MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA. 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto.

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1 MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA ) Determinar k y h para que las rectas kxy-h=0, 4xky-=0, se corten en un punto ) La recta r: 5 x y 9 = 0, corta a la recta y = x en el punto A Obtener la ecuación de una recta perpendicular a la recta r, que pase por el punto A y la ecuación de una recta paralela a r que tenga abscisa al origen igual a Graficar todas las rectas 5 ) La recta r: x y 5 = 0, corta a la recta y = x en el punto A Determinar las coordenadas de todos los puntos del eje y que están a distancia 0 del punto A 4) Dada la recta de ecuación y = x Calcular la longitud del segmento de dicha recta 4 que está contenido en el cuarto cuadrante 5) Determinar el valor real de a, sabiendo que el punto A ( ;a) perpendicular a = x y que pasa por el punto = ( 5; ) = es un punto de la recta B 6) La recta r, tiene ordenada al origen 4 y abscisa al origen 8 Determinar la distancia del punto P = ( ; 5) a la recta r 7) En el triángulo AB C : A = (; ), B = (;4), la recta que pasa por A y por C tiene pendiente - y la que pasa por B y por C tiene pendiente Calcular las coordenadas del vértice C y la longitud del lado AB 8) Sea (x) Sea g (x) 5 la recta perpendicular a h ( x) = x, que tiene abscisa al origen x = Determinar todos los valores reales de x para los cuales f (x) supera en más de 8 a g (x) f la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos ( ;) y ( ; 4) 9) Una función cuadrática f (x), tiene coeficiente cuadrático, su gráfico pasa por el punto P = (,6 ) y una raíz es - Determinar la expresión polinómica de f (x), su gráfico y el conjunto imagen

2 0) Una función cuadrática g (x), tiene raíces opuestas El producto de sus raíces es -7 La función g (x), toma su máximo valor en y = 7 Obtener la expresión factorizada de la función g (x) ) La función cuadrática f (x), es tal que f ( ) = 5 Determinar f (x) que los ceros de g ( x) = x x, son también ceros de f (x), sabiendo además ) Las funciones = x a y g( x) = x bx b, se intersecan en puntos Uno de ellos es ( ;0 ) a) Determinar el otro punto de intersección b) Verificar gráficamente ) Determinar la intersección de = 4x 0x 6 con la recta determinada por = ; Q = 5;4 Determinar la distancia entre los puntos de intersección P ( ) y ( ) 4) Los gráficos de las funciones lineales r ( x) = 5x 9 y q ( x) = x se cortan en el punto A Determinar la función cuadrática f(x), cuyo vértice es el punto A y corta al eje y en Graficar las tres funciones 5) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a y = x que corta a = x x en un punto de abscisa x = 6) Los gráficos de las funciones lineales r ( x) = x y q ( x) = x se intersecan en el punto A El gráfico de la función cuadrática f(x) pasa por dicho punto e interseca el eje x en los mismos puntos que r(x) y q(x)graficar las tres funciones 7) La parábola y x mx h V = ; 4, determinar intersecciones con los ejes, conjunto imagen, eje de simetría y gráfico de la parábola =, tiene por vértice al punto ( ) 8) La recta r, tiene abscisa al origen y ordenada al origen, la recta r, tiene ordenada al origen y es a r Determinar los puntos de intersección de r con la función = x x 8 9) Dadas: = x y g ( x) = mx, se pide: i) Determinar m, tal que: a) f(x) y g(x) sean secantes b) f (x) y g (x) sean tangentes c) f (x) y g (x) no tengan puntos en común ii) Idem i) para = x x y g ( x) = mx

3 0) Hallar k R, de modo tal que la recta y = x sea tangente al gráfico de = x kx Para el menor valor de k hallado, dar las coordenadas del punto de tangencia ) Determinar a y b, sabiendo que - y son raíces de P ( x) = ax x bx 6 ) Determinar a y b, sabiendo que - es raíz de P ( x) = x ax bx 0 y es raíz de Q ( x) = ax bx 8 ) Sabiendo que el conjunto de ceros de P(x) es C 0 ={ -, -, }, y además P() =, determinar P(x) de menor grado posible, su conjunto de positividad, su conjunto de negatividad y gráfico aproximado 4) Determinar el conjunto de positividad, de negatividad, de ceros y graficar: 5 5 P ( x) = x x 5 5) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la recta y = -x, que pase por el punto de intersección de = x 4x x con g(x) = -x-, sabiendo que la abscisa del punto de intersección es un número entero mayor que 6) Determinar los valores de k R, de modo que el conjunto de positividad de la función: x kx k C f = sea ( ) 7) Sea f una función polinómica de grado tal que f () = 4 Sabiendo que el gráfico de f(x) pasa por el origen de coordenadas y que los ceros de g ( x) = x 7x son también ceros de f(x), hallar f(x) Determinar el conjunto de positividad de f(x) 8) Dada la función polinómica definida por las fórmula M ( x) ( x )( x x x) se pide: a) Hallar todos los valores de x que verifican la inecuación M ( x) 0 =, c) Hallar la expresión de un polinomio P que cumpla las siguientes condiciones simultáneamente: i) -5 es raíz de P ii) C ( P) = C ( M ) iii) gr( P) =6 d) Sabiendo que es la abscisa de uno de los puntos de intersección de los gráficos de las 4 funciones S(x) y H ( x) = x 6x 5x 5x 9, determinar las coordenadas de todos los puntos de intersección

4 9) Determinar la función polinómica f (x) de grado, tal que corte al eje y en y = 40, y ; 4; cuyo conjunto de positividad sea ( ) ( ) 0) Hallar la expresión de una función polinómica h(x) que cumpla simultáneamente: 4 C h = C f, siendo f ( x ) = x 8x ( ) ( ) 0 ( ) = 0 ( ) C h C g, siendo gr(h) = 6 h() = - g( x ) = x 4x ) Determinar analíticamente la intersección de Graficar ambas funciones 5x = x con ( x) = 7x g ax 5 ) Dada f ( x ) =, determinar los valores reales de a y de b sabiendo que la bx asíntota horizontal de f (x) es la recta de ecuación: y =, y que f ( ) = Con los valores reales obtenidos de a y de b, determinar dominio, conjunto imagen, conjunto de positividad y conjunto de negatividad de f (x) ) Determinar analíticamente el o los puntos de intersección de g ( x) = x x Graficar ambas funciones 4) Determinar la ecuación de la recta que corta al gráfico de de abscisas x = 5 y x 9 = x = con x 4 = en los puntos x 5) Dada g( x) = x 4x 6, se pide: a) Determinar la función homográfica f (x) tal que la asíntota vertical sea el eje de simetría de la función cuadrática g (x), la asíntota horizontal pase por el punto donde la función cuadrática g (x) corta al eje de las ordenadas, además el gráfico de la función homográfica f (x) pasa por la mayor de las raíces de la función cuadrática g (x) b) Representar gráficamente ambas funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos 6) Se define P : R R / P( x ) = A( x ) B( x ), siendo A(x) una función cuadrática que pasa por los puntos (;) y (;) e interseca al eje de las abscisas en un solo punto 4

5 B(x) es una función lineal, el gráfico interseca al eje de las ordenadas en 5 y C ( B ) = (, ) Se pide: a) Escribir la expresión factorizada de P b) Determinar los valores de a (reales) de forma tal que la recta de ecuación: y = ax 6 sea tangente al gráfico de A 7) Dada la función: R R ( ) P : / P x = x 4x, se pide: a) Hallar el conjunto solución de la inecuación: x 4x 0 b) Dar la expresión de una función polinómica B de grado 5, con las mismas raíces C ( B) =, de P y ( ) 8) A continuación se muestra el gráfico de una función polinómica de grado y una parábola Determinar la fórmula de la función polinómica f 9) Hallar la fórmula de la hipérbola y las coordenadas del punto P 5

6 RESPUESTAS ) k R { ; } ; y h R ) = ( ; ) A, ) P = ( 0; 4) ( ) 7 y = x, y = 5 x Q = 0; 4) 5 5) a = 5 6) d = 5 7) C = ; 7 d AB = 5 x 7; 8) ( ) 9) = x x 6 ; 0) g ( x) = ( x 7 ) ( x ) 5 ;4 ) = x ( x ) ) a) P = ( ) ) P = ( 0; 6), = ( ; ) 4) = ( x ) 5) y = x 7 Im = ; P ; d = 5 6

7 8 6) A = ;, = ( x ) ( x ) 4 7) m = -, h = Intersección con el eje x : x =, x = - Intersección con el eje y : y = - Im = 4;, Eje de simetría x = [ ) 8) A = ( ;), B = ( ;0) m, b) = 9) i) a) ( ; ) ( ; ) ii) a) m, b) m =, c) Nunca 0) k = o k = - Punto de tangencia (;-) m, c) m ( ; ) ) a = ; b = 6 ) a = 5, b = ( x) = x x x C = ; ; ) P ( ) ( ) ( ) ; = ( ; ) ( ; ) C ; ( ) ( ) 0 4) C = ( ;) ; C = ( ; ) ( ; ) ; C = { ; } 5) y = x 6) k (, ) ( 0, ) 7) = 6 x x ( x ) ; C = ( ;0) ; 8) a) x [ ; 0] { } b) Una posible función ( ) ( ) c) ( ; 8 ) y ( ; 0668 ) 9) = 5 ( x ) ( x ) ( x 4) h( x) = x 9 x x h( x) = x x 8 x 0) Algunas de las respuestas posibles: ( )( ) h( x) x x x 9 S = ; 4 ; ; 8 = ( ) ( ) ( )( ) 4 ) {( ) ( )} ) a = 4 ; b = 6 ; Dom = R ; 5 C = ; 4 ) S = 0; ; ;0 ; ; 4 4) y = x 7 7 P( x) = ax x 5 x a < 0 5 Im = R ; C = ; ; 4 7

8 5) = 6x 6 x 6) a) A( x ) = ( x ) b) a = - o a = -4 5 = 5 0 B( x ) x P( x ) = ( x ) ( x ) 7) a) S = [, 0] [, ] b) ( )( ) 7 7 g( x ) = x x x 5 f ( x ) = P = ; x 8) f ( x ) = ( x ) x ( ) 9) B( x ) = a x x x, a < 0 8

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