FUNCIONES y = f(x) ESO3

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1 Las correspondencias entre conjunto de valores o magnitudes se pueden expresar de varias formas: con un enunciado, con una tabla, con una gráfica, o con una fórmula o expresión algebraica o analítica. En matemáticas, cuando existe una relación de dependencia entre dos magnitudes se dice que se puede expresar una magnitud en función de la otra. FUNCIÓN es una relación entre 2 variables, de manera que a cada valor de la primera, le corresponde UNO Y SÓLO UN ÚNICO valor de la segunda. Si para un valor de x hay 2 ó más valores de y, entonces NO es una función. VARIABLE INDEPENDIENTE es la magnitud que se fija previamente; es la x. VARIABLE DEPENDIENTE es la magnitud que se calcula a partir de la variable independiente; es la y. Porque en la función, el valor de y depende del de x. La representación de los pares de valores (x,y) relacionados forman la GRÁFICA de una función. El DOMINIO de una función, Dom f o D(f), es el conjunto formado por todos los valores de la variable independiente, la x, para los cuales existe la función, es decir, para los cuales hay un f(x). Dicho de otro modo, es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente, x, para los cuales hay valores de y, la variable dependiente. El RECORRIDO o IMAGEN de una función es el conjunto de todos los valores que obtenemos en la función para los diferentes valores de su dominio. Es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente, y. EJES CARTESIANOS. En un gráfico, los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. El eje vertical es el de la Y, y se llama eje de ordenadas; y el horizontal, el de la X, que se llama eje de abcisas. Se cortan en el origen, punto (0,0); es decir, donde (x=0, y=0) Cada punto en el plano tiene 2 valores, uno para la x, el primero, y el segundo para la y (x,y) La EXPRESIÓN ANALÍTICA de una función es la ecuación que relaciona algebraicamente las dos variables: x, independiente, e y, dependiente. TASA DE VARIACIÓN Una función es continua en los puntos de un intervalo si su gráfica no presenta saltos ni interrupciones en dicho intervalo. Se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Los puntos donde la gráfica de una función presenta saltos o interrupciones se llaman puntos de discontinuidad. La TASA DE VARIACIÓN, TV, de una función f(x) en un intervalo [a,b] es el aumento o disminución que experimenta el valor de la función al pasar la variable independiente del valor a al valor b: TV[a,b] = f(b) - f(a) ATENCIÓN! Una función siempre se mira de izquierda a derecha. Una función es creciente en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo la tasa de variación es positiva. Es decir, si cuando aumenta la variable independiente x, también aumenta la dependiente y. Es decir, si TV[a,b]>o 1

2 Una función es decreciente en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo la tasa de variación es negativa. Es decir, si al aumentar la variable independiente x disminuye la variable independiente y. Es decir, si TV[a,b]<o Las funciones pueden ser enteramente crecientes o decrecientes; o también podemos decir que una función es sólo es creciente o decreciente en un tramo. Una función continua puede tener en 1 punto: Un máximo relativo si para los valores situados inmediatamente a su izquierda la función crece y para los de su derecha decrece. Es decir, si en ese punto su ordenada es mayor que la ordenada de los puntos que la rodean, a derecha e izquierda. Un mínimo relativo si para los valores situados inmediatamente a su izquierda la función decrece y para los de su derecha crece. Es decir, si en ese punto su ordenada es menor que la de los puntos que la rodean. A derecha e izquierda. Al mayor y al menor valor que toma una función en un intervalo se les llama, respectivamente, máximo y mínimo absolutos de la función en dicho intervalo. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD Una función f es simétrica respecto al eje de ordenadas (Y) o par cuando para cualquier valor x de su dominio se verifica: f(-x)=f(x) Una función f es simétrica respecto del origen o impar cuando para cualquier valor de x de su dominio se verifica: f(-x)=-f(x) Una función es periódica cuando los valores que toma la y se van repitiendo cada cierto intervalo de la x, que se llama período. 1 FUNCIONES LINEALES Su gráfica es una línea recta. La forma general de la ecuación de la recta es: Se le llama así porque cualquier ecuación de una recta puede ponerse de esta forma. LA FUNCIÓN AFÍN y = mx + n Estas funciones se representan por una recta, que no pasa por el origen (0,0) La pendiente de la recta es m; si m es positiva, m>0, la función es creciente, según va de izquierda a derecha va subiendo (creciendo). Por el contrario, si m es negativa, m<0, es decreciente, va bajando de izquierda a derecha. Cuando la m es cero, m=0, tenemos el caso particular de una función constante. 1 f(x+t)=f(x); Por ejemplo, las funciones trigonométricas seno y coseno, que se verán en cursos más adelante. 2

3 El valor de la ordenada para x=0 es n y se llama ordenada en el origen. Si n>0, la recta cortará al eje de ordenadas Y por encima del de abcisas X; y viceversa. En el gráfico anterior, tiene pendiente positiva, ya que va subiendo. Las funciones de la forma y = (parte proporcional) + (parte fija) son funciones lineales y=mx+n, siendo mx es la parte proporcional y n la parte fija. Son muy habituales en la vida cotidiana, así como en economía, medicina, ciencias LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA y=mx Es el caso particular en que n=0. Las funciones de la forma y=mx se llaman de proporcionalidad directa. 2 Su gráfica es una recta que SÍ pasa por el origen, punto (0,0) La constante de proporcionalidad es m, que es la pendiente de la recta. Si es positiva o negativa, ocurre lo mismo que en el caso anterior de función afín. En este gráfico, vemos una función que pasa por el punto (0,0), y con pendiente negativa. 2 Las funciones de PROPORCIONALIDAD INVERSA se verán también más adelante, y son del tipo =k/. Su gráfica es una rama hiperbólica. 3

4 LA FUNCIÓN CONSTANTE y=k Es el caso particular en que m=0. Como m es la pendiente, si m vale cero, la pendiente es cero; es decir, y=n es una recta horizontal, paralela al eje de abcisas (el de la X). Corta al eje vertical de ordenadas en el punto (0,n). En este gráfico, vemos que la función pasa por el punto (0,-40), y al ser constante, lógicamente no tiene pendiente. La función es: y=-40; y vale -40 para CUALQUIER valor de x. CASO en que x=k Las rectas de ecuación x=k NO son funciones, porque a un valor de x no le corresponde un único valor de y. Sus gráficas son rectas paralelas al eje de ordenadas, el de la Y. En este caso, tenemos por ejemplo x=20, que NO es una función, sino una asíntota. CÁLCULO DE UNA RECTA EN 2 CASOS DISTINTOS: ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE Es el caso en que de una recta conocemos un punto (x,y) y su pendiente m. En este caso, escribimos su ecuación como: x 0 e y 0 son el punto que conocemos, así como la pendiente m. No hay sustituir esos valores en la ecuación, y ya la tenemos. 4

5 ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR 2 PUNTOS: En este caso, necesitamos hallar la pendiente m y el término independiente n. La pendiente se puede calcular gráficamente, o calculándola. En cualquier caso la pendiente es la variación de la y entre la variación de la x: Gráficamente, calculamos cuántos cuadraditos ha aumentado o disminuido la y, y lo dividimos por los cuadraditos que ha aumentado o disminuido la x. Atención! Signos: cuando disminuye, hemos de anteponer el signo menos. Cálculo: punto 1 punto 2 Ya tenemos la pendiente m. Cómo calculamos n? Muy fácil: n es el punto del eje de ordenadas (vertical) en que la recta le corta. Si está por encima del eje de abcisas (horizontal), n será positiva; y si está por debajo, negativa. En el caso particular de que pasase por el punto (0,0), entonces sería una función de proporcionalidad directa, donde n=0. Por ejemplo: En el caso de 2 funciones lineales, podemos tener que sean: a. RECTAS PARALELAS Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, m; es decir, en las funciones: b. y 1 =m 1 x+n 1 y 2 =m 2 x+n 2 RECTAS SECANTES m 1 =m 2 y 1 =mx+n 1 y 2 =mx+n 2 Dos rectas que se cortan se llaman secantes; y el punto de corte se llama punto de intersección. Dos rectas son secantes tienen, obviamente, distintas pendientes m. Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas secantes son la solución gráfica de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. c. RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son opuestas e inversas a la vez: y 1 =m 1 x+n 1 y 2 =m 2 x+n 2 FUNCIONES CUADRÁTICAS La gráfica de una función cuadrática es una parábola, siendo su ecuación: Cuanto mayor es a, más cerrada es la parábola. 5

6 Si a>0 la parábola es abierta hacia arriba. Si a<0 la parábola es abierta hacia abajo. PUNTOS IMPORTANTES EN UNA PARÁBOLA Vértice de la parábola: Es decir, -b/2a es el valor de la x en el vértice; el valor de la y lo hallamos sustituyendo la x por b/2a. Puntos de corte con los ejes: Cuando x=0, y cuando y=0. TRASLACIÓN DE PARÁBOLAS Partimos de y=x 2, cuyo vértice es el origen de coordenadas. Traslación vertical Para representar funciones de la forma y=x 2 +q, siendo q un número el vértice de la parábola sube (si q>0) o baja (si q<0) el valor de q. Por ejemplo: 6

7 Traslación horizontal Para representar funciones de la forma y=(x-p) 2, siendo p un número la parábola se mueve p unidades a la derecha (si p>0) o a la izquierda (si p<0). 7

8 Traslación vertical y horizontal Tenemos las funciones 8

9 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Tienen la forma: hipérbola. donde k es una constante. Su gráfica es una Está definida para todo R menos el cero Dom(f)=R-{0} Si k>0, la función es decreciente. Si k<0, la función es creciente. Cuanto más se aleja x del origen, tanto por la izquierda como por la derecha, los valores de y tienden a cero. Cuanto más se acerca x al origen, tanto por la izquierda como por la derecha, los valores de y tienden a infinito en valor absoluto. 9

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