esperar en el sistema de colas? 2. Cuánto suelen esperar estos clientes? Estas dos medidas expresadas en forma de interrogantes, por lo común se expresan en términos de sus valores esperados (en el sentido estadístico). Para hacer esto, es necesario aclarar si sólo se están contando con clientes mientras esperan en la cola (previo al iniciar el servicio) o mientras se encuentran en cualquier punto en el sistema de colas (ya sea en la cola o en servicio). Estas dos formas de definir los dos tipos de medidas proporcionan cuatro medidas de desempeño. Se presentan estas cuatro medidas y su símbolos. L = número esperado de clientes en el sistema, incluye a quienes están en el servicio (el símbolo L proviene de longitud) L q = número esperado de clientes en la cola, que excluye a los clientes que están en el servicio. W = tiempo de espera esperado en el sistema (incluye el tiempo de servicio) para un cliente individual (el símbolo W proviene de tiempo de espera) W q = tiempo de espera esperado en la cola (excluye el tiempo de servicio) para un cliente individual.

32 TEORÍA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Relaciones entre L, W, L q y W q La única diferencia entre W y W q es que W incluye el tiempo esperado de servicio y W q no. Así 1/μ es el símbolo de tiempo esperado de servicio, W = W q + 1/ μ, donde μ = tasa media de servicio. Quizá la fórmula más importante en la teoría de las colas proporciona una relación directa entre L y W. Esta fórmula es L = λ W, donde λ = tasa media de llegadas para los clientes que entran al sistema de colas. La fórmula anterior (L = λ W), también se aplica a la relación entre L q y W q. Por lo tanto, otra versión de esta fórmula es: L q = λ W q Al combinar las relaciones anteriores también se obtiene la siguiente relación directa entre L y L q, L = λ W = λ (W q + 1/ μ) = L q + λ/μ

33 TEORÍA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Las notaciones normales o estándar para representar las distribuciones de llegadas y de salidas son: M = Distribución de Markov (o de Poisson) de las llegadas o de las salidas (o lo que es igual, distribución exponencial del tiempo entre llegadas o tiempo de servicio) D = Tiempo constante (determinístico) Ek = Distribución Erlang o gamma de tiempo (o bien, la suma de distribuciones exponenciales independientes) GI = Distribución general del tiempo entre llegadas G = Distribución general del tiempo de servicio Entre la notación de disciplinas de cola están: PLPS = Primero en llegar, primero en ser servido ULPS = Último en llegar, primero en ser servido SEOA = Servicio de orden aleatorio DG = Disciplina en general (es decir, cualquier tipo de disciplina)

34 TEORÍA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Uso de las probabilidades como medidas de desempeño Con frecuencia los gerentes se interesan en más de lo que ocurre en promedio en un sistema de colas. Aparte de querer que L, W, L q y W q no excedan valores meta, también les preocupan los peores escenarios. Cuál será el máximo de clientes en el sistema (o en la cola) que sólo será excedido una pequeña fracción de tiempo (esto es, con una pequeña probabilidad)? Cuál será el máximo tiempo de espera de los clientes en el sistema (o en la cola) que sólo será excedido una fracción de tiempo? Un gerente podría especificar que el sistema de colas debe estar diseñado de forma tal que esos números máximos no exceden ciertos valores. El alcance de ese objetivo requiere del uso de la distribución de probabilidad del estado estable de estas cantidades (el número de los clientes y el tiempo de espera). Por ejemplo, suponga que la meta es no tener más de tres clientes en el sistema al menos 95% del tiempo. Usando la notación: P n = probabilidad de estado estable de tener exactamente n clientes en el sistema (para n = 0, 1, 2, ) Para cumplir con esta meta se requiere que P 0 + P 1 + P 2 + P

35 TEORÍA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Uso de las probabilidades como medidas de desempeño Del mismo modo, suponga que otra meta es que el tiempo de espera en el sistema no exceda a dos horas al menos para el 95% de los clientes. Sea la variable aleatoria W el tiempo de espera en el sistema para un cliente individual mientras el sistema está en una condición de estado estable. (Así, W es el valor esperado de esta variable aleatoria.) Usando la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria, alcanzar la meta requiere que P(W 2 horas) 0.95 Si por otro lado el objetivo está planteado en términos del tiempo de espera en la cola, entonces se usaría del mismo modo otra variable aleatoria W q que representa este tiempo de espera. Se dispone de fórmulas para calcular al menos algunas de esta probabilidades para varios modelos de colas considerados más adelante.

36 TEORÍA DE COLAS Modelos con un servidor En esta sección se presentan dos modelos para el caso en que hay un solo servidor (c = 1). En el primer modelo no se establece límite para la cantidad máxima en el sistema, y en el segundo se supone un límite finito del sistema. Ambos modelos suponen una fuente de capacidad infinita. Las llegadas suceden con frecuencia de λ clientes por unidad de tiempo, y la tasa de servicio es μ clientes por unidad de tiempo. Modelo (M/M/1) : (DG/ / ) El modelo M/M/1 es el modelo de un servidor que supone que ambos tiempos entre llegadas y servicios tienen distribución exponencial. DG/ /, significa que el modelo obedece a una disciplina general (ver teoría), y que no hay límite para la cantidad máxima del sistema y también supone una fuente de capacidad infinita.