CONTENIDO Capítulo II.2 Campo y Potencial Eléctrico...2

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1 CONTENIDO Capítulo II. Campo y Potencial Eléctico... II.. Definición de campo eléctico... II.. Campo poducido po vaias cagas discetas...4 II..3 Campo eléctico poducido po una distibución de caga continua...4 II..3.a Campo poducido po una distibución de caga lineal...6 II..3.b Campo poducido po una distibución de caga supeficial...8 II..3.c Campo poducido po una distibución de caga volumética... II..4 Líneas y flujo del campo eléctico- Ley de Gauss... II..5 Aplicaciones de la ley de Gauss...9 II..6 Ley de Gauss en foma difeencial...6 II..7 Concepto de potencial eléctico y enegía potencial eléctica...6 II..7.a Concepto Físico de potencial...7 II..7.b Concepto matemático de potencial: Cálculo u obtención del campo a pati del potencial eléctico y vicevesa...3 II..8 Potencial poducido po una configuación de cagas discetas y puntuales..34 II..9 Deteminación de la enegía potencial y el potencial eléctico en una distibución continua de caga...34 II..9.a Potencial poducido po una distibución de caga lineal...36 II..9.b Potencial poducido po una distibución de caga supeficial...38 II..9.c Potencial poducido po una distibución de caga volumética...4 II.. Supeficies y volúmenes equipotenciales: Popiedades y usos...4 II.. El dipolo eléctico...43 II.. Campo eléctico, potencial y distibución de la caga en conductoes...43 II...a Densidad de caga en conductoes puntiagudos o potubeancias...49 II...b Conductoes con cagas y cavidades. Apantallamiento electostático...54 PEGUNTAS CAPITULO II POBLEMAS CAPITULO II....59

2 Capítulo II. Campo y Potencial Eléctico En la inteacción eléctica ente cagas en eposo egida po la ley de Coulomb la cual se pesentó en el capítulo pecedente, vista como una acción a distancia se distingue de las inteacciones mecánicas en que actúa sin media contacto ente las cagas. La ley de Coulomb aún cuando establece la elación que pemite detemina la magnitud de la inteacción eléctica a tavés de la fueza ente cagas, no ige o explica cómo ésta fueza llega o se tansmite de un cuepo al oto. Paa mediadios de 8 hasta finales del siglo XIX se postulaon divesas teoías paa explica cómo se tansmite o popaga la inteacción eléctica así como la gavitación univesal, ente ellas es meitoio menciona la teoía del éte. Vaios investigadoes popusieon que las inteacciones gavitacional y eléctica se tansmitían o llegaban de un cuepo a oto mediante una acción a distancia o campo. El concepto pimitivo de campo se entendió como la inteacción ente cuepos vía un medio tansmiso como si los cuepos actuaan sobe el medio y éste sobe el segundo cuepo inte-actuante. Hoy día se tiene plenamente establecido que la inteacción a distancia se ealiza mediante el concepto de campo sin media paa ello ningún medio tansmiso. Los campos pueden se gavitacional, eléctico, nuclea, etc. El campo que tansmite la inteacción eléctica se denomina campo eléctico. La teoía matemática de campos que ige la inteacción ente cuepos cagados fue desaollada po J. C. Maxwell. En la búsqueda inteminable po da una explicación satisfactoia a los fenómenos elécticos los Físicos se han visto en la necesidad de intoduci o defini conceptos matemáticos que le pemitan una metodología mas sencilla paa entende el campo, uno de estos conceptos es el de potencial eléctico. Se podía agumenta que el campo eléctico es la epesentación vectoial y el potencial eléctico la epesentación escala de la tansmisión a distancia de la inteacción eléctica. II.. Definición de campo eléctico Mediante el concepto de campo se puede establece el siguiente teoema: Toda caga eléctica establece o genea un campo eléctico en todo el espacio que la odea y mediante el cual la caga tansmite la inteacción eléctica a otas cagas en su vecindad. En consecuencia el campo eléctico sólo actúa sobe cualquie pedazo de mateia en donde haya cagas individuales o po paes de ellas paa sepaalas. Este teoema también conduce a una metodología paa conoce o detecta la pesencia de un campo eléctico, esto es, mediante una caga colocada en el espacio en sondeo de foma tal que si hay un campo eléctico en un punto del espacio entonces habá una fueza eléctica sobe la caga y obviamente si no hay un campo no habá fueza. Sin embago, la caga empleada paa detecta el campo también poduce su popio campo y puede distosiona el campo que se quiee detecta. Po lo tanto es necesaio que la caga de sondeo o también conocida como caga de pueba debe poduci la mínima o casi nula distosión. Paa este objetivo se equiee que la caga sea lo más pequeña posible tal que su popio campo sea despeciable compaado con el campo que se quiee detemina, de foma que ésta no afecta la distibución de caga con la cual inteactúa ni tampoco al medio que la odea. En

3 consecuencia el campo eléctico seá independiente de la caga de pueba. Po convención la caga de pueba se considea positiva tal que su caga q p, entonces po consideaciones de distibución de caga podemos infei que una caga de pueba equivale a una caga puntual. Siendo la fueza eléctica deteminada po una ley popocional al inveso del cuadado de la distancia, la inteacción y po lo tanto el campo aún cuando disminuyen con la distancia no se anulan po completo, esto implica que el campo se puede extende hasta el infinito. No obstante, en la páctica la pesencia de un campo se detemina siempe y cuando exista una fueza peceptible y mesuable sobe la caga de pueba. Si la caga que poduce el campo se mueve el campo la acompaña y también se mueve. El estudio de la inteacción eléctica y del campo poducido po cagas en movimiento no seá objeto de estudio en esta oba, este tópico es mateia de la Electodinámica Clásica. El concepto de campo eléctico divide la inteacción eléctica ente cuepos en dos pates, la pimea consiste en conoce o detemina las fuentes del campo eléctico y la segunda, en detemina el efecto del campo sobe la caga de pueba o caga en estudio. Esto paeceía complica las cosas peo como veemos a continuación po el contaio simplifica el poceso de cálculo de la deteminación de la fueza eléctica sobe una caga, esto hace el modelo de campo una de las heamientas más podeosas paa el estudio de la inteacción eléctica. Supongamos que queemos establece el oigen de la inteacción eléctica sobe una caga de pueba, dado que la caga de pueba es puntual podemos postula que el vecto campo eléctico en el sitio en donde se encuenta la caga de pueba se puede defini a pati del vecto fueza eléctica como:. F E Lim (II.-) q p q p Como deivación de esta definición el vecto campo eléctico tendá la diección y el sentido del vecto fueza eléctica. Así que si se coloca una caga de cualquie magnitud en la pesencia de un campo eléctico, la caga se desplazaá en la diección del campo si ésta es positiva y en la diección contaia si es negativa. Las unidades del campo eléctico seán entonces Fueza/cagaML /t q Newton/Coul o Dinas/esu. Las unidades del campo eléctico en el sistema ues-cgs son ues/cm. Consideemos ahoa que la fuente de campo eléctico consiste en una caga puntual q i colocada a una distancia de ota caga puntual de pueba q j. Es evidente de la ec. II.-5 que el campo eléctico poducido po la caga q i en el sitio de la caga puntual q j viene dado po: qi Ei ˆ i (II.-) i j En donde el adio vecto unitaio es a lo lago de la línea que une los cuepos y expesado po la ec. II.-6. Es notable apecia que de la ec. II.- el campo de cagas puntuales sigue la misma ley del inveso del cuadado de la distancia expesado po la ley de Coulomb. 3

4 II.. Campo poducido po vaias cagas discetas Supongamos ahoa como extensión natual de la sección II.- que se tienen n cagas discetas o puntuales y se quiee detemina el campo eléctico que éstas pueden ejece en un punto P como se muesta en la figua II.-. Cada i-ava caga estableceá un campo dado po la ec. II.-. De la definición de campo eléctico es clao que el vecto campo eléctico obedeceá también el pincipio de supeposición, el cual paa campos elécticos se puede enuncia como: Cada caga poduce un campo eléctico como si actuaa individualmente sin que la pesencia de las demás modifique o altee cada campo Así que, el campo eléctico esultante en un punto del espacio es la suma vectoial de todos los campos; E n E i n + E + E E n i q i i j ˆ i (II.-3) Fig. II.-. Campo eléctico poducido po vaias cagas discetas II..3 Campo eléctico poducido po una distibución de caga continua La deteminación del campo eléctico poducido po configuaciones de cagas como las definidas en las ecs. II.- sigue un pocedimiento simila y en algunos casos idéntico, al ya visto en la sección II... En el caso mas geneal de inteacción ente configuaciones de caga complejas quedaá clao que es más fácil detemina pimeo el campo eléctico y luego la fueza que detemina de buenas a pimeas la fueza eléctica. He aquí entonces una de las vaiables físicas más manejables mencionadas en el capítulo anteio. Si se tiene una distibución de caga sobe un cuepo deteminado y consideamos dento de ésta un elemento de caga dq el cual se puede considea como una caga puntual, entonces en la base de las ecs. II.- se puede deci que éste elemento de caga poduce un elemento de campo de. Si consideamos po ejemplo como se muesta en la figua II.- un El pincipio de supeposición de campos elécticos conduce a la linealidad en las ecuaciones básicas de la teoía de campos. 4

5 punto P en el espacio y tomamos como oigen el sistema XYZ en el punto O, entonces con especto a este sistema de coodenadas la posición del elemento de caga está deteminado po el adio vecto y el sitio de deteminación del campo eléctico po el adio vecto ; Entonces el elemento de caga se encuenta a una distancia - y su elemento de campo vendá dado po: de P d q ( ˆ ˆ ) (II.-4) Similamente a como se pocedió en la sección II..7b, tomamos en la distibución de caga un elemento de volumen, áea o longitud tal que el elemento de caga viene expesado po la ec. II.-6. Según sea la dimensión del cuepo en el espacio, se tendán las distibuciones dadas po las ecs. II.- y po lo tanto el campo en el punto P vendá dado po las integales: E P () d V ( ˆ ˆ ) () d A ( ˆ ˆ ) ( x) d x ( ˆ ˆ ) (II.-5) La integación de cualquiea de éstas expesiones vectoiales puede se tan compleja como aquellas de las ecs. II.-7 y de hecho las integales son idénticas po cuanto en II.- 7 se detemina la fueza sobe una caga puntual. Los equisitos paa detemina las integales II.-5 son los mismos que aquellos paa las ecs. II.-7. Peo si se quisiese detemina la fueza de una distibución de caga sobe ota, la ec. II.-5 epesenta un paso pevio más sencillo que el de calcula la fueza en un solo poceso integativo. De nuevo se pesentan los casos de densidad de caga lineal, supeficial y volumética deteminadas po las densidades de caga dadas en las ecs. II.- y las cuales analizaemos a continuación. 5

6 Fig. II.-. Campo poducido po una distibución de caga. II..3.a Campo poducido po una distibución de caga lineal El campo poducido po una distibución de caga lineal como el hilo de la sección II..7c se obtiene diectamente de la ec. II.-3 y se deja al estudiante como ejecicio. En esta sección analizaemos el caso del campo que estableceía una caga distibuida en un anillo muy delgado de adio a, de foma que la caga está distibuida en una geometía lineal, es deci, la caga se distibuye en una sola dimensión en un cuepo muy delgado de longitud igual al peímeto del cículo y que posee una caga total Q. El campo se evaluaá en un punto P el cual paa simplifica el cálculo lo tomaemos a una distancia desde el cento del anillo de la figua II.-4. Ya que la caga se encuenta distibuida en el peímeto del cículo entonces en la base de la ec. II.-c podemos defini una densidad de caga po unidad de longitud: Q Q d q ( s ) (II.-6) L a d s siendo ds un elemento de aco del cículo. Po azones de simetía es más apopiado toma como oigen de coodenadas el cento del cículo, entonces un elemento de caga dq ds situado en la peifeia del cículo estaía a una distancia a del cento del ciculo de acuedo con el adio vecto: a ˆ En tanto que el elemento de caga vendía situado con especto al punto P a una distancia: a + (II.-8) Po tigonometía es fácil deduci que el vecto unitaio que detemina este vecto viene dado po: 6

7 ˆ ˆ Cos ˆj + Sen ˆ (II.-7) Entonces de acuedo con las ecs. II.-46, en el punto P el elemento de caga poduciía un elemento de campo: de P ds Cos ds Sen ds ( ) ˆ j + ˆ a + a + (II.-9) Debido a que la caga se encuenta distibuida en la peifeia, po geometía angula el elemento de aco se puede expesa en téminos de la vaiable angula en el plano del anillo de la foma: d s a d (II.-) El campo total vendá deteminado po la integal sobe los límites : como; E P Cos a d ˆ Sen a d j + ˆ a + a + (II.-) Es obvio de la figua II.-3 que el ángulo y la distancia elemento de caga-punto son los mismos paa todos los elementos de caga y po lo tanto pueden se sacados de la integal paa obtene: E P a Cos a Sen d ˆ j a + + a + d ˆ (II.-) La integal en el pime témino es fácil de evalua ya que el adio vecto unitaio tiene la misma diección y sentido paa todos los elementos de caga, peo, en el segundo témino compende el adio vecto unitaio que vaía de diección y sentido a medida que se bae la vaiable angula alededo de la peifeia. Si se tansfoma este adio vecto unitaio en téminos de las coodenadas angulaes y se intega se encontaía que este témino es nulo. Sin embago, este esultado se puede obtene físicamente de la elación vectoial de los elementos de campo poducidos po elementos de caga siméticos. Esto es, po simetía de la figua II.-3 se puede ve que las componentes de campo paa dos elementos de caga siméticos se anulan en el plano XZ, en tanto que en el eje Y la esultante es el doble de la mitad de los límites. Así que la integal II.- se educe a: E P a Cos a + ˆj (II.-3) Aplicando tigonometía el ángulo que el campo esultante hace con el eje Y es: 7

8 Cos a + (II.-4) Quedando el campo eléctico en téminos de la densidad de caga o de la caga total de la foma: E P a ˆj Q ( a + ) 3 / ( a + ) 3 / ˆj (II.-5) Límites del campo de un anillo Ahoa analizaemos cómo vaía el campo de un anillo cuando se extienden los límites de algunas de sus vaiables dimensionales. Pimeo veamos que sucede si es muy gande tal que >>a, la ec. II.-5 se educe a: E P 3 + a Q 3/ ˆj Q ˆj (II.-6) Si tomamos en cuenta que a distancia muy gandes del anillo el eje Y vendía a epesenta un adio desde la caga Q, entonces la ec. II.-6 equivale al campo poducido po una caga puntual. Este esultado ea de espease ya que en el infinito un anillo apaeceía como un punto. El mismo esultado se obtendía si se toma el límite a. Se deja como ejecicio al lecto demosta que si el adio es muy gande tal que a se obtendía el mismo esultado del campo en el cento del anillo. Fig. II.-3. Campo poducido po un anillo con una densidad de caga lineal. II..3.b Campo poducido po una distibución de caga supeficial 8

9 Como ejemplo de la deteminación del campo eléctico poducido po una caga distibuida en dos dimensiones, es deci, una caga distibuida en una configuación supeficial, consideaemos un disco de adio a y espeso despeciable, el cual posee una caga total Q distibuida con una densidad de caga po unidad de áea deteminada po: Q Q A a d q da (II.-7) Paa simplifica el cálculo del campo éste se estimaá en un punto situado a una distancia desde el cento del disco alineado con el plano XY como se indica en la figua II.-4. Este poblema se esolveá empleando el esultado de la sección anteio. Así que similamente al caso del anillo, po azones de simetía es más conveniente toma el oigen de coodenadas en el cento del cuepo de foma tal que podemos considea al disco como confomado po elementos difeenciales de anillos Bajo este contexto podemos entonces considea un elemento de anillo de adio, espeso d y caga dq da d situado a una distancia - ( + ) /. Obsévese que de nuevo podemos hace a, de foma que este elemento de caga poduciía un elemento de campo sólo en la diección del eje Z y dado po una expesión simila a de la ec. II.-3 de la foma: de P d Cos d ( ) kˆ + (II.-8) Luego se suman la contibución de todos los anillos hasta el adio a del disco, es deci se integaán las contibuciones de todos los anillos difeenciales en el disco desde hasta a paa obtene: E P a Cos d + ' kˆ (II.-9) Paa evalua esta integal es necesaio un cambio de vaiable, dado que la evaluación en la vaiable es más compleja se haá un cambio de vaiable mediante las siguientes elaciones tigonométicas que se deivan de la figua II.-4: Cos + (II.-a) Tan (II.-b) Si difeenciamos II.-b obtenemos una elación ente las vaiables simila a la ec. II.-38: d Sec d (II.-) 9

10 eemplazando II.-- en II.-9 y tansfomando los límites de : a, a : se obtiene: E P Sen d kˆ ' ( Cos )kˆ (II.-) El nuevo límite angula po tigonometía en la figua II.-4 viene dado po: Cos a + (II.-3) Finalmente el campo eléctico poducido en el punto P po el disco queda de la foma: E P kˆ a + (II.-4) Si se pocede a edefini el elemento de caga tal como se hizo en la ec. II.-3 como: Qa dq d d (II.-5) En donde Q a es la caga en el anillo. Mediante la ec. II.-5 se puede emplea diectamente la ec. II.-5 y obtene el mismo esultado po un camino más diecto. Límites del campo del disco Ahoa analizaemos cómo vaía el campo del disco cuando se extienden el límite de alguna de su vaiable dimensional. Pimeo veamos que sucede si es muy gande tal que >>a se puede ejecuta una expansión en seia de Taylo (ve apéndices); así, la ec. II.-4 se educe a: E P a Q kˆ kˆ (II.-6) Si tomamos en cuenta que a distancias muy gandes del anillo el eje Z vendía a epesenta un adio desde la caga Q, entonces la ec. II.-6 equivale al campo poducido po una caga puntual. Este esultado ea de espease ya que en el infinito un disco apaeceía como un punto. El mismo esultado se obtendía si se toma el límite a. Se deja como ejecicio al lecto demosta que si el adio es muy gande tal que a se obtendía el campo poducido po un plano infinito, el cual también se puede obtene de la ec. II.-4a.

11 Fig. II.-4. Campo poducido po un disco con una densidad de caga supeficial. II..3.c Campo poducido po una distibución de caga volumética La deteminación del campo poducido po una caga distibuida en tes dimensiones en el espacio en un punto abitaio exteno a la distibución, tal como se muesta en la figua II.-5 es un poblema simila al planteado en la sección II..7e. El ejemplo más sencillo y manejable coesponde al de una distibución esféica, es deci una caga total Q colocada en una esfea de adio a, tal que la densidad de caga volumética viene dada po la ec. II.- 44). Si tomamos como oigen de coodenadas el cento de la esfea y consideamos un elemento de caga dento de un elemento de volumen en coodenadas esféicas dv d d d situado a una distancia del cento de la esfea tal como se indica en la figua II.- 5, es posible demosta que el campo eléctico vendía dado po (la evaluación de ésta integal se deja al lecto como ejecicio, ve poblemas): E Q ˆ (II.-5) Es deci el campo coesponde al de una caga puntual como si toda la distibución de caga estuviese concentada en el cento. La evaluación del campo eléctico poducido po distibuciones no unifomes o en cuepos de geometía complicada mediante la evaluación de integales de volumen es un pocedimiento complicado, sin embago; veemos en la sección siguiente una metodología paa detemina campos elécticos de una foma simple.

12 Fig. II.-5. Campo poducido po una distibución de caga esféica. II..4 Líneas y flujo del campo eléctico- Ley de Gauss Dado que la pesencia de un campo eléctico sólo se detecta po la fueza sobe cagas, la constucción de un mapa de las fuezas que una caga puede ejece sobe otas en el espacio que la odea pemite un método fácil de entende y visualiza el campo eléctico. Este mapa de fuezas pimeo popuesto y empleado po M. Faaday quién les denominó líneas de fueza, vendían a epesenta las líneas del campo eléctico, como las denominaemos de ahoa en adelante. Paa compende como se constuye este mapa consideemos una caga puntual positiva y una negativa muy alejadas una de la ota y de cualquie ota caga de foma tal que las podemos considea aisladas o equivalentemente podemos deci que todas las demás cagas están en el infinito. De se esto así podemos con ceteza afima que como se ilusta en la figua II.-6a-b y lo confima la ec. II.-, las fuezas sobe una caga de pueba positiva seían líneas adiales que salen de la caga positiva y entan a la negativa. Entonces podemos deci que el campo eléctico de cagas puntuales consiste de líneas adiales imaginaias. Si ahoa acecamos las cagas, entonces el campo en un punto del espacio vendía dado po el pincipio de supeposición po la suma vectoial del campo poducido po ambas cagas. epitiendo este poceso en viaja desde una caga hasta la ota, esultaía en la constucción de una cuva continua imaginaia que sale de la caga positiva y temina en la negativa. La fueza esultante y po lo tanto la línea del campo eléctico en cada punto de ésta cuva estaía epesentada po las flechas tangentes a la cuva (línea punteada de la fig. II.-6c). En las figuas II.-7a-d se pesenta este mapa completo paa a) el dipolo, b) dos cagas positivas de igual magnitud, c) dos cagas negativas de igual magnitud. Fig. II.-6. Constucción de las líneas de campo eléctico La epesentación gáfica de las líneas de fueza en todos los puntos del espacio es posible mediante la obtención de una ecuación difeencial paa las líneas de fueza. Po cuanto la diección de la línea de fueza es la diección del campo y ésta es la tangente a la cuva obtenida, entonces la ecuación que detemina la cuva paa las líneas de fueza debe

13 satisface la condición de que la pendiente sea paalela al campo eléctico y po lo tanto deben cumpli las condiciones: d x: d y : d z E E :: E d x E x d y E y d z E z x y z Una vez conocido el campo eléctico con sus espectivas componentes, la solución de la ecuación difeencial II.-3b popociona la familia de cuvas paa las líneas de fueza o del campo eléctico. La constucción de las líneas de campo eléctico paa mayo númeo de cagas discetas o paa distibuciones de cagas más complejas en las cuales una distibución afectaía a la ota, sigue un pocedimiento simila mas complejo y tedioso peo que aoja los mismos esultados. En la sección II.- se pesentaán las líneas del campo eléctico paa otas configuaciones de cagas las cuales se obtendán po un método altenativo en conjunto con oto sistema de cuvas que son de utilidad paa la compensión de los fenómenos electostáticos. Fig. II.-7. Líneas de campo eléctico paa cagas puntuales. En geneal se tienen las siguientes popiedades o caacteísticas de las líneas del campo eléctico:.- El campo eléctico emana de cagas puntales de foma simética siguiendo líneas adiales en todas diecciones..- Las líneas del campo eléctico se inician en las cagas positivas y teminan en las positivas. Esto implica que la existencia de una caga aislada es hipotética, es deci las cagas siempe se pesentan po paes como una consecuencia del pincipio de la consevación de la caga. Una línea de fueza que no se ciea o temina como aquellas de las figuas II.-6-7 se dicen que teminan en cagas muy lejanas o en el infinito. 3

14 3.- El campo eléctico tiene la diección de la tangente a la cuva imaginaia constuida po las líneas de fueza en cada punto de espacio. 4.- En cada punto del espacio puede pasa sólo una línea del campo eléctico que epesenta el campo esultante. Como coolaio se puede establece entonces que las líneas del campo eléctico no se pueden cuza o solapa, pues de lo contaio había mas de una solución paa el campo eléctico en ese punto del espacio y esto implicaía la invalidez del pincipio de supeposición. 5.- Cuando el campo eléctico es nulo entonces no hay fueza y no se puede epesenta una línea de fueza. Se dice entonces que este sitio es un punto de equilibio o neuto. 6.- Las líneas del campo eléctico están mas agupadas en las egiones en donde la magnitud del campo eléctico es mayo y vicevesa. Esto se puede nota obviamente en las cagas puntuales. Con las líneas del campo eléctico se pueden hace estimaciones cuantitativas de la magnitud del campo eléctico. Paa entende como se pocede de esta manea, consideemos las cagas puntuales de la figuas II.-6, si tazamos una supeficie esféica imaginaia de adio alededo de la caga y consideamos que po cada línea se tiene un campo, entonces podemos asevea que el númeo de líneas de campo eléctico que ataviesan esta esfea es: N E A E 4 4 De q (II.-6) La densidad de líneas esto es, el númeo de líneas que po unidad de áea ataviesan la supeficie imaginaia en el espacio alededo de la caga viene definida como: N E A (II.-7) Entonces es clao que la densidad de líneas es equivalente al campo eléctico y a medida que nos alejamos de la caga el campo disminuye y la densidad de líneas disminuye. En tanto que el númeo de líneas es popocional a la caga y pemanece constante. Cuando se tiene una configuación de cagas que poduce un campo no unifome o de mayo complejidad y consideamos las líneas que ataviesan un elemento de áea como se muesta en la figua II.-8, se tiene po simple extensión de la ec. II.-6 que el difeencial de líneas viene dado po: dn E d A E da E d A Cos E da (II..8) n El númeo total de líneas que atavesaían un áea total A es entonces: N E da A (II..9) En los pocesos físicos en donde existe un tanspote de mateia como po ejemplo en los pocesos hidodinámicos en los cuales ocue un tanspote de fluido po una tubeía, o bién en los pocesos mecánicos copusculaes en los cuales ocue un tanspote de patículas po una sección tansvesal; se acostumba defini una vaiable física que epesenta la cantidad de mateia tanspotada po unidad de áea y po unidad de tiempo. Esta vaiable física se denomina flujo mateial. En los fenómenos en donde ocue una acción a distancia como lo son la gavedad y la electicidad, también se puede expesa la 4

15 misma vaiable peo ahoa no en téminos de tanspote de mateia sino de flujo de campo y el cual no involuca el movimiento de nada mateial. Este concepto intoducido po pimea vez en electicidad po C. F. Gauss y denominado flujo del campo eléctico, aún cuando consiste en el númeo de líneas del campo eléctico, es un concepto físico más apopiado y como veemos en el capítulo II.3 epesenta un tanspote de enegía. Fig. II.-8. Númeo de líneas de campo eléctico Supongamos que en una egión del espacio existe un vecto campo eléctico E j que obedece la ley del inveso al cuadado de la distancia, se puede escibi el flujo debido a éste campo eléctico E j a tavés de una sección tansvesal a j, cuya nomal hace un ángulo con la línea del campo eléctico, como: E a j j j (II.-3) Si consideamos una supeficie A la cual puede se dividida en N secciones a j como se muesta en la figua II.-9, entonces el flujo total a tavés de esa supeficie seía: N E a (II.-3) N j j j j j Haciendo tende a ceo el tamaño de las secciones entonces se tendía que: Lim a j N E j a j j A E d a Cos ( E, a) (II.-3) En la evaluación de la integal de supeficie se puede, similamente al caso del númeo de líneas, intepeta como la poyección del campo sobe la diección de la sección tansvesal o vicevesa esultando en un escala. En cualquie caso la diección del vecto n epesenta la nomal saliente a la supeficie. Si la supeficie es ceada, en estas cicunstancias se dice que el flujo sale de la supeficie. Si la supeficie es abieta entonces 5

16 el sentido del vecto n detemina el signo del flujo al atavesa la supeficie. Po convención el sentido positivo de n se toma mediante la egla de la mano deecha. Esta es, se toma la supeficie con los dedos ciculando alededo de la supeficie en sentido antihoaio si se quiee un flujo positivo. La diección del pulga indicaía la diección del vecto n. Fig. II.-9. Definición del flujo del campo eléctico Analizemos ahoa el flujo poducido po una caga q puntual a tavés de dos supeficies alededo de ella enceándola completamente, una es esféica de adio y la ota de foma abitaia. Como se obseva en la figua II.-, tomamos dos paches de áeas: a en la supeficie esféica obviamente a una distancia ; y la ota de áea A a una distancia en la abitaia. Si denominamos E y E los campos elécticos a las distancias adiales y espectivamente, entonces el flujo a tavés de los paches es: E a E a Cos E E A E A Cos a (II.-33) (II.-34) Cuando se estudian flujos a tavés de supeficies subtendidas po un cono en el espacio se denomina el ángulo o vétice del cono como ángulo sólido. Si el áea subtendida es un difeencial de áea ds cuya nomal a una distancia hace un ángulo con la bisectiz del cono entonces el ángulo sólido se define matemáticamente de la foma: d nˆ d S d S Cos (II.-35) Así que paa las dos supeficies a y A se tiene que el ángulo sólido es el mismo y de la foma: 6

17 d a Cos o A Cos (II.-36) Despejando se obtiene un áea en téminos de la ota: A a Cos (II.-37) De esta expesión se deduce que al pasa de el áea aumenta po dos factoes: (/) y (/Cos ). Debido a la dependencia del campo con el inveso del cuadado de la distancia el campo disminuye po el facto (/), en consecuencia podemos escibi paa el flujo a tavés de la supeficie abitaia: E A Cos E a Cos E Cos a (II.-38) Demostándose así que el flujo a tavés de los paches es el mismo. Dado que los paches son abitaios entonces el flujo total a tavés de las dos supeficies, la esféica y la abitaia, debe se el mismo. Puesto que el flujo paa la supeficie esféica es: o E. da E da Cos E da E 4 4 D e q (II.-39) Entonces el flujo a tavés de la supeficie abitaia es independiente de la supeficie y dependiente solamente de la caga dento de la supeficie ceada. Fig. II.-. Flujo del campo eléctico paa una caga puntual odeada po una supeficie esféica y ota abitaia. Ahoa consideemos que la caga yace fuea de la supeficie ceada como en la figua II.-a. Si empleamos el concepto de línea de campo eléctico es fácil ve que po 7

18 cada línea que enta en la supeficie S ésta también sale en S ya que ambas subtienden el mismo ángulo sólido. Si estas líneas de fueza epesentan el flujo entonces podíamos deci que el flujo que enta po S sale po S es deci: E. da S (II.-4) Obsévese que este esultado establece que el flujo neto a tavés de esta supeficie es ceo, peo esto no implica que el campo dento de la supeficie sea nulo. Una manea equivalente de demosta lo mismo es enceando la caga como se muesta en la figua II.-b. Si educimos a ceo el ombligo que une las supeficies S y S y denominamos a la supeficie que compende el ombligo como S 3, entonces cuando S 3 3. Si la supeficie es de foma tal que el flujo posee múltiples entadas y salidas como se apecia en la figua II.-c es posible aún demosta que los flujos se compensan siempe po paes de acuedo con la ec. II.-4 quedando solamente aquel coespondiente a la caga enceada. Como coolaio se puede enuncia que: El flujo a tavés de una supeficie ceada que no enciea caga es nulo Basándose en los esultados de estas cuato demostaciones C. F. Gauss enuncia un teoema hoy día establecido como ley de Gauss que ige así: El flujo eléctico a tavés de una supeficie ceada es independiente de la supeficie y depende solamente de la caga neta enceada po la supeficie y de la constante del sistema de unidades : 4 qneta cgs E da 4 De qneta qneta LMS " (II.-4) En la ley de Gauss también se puede aplica el pincipio de supeposición tanto en el campo eléctico como en la caga y genealiza la ley de la foma: N Paa cagas discetas: ( E ) i i d A 4 N i q i (II.-4) Paa distibuciones de caga: E da 4 ( ) () ( x) d V d A d x (II..43) La supeficie ceada sobe la cual se ejecuta la integal es imaginaia y se denomina supeficie gaussiana. 8

19 Paa una caga puntual y una supeficie gaussiana esféica como la de la figua II.., si consideamos la ley como válida y deseamos a la invesa sabe cual es el campo en dicha supeficie se tendía que de II..39; 4 q E 4 q (II..44) Si colocamos una caga puntual de pueba q p en la supeficie de adio ésta seía sometida a una fueza: F q# q# E q q p ˆ (II..43) Con lo cual se obtiene la ley de Coulomb. Así que la ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes y coesponden a la misma ley expesada en dos fomas difeentes. Ambas leyes obedecen la ley del cuadado del inveso de la distancia; sin embago, la ley de Gauss es más geneal pues es diectamente aplicable a campos que no poseen simetía esféica en tanto que la ley de Coulomb no. Fig. II.-. Flujo del campo eléctico a tavés de una supeficie que no enciea caga II..5 Aplicaciones de la ley de Gauss La ley de Gauss puede sevi paa infei posibles valoes del flujo y la caga. Sin embago, tal como se pocedió en las ecs. II es obvio que una de las aplicaciones mas inteesantes y usuales de esta ley, es en la deteminación de la magnitud del campo eléctico de una configuación o distibución de cagas compleja conocida y de simetía conocida. Esta aplicación es posible sin necesidad de ejecuta el pocedimiento usual visto en la sección II..3 el cual involuca integales complejas. En el poceso de aplicación de la ley de Gauss es estictamente necesaio que se satisfagan dos condiciones: Que la distibución de caga sea tal que el campo de acuedo a la geometía del cuepo posea una alta simetía. 9

20 Escoge una supeficie gaussiana apopiada que evite o simplifique la esolución de la integal. Como egla geneal se pueden establece los siguientes pasos paa detemina un campo eléctico mediante la ley de Gauss; ) Escoja una supeficie gaussiana acode con la geometía del cuepo y la simetía del campo. ) Evalúe el poducto escala. 3) Aplique consideaciones geométicas y de simetía tal que el campo eléctico sale de la integal o que su evaluación sea fácil. 4) Evalúe la caga neta enceada solamente po la supeficie gaussiana, toda caga extena a esta supeficie debe se descatada. 5) Despeje el campo. A continuación se pesentan algunos ejemplos típicos de distibuciones de caga. Distibución esféica de caga unifome. Cuando se coloca caga de foma estática en un cuepo de cieta geometía es de espea que la distibución de la caga sea unifome. Si la geometía del cuepo pesenta alta simetía esto es aún mas pobable. La distibución de la caga en conductoes en donde estas se pueden move las analizaemos en el contexto de la ley de Gauss en la sección siguiente. Las distibuciones esféicas son po lo geneal unifomes, en este caso podemos supone que la simetía del campo toma la simetía geomética del cuepo y en consecuencia el campo dento del cuepo debeía posee simetía adial. En el exteio del cuepo es de espea que esta simetía se mantenga si no existen otos cuepos cagados cecanos que la modifiquen. a) Una sola esfea de adio y densidad de caga constante. Paa detemina el campo eléctico dento de la esfea tomamos una concha esféica de adio y espeso enceada po una supeficie gaussiana de adio <. Puesto que la distibución es constante es factible, po lo expesado anteiomente, supone que el campo dento de la esfea como afuea de la esfea, posee una simetía adial, es deci el campo eléctico es siempe pependicula a la supeficie y es magnitud Econstante en cualquie punto de la supeficie gaussiana. Entonces según los pasos anteioes y del lado deecho de la pimea de las ecs, II.. 43 se obtiene que: o E da E d A Cos E d A 4 E (II.-44a) La caga total o neta enceada en la concha esféica viene deteminada po un elemento de volumen dv 4 d, así que del lado izquiedo de la pimea de las ecs, II.. 43 se obtiene que la caga total o neta enceada po la supeficie gaussiana es; ( 4 ) d ( 4 ) 4 qneta 4 4 d Igualando ambos téminos de II.-44 se tiene que: 3 3 (II.-44b)

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