Estadística Descriptiva Análisis de Datos

Transcripción

1 El concepto de Estadístca Estadístca Descrptva Análss de Datos 8.1 INTRODUCCION El orgen de la Estadístca se remonta a dos tpos de actvdades humanas: los juegos de azar y las necesdades de los Estados: necesdades de descrbr numércamente cudades, provncas, etc. Los juegos de azar llevaron al estudo de la probabldad, y éste condujo al tratamento matemátco de los errores de las medcones y a la teoría que hoy consttuye la base de la estadístca, mentras que la segunda actvdad condujo a la estadístca descrptva: presentacón de datos en tablas y gráfcos, aunque en nuestros días ncluye tambén la síntess de ellos medante descrpcones numércas. El método estadístco moderno se refere a la Inferenca estadístca: ésta se relacona con el desarrollo de métodos y técncas para obtener, analzar e nterpretar datos cuanttatvos de tal manera que la confabldad de las conclusones basadas en los datos pueda ser evaluada objetvamente por medo del uso de la probabldad. La teoría de la probabldad permte pasar de datos específcos a conclusones generales, por eso desempeña un papel fundamental en la teoría y aplcacón de la estadístca. En épocas recentes la nferenca estadístca ha adqurdo la mportanca que antes tenía la estadístca descrptva. La nferenca estadístca trata de generalzacones basadas en muestras de datos: se aplca a problemas como estmar, medante pruebas, la emsón promedo de contamnantes en una turbna, verfcar las especfcacones de un fabrcante a partr de medcones efectuadas sobre muestras de un producto, etc. Cuando se hace una nferenca estadístca, debe procederse con cautela: debe decdrse hasta qué punto pueden hacerse generalzacones a partr de un conjunto de datos dsponbles, s las generalzacones son razonables, o s sería preferble dsponer de otro conjunto de datos... Algunos de los problemas mportantes de la nferenca estadístca se referen precsamente a la evaluacón de los resgos y las consecuencas a las que uno se expone al hacer generalzacones. Esto ncluye una estmacón de la probabldad de tomar decsones erróneas, las posbldades de hacer decsones ncorrectas y de obtener estmacones no comprenddas dentro de los límtes permtdos. Todos estos problemas los aborda en los últmos años la teoría de la decsón. Podemos sntetzar lo anteror, medante las sguentes defncones: El contendo de la estadístca moderna ncluye la recoplacón, presentacón y caracterzacón de la nformacón a fn de que auxle tanto en el análss de datos como en el proceso de toma de decsones. Se puede defnr la estadístca descrptva como los métodos que mplcan recoplacón, presentacón y caracterzacón de un conjunto de datos con el objeto de descrbr en forma apropada las dversas característcas de dcho conjunto.

2 Puede consderarse la nferenca estadístca como los métodos que hacen posble la estmacón de una característca de una poblacón, o la toma de una decsón con respecto a una poblacón, con base úncamente en resultados muestrales. Para clarfcar esta defncón, se requeren algunas defncones: Poblacón (o unverso): es la totaldad de elementos que se consderan. Muestra: es un subconjunto de una poblacón que se seleccona para su estudo. Parámetro: es una medda que se calcula para descrbr una característca poblaconal. Estadístca: es una medda utlzada para descrbr una característca muestral. La Boestadístca La Boestadístca se defne como "la aplcacón de métodos estadístcos a la solucón de problemas bológcos". Tambén se la denomna bometría. Antecedentes hstórcos Como ya hemos dcho, a causa del nterés por los juegos del azar, en el sglo XVII se desarrolló la teoría matemátca de la probabldad, gracas a los aportes, prncpalmente, de Pascal y Fermat. Jacques Bernoull fundamentó la moderna teoría de la probabldad en su obra Ars Conjectand, y Abraham de Movre fue el prmero en combnar la estadístca de su época con la teoría de probabldad. Un estímulo mportante para el desarrollo de la estadístca lo produjo la astronomía. Se cree que el prmer personaje mportante en boestadístca fue el astrónomo y matemátco belga Adolphe Quetelet ( ), que aplcaba los métodos teórcos y práctcos de la estadístca a problemas de medcna, bología y pscología. Francs Dalton ( ) es denomnado padre de la boestadístca. Su mayor aporte lo consttuye la aplcacón del análss estadístco al análss de la varacón bológca, así como el análss de varabldad y su estudo de regresón y correlacón en meddas bológcas. Karl Pearson ( ) contnuó la tradcón de Galton y sentó las bases para gran parte de la estadístca descrptva y de correlacón. La fgura domnante en el sglo XX en estadístca y bometría ha sdo Ronald Fsher ( ).

3 8.2 RECOPILACION DE DATOS Para el especalsta, la nformacón necesara para toda nvestgacón está consttuda por datos. A fn de que un análss estadístco resulte útl en la toma de decsones, los datos deben ser apropados. Hay, por lo menos, tres maneras de obtener datos: ) utlzar los datos publcados por fuentes gubernamentales, ndustrales o partculares; ) a través de la expermentacón; ) realzando encuestas Tpos de datos En una nvestgacón estadístca, se manejan dversas característcas, a las que se denomna varables. Los datos son los resultados que se observan para estas varables. Báscamente exsten dos tpos de varables, que producen dos tpos de datos: cualtatvos y cuanttatvos. Las prmeras varables producen respuestas categórcas, en tanto que las segundas producen respuestas numércas. Por otra parte, los datos cuanttatvos pueden ser dscretos o contnuos. Los datos cuanttatvos dscretos son respuestas numércas que surgen de un proceso de conteo, mentras que los contnuos son los que surgen de un proceso de medcón. Tpos de datos Tpos de preguntas Respuestas Cualtatvos Posee vvenda propa? Sí --- No --- Cuanttatvos Dscretos Cuántos baños posee? Contnuos Cuál es la superfce cuberta? Tpos de escalas de medcón Todos los datos son en últma nstanca resultado de un proceso de medcón (hasta los datos dscretos pueden consderarse resultado de una medcón medante conteo). Podemos dstngur cuatro nveles de medcón: escala nomnal, escala ordnal, escala de ntervalo, escala de razón Escala nomnal: corresponde a los datos cualtatvos, cuando se clasfcan en categorías que no mplcan orden. Es propetaro de automóvl? Sí No Cuál es su aflacón polítca?

4 Escala ordnal: cuando los datos cualtatvos se clasfcan en categorías dstntas en las que exste algún orden. Rango docente Ttular Asocado Adjunto JTP Auxlar Escala de ntervalo: es una escala ordenada en la cual la dferenca entre las medcones es una cantdad que tene sgnfcado precso. Por ejemplo, s una persona mde 1,65 m, entonces tene 5 cm más que otra que mde 1,70 m. Estos 5 cm representan la msma dferenca entre una persona que mde 1,82 m y otra que mde 1,77m Escala de razón: En este caso, además de que las dferencas son sgnfcatvas e guales en todos los puntos de la escala, exste un cero real, de modo que se pueden consderar cocentes de medcones. Por ejemplo, una persona que mde 180 cm tene el doble de altura de otra que mde 90 cm, mentras que una temperatura de 80ºC no sgnfca precsamente el doble de otra de 40ºC. Temperatura (en grados C) Temperatura (en grados K) Edad Sueldo de ntervalo de razón de razón de razón 8.3 LOS DATOS EN BIOLOGÍA Haremos ahora referenca a certos aspectos específcos de la Boestadístca, donde podremos encontrar algunas dferencas con los conceptos generales antes estudados. Lo que sgue es, por lo tanto, la adaptacón, según la mayoría de los autores, de los conceptos antes estudados Muestras y poblacones La Estadístca trabaja con datos. En boestadístca, los datos se basan en observacones ndvduales, es decr en meddas tomadas de la mínma undad de muestreo. La propedad medda por las observacones ndvduales es el carácter o varable. En estadístca se usa frecuentemente el térmno varable, pero en boestadístca es más común carácter. En cada undad de muestreo puede medrse más de un carácter. Así en un grupo de 10 ratones podemos medr el ph de la sangre y el número de células rojas. De esta manera obtendríamos dos muestras de 10 observacones o una únca muestra bvarada de 10 observacones. La totaldad de observacones ndvduales sobre las cuales se hacen nferencas se denomna poblacón en Estadístca, y a veces unverso. Por ejemplo, las longtudes de la cola de todos los ratones blancos del mundo; los recuentos de leucoctos de todos los varones chnos de 20 años, o puede referrse a resultados de expermentos, como las

5 frecuencas de los latdos cardíacos producdos en ratone por nyeccones de adrenalna. En los prmeros ejemplos, la poblacón es fnta, aunque sería mposble analzar cada uno de sus elementos. En el últmo ejemplo, al menos en teoría, podríamos repetr el expermento un número lmtado de veces. Aunque la mayoría de las veces las poblacones son fntas, son tan superores a las muestras extraídas de ellas que de hecho pueden ser consderadas nfntas Varables Varable es una propedad con respecto a la cual los ndvduos de una muestra dferen de algún modo verfcable. Las varables bológcas pueden dvdrse en: Varables medbles Varables contnuas Varables dscontnuas Varables clasfcables en rangos Atrbutos Varables medbles: son aquellas cuyos dferentes valores pueden expresar de forma numércamente ordenada. Pueden ser contnuas: las que al menos en teoría pueden tomar nfntos valores entre dos determnados, o dscontnuas -tambén llamadas dscretas o merístcas-: son las que tenen valores numércos fjos, sn posbles valores ntermedos. En el prmer caso, tenemos por ejemplo, longtudes, áreas, pesos, temperaturas, períodos de tempo, velocdades. En el segundo, el número de crías, el número de colonas de mcroorgansmos, el número de plantas en un cuadrado determnado Varables clasfcables por rangos: son las que no pueden medrse, pero s pueden ordenarse por su magntud Atrbutos: son las varables que no pueden expresarse cuanttatvamente sno cualtatvamente. Son propedades como grávda e ngrávda, muerto o vvo, macho o hembra Observacón sobre las varables contnuas La mayoría de las varables contnuas son aproxmadas. El valor exacto de la medda ndvdual es desconocdo. Por ejemplo, al decr que una medda es de 12,4 mm queremos dar a entender que la verdadera longtud está comprendda entre 12,35 mm y 12,45 mm. S hubésemos poddo obtener una medda de 12,43 mm, esto sgnfcaría que la verdadera medda está entre 12,435 mm y 12,435 mm. En general, la últma cfra de un número aproxmado debería ser sempre sgnfcatva: debería mplcar que la verdadera medda está en un ntervalo desde meda undad del últmo orden por debajo hasta meda undad por encma de la medda regstrada. Esto se aplca tambén al cero.

6 8.4 MANEJO DE DATOS Propedades de los datos cuanttatvos Ya vmos que el materal con que cuenta el estadístco es un conjunto de datos. Pero, la recoleccón de datos es sólo uno de los aspectos de la estadístca descrptva cómo se pueden utlzar esos datos? A veces los datos estadístcos obtendos de muestras, expermentos o cualquer coleccón de medcones, son tan numerosos que carecen de utldad a menos que sean condensados. Veremos tres propedades de los datos cuanttatvos que permten una mejor comprensón de la nformacón por ellos aportada. Estas propedades pueden ser expresadas por dversas meddas, que agrupamos de la sguente manera: 1. de tendenca central 2. de dspersón 3. de forma Cuando se calculan a partr de los datos muestrales, recben el nombre de estadístcos, y s se los calcula a partr de la poblacón, se denomnan parámetros Meddas de tendenca central Con este nombre nos refermos a valores promedos que descrben todo un conjunto de datos. Se utlzan cuatro promedos, frecuentemente, como meddas de tendenca central o de poscón: la meda artmétca, la medana, la moda y el rango medo Meda artmétca: es la medda de poscón utlzada con más frecuenca. S X 1, X 2... X n consttuyen una muestra de n observacones, la meda artmétca se defne de la sguente manera: X = n =1 n X S ben es una de las meddas más utlzadas posee la desventaja de ser muy afectada por los valores extremos, pues en su cálculo se utlzan todas las observacones. Puede entonces dar una magen dstorsonada de la nformacón contenda en los datos, por lo que no sempre es la mejor medda de poscón Medana: Es el valor que ocupa la poscón central en un conjunto de datos, ordenados en forma crecente o decrecente. Así defnda, la mtad de las observacones es menor que la medana, mentras que la otra mtad es mayor que la medana. Resulta apropada cuando el conjunto de datos posee observacones extremas.

7 Para calcular la medana, prmero se deben ordenar los datos. Luego se debe n + 1 determnar el dato que ocupa la poscón (cuando n es mpar) o la semsuma de los 2 valores numércos correspondentes a las dos observacones centrales (cuando n es par). Por ejemplo, s los datos son: , se obtene el arreglo ordenado , y la medana se obtene promedando los valores 17 y 23, resultando gual a 20. El cálculo de la medana se ve afectado por el número de observacones, y no por la magntud de los valores extremos Moda: es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuenca. Tampoco depende de los valores extremos, pero es más varable que las otras meddas de poscón para las dstntas muestras. Cuando no hay nngún valor con frecuenca mayor, la dstrbucón carece de moda. Tambén se puede dar el caso de una dstrbucón con más de una moda Rango medo: Es la meda de las observacones mayor y menor. Como ntervenen solamente estas observacones, s hay valores extremos, se dstorsona como medda de poscón, pero frecuentemente ofrece una valor adecuado rápdo y sencllo para resumr un conjunto de datos (cuando puede suponerse que no exsten valores extremos) Meddas de dspersón o de varabldad Las meddas de dspersón permten conocer la varabldad de un conjunto de datos. Estudaremos las sguentes: rango, varanza, desvacón estándar y coefcente de varacón Rango: Es la dferenca entre las observacones mayor y menor. S ben es una medda de dspersón smple, posee el nconvenente de que no toma en consderacón la forma en que se dstrbuyen los datos entre los valores más pequeños y más grandes Varanza y desvacón estándar: Una medda de varabldad podría obtenerse a partr de la dspersón de cada una de las observacones con respecto a algún valor partcular, por ejemplo la meda. Pero, como es fácl de comprobar, la suma de los desvíos de cada valor respecto a la meda es sempre cero, es decr n =1 (X - X ) = 0

8 Por eso consderaremos una medda obtenda "promedando" los cuadrados de los desvíos, la varanza muestral: 2 (X - X) S = ( 1 ) n - 1 El desvío estándar muestral es la raíz cuadrada de la varanza: S = S 2 n =1 A partr de la fórmula puede observarse que n la varanza n el desvío estándar, pueden ser negatvos, y hay un únco caso en que pueden ser nulos: cuando todos los valores de la muestra son guales. La varanza y el desvío estándar mden la dspersón "promedo" en torno a la meda, es decr cómo fluctúan las observacones mayores por encma de la meda y cómo se dstrbuyen las observacones menores por debajo de ella. A pesar de que la varanza posee certas propedades matemátcas útles, está expresada en undades cuadradas (dólares cuadrados, etc.) lo que le hace perder sgnfcado. El desvío estándar no posee este nconvenente, y está expresado en las undades orgnales Coefcente de varacón: Es una cantdad que mde la dspersón de los datos con respecto a la meda: CV = S X 100 El coefcente de varacón es una medda relatva. No se expresa en térmno de las undades utlzadas, sno como porcentaje. Es útl cuando se compara la varabldad de dos conjuntos de datos, o más, expresados en dferentes undades. Tambén es útl cuando se comparan dos o más dstrbucones de datos expresados en la msma undad, pero que dferen en tal forma que una comparacón drecta de los desvíos estándar no resulta útl Forma Las meddas de forma descrben la manera en que se dstrbuyen los datos. Una dstrbucón de datos puede ser smétrca o no. Cuando no lo es, se denomna asmétrca o sesgada. Para ndcar la forma se comparan la meda y la medana de la dstrbucón. S las meddas son guales se consdera que los datos son smétrcos, o que la dstrbucón tene sesgo cero. Cuando la meda es mayor que la medana, el sesgo es postvo o la asmetría es a la derecha, en cambo cuando la meda es menor que la medana, se dce que la dstrbucón tene sesgo negatvo o asmetría a la zquerda. El sesgo postvo ocurre cuando la meda se ve aumentada por algunos valores extraordnaramente grandes; el sesgo negatvo se da cuando la meda se ve afectada por algunos valores extremadamente pequeños. 1 La razón de utlzar (n - 1) en lugar de n se comprenderá más adelante, aunque s el tamaño de la muestra es grande, el uso de n o (n - 1) no produce dferencas sgnfcatvas. En general, utlzaremos el denomnador (n - 1) cuando se trata de la varanza muestral, y n para la varanza de la poblacón.

9 El sguente gráfco muestra lo que ocurre en cada stuacón: en cada una de las tres escalas se descrbe la dstrbucón de un grupo de alumnos según las notas obtendas (entre 40 y 100 puntos) El prmero de lo gráfcos corresponde a un conjunto sesgado a la zquerda, donde la meda es menor que la medana, ya que hay pocas calfcacones bajas. En el segundo, los datos están sesgados a la derecha. La meda es mayor que la medana, ya que hay pocas calfcacones altas. El últmo gráfco muestra una dstrbucón smétrca, con un desempeño que podríamos catalogar como "normal". La meda y la medana son guales, al gual que la moda y el rango medo. Cuanttatvamente, la asmetría puede determnarse por medo de la sguente ecuacón: As = 3(X - Med ) S La dstrbucón de frecuencas 8.5 TRATAMIENTO DE DATOS AGRUPADOS Muchas veces es necesaro manejar un gran número de datos, y en ese caso puede demandar mucho esfuerzo el cálculo de las meddas anterores. Como regla práctca, cuando el conjunto contenga 20 o más observacones, la mejor manera de examnar estos datos es presentarlos en forma resumda, elaborando tablas y gráfcas. La dstrbucón de frecuenca es una tabla en la que se dsponen los datos dvddos en grupos y ordenados numércamente, mostrando tambén el número de elementos de cada grupo o clase. Se sacrfca así parte de la nformacón contenda en los datos: en lugar de conocer el valor exacto de cada uno, sólo sabemos que pertenece a una clase determnada. Pero lo que se perde en nformacón se compensa en legbldad, ya que de esta forma se destacan característcas mportantes de los datos. El prmer paso para construr una dstrbucón de frecuenca es decdr el número de clases a utlzar y los límtes de cada clase. En general el número de clases depende del número de observacones, pero tene poca utldad una dstrbucón con menos de 5 clases o con más de 15 clases. Tambén depende del rango de los datos. Es recomendable que todas las clases tengan la msma ampltud. Para determnar el tamaño de cada clase se dvde el rango entre el número de clases que se desean.

10 Luego se necesta establecer límte para cada una de las clases, evtando que se superpongan. Para ejemplfcar, consderemos las sguentes 80 medcones de la emsón (en toneladas) de óxdo de azufre de una planta ndustral: 31.8; 26.4; 17.3; 11.2; 23.9; 24.8; 13.9; 9.0; 13.2; 18.7; 25.9; 10.5; 22.7; 9.8; 6.2; 14.7; 26.1; 12.8; 17.6; 28.6; 23.7; 17.5; 15.9; 27.5; 26.8; 22.7; 18.0; 20.5; 11.0; 20.9; 15.5; 19.4; 16.7; 10.7; 18.1; 17.9; 19.1; 15.2; 22.9; 26.6; 20.4; 21.4; 19.2; 21.6; 16.9; 19.0; 9.4; 20.1; 18.5; 23.0; 24.6; 20.1; 16.2; 18.0; 7.7; 13.5; 23.5; 14.5; 28.5; 24.1; 14.4; 29.6; 19.4; 17.0; 20.8; 24.3; 22.5; 24.6; 18.4; 18.1 La observacón más grande es 31.8, mentras que la más pequeña es 6.2, por lo tanto la ampltud de la dstrbucón, o rango, es de Podríamos entonces elegr 6 clases que tuveran los límtes: ; , etc. O tambén las sete clases: ; , etc. O las nueve clases: ; , etc. Notemos que en todos los casos las clases no se traslapan, ncluyen todos los casos y tenen la msma longtud. Exste otra posbldad: consderar los ntervalos: ; , etc. En este caso se presentan ambgüedades, ya que el valor 9 podría pertenecer a la prmera o a la segunda clase. Para evtar esta dfcultad, podemos hacer que la prmera clase vaya de 4.95 a 8.95, la segunda de 8.95 a 12.95, etc. Estas son las fronteras de clase, y a pesar de las clases se traslapan, no hay ambgüedades, ya que estas fronteras son valores "mposbles" para los datos. En general, empleamos los fronteras de clase y no los límtes para ndcar que los datos son contnuos. Para nuestra ejemplo, tendremos: límtes de clase etqueta frecuenca /// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// // //// //// // 2 Total 80 Una vez que los datos han sdo ordenados, perden su dentdad, pues ya no se conoce su valor exacto. Esto puede evtarse de algún modo consderando el punto medo de cada ntervalo, llamado marca de clase. La marca de clase de cada ntervalo se obtene medante la semsuma de sus fronteras.

11 8.5.2 Gráfcas de las dstrbucones de frecuencas Hstogramas Representar una dstrbucón de frecuencas hace más evdente sus propedades. La forma más común de representar una dstrbucón de frecuencas es el hstograma, que se construye con rectángulos adyacentes de alturas proporconales a las frecuencas y cuyas bases se extenden entre las fronteras de clases sucesvas. Para los datos anterores, obtenemos el sguente hstograma: frecuenca emsón de óxdo de azufre (en ton) Otras gráfcas smlares a los hstogramas son los dagramas de barras, donde las alturas de los rectángulos representan las frecuencas, pero no se pretende fjar una escala horzontal contnua Polígono de frecuencas Una forma optatva de representar las dstrbucones de frecuencas es el polígono de frecuencas. En él las frecuencas de cada clase son grafcadas en sobre la marca de clase, y los puntos sucesvos se unen medante segmentos de recta, después de haber agregado clases con frecuenca cero en los extremos de la dstrbucón.

12 Dstrbucones acumuladas Exsten formas alternatvas de agrupar los datos: son las dstrbucones acumuladas "menor que" y "mayor que". Para ello podríamos convertr la dstrbucón de modo que muestre cuántas observacones son menores que 4.95, menor que 8.95, etc. ton. de óx. de azufre frec. acumulada menos de menos de menos de menos de menos de menos de menos de 28,95 78 menos de En lugar de "menos de 4.95", podríamos haber utlzado "menos de 5.0" o "menos de 4.9", etc. Las dstrbucones del tpo "mayor que" se construyen de la msma forma, pero en la práctca la más utlzada es la anteror. Con el fn de comparar dstrbucones de frecuencas puede ser ventajoso convertrlas en dstrbucones porcentuales. Puede hacerse lo msmo con las dstrbucones acumuladas, obtenendo las dstrbucones porcentuales acumuladas. Las dstrbucones acumuladas se presentan por lo general en forma de ojvas, las cuales son smlares a los polígonos de frecuencas, excepto en que grafcamos las

13 frecuencas sobre las fronteras en lugar de grafcarlas sobre la marca de clase. Los puntos obtendos se unen medante segmentos de recta, obtenendo la gráfca de la dstrbucón "menor que" frecuenca acumulada emsón de óxdo de azufre Cálculo de las meddas descrptvas para una dstrbucón de frecuencas Cuando los datos se presentan por medo de una dstrbucón de frecuencas, perdemos la nformacón acerca del valor de cada uno de ellos, ya que se encuentran reundos en clases. En este caso susttumos cada uno de los valores de un ntervalo por la marca de clase. S llamamos X al punto medo de cada ntervalo, y f a la frecuenca del ntervalo, obtenemos las sguentes fórmulas para el cálculo de las dversas meddas descrptvas: Meda artmétca: X = k = 1 k = 1 X f f Varanza: S 2 = k = 1 2 (X - X) f (En estas fórmulas, k representa el número de ntervalos o clases de la dstrbucón) S ben es posble obtener expresones para las demás meddas, sólo nos ocuparemos de las dos menconadas más arrba. En el caso de la medana, su obtencón puede hacerse en forma aproxmada a partr del gráfco de la dstrbucón acumulada, obtenendo del msmo el valor de la varable que corresponde a una frecuenca acumulada de 2 n. k = 1 f