Modelos de Regresión análisis de regresión diagrama de dispersión coeficientes de regresión

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1 Modelos de Regresó E muchos problemas este ua relacó herete etre dos o más varables, resulta ecesaro eplorar la aturaleza de esta relacó. El aálss de regresó es ua técca estadístca para el modelado la vestgacó de la relacó etre dos o más varables. Por ejemplo, e u proceso químco, supógase que el redmeto del producto está relacoado co la temperatura de operacó del proceso. El aálss de regresó puede emplearse para costrur u modelo que permta predecr el redmeto para ua temperatura dada. Como lustracó, cosdérese los datos de la sguete tabla. E ella, Υ es la pureza del oígeo producdo e u proceso de destlacó químco, es el porcetaje de hdrocarburos presetes e el codesador prcpal de la udad de destlacó. La fgura preseta el dagrama de dspersó de los datos cotedos e la Tabla. El aálss de este dagrama de dspersó dca que, s be ua curva o pasa eactamete por todos los putos, este ua evdeca fuerte de que los putos está dspersos de maera aleatora alrededor de ua líea recta. Por cosguete es razoable supoer que la meda de la varable aleatora Υ está relacoa co por la sguete relacó leal: E(Υ ) + Dode la pedete la ordeada al orge de la recta recbe el ombre de coefcetes de regresó.

2 Tabla Número de observacó Nvel de Hdrocarburo (%) Pureza Υ(%)

3 3

4 4 be la meda de Υ es ua fucó leal de, el valor real observado de Υ o cae de maera eacta sobre la recta. La maera apropada para geeralzar este hecho co u modelo probablístco leal es supoer que el valor esperado de Υ es ua fucó leal de, pero que para u valor fjo de el valor real de Υ está determado por el valor medo de la fucó (el modelo leal) más u térmo que represeta u error aleatoro, por ejemplo, Υ + + ε dode ε es el error aleatoro. Este modelo recbe el ombre de modelo de regresó leal smple, a que sólo tee ua varable depedete o regresor. Regresó Leal mple El caso de la regresó leal smple cosdera sólo u regresor o predctor, ua varable depedete o respuesta Υ. upógase que la verdadera relacó etre Υ es ua líea rect, que la observacó Υ e cada vel es ua varable aleatora. Tal como a se dcó, el valor esperado de Υ para cada valor de es E(Υ ) +

5 5 dode la ordeada al orge la pedete so los coefcetes descoocdos de la regresó. e supoe que cada observacó, Υ, puede descrbrse por el modelo Υ + + ε () dode ε es u error aleatoro co meda cero varaza σ. També se supoe que los errores aleatoros que correspode a observacoes dferetes so varables aleatoras o correlacoadas. Las estmacoes de debe dar como resultado ua líea que (e algú setdo) se ajuste mejor a los datos. El cetífco alemá Karl Gauss ( ) propuso estmar los parámetros de la ecuacó () de modo que se mmce la suma de los cuadrados del error. Este crtero para estmar los coefcetes de regresó se cooce como método de mímos cuadrados. Al utlzar la ecuacó (), es posble epresar las observacoes de la muestra como: Υ + + ε,,,, la suma de los cuadrados de las desvacoes de las observacoes co respecto a la recta de regresó es

6 6 L ) Y (. Los estmadores de mímos cuadrados de,, debe satsfacer las ecuacoes sguetes: o L, ) (Y o L, ) (Y Después de smplfcar las epresoes aterores, se tee que + + Y Y

7 7 Las últmas ecuacoes recbe el ombre de ecuacoes ormales de mímos cuadrados. La solucó de estas ecuacoes da como resultado los estmadores de mímos cuadrados. Defcó Las estmacoes de mímos cuadrados de la ordeada al orge la pedete del modelo de regresó leal smple so dode.

8 8 Por tato, la líea de regresó estmada o ajustada es +,,, Los resduos se determa como ε. El resduo descrbe el error e el ajuste del modelo e la -ésma observacó. Los resduos proporcoa formacó sobre la adecuacó del modelo ajustado. Notacó E ocasoes es coveete dar símbolos especales al umerador deomador e las fórmulas de los estmadores de mímos cuadrados. Dados los datos, ),(, ),,(, ) sea ( ( )

9 9 ) )( ( A partr de esta otacó, los estmadores de mímos cuadrados será: Ejemplo Es mometo de ajustar u modelo de regresó leal smple a los datos de pureza del oígeo de la Tabla. Co esos datos puede calcularse las catdades sguetes: 9.6., 843., 3.9,,

10 744.53, 9.9, 4.66 (3.9) (3.9)(843.) 8 Por cosguete, las estmacoes de mímos cuadrados de la pedete la ordeada al orge so (4.97). 74.

11 El modelo de regresó leal smple ajustado es ,,,, La gráfca de este modelo aparece e la fgura, juto co los datos de la muestra.

12 Co el empleo del modelo de regresó ajustado, es posble predecr ua pureza de oígeo de 89.7% cuado el vel de hdrocarburo es.%. La pureza de 89.7% puede terpretarse como ua estmacó de la pureza promedo verdadera de la poblacó cuado.%, o como ua estmacó de la ueva observacó cuado.%. Claro está que estas estmacoes se ecuetra sujetas a u error; esto es, es poco probable que ua observacó futura de la pureza sea eactamete 89.7% cuado el vel de hdrocarburo sea de.%. E seccoes subsecuetes se verá cómo utlzar los tervalos de cofaza los de predccó para descrbr el error al hacer estmacoes a partr de u modelo de regresó. Propedades de los estmadores de mímos cuadrados estmacó de Resulta secllo descrbr las propedades estadístcas de los estmadores de mímos cuadrados. Recuérdese que se ha supuesto que el térmo de error ε e el modelo Y + + ε es ua varable aleatora co meda cero varaza σ. Puesto que los valores de so fjos, Y es ua varable aleatora co meda µ Y + varaza σ. Por cosguete, los valores de depede de los valores de observados; por tato, los estmadores de mímos cuadrados de los coefcetes de σ

13 3 regresó puede verse como varables aleatoras. A cotuacó se vestga el sesgo las propedades de la varaza de los estmadores de mímos cuadrados. No es dfícl demostrar que so estmadores sesgados de, respectvamete, es decr E E. Por otro lado, se tee: Var σ σ +, Var Cov(, ) σ Para obteer ferecas co respecto a los coefcetes de regresó, es ecesaro estmar la varaza σ que aparece e las epresoes para Var Var. El parámetro σ, que es la varaza del térmo de error ε e el modelo de regresó, refleja la varacó aleatora alrededor de la verdadera recta de regresó.

14 4 La estmacó para σ, σ, esta dada por dode E ε ( ), co σ E () ( - ) Ejemplo (cot.) A cotuacó se ecuetra la estmacó de la varaza de la Tabla, obteedose σ. 7. σ utlzado para ello los datos

15 5 Defcó E ua regresó leal smple, el error estádar estmado de la pedete es se( ) σ el error estádar de la ordeada al orge es se( ) σ dode σ se calcula co la ecuacó (). +

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