NÚMEROS REALES. 1. Clasificar los números decimales en periódicos y no periódicos o irracionales.

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1 UNIDAD NÚMEROS REALES OBJETIVOS DIDÁCTICOS:. Clsificr los números decimles en periódicos y no periódicos o irrcionles.. (**) Operr con rdicles.. Simplificr epresiones rdicles.. (**) Rcionlizr epresiones frccionris con rdicles en el denomindor. ** Indic objetivo mínimo

2 Esquem:. Introducción. Clsificción de números.. Números nturles.. Números enteros.. Números rcionles ) Definición b) Clsificción.. Números irrcionles.5. Números reles. Rdicles.. Definición.. Propieddes de los rdicles ) Propiedd fundmentl de los rdicles b) Reducción de rdicles índice común c) Multiplicción y división de rdicles d) Introducción y etrcción de fctores e) Rcionlizción de rdicles f) Sum y rest de rdicles

3 . INTRODUCCIÓN L noción de número nturl y entero surge como respuest l necesidd que tení el hombre de contr. Estos números tienen un cpcidd limitd pr medir, puesto que en l relidd rr vez un medid es un número entero. Así precen los números frccionrios o rcionles resolviendo este problem. Aún sí eisten cntiddes, como l medid de l digonl de un cudrdo de ldo, que no pueden ser medids medinte números rcionles y por ello los griegos introdujeron cntiddes llmds irrcionles. El sistem de numerción que se utiliz pr medir, contr, comprr, es el sistem de los números reles. Actividd: N Z Q I R. Sitú en el cudro los siguientes números: 0, 5, - 6, 0 7,, 7 8,,,,,, 7, 7 6 6, 7'..., π, 5 9. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS.. Números nturles N {,,,,... }.. Números enteros Son los números nturles, sus opuestos y el cero. Z...,,,0,,,... { }.. Números rcionles ) Definición Se llm número rcionl l que puede epresrse como un frcción de números enteros, es decir: Q /,b Z,b 0 b

4 b) Clsificción Su epresión deciml puede ser ect o periódic (pur o mit): b) Deciml ect: tiene un número finito de decimles. Ejemplo: 5, 5 689, b) Periódic pur: detrás de l com prece el periodo (que es uno o vrios decimles que se repiten) Ejemplo: 5555 Observ en este ejemplo: - Prte enter: - Periodo: 5 b) Periódic mit: detrás de l com prece el nteperiodo (un número finito de decimles) y luego el periodo. Ejemplo: Observ en este ejemplo: - Prte enter: - Anteperiodo: Periodo: 5 Si el número rcionl prece en form de frcción, tmbién se puede sber de que form será su epresión deciml (un vez que l frcción se irreducible): ms. Recuerd: un frcción es irreducible cundo no se puede simplificr b) Deciml ect: en el denomindor sólo precen potencis de, 5 o de mbos. Ejemplo: 0 5 '5 8 Observ en este ejemplo: en el denomindor sólo prece un potenci de.

5 b) Periódico pur: en el denomindor precen potencis distints de y de 5. Ejemplo: 0'... Observ en este ejemplo: en el denomindor sólo precen potenci de que es distint de y de 5. b) Periódico mito: En el denomindor precen potencis de y/o de 5, y lgun otr distint de y de 5. Ejemplo: 0' Observ en este ejemplo: en el denomindor prece el 6, su descomposición es., es decir un potenci de y otr distint de y 5, es decir el. Actividd:. Clsificr en deciml ecto, periódico puro o periódico mito los números:, 5 0, 7, '8,, 8, '7..., 5' Números irrcionles I conjunto de números cuy epresión deciml tiene infinits cifrs decimles no periódics. No pueden epresrse como cociente de números enteros, por ejemplo,π, e... por lo que no puede drse su vlor ecto y por ello se suelen utilizr proimciones medinte números rcionles cercnos. Ejemplo: π 5 ( este símbolo signific proimdmente) 5

6 .5. Números reles R Es el conjunto formdo por todos los números rcionles e irrcionles. Se representn en l rect rel signndo cd punto un número. Entre cd dos números reles hy infinitos números reles, lo que impide que sen consecutivos. R Q I R Q Z N I Actividd:. Clsific los siguientes números:, -5, 9, 8 7, 0 999, 7, 0,, 555,,, 75. RADICALES Los números irrcionles se epresn como números decimles de infinits cifrs no periódics y como rdicles. Actividd:. Escribe en form de potenci: ) b) 7 c) Escribe en form de rdicl: ) b) 5 0 c) 5 6

7 . Definición Tod potenci con eponente frccionrio es igul un rdicl cuyo índice es el denomindor del eponente y el rdicndo es otr potenci cuy bse es l dd y el eponente es el numerdor. Los rdicles de uso más corriente son ls ríces cudrds. c índice del rdicl b rdicndo ríz rdicl b c c b Ejemplos: ( ) Recuerd: cundo tenemos doble potenci los eponentes se multiplicn. Actividd: 6. Trnsform en rdicles ls siguientes potencis de eponente frccionrio: 5 5 ) d) 6 g) 5 5 j) 7 b) 7 e) h) k) y 5 c) f) i) l) y 7. Trnsform en potenci los siguientes rdicles: 5 ) b) 5 c) b d) 0 b c e) f) g) 7 h) i) j) 5 7

8 .. Propieddes de los rdicles ) Propiedd fundmentl de los rdicles Si se multiplicn o dividen por un número el eponente del rdicndo y el índice de l ríz, el rdicl no vrí: n p nm pm n m p m Ejemplos: 6 b b b 0 En cso que en el rdicndo prezc un producto o cociente de potencis, multiplicmos o dividimos todos los eponentes por el mismo número por el que se multiplic o divide el índice. Ejemplos: ( ) ( ) + b + b + b b b b 6 5 L propiedd fundmentl se utiliz pr: - Amplificr rdicles Multiplicndo el eponente y el índice de l ríz por el mismo número. - Simplificr rdicles Dividiendo el eponente y el índice de l ríz por el mismo número. Actividd: 8. Simplificr los rdicles: 6 b ) b) 6 c) 9 6 b 9 c 5 8 c 6 6 d) e) f) y 6 g) y z h) 6 i) 5 j) 6 5 k) l) + 6 8

9 9. Amplificr rdicles: 6 ) b c b) b 9 b c) 5 7 c 5 b) Reducción de rdicles índice común(homogeneizr) Psos:. Se hll el m.c.m. de los índices, que será el índice común todos los rdicles.. Se divide el índice común entre el índice de cd rdicl y el resultdo será el eponente del correspondiente rdicndo. Ejemplo: Reduce índice común los siguientes rdicles: 6 ( ) b, c b, 5. m.c.m.(,6,) 6 6. b ( b ) b 6 6 c b ( c b ) c b 5( ) ( 5( ) ) 5 ( ) 9 Actividd: 0. Reducir índice común los siguientes rdicles: ) 5,, e), 7, 5 b) 6 5, y, 7 b f), 6 5, b c) 8,, g), b, 6 c d) 6 6, 6, 0 h) 6, 6 9

10 c) Multiplicción y división de rdicles Pr multiplicr o dividir rdicles es necesrio que tengn el mismo índice, si no lo tienen reducimos índice común. n n n n n b b n b b Ejemplos: b b b Recuerd: - cundo multiplicmos potencis de l mism bse los eponentes n m n+ m se sumn. ( ) - cundo dividimos potencis de l mism bse los eponentes se n m n m restn. ( : ) - un potenci elevd un eponente negtivo es el inverso. n n Actividd:. Clcul: ) b) b 8 8 b c) b b d) 6 b e) 9m 6n 6 m n mn 8 f) 6 g) h) i) 5 j) 7 k) y y y l) 5 : z z b m) n) 0

11 d) Introducción y etrcción de fctores L introducción de fctores dentro de un rdicl equivle relizr un multiplicción de rdicles no homogéneos. Ejemplos: b b b b ( ) 5 b b b 6 8 Un fctor que form prte del rdicndo se puede scr totl o prcilmente siempre y cundo el eponente se myor o igul que el índice de l ríz. Pr ello se divide el eponente del rdicndo entre el índice de l ríz, de form: -El cociente se tom como eponente del fctor fuer del rdicl. -El resto se tom como eponente del fctor dentro del signo rdicl. Ejemplos: 9 8 b 5 b 5 b 7 c 9 b b c bc Actividd:. Etre todos los fctores que se puedn: ) 50 b b) 9n 5 d) 5 e) 5 5m b b c c) 6 f) 5 9 g) 50 h) i) 8 j) 5 k) 75 l) 6 m) 0 n) 8 ñ) 6 5 b 5 o) 8 5 b p) q) y 5 5 b 6 r) s) 6 6 7y t) + 9 u) v) w) + 5

12 . Introduce los fctores dentro del rdicl: ) 5 b) 7 c) d) e) f) 8 5 g) 5 h) i) 5 9 j) 7 k) e) Rcionlizción de rdicles Tenemos dos csos: e) El denomindor es un monomio: e.) Rdicl de índice dos: Se multiplicn numerdor y denomindor por l ríz que prece en el denomindor. Ejemplos: Actividd:. Rcionlizr: ) e) h) y b) f) i) + 5 vz c) g) j) + y d) y

13 e.) Rdicl de índice m: Se multiplicn numerdor y denomindor por l ríz m-ésim de un epresión cuyo producto por el rdicndo del denomindor se potenci m-ésim perfect. (Al hcer l multiplicción, en el denomindor el índice de l ríz debe coincidir con el eponente del rdicndo) Ejemplos b c b b c c b c b c bc Actividd: 5. Rcionlizr: ) d) g) 7 j) 6 b) 5 b e) y + y h) ( y ) k) c) ( + y ) 5 f) 7 i) e) El denomindor es un binomio con rdicl de índice dos: Se multiplicn numerdor y denomindor por el binomio conjugdo del denomindor, el cul se obtiene cmbindo el signo de uno de los términos (es decir el conjugdo de + b es b y el conjugdo de b es + b) Ejemplos: ( + ) + + ( )( + ) ( ) ( ) 6 + ( + )( ) Observ en los ejemplos: en el denomindor prece un identidd notble ( + b) ( b) b

14 Actividd: 6. Rcionlizr: ) + + d) + g) + b) e) 5 c) + f) 6 + f) Sum y rest de rdicles (rdicles semejntes) f) Sum y rest de rdicles Pr poder sumr y restr rdicles, estos tienen que ser semejntes, es decir tener el mismo índice y el mismo rdicndo. Ejemplos: ( ) + ( + 5 ) + Observ en el último ejemplo: - primero se descomponen los números. - segundo se etren quellos fctores que se puedn - tercero se sumn los coeficientes de los rdicles semejntes

15 Actividd: 7. Reliz ls siguientes operciones. ) b) c) d) e) f) 5 6 g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) 8b + b + 8 f) Potenci de un rdicl: Potenci de un rdicl es igul otro rdicl de igul índice y cuyo rdicndo es igul un potenci de eponente l multiplicción de eponentes. m n n m ( ) 5

16 Ejemplo: 6 8 f)rdicl de un rdicl: Rdicl de un rdicl es igul otro rdicl cuyo índice será l multiplicción de los índices y el rdicndo será el inicil. m n mn Ejemplo: Actividd: 8. Simplific ls siguientes epresiones: ) b b) c) d) e) f) 5 g) h) ( ) 5 i) ( 8 ) 6 j) 5 k) l) 7 m) n) 5 ñ) o) p) 8 q) 5 9 r) s) 7 8 t) y y 6

17 ºE.S.O. MAPA CONCEPTUAL NÚMEROS REALES Pueden ser De ellos se utilizn Rcionles Irrcionles Aproimciones Vlores ectos Pueden ser se obtienen medinte se representn medinte Rdicles Enteros Frccionrios Redondeo Truncmiento Se epresn como Pueden ser Su epresión deciml puede ser Que implicn Potencis de eponente frccionrio Positivos Nturles Cero Negtivos Errores Con ells se relizn Que pueden ser Operciones Deciml ecto Periódico puro Periódico mito Absolutos Reltivos 7

18 EJERCICIOS. Clsific los siguientes números: 5, 7, 7, 5,, 9,, 6, 777, π, 8555, Etrer todos los fctores posibles: ) 8 h) b) 6 i) 5 6 c) 50 b j) 6 5 y 6 d) e) 75 y 5 k) 7 6 9b 9 m n c 7 f) 6 b 8 g) y 5 y y l) m). Introducir dentro del rdicl todos los fctores posibles que se encuentren fuer de él: z b b y c z 8 9 ) 5 d) b) 8 e) b c) 0 b b f) 5 mn p b m np. Clcul: ) h) b) i) c) j) d) k) e) 7 + b c 8 + l) f) 7 m) g) 8 + 8

19 5. Relizr ls siguientes operciones: ) k) 7 b) : b l) 5 6 : 5 5 5y c) m) : 5 5y 5y 5 d) 75 y : 5 y e) f) c b 7 : 6 n) 5 6 : ñ) c 5 o) b g) 8 bc : b c p) y z 5 7 z y 6y h) ( ) q) ( + ) ( + + ) i) ( ) b b b + b r) : b j) 5 * * Simplificr: 6 5 : 9 6 j) ) ( ) b) 6 5 : c) 8b 9 8b + 6 b l) 6 8 : : 8 k) b b d) m) 9 + b + b b e) b b b n) b b b b b f) 7 5 y 0 ñ) * 5 5 * g) o) 9

20 h) p) i) ( + 6) 7. Rcionlizr ls siguientes epresiones: ) + 7 ) + ) + ) ) ) + 7) 8) 6 9) 0) 6 ) ) ) 5 ) ) ) 7) 5 8) 9) b 0) 5 b ) ) + ) ) + 5) + 6) 5 y 7) 7 y 8) 9) Cuáles de los siguientes rdicles son semejntes? Y cuáles homogéneos? ) 5, 8, 8 g), 6 b) ,, 9, h) y, y, 9 y 6 6 c), 8, 7, d) 6, 9, 7 j) 8 e) 6,6,5 k) i) 5,, 0, 6 8,5 7, f), 8, 8 l), 6, 5,, 8 5 6, 7 0

21 CUESTIONES. Indic si son verdders o flss ls siguientes igulddes: ) b) + 5 m n m n c) ( ) b 6 b 5 y d) 5y y y e) 0 y. Indic si son verdders o flss: ) El número 5 es rel. Es irrcionl? b) El número 5 es nturl. Es entero? c) El número 7 es entero. Es rcionl? d) El número es rel. Es irrcionl? e) El número π es irrcionl. Es rcionl? f) El número es rel. Es rcionl?. Ddo un cudrdo de ldo cm. Qué tipo de número será su áre? y su perímetro?.. Indic si son verdders o flss: ) Todo número rel es rcionl. b) Todo número nturl es entero. c) Todo número entero es rcionl. d) Todo número rel es irrcionl. e) Todo número nturl es rcionl. f) Un número irrcionl es deciml finito. g) Algunos números enteros son nturles. 5. Eplic l diferenci que hy entre ls epresiones decimles de los números rcionles y los irrcionles. 6. Es cierto que entre 5 y 5 eisten números? 7. Siendo l ríz cudrd de un número irrcionl, el número debe ser irrcionl? 8. Indic si son verdders o flss: ) y y b) ( ) c) 6

22 9. De ls tres opciones epuests continución elige l correct, si es que l hy: ) Los números rcionles contienen como subconjunto los números enteros, pero están contenidos en los números nturles. b) Los números rcionles contienen como subconjunto los números enteros, que su vez contienen l conjunto de los nturles. c) Los números rcionles están contenidos en el conjunto de los números enteros, que su vez contienen l conjunto de los nturles. 0. Indic cuál de ls siguientes firmciones es l correct: ) Hy dos clses de números rcionles: los que se pueden escribir en form deciml y los que se pueden escribir en form de frcción. b) Hy dos clses de números rcionles: los que se pueden escribir en form deciml y los que no. c) Todo número rcionl se puede escribir en form de frcción y en form de deciml.. A l hor de multiplicr dos rdicles lo primero que tenemos que hcer es: ) Reducirlos índice común, si es que no lo tienen. b) Observr si tienen el mismo rdicndo, y si no lo tienen debemos reducirlos rdicndo común. c) No son necesris ningun de ls condiciones nteriores, siempre se pueden multiplicr sin necesidd de trnsformrlos previmente.. Pr poder efectur l sum de rdicles: ) Deben tener el mismo rdicndo. b) Deben tener el mismo índice. c) Deben tener el mismo índice y el mismo rdicndo.. Indic cuál de ls siguientes firmciones es correct: ) El conjunto de los números reles contiene los números rcionles pero no los irrcionles. b) El conjunto de los números reles contiene tnto los números rcionles como los números irrcionles. c) El conjunto de los números

23 UNIDAD POLINOMIOS OBJETIVOS DIDÁCTICOS:. (**) Relizr operciones con polinomios.. (**) Utilizr l regl de Ruffini pr dividir polinomios entre binomios.. Utilizr el Teorem del resto pr hllr el resto de ls divisiones de polinomios entre binomios.. Fctorizción de polinomios. 5. (**) Operciones y simplificciones de frcciones lgebrics. ** Indic objetivo mínimo

24 Esquem:. Operciones con polinomios... Sum y rest de polinomios... Multiplicción de polinomios... División de polinomios.. Regl de Ruffini.. Teorem del Resto.. Divisibilidd de polinomios... Divisibilidd de polinomios... Fctorizción de polinomios. 5. Frcciones lgebrics. 5.. Definición 5.. Simplificción 5.. Reducción común denomindor 5.. Sum y rest 5.5. Producto 5.6. Cociente

25 . OPERACIONES CON POLINOMIOS Actividd:. Ddos los polinomios: P() Clculr: ) P() + Q() b) P() Q() c) P() Q() d) P():Q() Q() + +. Clcul l división ( + 5 ) : ( + ) indicndo el cociente y el resto. utilizndo l Regl de Ruffini,. Hll el vlor numérico de P() + en los puntos 0, -... Sum y rest de polinomios Pr sumr y restr polinomios, summos y restmos términos semejntes. Términos semejntes: son quellos que tienen l vrible y el eponente igules. Ejemplos: ) (5 + + ) + ( + 5) 7 + b) (5 + + ) ( + 5) Multiplicción de polinomios Pr multiplicr polinomios, multiplicmos cd monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro polinomio y luego grupmos términos semejntes. Recuerd: cundo multiplics potencis de igul bse se sumn eponentes 5 8 ( por ejemplo: ) Ejemplo: ( + ) ( + )

26 .. División de polinomios ) L división de dos polinomios es otro polinomio, se puede hcer si el dividendo contiene tods ls vribles del divisor con el grdo igul o myor: Recuerd: cundo divides potencis de igul bse los eponentes se restn 5 ( por ejemplo: : ) Ejemplo: ( y ): 8 y y b) Si hcemos l división de un polinomio entre un monomio, es necesrio que todos los monomios que formen el polinomio sen divisibles entre el divisor: Ejemplo: 7 ( yz y 7 y z + y) : y z y yz + c) Si hcemos l división de un polinomio entre otro polinomio, normlmente l división no suele ser ect: P () D() Q() + Donde: P() dividendo D() divisor Q() cociente R() resto R() Ejemplo: 6 5 ( + ): ( + ) + Antes de empezr dividir, dividendo y divisor tienen que estr ordendos en form decreciente y en el dividendo si flt lgún término se pone 0: º pso: se divide el término de myor grdo del dividendo entre el término de myor grdo del divisor, el monomio que resulte será el primer término del cociente. º pso: el monomio obtenido en el º pso se multiplic por el divisor y el polinomio que resulte cmbido de signo, se coloc debjo del dividendo y se reliz un sum (recuerd que sólo puedes sumr términos semejntes), resultndo otro polinomio. º pso: el proceso se continú hst que el polinomio se de un grdo menor que el cociente, este polinomio será el resto de l división. 6

27 Est división no es ect, y que el resto es distinto de cero. Actividd:. Clcul ls siguientes divisiones: 5 ) ( ) : ( 5 ) 5 b) ( ) : ( + 6) 5 c) ( 7 ) : ( + ) 5. Ddos los polinomios: P() 5 + Q() R() S() 7 Clcul: ) P() + Q() b) R() P() c) P() 5R() d) Q()*P() e) R() : S() 6. Resuelve l siguiente operción: ) ( + ) + ( 5 + )( + ) b) [( ) * ( )] - ( 5 + ) 7

28 . REGLA DE RUFFINI L Regl de Ruffini es un lgoritmo que permite obtener el cociente y el resto de un división sin necesidd de relizrl siempre y cundo el divisor se de l form. Vmos utilizr l Regl de Ruffini en el siguiente ejemplo: P() y Q() Luego pr plicr l Regl de Ruffini tenemos que tener en cuent los siguientes psos: Se orden el polinomio P() en form decreciente y escribimos los coeficientes con su signo de cd término, en cso de fltr lgún término su coeficiente será 0. A l izquierd se pone el término independiente del divisor cmbido de signo, en este cso y se bj el coeficiente de myor grdo. (Fig. ) Se multiplic el coeficiente que se h bjdo por el que se h colocdo l izquierd. El resultdo del producto se coloc debjo del coeficiente del término siguiente y se sumn. (Fig. ) El resultdo de l sum se vuelve multiplicr por el número situdo l izquierd y se repite el proceso. (Fig. y ) Si nos fijmos en l figur el último número de l fil inferior corresponde con el resto de l división y el resto de los números serán los coeficientes del cociente, cuyo grdo será uno menos que el grdo del dividendo. Resto 5 Cociente Como dividendo es igul divisor por cociente ms resto, en este cso se verific: ( ) ( + ) + 5 Actividd: 7. Reliz l siguiente división por Ruffini, especificndo el resto y el cociente: ) ( ): ( + 5) 5 b) ( ) : ( ) c) : ( ) d) : 8

29 . TEOREMA DEL RESTO.. Vlor numérico de un polinomio Se P() un polinomio y un número, entonces si sustituimos l por obtenemos el vlor numérico del polinomio P() en. Ejemplo: Se P() + vmos clculr el vlor numérico del polinomio en el punto - : P( ) ( ) ( ) + ( ) 7 Si el resultdo obtenido es cero, decimos que es ríz o un cero del polinomio... Teorem del Resto El vlor numérico del polinomio P() cundo es igul l resto r de l división de P() entre ( ), es decir P() r Demostrción Si dividimos P() entre ( ) obtenemos un cociente C() y un resto r. Entonces se tiene: Dividendo es igul divisor por cociente ms resto. ( ) C() r P () + Si hllmos el vlor numérico del polinomio en el punto, se obtiene: P () ( ) C() + r Operndo, se lleg : P() 0 C() + r P() r Ejemplo: Clculr el resto de l división P() + entre + : Aplicmos el Teorem del Resto pr - P( ) NO es ect. ( ) ( ) resto de l división, en este cso 9

30 Actividd: 8. Aplicndo el Teorem del Resto, probr si son divisibles: ) ( 5 ) : ( ) 5 b) ( ) : ( + ) 5 c) ( ) : ( + ) 5 d) ( ) : ( ). DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS.. Divisibilidd de polinomios Del Teorem del Resto y de l Regl de Ruffini podemos deducir que un polinomio es divisible entre ( ) si es un cero del polinomio, es decir, si P()0. Ls ríces enters de un polinomio se encuentrn entre los divisores del término independiente. L determinción de sus ríces permite, por ejemplo descomponer un polinomio en producto de binomios u otros polinomios más sencillos. Pr descomponer un polinomio como producto de polinomios de grdo más pequeño vmos utilizr l Regl de Ruffini plicándol vris veces. Ls posibles ríces del polinomio se encuentrn entre los divisores del término independiente (nos interesn quellos que den de resto cero). Se consider el cociente que result de relizr l Regl de Ruffini y se vuelve repetir lo nterior hst que resulte un polinomio irreducible. El polinomio de prtid se escribe como producto del polinomio irreducible por todos los binomios del tipo ( ), siendo ríz del polinomio Ejemplo: Descomponer en fctores el polinomio: P() , ls posibles ríces enters del polinomio se encuentrn entre los divisores del término independiente 6, en este cso ±, ±, ±, ± 8, ± Entonces se tiene: P() ( + )( ) 0

31 Continumos plicndo l Regl de Ruffini l cociente: ( )( + ) 0 + ( )( + ) El polinomio P() qued descompuesto de l siguiente form: P () ( + )( )( )( + ) ( ) ( + ) Ls ríces o ceros de este polinomio son: 0 doble + 0 doble Actividd: 9. Descomponer en fctores los siguientes polinomios, indicndo ls ríces: ) P() b) P() c) P() d) P() e) P() f) P() 8 + g) P() h) P() + 0 i) P() Fctorizción de polinomios Descomponer polinomios en fctores es epresrlos como producto de monomios o de polinomios de grdo menor. ) Etrcción de fctor común Cundo en todos los términos de un polinomio prece un fctor común, el polinomio se puede descomponer en un multiplicción de dos fctores: - Uno de ellos es el fctor común - El otro es el cociente de l división del polinomio entre el fctor común

32 Ejemplos: ( + + ) y 9y + 6 y + 7y z y (y y + + 9y z) Actividd: 0. Scr fctor común en ls siguientes epresiones: ) 5 b 0 5 y + 5 b y b 5 b) y z 0 y 5 z + y c) 69 5 b c b c 5 d) 5 b c b c + 5 b c 00 b c 8 0 b c 5 e) 8 b c 5 b 5 c 8b c +6 b c 90b c b c y f) ¾ y + 5 y g) 7/ m 6 y + 7 m 5 n + /5 m n y b) Identiddes notbles + b + b b + b b ( + b) ( b) ( b)( + b) Ejemplos: 5 (5) (5 + ) 0 5 9y z (yz) 9y z + 6 6yz 6 6 (yz 6) 6yz 6 yz 9 7 () (7 + )(7 )

33 Actividd:. Fctorizr: ) b) m + m n + n c) 9/5 6 + /5 y + y d) 6/5 b b y + 5/ y e) 6/9 m y c 8/5 m y c n z + 9/5 n 8 z f) 0,5 m n /7 m n y 6 + /9 8 y g) 9 m q +,8 m p q + 0,09 p h) 9 b i) 00 y 6 m 6 j) m 6 8 y k) ¼ b 9/5 m n 6 l) 6 y z /6 m n 8 d m) /9 y m 6 /5 b 6 n) /9 /9 y 5. FRACCIONES ALGEBRAICAS 5.. Definición 5.. Simplificción Se llm frcción lgebric l cociente de dos polinomios Pr simplificr un frcción, se dividen el numerdor y el denomindor por uno o más fctores comunes mbos. Se obtiene sí un frcción equivlente Cundo en el numerdor y en el denomindor sólo precen fctores multiplicándose: Ejemplo: 6 y y 5 z yz 5... Cundo en el numerdor o en el denomindor precen sums o rests: - Se sc fctor común - Identidd notble Ejemplo: + y + y y ( + y + y ) ( + y)( y) ( + y) ( + y)( y) ( + y) ( y)

34 Actividd:. Simplific ls siguientes frcciones lgebrics: ) y d) g) j) b b m 9y my y y b 9 ( ) m) b b) 5 m n 6m n z 6 b b e) 8 b h) k) n) m + my ( + y + b 6 b) 9 c) f) i) l) ñ) 5mn m n y 9 m y ( ) 6 y my m + m +mn n 6 ( ) y 5.. Reducción común denomindor Se sustituye cd frcción por otr equivlente, de modo que tods tengn el mismo denomindor. Este será múltiplo todos los demás. Ejemplo:, y y, 5 y, 5y, y 6 y 6 y Denomindor común y Actividd:. Reduce común denomindor ls frcciones de los siguientes prtdos: b c ),, bc c b c) b,, + b b 6b + e),, + 9 m + n m n 6mn g),, m n m + n 9m n + y y i),, y + y y + y + y b j),, b b + b b b b b) d) b c b c,, b c bc b c,, b + b b y y,, + y y y f) ( ) ( ) 5 + h),, + +

35 5.. Sum y rest Pr sumr o restr frcciones lgebrics, ests se reducen común denomindor y se sumn o restn los numerdores, dejndo el mismo denomindor común Cundo en los denomindores sólo precen números: Ejemplo: y + y 6 5y y + y 5y 6 0y 6 5y Actividd:. Clcul el resultdo de ls operciones siguientes: 5 7 ) + b) b b b + b 5b 5 b c) + c) b + b d) e) b b b b f) + g) Cundo en los denomindores precen letrs multiplicándose: Ejemplo: 5 6 y 5y 6 y + 5y y y y y y y Actividd: 5. Clcul ls siguientes operciones: 5 ) + b) c) + d) + b b e) g) f) 6 b + y y b y y b + b b b + h) + b b b b b 8 y 5

36 5... Cundo en los denomindores precen letrs y números sumándose y restándose: Ejemplo: 5 + y + y y y 5 ( + y) y ( + y)( y) 5( y) y( + y) ( + y) ( y) 0 0y y y ( + y) ( y) Actividd: 6. Reliz ls siguientes operciones: ) + + y y 8 c) + + b + b e) + b b m + m g) m m + 5 i) + k) ( ) + m) + b) y + y b d) + + b b b f) h) j) l) b b n) b + b b 5.5. Producto El producto de dos frcciones lgebrics es el producto de sus numerdores prtido por el producto de sus denomindores. - Si hy sums y rests primero se sc fctor común y luego se mir por si prece un identidd notble Ejemplos: 5y y 6 5y y y b + b + b + b b ( + b)( b) ( + b) ( + b) ( b) 6

37 5.6. Cociente El cociente de dos frcciones lgebrics es el producto de l primer por l invers de l segund. - Si hy sums y rests primero se sc fctor común y luego se mir por si prece un identidd notble. Ejemplos: y 5y : 6 6 y 5y 5y b + b + b : + b b ( + b)( b) ( + b) : ( + b) ( b) ( + b) ( b) ( b) ( + b) ( + b) Actividd: 7. Simplific todo lo que se pued: ) c) e) g) i) y + y y ( + b) y 5z b y y ( + b) : ( b) 0z : + k) : ( ) + y m) + y y y + y ñ) y + y b) d) f) h) j) ( + y) y + + y y : : + 5 y + y l) y + y + y + yy y n) y + y + + o)

38 ºE.S.O. MAPA CONCEPTUAL POLINOMIOS Operciones Se distinguen en ellos Sum Rest Producto División Potenci Términos Grdo Tiene interés l división entre (-) D lugr Divisibilidd Frcciones lgebrics Regl de Ruffini Teorem del Resto Descomposición fctoril del polinomio Sum Rest Producto Cociente 8

39 EJERCICIOS. Clcul ls siguientes divisiones: 7 8 ) ( ) : ( + ) b) ( 0 0 ) : ( 5 + ) c) ( ): ( 6 + ). Aplicr l Regl de Ruffini: 5 ) ( + + 6) : ( ) b) : ( + ) c) ( ): ( + ) d) ( + ) : ( ) 6 e) ( + ) : ( + ) 5. Aplicr el Teorem del Resto pr hllr el resto de ls siguientes divisiones: ) ( 5 + 5) : ( + ) b) ( 5 ) : ( ) c) ( ) 5 + : ( + ) d) ( + 5 8) : ( ). Hllr el vlor de m en cd cso: ) ( ) 6 + m y ( ) b) ( m + ) y ( ) 5 c) ( 8 + m 0) y ( ) son divisibles d de resto. d de resto. 5. Descomponer en fctores, indicndo ls ríces: ) P() b) P() + 6 c) P() + 5 d) P() Hll m pr que l división ( m) : ( + ) : ) Se ect. b) Teng resto Simplificr: ) 6 b 5 b c b) 6b b c) 5 y y 9

40 d) y y 5 z z e) b ( + b) f) 5 5 g) j) b + b b + h) k) y y b b + y 8 y i) l) 7 0y 5y m) y + y + y y y y n) 9 9 b + b + b ñ) 9b 9b 6b b + b 8. Simplificr ls siguientes epresiones: ) c) y e) + y y y + y g) y + y y i) : y + y y ( ) k) : ( ) 8 + m) o) b) b + + b + b + b b y + y d) y + y + y + yy y f) y + y + + h) j) ( ) + b + b b l) : y y + 0 n) + 8 CUESTIONES. Hllr y b pr que P() + + b se divisible entre (+)(-).. Cuál debe ser el término independiente del polinomio P() + + m pr que se divisible entre (-)? 5. En el polinomio P() + m qué vlor h de tener m pr 6 que se un fctor? 0

41 . Hll el vlor que debemos dr p pr que el polinomio P(y) y + 6 y py + y y se divisible entre (y ). 5. Pr poder dividir dos polinomios es necesrio que: ) El grdo del dividendo se menor que el grdo del divisor. b) El grdo del dividendo se myor que el grdo del divisor. c) El grdo del dividendo se igul que el grdo del divisor. 6. El resto de l división ( + + ) : ( ) ) 7 b) 7 c) es: 7. Indic qué firmción es ciert: ) Si un polinomio es divisible entre ( ) el resto de l división es siempre distinto de cero. b) Si un polinomio es divisible entre ( ) el resto de l división es siempre igul cero. c) Si un polinomio es divisible entre ( ) el resto de l división puede ser cero o un número distinto de cero. 8. Si, -, son ceros de un polinomio, este es: ) P() + b) P() + c) P() + 9. Hll polinomios que tengn ls siguientes ríces: ), b), 5 c),, 0. Ddo P() k ) Hll k pr que se divisible entre ( ) b) Hll k pr que l dividirlo entre ( + ) el resto se 7.. Encuentr un polinomio de tercer grdo que teng por divisores ( ) + + y ( ).. Clcul un polinomio que dividido entre ( ) d ( ) dejndo un resto de 8 uniddes.. Cuáles son ls ríces de Q() ( + )( )( ) +. Si l división () : ( )? 5 + de cociente, P es ect, qué podemos firmr de P()? 5. Si 5 es un ríz de P(), qué podemos firmr de l división () : ( 5) P +? 6. Hll el vlor de k pr que el resto de l división se 6, siendo l división: + k 5 : ( ) ( )

42 7. Ddo el polinomio P() 5 + m. ) Hll el vlor de m pr que se divisible entre ( + ). b) Hll el vlor de m pr que l dividirlo entre ( ), el resto vlg Ls ríces enters del polinomio P() + son: ) - y - b) y c) - y d) y - 9. El polinomio P() 8 es divisible entre: ) + b) c) + d)

43 ºE.S.O. UNIDAD ECUACIONES OBJETIVOS DIDÁCTICOS:. (**) Resolver ecuciones de primer grdo.. (**) Resolver ecuciones de segundo grdo.. (**)Resolver ecuciones de grdo superior: bicudrds y Ruffini.. Solucionr ecuciones irrcionles. 5. (**)Representr gráficmente rects. 6. (**)Representr gráficmente prábols. ** Indic objetivo mínimo

44 ºE.S.O. Esquem:. Ecuciones de primer grdo.. Definición. Ecuciones de segundo grdo.. Definición.. Resolución de un ecución complet de segundo grdo.. Descomposición fctoril.. Discriminnte. Ecuciones de grdo superior.. Ruffini.. Ecuciones bicudrds. Ecuciones irrcionles 5. Representción gráfic de rects y prábols. 5.. Representción gráfic de rects 5.. Representción gráfic de prábols.

45 ºE.S.O.. ECUACIONES DE º GRADO.. Definición - Un ecución de primer grdo con un incógnit es un iguldd de l form + b 0 con, b números reles y 0. - Los vlores de que stisfcen l iguldd se llmn soluciones. - Resolver un ecución signific hllr el vlor de l incógnit que verific l iguldd. Ejemplo : Resolver l ecución: - Quitmos préntesis: + ( ) 5( ) Trnsponer términos: (términos en en un prte de l iguldd y términos sin en l otr prte) Se reducen términos semejntes: Se clcul el vlor de : 6 - Comprobción: ( ) ( ) 5

46 ºE.S.O. Ejemplo : Resolver l ecución: Reducimos común denomindor: ( ) ( + 5) 6 ( 6 ) + ( 7 ) - Simplificmos denomindores: ( ) ( + 5) 6 ( 6 ) - Quitmos préntesis: Trnsponemos términos: Reducimos términos semejntes: 69 - Clculmos el vlor de : 69 - Comprobción: : : : :

47 ºE.S.O. Actividd:. Resuelve ls ecuciones de primer grdo: ) ( )( ) ( )( 5 ) b) c) d) ECUACIONES DE º GRADO.. Definición - Un ecución de º grdo es un iguldd de l form: + b + c 0, con, b y c números reles y 0. - Los vlores que verificn l iguldd se llmn soluciones o ríces de l ecución... Resolución de un ecución complet de º grdo + b + c 0 b± b c - Psmos c l otro ldo: + b - c - Multiplicmos por : + b - c - Summos b : + b + b b - c - Identidd notble: ( + b ) b - c - Despejmos el cudrdo: + b ± b c 7

48 ºE.S.O. - Psmos b restndo: b ± b c - Psmos dividiendo: b± b c.. Descomposición fctoril Slen dos soluciones y, por tnto l descomposición fctoril será: ( )( ) 0.. Discriminnte Se llm discriminnte de un ecución de º grdo : b c ) Si > b) Si 0 dos soluciones reles igules c) Si < 0 no tiene soluciones reles 0 dos soluciones reles distints Ejemplo : Resolver l ecución: Discriminnte: 9 8 > 0 dos soluciones reles distints. Soluciones: + ± 9 8 ± Soluciones: y Descomposición fctoril: + ( + ) 0 8

49 ºE.S.O. Ejemplo: Resolver l ecución: Discriminnte: dos soluciones reles igules Soluciones: 6 ± ± 0 doble Soluciones: doble Descomposición fctoril: ( )( ) ( ) 0 0 Ejemplo : Resolver l ecución: 6+ 0 Discriminnte: < 0 no tiene solución rel Ejemplo : Resolver l ecución: 0 Ecución de segundo grdo fltndo el término independiente, entonces pr resolverl scmos fctor común: ( ) Soluciones: 0 y Descomposición fctoril: ( ) 0 Ejemplo 5: Resolver l ecución 5 0 Ecución de segundo grdo fltndo el término independiente y el término en Soluciones: 0 doble 0 0 9

50 ºE.S.O. Ejemplo 6: Resolver l ecución: 0 Ecución de segundo grdo fltndo el término en, se resuelve de l siguiente form: 0 ± ± Soluciones: y Descomposición fctoril: ( )( + ) 0 Actividd:. Resuelve ls ecuciones de segundo grdo, nliz el discriminnte, hll l descomposición fctoril e indic ls soluciones: ) + + c) d) e) + 8 f) g) + 0 h) i) b) ( ) ( )( ). ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR.. Ruffini Investig sobre ello repsndo los puntes del tem nterior. Ejemplo: Resolver l ecución: Descomposición fctoril: + 5 ( )( )( ) 0 ( ) 0 ± ( + )( 5)( )( + ) 0 Soluciones: -, 5, y 50

51 ºE.S.O. Actividd:. Resuelve por Ruffini, descomponiendo en fctores e indicndo ls soluciones: ) b) c) d) e) Ecuciones bicudrds ) Definición - Ls ecuciones bicudrds son ls que se pueden reducir l form + b + c 0, es decir no hy término en y en. b) Resolución - Se resuelven medinte un cmbio de vrible: z de lo que se deduce, elevndo l cudrdo que z - L ecución bicudrd se convierte en: z + bz + c 0 que es un ecución de º grdo y que resolvemos por l fórmul dándonos dos soluciones pr z que serán z y z, pero tenemos que hllr los vlores de. - Como z se tiene: z ± z z ± z - Importnte: no olvides que no eisten ríces de índice pr de números negtivos en los números reles. c) Descomposición fctoril ( )( )( )( ) 0 Ejemplo : Resolver l ecución: Ecución bicudrd, hcemos el cmbio de vrible: z z L ecución resultnte será: z z Ecución de º grdo y que resolvemos por l fórmul: + 5 z 9 ± 69 ± 5 ± 5 z 5 z Como z, hllmos los vlores de : 9 ± 9 ± ± ± Descomposición fctoril: + + Soluciones:, -, y ( )( )( )( ) 0 5

52 ºE.S.O. Ejemplo : Resolver l ecución: 0 Ecución bicudrd, hcemos el cmbio de vrible: z z L ecución resultnte será: z z 0 Ecución de º grdo y que resolvemos por l fórmul: z ± ± 5 ± 5 z z Como z, hllmos los vlores de : ± ± ± imposible en los reles Descomposición fctoril: ( )( + )( + ) 0 Soluciones reles: y Actividd:. Resuelve ls siguientes ecuciones de grdo superior: ) b) c) d) e) f) g) ECUACIONES IRRACIONALES ) Definición Se llmn ecuciones irrcionles quells en ls que lgun de ls incógnits está bjo el signo rdicl. 5

53 ºE.S.O. Ejemplo: Resolver l ecución: ) Aislmos el rdicl en un de ls prtes de l iguldd: b) Elevmos l cudrdo mbos miembros: ( 6) ( + 0) c) Resolvemos: d) Comprobmos que el resultdo stisfce l ecución: Ejemplo : Resolver l ecución: ) Aislmos el rdicl en un de ls prtes de l iguldd: b) Elevmos l cudrdo mbos miembros: (dte cuent que prece un identidd notble) ( + 9) (6 ) c) Volvemos islr el otro rdicl, reduciendo términos semejntes: d) Volvemos elevr l cudrdo: ( ) ( ) e) Resolvemos: + 7 d) Comprobmos que el resultdo stisfce l ecución: Importnte: Comprueb tods ls soluciones pues hy muchs posibiliddes de que prezcn flss soluciones. 5

54 ºE.S.O. Actividd: 5. Resuelve ls siguientes ecuciones irrcionles: ) b) 9 c) d) e) f) + 5 g) h) 5 + i) 6 j) REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RECTAS Y PARÁBOLAS 5.. Representción gráfic de rects Elementos de l rect: - L epresión nlític en su form eplícit de un rect es de l form y + b, donde y b son números reles. - Cundo b 0 hblmos de función linel y cundo b o se llm fín. - A se le llm pendiente de l rect. > 0 función es creciente < 0 función es decreciente - Pr representr un rect se necesitn dos puntos. - El punto de corte de l gráfic con el eje de bsciss (OX) es l solución de l ecución y 0, es decir de l ecución: b 0 + b que es un ecución de primer grdo, entonces y se b tiene el punto,0 0,b, que - Si considermos 0, entonces y b y se tiene el punto ( ) será el punto de corte con el eje de ordends (OY). - Esos dos puntos serán los puntos de corte con los ejes. Ejemplo : Represent l función: y + ) b 0 función fín b) por ser positiv es un función creciente c) Puntos de corte: Si 0 y ( 0, ) Si y / ( -/, 0) 5

55 ºE.S.O. Ejemplo : Represent l función: y - ) b 0 función linel b) - por ser negtiv es un función decreciente c) Puntos de corte: Si 0 y 0 (0,0) Considermos otro vlor pr o pr y que se distinto de 0 por ejemplo: y - (,- ) Actividd: 6. Represent ls siguientes rects: ) y b) y + c) y - 5 d) y e) y 6 f) y 8 g) y - + h) y Representción gráfic de prábols Elementos de l prábol - L epresión nlític de un prábol es de l form y + b + c, donde, b y c son números reles. - Si > 0 l prábol está orientd hci rrib - Si < 0 l prábol está orientd hci bjo 55

56 ºE.S.O. - Los puntos de corte de l gráfic con el eje de bsciss son ls soluciones de l ecución y 0, es decir, ls soluciones de + b + c 0 que es un ecución de segundo grdo. - Un ecución de segundo grdo puede tener dos soluciones, un o ningun según el vlor del discriminnte o negtivo respectivmente. Recordmos que: ) Si > 0 dos soluciones reles distints b) Si 0 dos soluciones reles igules c) Si < 0 no tiene soluciones reles b c se positivo, nulo - Gráficmente ls soluciones coinciden con los puntos de corte en el eje X de l prábol y + b + c ) b) c) - El punto de corte de l gráfic con el eje de ordends es decir si 0, se tiene y c se tiene el punto (0,c) - El vértice de un prábol tiene como bscis - b/, pr clculr l ordend se sustituye el vlor hlldo de l en l prábol. Ejemplo : Represent l función: y ) >0 l prábol está orientd hci rrib b) y ± 6 6 ± (, 0) y (, 0) c) 0 y 8 ( 0, 8) b 6 d) Vértice: y (,- ) 56

57 ºE.S.O. Ejemplo : Represent l función: y + ) - <0 l prábol está orientd hci bjo ± b) y ± (,0) y, 0 c) 0 y ( 0, ) d) Vértice: b 6 6 y El vértice será:, 6 Actividd: 7. Represent ls siguientes prábols: ) y + + b) y + 5 c) y + d) y + + e) y + f) y 57

58 ºE.S.O. ECUACIONES Clses Ecuciones polinómics Ecuciones irrcionles Ecuciones de º grdo Ecuciones de º grdo Ecuciones de grdo superior Son quells en ls que l incógnit está bjo el signo rdicl Su epresión Representción Su epresión Representción nlític gráfic nlític gráfic Ruffini Bicudrds + b 0 Punto de corte con el eje X de l rect y + b Su solución Su solución + b + c 0 Posibles puntos de corte con el eje X de l prábol Y + b + c Su epresión Su epresión nlític nlític n n b + c 0 b b ± b c Estudindo el discriminnte Se resuelve por cmbio de vrible z 58 b Si c Si Si > 0 soluciones 0 solución < 0 0 soluciones z Se trnsform en ecución de º grdo + bz + c 0

59 EJERCICIOS. Resuelve ls siguientes ecuciones de primer grdo: 8 ) b) c) d) e) Resuelve ls siguientes ecuciones de segundo grdo, indicndo el vlor del discriminnte y l descomposición fctoril: ) b) + 0 c) + 0 d) + 0 e) f) Resuelve ls siguientes ecuciones de grdo superior: ) b) c) d) e) + 0 f) g) h) Resuelve ls siguientes ecuciones irrcionles: ) b) + + c) + 5 d) + e) f) g) 5 h) i)

60 j) k) Represent ls siguientes rects y prábols: ) y 6 b) y + 5 c) y + + d) y e) y -6 f) y + 6 g) y 5 h) y i) y + 6. Resuelve por Ruffini, descomponiendo en fctores e indicndo ls soluciones: ) b) c) d) e) f) 0 g) + 0 h) CUESTIONES. Los números y son ls soluciones de l ecución: ) + 0 b) 0 c) 0 d) 0. L ecución + 0 tiene un ríz, que es. L otr ríz es: ) b) c) d). Qué ecución tiene discriminnte negtivo? ) b) + 0 c) 0 d) 0 60

61 . Averigu, en cd cso, si los números que se dn son solución de l ecución correspondiente: ) y b) 0 y 0 c) y d) ( )( ) 0 y - 5. Sin resolverls, verigu el número de soluciones de ls siguientes ecuciones: ) b) 5 0 c) + 0 d) ( ) 0 6. Escribe un ecución bicudrd cuys soluciones sen, -, 5 y Hll c en l siguiente ecución 6 + c 0, de form que un solución se. 8. Observ ls ecuciones de ls siguientes prábols: y, y, y, y Qué prábols estrán orientds hci rrib? y hci bjo? 9. Escribe un ecución de segundo grdo que teng por soluciones: ) y 5 b) 6 y 9 c) 0 y 0.Hll el vlor de los coeficientes b y c en l ecución 7 + b + c 0 sbiendo que sus soluciones son 5 y 6.. Clcul el coeficiente b en l ecución 5 + b sbiendo que un de ls soluciones es. Cuál es l otr solución?. Escribe en cd cso un ecución de segundo grdo que teng por soluciones 5 y y tl que: ) El coeficiente de se. b) El coeficiente de se. c) El término independiente se.. Determin pr que vlores de b l ecución b ) Tiene dos soluciones distints b) Tiene un solución c) No tiene solución 6

62 . L gráfic de l prábol y + c ps por el punto (,6). Encuentr el vlor de c y verigu si l gráfic cort l eje de bsciss. 5. Indic cuántos puntos de corte con el eje de bsciss tiene un prábol que verific: ) >0 y el vértice está por encim del eje OX b) >0 y el vértice está en el eje OX c) <0 y el vértice está por encim del eje OX d) <0 y el vértice está por debjo del eje OX 6

63 UNIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES INECUACIONES OBJETIVOS DIDÁCTICOS:. Interpretr gráficmente l solución de un sistem de ecuciones.. (**) Resolver lgebricmente sistems de dos y tres incógnits. Conociendo en qué consiste cd método de resolución de sistems de ecuciones.. (**) Aplicr el lenguje simbólico y lgebrico l resolución de problems.. Resolver sistems de tres ecuciones con tres incógnits: Guss 5. (**) Clculr ls soluciones de un sistem de inecuciones de un incógnit. 6. Interpretr inecuciones con dos incógnits. ** Indic objetivo mínimo 6

64 Esquem:. Sistems de ecuciones... Introducción... Definición... Clsificción... Estudio gráfico.. Resolución de sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits... Método gráfico... Método de sustitución... Método de igulción... Método de reducción.. Resolución de problems... Psos pr resolver un problem.. Resolución de sistems de tres o más ecuciones. 5. Inecuciones. 5.. Introducción. 5.. Inecuciones de primer grdo con un incógnit. 5.. Propieddes. 5.. Sistems de inecuciones de un vrible Inecuciones de primer grdo con dos incógnits. 6

65 . SISTEMA DE ECUACIONES.. Introducción Cundo queremos resolver un problem en el que prece más de un incógnit, necesitmos relcionrls medinte ecuciones... Definición - Pr ello definimos: sistem de ecuciones como un conjunto de ecuciones. - Ls ecuciones que vmos considerr en este tem son ecuciones lineles, es decir ls vribles tienen eponentes uno: n n + n n 0.. Clsificción Según ls soluciones un sistem de ecuciones puede ser: o o Sistem comptible: Tiene solución y puede ser: Determindo: Eiste un únic solución Indetermindo: Tiene infinits soluciones Sistem incomptible No tiene solución.. Estudio gráfico Gráficmente, pr un sistem de dos ecuciones de primer grdo con dos incógnits se tiene:(recordmos que l representción gráfic de cd ecución es un rect) ) Si se cortn en un punto: sistem comptible determindo y serán dos rects secntes. b) Si no tienen puntos en común: sistem incomptible y serán dos rects prlels. c) Si tienen infinits soluciones: sistem comptible indetermindo y serán dos rects coincidentes. ) b) c) 65

66 . RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE PRIMER GRADO Vmos estudir los métodos pr resolver un sistem de dos ecuciones con dos incógnits.. Método gráfico Cd ecución de dos incógnits de primer grdo es un rect. Representmos cd rect y si se cortn en un punto, ese punto será l solución del sistem. Ejemplo: y Resolver por el método gráfico el sistem: + y 7 Como cd ecución es un rect, clculmos los puntos de corte. y - o Si 0 y y (0, ) o Si y 0 (,0 ) + y 7 o Si 0 y 7 (0,7 ) o Si y 0 7 (7,0 ) (,6) (,6) es el punto de corte de ls dos rects y l solución del sistem, en este cso es un sistem comptible determindo Actividd:. Anliz ls soluciones de los siguientes sistems gráficmente: ) + y + 6y b) + y + y 0 c) + y + y 66

67 .. Método de sustitución Psos que se deben seguir:. Se despej un incógnit en un de ls ecuciones.. Se sustituye el vlor de es incógnit en l otr ecución.. Se resuelve l ecución resultnte, y que sólo tiene un incógnit. Ejemplo: y Resolver por el método de sustitución el sistem: + y 7 o + y 7 7 y o (7 y) y 8 o y y y y y 8 y 6 o Como 7 y 7 6 o Luego l solución será: (,6) o Comprobción en ls dos ecuciones Actividd:. Resuelve los sistems emplendo el método de sustitución: ) y y b) 5y y 0 c) + y + y.. Método de igulción Psos que se deben seguir:. Se despej l mism incógnit en mbs ecuciones.. Se iguln los resultdos obtenidos.. Se resuelve l ecución resultnte, que sólo tiene un incógnit. Ejemplo: y Resolver por el método de igulción el sistem: + y 7 o + y 7 7 y o + y y + y o + y y + y 7 y y + y 8 y y y 8 y 6 o Como 7 y 7 6 o Luego l solución será: (,6) o Comprobción en ls dos ecuciones 67

68 Actividd:. Resuelve los sistems emplendo el método de igulción: ) y + y b) 0( ) + y + ( y) 5 c) y y.. Método de reducción: Psos que se deben seguir:. Se trnsformn ls ecuciones de modo que un de ls incógnits teng coeficientes opuestos en mbs ecuciones.. Se sumn mbs ecuciones.. Se resuelve l ecución resultnte, que sólo tiene un incógnit. Ejemplo: y Resolver por el método de reducción el sistem: + y 7 o Vmos quitr l vrible pr ello multiplicmos l segund ecución por, es decir: y y o Summos mbs ecuciones: y 8 o Resolvemos l ecución que es de primer grdo: 8 y 6 o Como y 6, sustituimos en culquier de ls dos ecuciones de prtid, es decir: + y o Luego l solución será: (,6) o Comprobción en ls dos ecuciones Actividd:. Resuelve los sistems emplendo el método de reducción: ) + y 0 5 7y 6 b) + y 6 + y 7 c) 0 + y 0 5y 68

69 . RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON DOS INCÓGNITAS.. Psos pr resolver un problem ) Definir incógnits. ) Plntemiento verbl del problem. ) Resolución de l ecución o sistem de ecuciones. ) Comprobción. 5) Respuest direct l pregunt, con sus correspondientes uniddes. Ejemplo : Ls dos cifrs de un número sumn. Hll dicho número sbiendo que si se invierte el orden de sus cifrs, el número disminuye en 6 uniddes. ) primer cifr del número y segund cifr del número número 0 + y ) *Si summos ls cifrs de un número, es decir + y, nos dá de resultdo + y *número con ls cifrs invertids es 0y +, número disminuido en 6 uniddes será 0 + y 6 y como son igules, l ecución será: 0y y 6 ) El sistem que debemos resolver será: + y + y + y 0y y 6 0y + 0 y 6 9y y y Resolvemos el sistem por el método de reducción, pr ello summos y eliminmos l vrible : { y 8 y Pr hllr l utilizo l primer ecución: + y + 8 ) Comprobmos en el sistem de prtid: + y 8 + 0y y ) El número es 8 69

70 Ejemplo : Dos ciuddes están seprds por 50km. Un moto sle de un de ells 50km/h y otr, de l otr ciudd 0km/h (un v l encuentro de l otr). Cuándo y dónde se encontrrán? ) Se el espcio que recorre l moto que v 50km/h y 50- el espcio que recorre l moto que v 0km/h. Se t el tiempo que trdn en encontrrse. espcio ) Sbemos que velocidd tiempo A 50 - B Punto de encuentro Espcio Velocidd Tiempo A 50km/h t B 50-0km/h t Sbemos que el espcio que recorre l primer moto más el espcio que recorre l segund moto debe ser 50km: 50 t + 0 t 50 Además 50t ) Resolvemos l ecución de primer grdo: 50 t + 0 t t 50 t 5 50 t ) Comprobmos: ) Se encuentrn l cbo de 5 hors 50km de l ciudd A y l de 00km de l ciudd B Actividd: 5. Ls eddes de un pdre y un hijo sumn 5 ños. Dentro de tres ños l edd del pdre será el doble de l del hijo. Cuántos ños tienen? 6. Un vintero mezcl vino de 6 euros el litro con otro de euros, de modo que el litro de l mezcl lo vende euros. Cuántos litros de cd clse h mezcldo si tiene 600 litros de l mezcl? 7. En un estblecimiento se hn vendido pquetes de lmendrs y 8 de pips pgndo en totl 50 euros. Hll el precio del pquete de cd clse sbiendo que los de lmendrs cuestn veces más que los de pips. 8. Hll un número de dos cifrs, tl que el doble de sus decens más el triple de sus uniddes se, y que l sum de dicho número con el que result de invertir el orden de sus cifrs se Un mlhechor se escp 70 km/h; 90 km más trás le persigue l policí 85 km/h. Cuándo y dónde le lcnzrá? 0. El perímetro de un finc rectngulr es 80 metros. Sbiendo que l lrgur es cinco veces l nchur, cuánto mide el lrgo y el ncho? 70

71 . RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE TRES O MÁS ECUACIONES Pr resolver sistems de tres ecuciones con tres incógnits vmos utilizr el método de Guss, pr ello tenemos que llegr tener un sistem tringulr Consiste en plicr reiterdmente el método de reducción hst conseguir un sistem tringulr en el que l ª ecución teng tres incógnits, l ª dos y l ª un. Ejemplo: Resolver por el método de Guss el sistem: + y + z y z 0 + y z 5 Fijmos un de ls tres ecuciones, en este cso l primer. Utilizmos el método de reducción pr quitr l vrible, º y º multiplicndo l º por, y º y º (no hce flt multiplicr y que l vrible tiene coeficientes opuestos) + y + z y 5z y z Volvemos utilizr el método de reducción entre l º y º, quitndo l vrible y (no hce flt multiplicr y que l vrible y tiene coeficientes opuestos) + y + z y 5z 6z 6 Un vez conseguido el sistem tringulr, resolvemos ls ecuciones empezndo por l º pr hllr z, este vlor lo sustituyo en l º y clculo y, hst llegr l primer pr clculr { z y Solución: (, -, ) Comprobción en ls tres ecuciones 5. INECUACIONES Actividd:. Resuelve los sistems de tres ecuciones con tres incógnits utilizndo el método de Guss: + y + z y + z 7 + y z ) y + z 5 b) + y z c) + y + z + y + z y + z + y + z 5 7