BIOESTADÍSTICA I 1. DEFINICIONES

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1 BIOESTADÍSTICA I 1. DEFINICIONES 1.1 ESTADÍSTICA. Es ua disciplia, que hace parte de la matemática aplicada, que provee métodos y procedimietos para colectar, clasificar, resumir y aalizar iformació (datos) proveiete de ua població. 1. BIOESTADÍSTICA. Es la disciplia que se ecarga de geerar y aplicar métodos estadísticos a iformació o datos proveietes de las áreas biológicas. 1.3 VARIABLE. Es ua característica que iteresa evaluar ya sea e u idividuo o e u objeto, y que, como su ombre lo dice, varía o cambia de u idividuo a otro. Si todos los idividuos observados so homogéeos para la característica e cuestió, ya o se habla de ua variable, sio de ua costate. Otra defiició más corta: variable es lo que está siedo observado o medido. Las variables puede ser clasificadas de diferetes maeras: Cualitativas y Cuatitativas. Las variables cualitativas o atributos o se puede medir uméricamete (por ejemplo: acioalidad, color de la piel, sexo). Las variables cuatitativas tiee valor umérico (edad, precio de u producto, igresos auales). Ejemplos: Cuatitativas Peso Diámetro Altura Número de platas Cualitativas Variedad o especie Raza Color Tipo de suelo 1.3. Discretas y cotiuas. Esta es otra forma de clasificar las variables. Ua variable es discreta si etre dos valores cotiguos o existe igú otro valor posible, es decir, hay saltos etre los valores que toma la variable; mietras que e ua variable cotiua, etre cualquier para de valores observables siempre hay ifiitos valores posibles de ser observados. A veces se toma como regla de clasificació que las variables discretas o puede tomar valores que ivolucre cifras decimales, pero esto o siempre se cumple, veamos u ejemplo: Si e u exame defiimos ua variable como la relació de respuestas correctas respecto al total de pregutas formuladas, los valores posibles siempre será fraccioarios: 1/5, /5,...etcétera y a pesar de esto, la variable sería discreta.

2 Otras defiicioes: Ua variable es discreta si sólo puede tomar valores e u cojuto fiito; es cotiua, si puede tomar cualquier valor de u itervalo determiado. Debido a las uidades e que alguas variables so expresadas, éstas puede parecer discretas, por ejemplo, el tiempo expresado e segudos, el peso expresado e gramos. E estos casos, las limitacioes está dadas por el istrumeto de medida. Si embargo, coceptualmete tales variables sigue siedo cotiuas, pues si importar que cotemos co el istrumeto para su medició o o, etre 4 g y 5 g hay ifiitos pesos. Discretas Número de huevos Sexo Número de platas Cotiuas Peso Altura Tiempo Escalas de medició. Esta forma de clasificar las variables hace referecia a la catidad de iformació que cotega cada ua de ellas y a la forma e que se mida Nomial. Es la escala de medició más débil, los valores de la variable simplemete idica diferetes categorías y o existe u orde etre ellas. Ejemplo: Color, sexo, especie, raza, ombre, materia. Ua forma de evaluar si ua variable es omial, es idetificar si al represetarla gráficamete se pierde iformació al colocar e diferetes posicioes cada ua de las categorías. Si las categorías puede presetarse idiferetemete e cualquier posició, se trata de ua variable medida e escala omial Ordial. E este tipo de escala se halla u poco más de iformació que e la aterior. Existe u orde o jerarquía etre los objetos del grupo, de tal forma que se sabe cuál es el primero, el segudo,... co relació a ua característica particular. No puede afirmarse, si embargo, que la diferecia o distacia etre las categorías sea la misma. Ejemplo: Nivel de producció (Alto, medio o bajo), orde de llegada e ua carrera (primero, segudo, tercero), evaluació utricioal, calificació (excelete, bueo, regular, malo) Iterválica. E esta escala existe categorías ordeadas y las distacias o itervalos etre éstas so iguales, por eso se puede afirmar que la diferecia etre 5 y 6 es la misma que etre 10 y 11, es decir, ua uidad. Ua característica de esta escala es que el cero o es verdadero, es arbitrario, pues o idica ausecia de la característica medida, por lo tato, auque se puede realizar comparacioes de diferecia (restas), las comparacioes de razó (divisioes) o so posibles. Ejemplos: Cociete itelectual y, la más famosa de todas, la temperatura, dode el valor de 0 C o idica ausecia de temperatura; ua ilustració de porque las razoes o so posibles se tiee al comparar las temperaturas 0 C y 40 C ; auque uméricamete 40 es el doble de 0, e el caso de la temperatura o se puede afirmar que a 40 C es el doble de calor que a 0 C Razó o Proporció. Es la escala que tiee más iformació. Además de existir u orde etre los iveles de la escala, estos tiee igual distacia etre sí y el cero sí es real (idica ausecia). Por lo tato, las comparacioes de razó (divisioes) sí so posibles. Ejemplos: Peso, altura, úmero de hojas de ua plata, etcétera.

3 3 1.4 POBLACIÓN. Es cualquier cojuto de idividuos o elemetos que tiee ua o más características comues. Las características comues o so sólo físicas, puede ser espaciales o temporales. Ejemplos: estudiates matriculados e el primer semestre del 004 (característica temporal) ; estudiates del úcleo de mias (característica espacial). La estadística matemática defie ua població como el cojuto de todos los valores que puede tomar ua variable, e este caso se hablaría de població de pesos, etcétera, lo que pasa es que desde el puto de vista del ivestigador, se defie como el cojuto de idividuos poseedores de la característica. 1.5 MUESTRA. Es cualquier subcojuto de elemetos seleccioado de ua població, lo ideal es que sea u subcojuto represetativo de toda la població, o sea que refleje las características eseciales de la misma, de maera que se pueda realizar geeralizacioes sobre la població. Las razoes para trabajar co muestras so: ahorro de tiempo, ahorro de diero, facilidades operativas y coservació de la població (si la variable que se quiere medir implica destrucció de la uidad experimetal, como e aálisis bromatológicos, de composició, etcétera). 1.6 PARÁMETRO. Es ua medida que caracteriza a ua població, por lo cual se ecesitaría teer acceso a todos los elemetos de la població para su cálculo. Se represeta por medio de letras griegas. 1.7 ESTADÍSTICO. Es cualquier medida de resume calculada a partir de los datos de la muestra. Sirve como estimador del respectivo parámetro poblacioal. Se represeta por medio de letras latias. 1.8 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Es la rama de la estadística que se dedica a la presetació, orgaizació y resume de los datos, usado tablas, gráficos y medidas de resume que so aquéllas que represeta las características eseciales de los datos e térmios fáciles de iterpretar. 1.9 ESTADÍSTICA INFERENCIAL. Esta es la parte de la estadística que permite geeralizar los resultados obteidos a partir de los datos de ua muestra, a u úmero más grade de idividuos. E otras palabras, hacer iferecia estadística es sacar coclusioes válidas acerca de ua població de elemetos o medidas, co base e iformació coteida e ua muestra de dicha població. Se hace a través de dos actividades relacioadas: estimació y prueba de hipótesis.

4 4 Tarea: Platear 10 variables que tega que ver co su carrera y clasificarlas co las tres formas vistas.. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Como se mecioó ateriormete, la estadística descriptiva se basa e el uso de tres herramietas básicas: medidas de resume, tablas y gráficos..1 MEDIDAS DE RESUMEN Las medidas de resume, como su ombre lo dice, sirve para resumir la iformació coteida e u grupo de datos y se divide e: medidas de tedecia cetral, medidas de dispersió, medidas de forma y medidas de posició..1.1 Medidas de Tedecia Cetral. Ua medida de tedecia cetral es aquel valor hacia el cual coverge la mayoría de los datos, viee a ser ua especie de represetate del cojuto de datos, existe varias medidas de tedecia cetral Media. Es la más famosa de las medidas de tedecia cetral y se defie como el promedio aritmético de todos los datos. Podemos defiir la media muestral (estadístico) y la media poblacioal (parámetro). xi = 1 X N ; Así, es u estadístico. xi µ = 1 ; Así, es el parámetro. N Tarea: Calcule la media para el siguiete cojuto de datos: {3, 5, 6, 8, 9} Repita co el siguiete cojuto de datos: {3, 5, 6, 8, 0} Compare los dos valores obteidos y cocluya Mediaa: Es el valor cetral de u cojuto de datos ordeados, se dice tambié que es aquel valor que divide el cojuto de datos exactamete por la mitad. Para el siguiete cojuto de datos: Y para el siguiete cojuto de datos? {, 4, 5, 6, 8} la mediaa es 5, 4, 5, 6, 0 la mediaa es 5 Qué se puede cocluir a partir de estos resultados?

5 5 Si se tiee u cojuto de datos par : {, 4, 5, 6} qué hacemos? La solució es calcular la media de los dos valores cetrales. Existe dos fórmulas que facilita el cálculo de la mediaa cuado se tiee muchos datos, pero para ver las fórmulas, primero debemos defiir que es u Estadístico de Orde Estadístico de Orde. Se defie el estadístico de orde i-ésimo como el valor que toma la observació i-ésima, después de ordear todos los datos, así: X (1) es el estadístico de orde 1 y correspodería al meor valor de todos. X () es el estadístico de orde y correspodería al segudo meor valor.... X () es el estadístico de orde y correspodería al mayor valor. Al calcular la mediaa de u cojuto de datos siempre se estará e ua de dos situacioes: el cojuto de datos es impar o el cojuto de datos es par. X Si el cojuto es impar, Me = ( + 1 ) ( 1 ) (+1)/ X X + ; es decir, el estadístico de orde ( ) + (( ) + 1) ( ) + (( ) + 1) Si el cojuto es par, Me = ; es decir, la media aritmética de los dos estadísticos de orde que aparece e el umerador. X Nota: es el úmero de datos evaluados. X X Moda. El sigificado estadístico de la palabra moda es similar al que le damos e uestra sociedad, qué es moda? Lo que más se usa, etoces la moda es simplemete el valor que más se repite, ejemplo: e el siguiete cojuto de datos la moda sería 5: {, 5, 5, 5, 6, 7, 8} E el cojuto de datos: : {3, 5, 6, 3, 4, 3, 5, 8, 5}, cuál es la moda? Se puede apreciar que hay dos modas: 3 y 5. (el cojuto es bimodal) U último cojuto de datos: {, 4, 6, 8, 9, 3, 5}, cuál es la moda? Aquí vemos que o hay moda, a partir de estos tres ejemplos se puede observar que la moda puede o existir, ser úica o puede existir múltiples modas (datos multimodales). Cuado exista, siempre correspoderá co alguos de los valores observados e el cojuto de datos Media poderada. Es ua media dode todas las observacioes o tiee el mismo peso o importacia, u ejemplo clásico es la ota defiitiva de ua asigatura, supogamos el caso de u estudiate e u curso cualquiera co las siguietes otas:

6 6 Evaluació Porcetaje (P i ) Nota (X i ) Parcial 1 30% 4. Parcial 0%.1 Parcial 3 30% 3. Taller 0% 3.7 Para calcular la ota defiitiva o podríamos simplemete calcular la media aritmética de las cuatro otas, pues le estaríamos dado el mismo peso a cada ua de las otas, por lo tato calculamos la media poderada, que permite darle pesos diferetes a los valores observados. p X P i 1 = P 1 * X i i = Recorrido Medio. Esta medida de tedecia cetral se utiliza muy poco, ua aplicació práctica se da cuado se quiere calcular la temperatura media de u día cualquiera, simplemete cosiste e calcular la media aritmética de los valores mayor y meor. Tarea: Aalizar para cada ua de las escalas de medició cuáles medidas de tedecia cetral es posible aplicar y cuáles o. Ates de cotiuar co la siguiete medida de resume, veamos lo siguiete: se tiee dos explotacioes A y B de cualquier producto agrícola: Explotació A B Producció Promedio 4 t/ha 4 t/ha A simple vista podríamos decir que los cojutos de datos que diero orige a estas dos medias so iguales, pero si ahora vemos los cojutos origiales, la situació es muy diferete: Explotació Producció Promedio Datos A 4 t/ha 4, 4, 4 B 4 t/ha 0, 4, 8 Estos dos cojutos de datos poe e evidecia que la medida de tedecia cetral por sí sola o es suficiete para describir u cojuto de datos, de ahí la importacia de utilizar otra medida de resume que me refleje la situació del ejercicio aterior.

7 7.1. Medidas de Dispersió. Las medidas de dispersió idica qué ta cerca o qué ta lejos está los datos de la medida de tedecia cetral, e otras palabras, idica que ta homogéeos o heterogéeos so los datos Variaza. Es la más coocida de las medidas de dispersió y su aálisis es la base de todos los métodos de estadística iferecial. Podemos defiir la variaza muestral (estadístico) y la variaza poblacioal (parámetro). S = σ = 1 N 1 x i X 1 µ N xi ; Así, es u estadístico. ; Así, es el parámetro. Existe ua fórmula operacioal que hace mucho más fácil el cálculo de la variaza, que surge de desarrollar y luego simplificar el umerador de la expresió aterior: S = x 1 i 1 xi 1 Supogamos valores de producció de mago e t/ha: 3, 5, 6, 8, 9 Dode la variaza es: 5.7 (t/ha), (verificar el cálculo) ahora... qué es ua (t/ha)? pues este es el problema de la variaza, está dada e uidades al cuadrado, lo cual hace que o tega ua iterpretació fácil, etoces... qué hacemos? Pues saquemos raíz cuadrada!.1.. Desviació estádar. Simplemete es la raíz cuadrada de la variaza y por lo tato está dada e las uidades de medida origiales y por eso es más utilizada. Podemos defiir la desviació estádar muestral (estadístico) y la desviació estádar poblacioal (parámetro). S = Raíz cuadrada de: S ; Así, es u estadístico. σ = Raíz cuadrada de: σ ; Así, es el parámetro. E el ejemplo aterior la desviació estádar sería: S =.387 t/ha, valor que está dado e las uidades de medida origiales y por lo tato es fácil de eteder. Ejercicio: Se tiee los siguietes cojutos de datos, e cuál de ellos hay mayor dispersió? A Media 10 t/ha 4 t/ha DE.5 t/ha t/ha B

8 8 Se podría pesar que el cojuto A tiee ua mayor dispersió que el B, pero debe recordarse la defiició de medida de dispersió: es u valor que me idica qué ta lejos o cerca se ecuetra los datos respecto a la medida de tedecia cetral, de tal maera que si se desea saber cuál de los dos cojutos tiee ua mayor dispersió, el aálisis o puede basarse exclusivamete e la D. E., debe teer e cueta tambié la media. Para hacer esta comparació se podría hacer uso de la siguiete medida de dispersió Coeficiete de Variació (CV). Esta es ua medida de dispersió muy utilizada porque es adimesioal (o tiee uidades de medida) y por lo tato es muy útil para comparar la dispersió de dos cojutos de datos, ya sea que éstos tega o o, la misma uidad de medida; expresa la desviació estádar como u porcetaje de la media. S CV = * 100 X.1..4 Desviació Mediaa. Es ua medida de dispersió dode la medida de tedecia cetral de referecia es la Mediaa y se calcula así: D. Mediaa = xi 1 Me Básicamete es para variables ordiales; e geeral, cuado se calcule la mediaa como medida de tedecia cetral, lo correcto etoces será calcular la desviació mediaa Recorrido o Rago. Es ua medida poco utilizada porque provee de muy poca iformació, se calcula como la diferecia etre los dos valores extremos del cojuto de datos, por lo tato simplemete idica la distacia que hay etre el valor meor y el valor mayor. R: (Valor mayor Valor meor) (X () X (1) ). Tarea: Aalizar para cada ua de las escalas de medició cuáles medidas de dispersió es correcto aplicar y cuáles o Ejercicio: Qué se puede decir de la producció de mago e estas dos ficas? A B Media: S Aparetemete so dos cojutos de datos iguales, pero si vemos los datos origiales vamos a ecotrar lo siguiete: A: 5, 6.3, 6.9, 7.4, 9., 10, 1.9, 18.1 B:0.85, 6.05, 8.95, 9.75, 11.55, 1.05, 1.65, 13.95

9 9 Co estos dos cojutos se hace evidete que ua medida de tedecia cetral juto co ua medida de dispersió, tampoco so suficietes para describir de maera completa u cojuto de datos, hace falta algo más, veamos la siguiete medida de resume..1.3 Medidas de Forma. Ua medida de forma simplemete refleja cual es la forma de los datos al hacer u gráfico de dispersió co ellos Coeficiete de Asimetría (a). Idica si u cojuto de datos es simétrico o o respecto a la media, se calcula de la siguiete maera: i 1 a = ( )( ) x x S Dode S es la desviació estádar. Básicamete se puede hablar de tres situacioes (o so las úicas): Distribució Simétrica: a = 0: Cuado hay simetría perfecta, la media, la mediaa y la moda toma el mismo valor. Sesgo a la derecha: a > 0: Cuado hay sesgo a la derecha, la moda < la mediaa < la media. Sesgo a la izquierda: a < 0:

10 10 Cuado hay sesgo a la izquierda, la media < la mediaa < la moda. Evaluemos los dos cojutos de datos ateriores: a A = [ 8 / 7*6 ]*[ ( ) 3 + ( ) ( ) 3 / ] a A = = Asimetría positiva o sesgo a la derecha. a B = [8 / 7*6 ]*[( ) 3 + ( ) ( ) 3 / ] a B = = Asimetría egativa o sesgo a la izquierda. Tarea: Verificar los ateriores resultados. Ejercicio: Qué se puede decir de la producció de mago e estas dos ficas? A B Media: 7 7 S a 0 0 Aparetemete so dos cojutos de datos iguales, pero si vemos los datos origiales vamos a ecotrar lo siguiete: A: 0.5, 4, 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 10, 13.5 B: 1.5, 3.5, 4, 6, 7, 8, 10, 10.5, 1.5 Co estos dos cojutos se hace evidete que ua medida de tedecia cetral juto co ua medida de dispersió y la medida de asimetría, tampoco so suficietes para describir de maera completa u cojuto de datos, hace falta algo más Coeficiete de Curtosis o Curtosis (K). Evalúa como es la cocetració de los datos alrededor de la media y de las colas. K = ( + 1) ( 1)( )( 3) Situacioes posibles: 1 x Distribució Mesocúrtica: K = 0. i S 4 x 4 3( 1) ( )( ) 3

11 11 Distribució Leptocúrtica: K > 0 Distribució Platicúrtica: K < 0 Evaluemos los dos cojutos de datos ateriores: K A : 1.35 : Leptocúrtica K B : : Platicúrtica Tarea : Verificar los dos valores de curtosis ateriores..1.4 Medidas de Posició. So medidas que permite estimar e qué puto de la distribució de los datos se ecuetra u determiado valor Cuatiles. So la expresió más geeral de medidas de posició y comprede a todas las otras; el valor que tome el cuatil X es el valor que deja por debajo de sí al X % de los datos. Para el calculo de los cuatiles vamos a recurrir uevamete a los estadísticos de orde. Primero se debe calcular el valor *X (Siedo el úmero de datos y X el cuatil deseado), a partir del valor hallado se hace lo siguiete: si (x/100) o es etero, etoces el Cuatil X = X ( [ x/100 ] + 1 ) ;. Recordar, [ ] quiere decir meor etero coteido e, lo que traduce: redodee por debajo. Si (x/100) es etero, etoces el Cuatil X = {X (x/100) + X [(x/100) + 1] }/ ;. Importate:

12 1 Cuatil 0 Cuatil 100 = X (1) = El valor Míimo = X () = El valor Máximo.1.4. Cuartiles. So valores que divide el cojuto de datos e cuatro partes. Q1: Primer cuartil: Es el valor por debajo del cual se ecuetra el 5% de los datos. Q: Segudo cuartil: Es el valor por debajo del cual se ecuetra el 50% de los datos. Q3: Tercer cuartil: Es el valor por debajo del cual se ecuetra el 75% de los datos Deciles. So valores que divide el cojuto de datos e diez partes. D 1 : Decil uo: Es el valor por debajo del cual está el 10% de los datos. D : Decil dos: Es el valor por debajo del cual está el 0% de los datos Percetiles. So los valores que divide la iformació e cetésimas, o sea e 100 partes. So los mismos cuatiles. P 1 : Percetil uo: Es el valor por debajo del cual está el 1% de los datos. P : Percetil dos: Es el valor por debajo del cual está el % de los datos. Tarea: Hallar equivalecias etre las diferetes medidas de posició, ejemplo: Mediaa = Q = D 5 = P 50 Tarea: Calcular todas las ateriores medidas de resume para describir dos cojutos de datos que ustedes mismos puede ivetar.. TABLAS...1 Tablas de frecuecias (Tablas de distribució de frecuecias). La distribució de frecuecia es la represetació estructurada, e forma de tabla, de toda la iformació que se ha recogido sobre la variable estudiada. Veamos u ejemplo: Medimos la altura de los iños de ua clase y obteemos los siguietes resultados (cm):

13 13 Estudiate Estatura Estudiate Estatura Estudiate Estatura Estudiate 1 1,5 Estudiate 11 1,3 Estudiate 1 1,1 Estudiate 1,8 Estudiate 1 1,6 Estudiate 1,9 Estudiate 3 1,7 Estudiate 13 1,30 Estudiate 3 1,6 Estudiate 4 1,1 Estudiate 14 1,1 Estudiate 4 1, Estudiate 5 1, Estudiate 15 1,8 Estudiate 5 1,8 Estudiate 6 1,9 Estudiate 16 1,30 Estudiate 6 1,7 Estudiate 7 1,30 Estudiate 17 1, Estudiate 7 1,6 Estudiate 8 1,4 Estudiate 18 1,5 Estudiate 8 1,3 Estudiate 9 1,7 Estudiate 19 1,0 Estudiate 9 1, Estudiate 10 1,9 Estudiate 0 1,8 Estudiate 30 1,1 Si presetamos esta iformació estructurada obtedríamos la siguiete tabla de frecuecias: Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada 1, ,3% 3,3% 1, ,3% 16,6% 1, ,3% 30,0% 1,3 11 6,6% 36,6% 1, ,3% 40,0% 1,5 14 6,6% 46,6% 1, ,0% 56,6% 1, ,0% 66,6% 1, ,3% 80,0% 1, ,0% 90,0% 1, ,0% 100,0% Si los valores que toma la variable so muy diversos y cada uo de ellos se repite muy pocas veces, etoces coviee agruparlos por itervalos, ya que de otra maera obtedríamos ua tabla de frecuecia muy extesa de muy poco valor para fies de sítesis Distribucioes de frecuecia agrupada. Supogamos que medimos la estatura de los habitates de u edificio y obteemos los siguietes resultados (cm): Habitate Estatura Habitate Estatura Habitate Estatura Habitate 1 1,15 Habitate 11 1,53 Habitate 1 1,1 Habitate 1,48 Habitate 1 1,16 Habitate 1,59 Habitate 3 1,57 Habitate 13 1,60 Habitate 3 1,86 Habitate 4 1,71 Habitate 14 1,81 Habitate 4 1,5 Habitate 5 1,9 Habitate 15 1,98 Habitate 5 1,48 Habitate 6 1,39 Habitate 16 1,0 Habitate 6 1,37 Habitate 7 1,40 Habitate 17 1,4 Habitate 7 1,16 Habitate 8 1,64 Habitate 18 1,45 Habitate 8 1,73

14 14 Habitate 9 1,77 Habitate 19 1,0 Habitate 9 1,6 Habitate 10 1,49 Habitate 0 1,98 Habitate 30 1,01 Si presetáramos esta iformació e ua tabla de frecuecia obtedríamos ua tabla de 30 líeas (ua para cada valor), cada uo de ellos co ua frecuecia absoluta de 1 y co ua frecuecia relativa del 3,3%. Esta tabla os aportaría escasa iformació E lugar de ello, preferimos agrupar los datos por itervalos, co lo que la iformació queda más resumida (se pierde, por tato, algo de iformació), pero es más maejable e ilustrativa: Tabla de distribució de frecuecias para la variable aleatoria estatura de los estudiates. Estatura Frecuecias absolutas Frecuecias relativas Cm Simple Acumulada Simple Acumulada 1,01-1, ,3% 3,3% 1,11-1, ,0% 13,3% 1,1-1, ,0% 3,3% 1,31-1,40 9 6,6% 30,0% 1,41-1, ,0% 50,0% 1,51-1, ,3% 63,3% 1,61-1, ,0% 73,3% 1,71-1, ,0% 83,3% 1,81-1,90 7 6,6% 90,0% 1,91 -, ,0% 100,0% El úmero de itervalos e los que se agrupa la iformació es ua decisió que debe tomar el aalista: la regla es que mietras más itervalos se utilice meos iformació se pierde, pero puede que meos represetativa e iformativa sea la tabla. Se ecuetra varias propuestas para esto; ua es la formula de Sturges: K = *log( ), pero tambié se usa (Scott) (Freedma, ad Diacois,1981). K = 3 o Se recomieda que sea meos de 0 y más de cuatro itervalos. [ rago] 3 K = *( Q3 Q1 ) El procedimieto para crear ua tabulació de frecuecias tiee las siguietes operacioes: Determie el úmero de itervalos a costruir (K). Calcule el rago (r = máximo - míimo). r Calcule el acho iicial del itervalo: A i = K Establezca ua amplitud de clase (acho del itervalo) aumetado A i al meos e u % ( A (1.0) * A i ). Esta o es ua regla que se tega que cumplir al pie de la letra, el asuto es que se pueda ampliar razoablemete el rago.

15 15 Determie el rago ampliado: r a = A* K Calcule d = ra r Reste d al valor míimo de la muestra (míimo reducido). El primer itervalo se costruye o va desde el míimo reducido (límite iferior) a la suma del míimo reducido y la amplitud de clase (A). El segudo itervalo tiee como límite iferior el límite superior del primer itervalo; el límite superior se costruye co sumar la amplitud de clase al límite iferior. De esta forma se repite el proceso hasta completarse todos los itervalos. La tabla se completa al cotabilizar, para cada itervalo, las respectivas frecuecias absolutas y el resto de los compoetes de la tabla (columas). E ua tabla de frecuecias, los percetiles (y cualquier cuatil) se calcula usado la siguiete expresió: P i * 100 k i = Li + * f j P i : Es el i-ésimo percetil. L i : Límite iferior de la clase o itervalo de iterés, esto es, la clase que supera o iguala la proporció buscada por el percetil. f k : Es la suma de las frecuecias ateriores a la clase de iterés. f j : La frecuecia absoluta de la clase de iterés. C: Amplitud de clase o logitud del itervalo Tarea: calcule a la tabla de frecuecias aterior la mediaa, el percetil diez, el cuartil uo y el percetil Tablas de cotigecia. E muchas ocasioes para el ivestigador será de iterés recolectar, de maera simultáea, e ua muestra más de ua cualidad o variable. Por ejemplo, se midió e ua empacadora de cares la catidad (cocetració) de preservativos que se requiere para que las proteías o iicie su proceso de desaturalizació. Para esto se evaluaro los efectos de tres tipos (marcas comerciales) de preservates e cuatro dosis, sobre la care de burro, de caballo, de cerdo y de res. Como se puede apreciar, estos resultados será mejor evaluados si se preseta resumidos e ua tabla de doble etrada como la que se muestra a cotiuació. Tabla de cotigecia. Días para el iicio de la desaturalizació de la care de caballo Cocetració (mg/k) Marca Rociate Imperial Resplador Nótese que será ecesaria la costrucció de ua tabla similar para cada tipo de care o costruir ua tabla más elaborada que muestre toda la iformació. f C

16 16.3 GRÁFICOS. Los gráficos so el pricipal istrumeto de aálisis exploratorio de las características de ua variable y se costruye de varios tipos, segú el propósito y/o el ivel deseado para el aálisis y segú el tipo de variable que se grafique..3.1 Diagrama de dispersió. La represetació e u gráfico los pares de valores de dos variables sumiistra iformació a cerca de posibles relacioes etre las ellas, co ua simple ispecció a la ube de putos. Ejemplo: Se tiee la siguiete iformació acerca de úmero de emátodos e ua muestra de suelo y el coteido de materia orgáica e la misma muestra Nematodos Materia Orgáica Nemátodos Materia Orgáica Dibuje el diagrama de dispersió etre las dos variables..3. Diagrama de barras. Se usa para variables de tipo categórico. Se realiza graficado las frecuecias absolutas o las frecuecias relativas de la variable (eje Y) cotra los valores observados (eje X). Se distigue del histograma por la separació de las barras, que o existe e el histograma..3.3 Diagrama de sectores. Las frecuecias relativas de las categorías que se ecuetra e la variable so graficadas usado el círculo como represetació de la totalidad de la muestra, cada categoría se le asiga u sector (segmeto de arco) que es proporcioal a esta frecuecia. De esta forma, ua categoría que tega ua frecuecia relativa de 50% le correspode el arco descrito por u águlo de 180º

17 17 Qué porcetaje de las vetas correspode a los helados de mazaa (apple)?.3.4 Diagrama de cajas. Se costruye usado la mediaa y los cuartiles. La caja tiee u par de líeas que se prologa a 1,5 veces el rago itercuartílico (1.5*{Q3 Q1}). La caja la costituye tres líeas, la primera está a la altura del cuartil uo (Q1), la seguda es la mediaa y la tercera el cuartil tres (Q3). Diagrama de cajas y bigotes para la variable aleatoria X..3.5 Histograma de frecuecias Se costruye graficado las frecuecias absolutas o las frecuecias relativas de la variable (eje Y) cotra las categorías o clases e las que se dividió la misma (eje X). Se distigue del diagrama de barras por que la separació de las barras es cero.

18 18 Los pasos para costruir el histograma so: 1. Defia los itervalos o clases de igual logitud.. Cuete el úmero de observacioes que cae e cada clase o itervalo. Esto es llamado la frecuecia. observacioes _ e _ el _ it ervalo 3. Calcule la frecuecia relativa, h i = úmero _ de _ datos 4. Grafique los rectágulos cuyas alturas so proporcioales a las frecuecias relativas. Realizar histogramas de esta maera tiee las siguietes vetajas Es útil para apreciar la forma de la distribució de los datos, si se escoge adecuadamete el úmero de clases y su amplitud. Se puede presetar como u gráfico defiitivo e u reporte. Se puede utilizar para comparar dos o más muestras o poblacioes. Se puede refiar para crear gráficos más especializados, por ejemplo la pirámide poblacioal. Desvetajas Las observacioes idividuales se pierde. La selecció del úmero de clases y su amplitud que adecuadamete represeta la distribució puede ser complicado. U histograma co muy pocas clases agrupa demasiadas observacioes y uo co muchas deja muy pocas e cada clase. Niguo de los dos extremos es adecuado. Debido a que uestros ojos respode al área de las barras, es importate mateer la achura de las barras iguales. Si estamos efretados a u problema dode los itervalos tiee diferete amplitud, por ejemplo cuado obteemos datos agrupados desde la fuete, la siguiete fórmula se usa Altura del rectágulo = Frecuecia Relativa / Amplitud del Itervalo

19 Ojiva. Se realiza graficado las frecuecias acumuladas de la variable e estudio (eje Y) cotra los valores de la variable (puto medio del itervalo de clase {x i } e el eje X). Tarea: usado las frecuecias acumuladas de la tabla de distribució de frecuecias de los estudiates grafique la ojiva correspodiete.

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