II. ORGANIZACIÓN N Y PRESENTACIÓN N DE DATOS

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1 UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO ORGANIZACIÓN N Y PRESENTACIÓN N DE DATOS Contenido II. ORGANIZACIÓN N Y PRESENTACIÓN N DE DATOS II. Tablas de frecuencia II. Gráficos: histograma, ojiva, columna, barra, dispersión, etc. II. Medidas de tendencia central II. Medidas de dispersión II. Medidas de posición

2 Tablas de Frecuencia Tablas de Frecuencia: Son tablas estadísticas que agrupan diversos valores de una variable, simplificando los datos. Las tablas de frecuencias sirven para ordenar y organizar los datos estadísticos. Una tabla de frecuencias es una tabla en la que se organizan los datos en clases, es decir, en grupos de valores que escriben una característica de los datos y muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen en cada una de las clases. Exponen la información recogida en la muestra, de forma que no se pierda nada de información (o poca). Tablas Estadísticas: Tablas tipo I: Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable son pequeños, por ejemplo si tenemos una muestra de las edades de personas, por lo que no hay que hacer nada especial simplemente anotarlas de manera ordenada en filas o columnas. Edad de los miembros de una familia:, 8, 6, 8, Datos no agrupados Introducción n : Presentación n ordenada de datos Datos desordenados y ordenados en tablas Variable: Género Modalidades: H = Hombre M = Mujer Género Hombre Mujer Frec. 6 Frec. relat. porcentaje /0=0,=0% 6/0=0,6=60% Muestra: 0=tamaño muestral M HHM M H MMM H equivale a HHHH MMMMMM

3 Introducción n : Presentación n ordenada de datos Las tablas de frecuencias y las representaciones gráficas son dos maneras equivalentes de presentar la información. Las dos exponen ordenadamente la información recogida en una muestra. 7 6 Género Frec. Hombre Mujer 6 0 Hombre Mujer Tablas de Frecuencia Tablas tipo II: Cuando el tamaño de la muestra es grande y el recorrido de la variable es pequeño, por lo que hay valores de la variable que se repiten. Por ejemplo, si preguntamos el número de personas activas que hay en 0 familias obtenemos la siguiente tabla: Personas Activas en 0 familias

4 Tablas de Frecuencia Podemos observar que la variable toma valores comprendidos entre y, por lo que precisaremos una tabla en la que resumamos estos datos quedando la siguiente tabla: Personas Activas Total Número de Familias Datos agrupados Tablas de Frecuencia Tablas tipo III: Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable son grandes, por lo que será necesario agrupar en intervalos los valores de la variable. Por ejemplo si a un grupo de 0 alumnos les preguntamos el dinero que en ese momento llevan encima, nos encontramos con los siguientes datos: Evidentemente, la variable estadística tiene un recorrido muy grande por lo que sí queremos hacer una tabla con estos datos tendremos que tomar intervalos. Para decidir la amplitud de los intervalos, necesitaremos decidir cuántos intervalos queremos?. Normalmente se suele trabajar con no más de 0 o intervalos. Rango =99/0 = 99, Por lo que tomaremos intervalos de amplitud 00

5 Tablas de Frecuencia Número de intervalos (Nc): Cantidad de intervalos con los cuales se compone una tabla de frecuencia. [ L i-, L i ) [,0) [ 0, 00) [ 00,0) [ 0, 00) [ 00, 0) [ 0, 00) [ 00, 0) [ 0, 00) [ 00, 0) [ 0, 00) Frecuencia Tomar pocos intervalos implica que la "pérdida de información" sea mayor. Podemos observar que la variable toma valores comprendidos en intervalos de 00, por lo que precisaremos una tabla en la que resumamos estos datos quedando la siguiente tabla: Tablas de Frecuencia Distintos Tipos de Frecuencia: Uno de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la tabulación de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una tabla en la que a cada valor de la variable se le asocian determinados números que representan el número de veces que ha aparecido, su proporción con respecto a otros valores de la variable, etc. Estos números se denominan frecuencias: Así tenemos los siguientes tipos de frecuencia: Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje Frecuencia absoluta acumulada Frecuencia relativa acumulada Porcentaje acumulado

6 Tablas de Frecuencia Frecuencia absoluta: La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por fi Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de cada modalidad Frecuencia relativa: La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por hi h i = f i N Donde N = Tamaño de la muestra Tablas de Frecuencia Porcentaje: La frecuencia relativa es un tanto por uno, sin embargo, hoy día es bastante frecuente hablar siempre en términos de tantos por ciento o porcentajes, por lo que esta medida resulta de multiplicar la frecuencia relativa por 00. La denotaremos por p i. p i = h 00% i Frecuencia Absoluta Acumulada: Para poder calcular este tipo de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable estadística ha de ser cuantitativa o cualitativa ordenable. En otro caso no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable y lo representaremos por Fi.

7 Tablas de Frecuencia Frecuencia Relativa Acumulada: Al igual que en el caso anterior la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra, y la denotaremos por H i H = F i N i Porcentaje Acumulado: Análogamente se define el Porcentaje Acumulado y lo vamos a denotar por P i como la frecuencia relativa acumulada por 00. P i = H i 00% Tablas de Frecuencia La distribución de frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Veamos esto con un ejemplo: Tomamos para ello los datos relativos a las personas activas. Personas Activas Número Familias Xi fi hi pi Fi Hi Pi 6 6/0 % 6 6/0 % 0 0/0 0% 6 6/0 7% 9 9/0 8% /0 90% /0 0% 0 0/0 00% Total 0

8 Tablas de Frecuencia Ejemplo Cuántos individuos tienen menos de hijos? frec. absoluta sin hijos + frec. absoluta con hijo = 9 + = 67 individuos Qué porcentaje de individuos tiene 6 hijos o menos? 97,% Ocho+ Total Número de hijos Porcent. Porcent. Frec. (válido) acum. 9 7,8 7,8 6,9,7 7,9 69,, 8,8 7 8, 9,,6 9,8,6 97,, 98,9 7, 00, ,0 Gráficos Gráficos Estadísticos: Son representaciones visuales que emplean símbolos, barras, polígonos y sectores, de los datos contenidos en tablas de frecuencias. Las representaciones gráficas deben conseguir que un simple análisis visual ofrezca la mayor información posible. Según el tipo del carácter que estemos estudiando, usaremos una representación gráfica u otra. Histograma: Gráfica de barras que representa una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa; y está integrado por lo siguientes componentes. En general se requiere previamente el cálculo de una tabla de frecuencia, y su posterior representación. Un título, que identifica la población o la muestra de interés. Una escala vertical, que identifica las frecuencias que hay en las diversas clases Una escala horizontal, que identifica la variable x.

9 Gráficos Gráfico de Sectores o Circulares Este tipo de diagramas consideran una figura geométrica en que la distribución de frecuencias se reparte dentro de la figura como puede ser una dona, pastel, círculo o anillo, en el que cada porción dentro de la figura representa la información porcentual del total de datos. UNID Maestría Alumnos Educación Informática Administración,, 0% Alumnos de Maestría Educación Informática Administración Administración TOTAL 8 Educación,, % Informática,, % Medidas Estadísticas sticas Centralización (Tendencia Central) Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. Media, mediana y moda Posición Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles,... Dispersión Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. Desviación típica, coeficiente de variación, rango, varianza

10 Las medidas de tendencia central son: La media, la mediana y la moda. Media: Es la media aritmética (promedio) de los valores de una variable. Suma de los valores dividido por el tamaño de la muestra. Es la medida más común de localización y representa el centro de un grupo de datos Fórmulas para determinar la Media para datos no agrupados Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos de poblaciones y de muestras: Datos sin agrupar: x, x,..., x n N Población i= μ = N X i Muestra X = n i= n X i Ejemplo: Calcule la media de los siguientes números: 0,,,,. Sumar las cantidades < = 8>. Dividir la suma por la cantidad de elementos < 8/>. El resultado es la media <.6> Por lo tanto, la media de los números es.6. Note que la media resulta un número que está entre el rango de elementos; en este caso,.6 está entre 0,, y.

11 Se desea conocer el promedio de las notas de la clase de estadística de los alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son: Población N i= μ = N X i = μ = 7. = Datos no agrupados Ejemplo 000 Muestra de Ingresos mensuales en dólares X 0 X i = i= = 0 X = = 09. Datos no agrupados

12 Datos organizados en tabla Fórmulas para determinar la Media para datos agrupados. (Tabla tipo ) x = x ƒi i i n μ = x ƒi i i N Fórmulas para determinar la Media para datos agrupados. (Tabla tipo ) Nc Mci i ƒi X = i= n μ Nc = i= Mci ƒi N Variable fr. fr. ac. L 0 L x n N L L... L i- L i x X i n i N i n n N Intervalo de clase: Intervalos empleados en las Tablas de Frecuencias Estadísticas, capaz de contener diversas medidas de una variable. Consta de un límite inferior (Lm) y un límite superior (Ls). Ejemplo: Encontrar la media aritmética para datos agrupados en tablas tipo Personas Activas Total Número de Familias x x ƒi i i = (6) + (0) + (9) + () n = 0 x 0 = 0 =.06 En promedio son.06 las personas económicamente activas

13 Ejemplo INTERVALO DE CLASE MARCA DE CLASE Mc FRECUENCIA ABSOLUTA fi FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA Fi FRECUENCIA RELATIVA F i /n FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA F I /n (90-980] (980-00] /0 7/0 /0 8/0 (00-080] 0 /0 /0 (080-0] 0 8 8/0 /0 (0-80] 6 7 6/0 7/0 (80-0] 0 0 /0 0/0= 0 0/0= 6 Mci i ƒi X = i= = 9() +00(7) +0() +0(8) +(6) + 0() n 0 X = = X = 088.

14 Actividad Realizar una comparativa entre el cálculo de la media aritmética para datos no agrupados (tabla tipo ) y datos agrupados en tablas tipo Encontrar los siguientes valores: Media Aritmética Valor Máximo Valor Mínimo Número de Intervalos Rango Lm - Ls Mc Frecuencia Absoluta Actividad Resultado de la comparativa entre el cálculo de la media aritmética para datos no agrupados (tabla tipo ) y datos agrupados en tablas tipo Resultado : Resultado : 7.7 Datos no agrupados 8.8 Datos agrupados Podemos ver claramente una diferencia entre ambas medias: 7,7 para los datos no agrupados y 8,8 para los datos agrupados. Esta diferencia radica que en la tabla tipo existe una perdida de información, al agrupar los datos en los intervalos de clase. El valor de la media exacta es el calculado para los datos no agrupados, pero dada la proximidad de la media para los datos agrupados, se tomar esta última como cierta.

15 Mediana (Me) Es un valor que divide a las observaciones en dos grupos con el mismo número de individuos. Si el número de datos es par, se elige la media de los dos datos centrales. Mediana: Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales. La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales. La mediana de un conjunto de datos x,x,k,x n, es el valor x i que se encuentra en el punto medio o centro, cuando se ordenan los valores de menor a mayor. Mediana Procedimiento del cálculo de una mediana: Paso.- Ordenar de menor a mayor los valores xi del conjunto de datos individuales, i =,,,n Paso.- Identificar si n es impar o par x ([ n + ]) / ) %x = x + x + ( n/) ( n/ )

16 Mediana Procedimiento del cálculo de una mediana: Paso.- Ordenar de menor a mayor los valores del conjunto de datos Paso.- Identificar si el total de elementos es impar o par Paso.- Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos. Me = x ([ n + ]) / ) x + x + ( n/) ( n/ ) n = Impar n = Par Donde X es la posición de los números y n es el número de elementos. Datos no agrupados Ejemplo Encontrar la mediana para los siguientes datos: Paso X X X X X X6 X7 X8 X9 X0 X Paso n = Impar Paso Me = x ([ n + ]) / ) Me = X ([+]/) = X 6 Me = Datos no agrupados

17 Ejemplo Encontrar la mediana para los siguientes datos: Paso Paso X X X X X X6 X7 X8 X9 X0 n = PAR Paso Me = X (n/) +X([n/]+) Me = X (0/) +X([0/]+) Me = + = = X + X6 Me =. Datos no agrupados Mediana Ejemplo: Buscar la mediana de los siguientes números: 6 Primero, hay que ordenarlos: 6 X X X X X X6 X7 Mediana = X[(7+)/] X < La mediana está en la posición > Por lo tanto, la mediana es.

18 Mediana Encontrar la mediana partiendo de la siguiente tabla: Clase fi Fi hi pi Hi Pi % % % 0..0% % 7.% 0.8% % 7.9% 9.8% 0% % % % 00.0% TOTAL % Qué valor entre el 0 y 0 representa el 0%? Mediana Clase fi Fi Hi pi Hi Pi % 7.% % 7.9% 7.% de Diferencia Entre el 0 y 0 hay una diferencia de 0, así como del 7.% de los datos entre las frecuencias relativas acumuladas. Para llegar al 0% de los datos, debemos incrementar en,% los datos partiendo desde la clase 0. 0% -.8% =.% Qué valor entre el 0 y 0 representa el 0%? Si sabemos que en un rango de 0 existe 7.%, cuanto representa.% de esos 0? Correcto!! =. Para llegar al 0% de los datos, necesitamos incrementar. a la clase 0 y así obtener la mediana Me =.

19 Mediana Encontrar la mediana partiendo de la siguiente tabla: Lm Ls Mc fi Fi hi pi.0%.00%.00% 7.0% 0.00% 7.0%.0% 00.00% Hi Pi.0% 7.0%.0% 60.00% 90.00% 97.0% 00.00% Entre. y. hay una diferencia de 8, así como del 7.% de los datos entre las frecuencias relativas acumuladas. Para llegar al 0% de los datos, debemos incrementar en 7,% los datos desde límite superior del tercer intervalo de clase. 0% -.% = 7.% 0% Qué valor entre. y. representa el 0%?Si sabemos que en un rango de 8 existe 7.%, cuanto representa 7.% de esos 8? Para llegar al 0% de los datos, necesitamos incrementar. unidades a. y así obtener la mediana Me = 8.6 Calcular la mediana mediante fórmula: Me L + A 0% Pi- S- = (Pi Pi-) Me = % -.% (60%.%) Me =? L S-=. A = 8 Pi = 60% Pi- =. Me = 8.6

20 Qué valor entre. y. representa el 0%?Si sabemos que en un rango de 8 existe 7.%, cuanto representa 7.% de esos 8? Para llegar al 0% de los datos, necesitamos incrementar. unidades a. y así obtener la mediana Me = 8.6 Calcular la mediana mediante fórmula: Me L + A 0% Pi S- = (Pi Pi-) Moda (Mo) Indica el valor que más se repite, o la clase que posee mayor frecuencia. Es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos Hallar la moda de la distribución: Mo=,,,,,,, Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. Mo=,, 9,,,,,,,, 7, 8, 9, 9, 9 Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.,,,, 6, 6, 9, 9

21 Moda Calcular la moda a partir de la siguiente tabla de frecuencia: Lm Ls Mc fi Las marcas de clase que más frecuencias tienen son y, por tanto decimos que es un caso donde aparecen dos modas (bimodal). Mo = Mo = Moda Calcular la moda mediante fórmula: Mo L + A fi fi- S- = (fi fi-) + (fi fi+) Donde LS- equivale al límite superior del intervalo anterior donde se encuentra la moda. Lm 60 6 Ls 6 66 Mc fi 8 Mo = 66 + ( 8) ( 8)+(+8) Mo = ( 8)+(+8) 00 Mo =

22 Moda Calcular la moda mediante fórmula: Mo L + A fi fi- S- = (fi fi-) + (fi fi+) Donde LS- equivale al límite superior del intervalo anterior donde se encuentra la moda. Lm 60 6 Ls 6 66 Mc fi 8 Mo = 66 + ( 8) ( 8)+(+8) Mo = ( 8)+(+8) 00 Mo =