Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.

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1 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con n, se llama grupo abeliano libre de rango n (donde Z = {}). Notación: Sea G un grupo abeliano. Sea a G y sea m Z. Escribiremos: m {}}{ a + a + + a si m > ma = si m = ( a) + + ( a) }{{} m si m < Observemos que, por definición, G = a 1,..., a n si y sólo si todo elemento a G puede escribirse como combinación lineal (con coeficientes enteros) de {a 1,..., a n }. Esto es, a G, m 1,..., m n Z, a = m 1 a m n a n. Todas las combinaciones lineales con las que trataremos tendrán coeficientes enteros, por tanto no volveremos a mencionar esta propiedad ya que todos los grupos considerados en este tema serán abelianos. En el caso particular de Z n, si llamamos e i = (,...,, (i) 1,,..., ) para i = 1,..., n, entonces Z n = e 1,..., e n Definición 1.2. Sea G un grupo abeliano. Diremos que un conjunto S es linealmente independiente, si la única forma de escribir G como combinación lineal de elementos de S es con todos los coeficientes nulos. Es decir, si para cualesquiera s 1,..., s r S, m 1 s m r s r = m 1 = = m r = Definición 1.3. Sea G un grupo abeliano. Una base de G es un sistema de generadores linealmente independiente. Ejemplos: {(1, ), (, 1)} es base de Z 2. {(2, ), (, 1)} es linealmente independiente, pero no es sistema de generadores, puesto que los elementos que genera tienen siempre su primera coordenada par. {( 2, ), (, 1)} es base de Z/Z3 Z. La demostración del siguiente resultado es análoga a la que vimos en Álgebra Lineal y Geometría I: Proposición 1.4. Un conjunto S G es base si y sólo si todo elemento se escribe de forma única como combinación lineal de S. 1

2 Gracias al resultado anterior, podemos saber cómo son las bases en el caso particular del grupo Z n. Proposición 1.5. Un conjunto de Z n linealmente independiente tiene como mucho n elementos. DEMOSTRACIÓN: Sea S Z n linealmente independiente. Si tuviera más de n elementos, podríamos tomar s 1,..., s n+1 S y formar una matriz A, de tamaño n (n+1), cuyas columnas son estos n+1 elementos. Pero entonces el sistema lineal Ax = tendría alguna solución no nula en Q, digamos ( p1 q 1,..., p n+1 q n+1 ). Multiplicando esta solución por q 1 q n+1, tendríamos una solución (m 1,..., m n+1 ) (,..., ) formada por enteros, donde m 1 s m n+1 s n+1 =, lo cual es imposible al ser S linealmente independiente. Por tanto, S tiene como mucho n elementos. Proposición 1.6. Un sistema de generadores de Z n tiene como mínimo n elementos. DEMOSTRACIÓN: Sea S G un sistema de generadores de Z n. Los elementos e 1,..., e n son combinación lineal de S con coeficientes enteros (en particular, con coeficientes en Q), por tanto S es sistema de generadores del Q-espacio vectorial Q n, luego tiene al menos n elementos. Corolario 1.7. Toda base de Z n tiene exactamente n elementos. Proposición 1.8. Sea S = {a 1,..., a n } Z n un conjunto con n elementos, y sea A la matriz n n cuyas columnas son los elementos de S. Son equivalentes: 1. S es base. 2. S es sistema de generadores. 3. A = ±1. [Trabajo personal: demostrarlo]. Definición 1.9. Sea B = {u 1,..., u n } una base de Z n. Dado un elemento a Z n, llamaremos coordenadas de a respecto de B, a la n-upla de enteros (m 1,..., m n ) tal que a = m 1 u m n u n. Escribiremos: a B = (m 1,..., m n ) Recordemos del Álgebra Lineal cómo afectan a las coordenadas de un elemento ciertos cambios elementales que efectuaremos en las bases: 1. Si B se obtiene de B al permutar u i y u j, entonces a B se obtiene de a B al permutar las coordenadas i y j. Esto se puede escribir 1 a B = E i,j a B, donde E i,j es la matriz que se obtiene de I al permutar las filas i y j. 2. Si B se obtiene de B al cambiar de signo u i, entonces a B se obtiene de a B al cambiar de signo la coordenada i. Esto se puede escribir a B = E i ( 1)a B, donde E i ( 1) es la matriz que se obtiene de I al cambiar de signo la fila i. 1 Aquí los vectores se consideran vectores columnas. De hecho, consideraremos los vectores como filas o columnas según convenga, y en el caso en que se usen en un producto de matrices, la elección será la única posible. 2

3 3. Si B se obtiene de B al sustituir u j por u j mu i, donde m Z, entonces se tiene: a = m 1 u m i u i + + m j u j + + m n u n = m 1 u (m i + m m j )u i + + m j (u j mu i ) + + m n u n Es decir, si entonces a B = (m 1,..., m i,..., m j,..., m n ) a B = (m 1,..., m i + m m j,..., m j,..., m n ). Por tanto, si B se obtiene de B al restar a u j, m veces u i, entonces a B se obtiene de a B al sumar a la coordenada i, m veces la coordenada j. Esto se puede escribir a B = E i,j (m)a B, donde E i,j (m) es la matriz que se obtiene de I al sumar a la fila i, m veces la fila j. Observemos que si hacemos este tipo de transformaciones, llamadas transformaciones elementales, a una base, obtenemos otra base de Z n. Es importante notar que las matrices descritas anteriormente tienen todas determinante ±1. Como aplicar una transformación elemental a una base equivale a multiplicar el vector de coordenadas de cualquier vector por una de estas matrices, se sigue que aplicar varias de estas transformaciones elementales seguidas equivale a multiplicar por varias de estas matrices, lo que finalmente multiplica (por la izquierda) el vector de coordenadas de cualquier vector, por una matriz de determinante ± Grupos abelianos finitamente generados En esta sección vamos a qué estructura tiene cualquier grupo abeliano finitamente generado. Esto nos permitirá, por ejemplo, deducir cuántos grupos abelianos finitos hay de un cierto orden no isomorfos. Teorema 1.1. Sea {u 1,..., u n } una base de Z n. Dado un grupo abeliano cualquiera G, y n elementos cualesquiera α 1,..., α n G, existe un único homomorfismo de grupos f : Z n G tal que f(u i ) = α i para todo i = 1,..., n. DEMOSTRACIÓN: Dado a Z n, sabemos que a se escribe de forma única como a = m 1 u m n u n. Definimos entonces f(a) = m 1 α 1 + +m n α n. Esta es una aplicación bien definida (puesto que la escritura de cada a Z n es única), y es muy sencillo demostrar que se trata de un homomorfismo. Además f(u i ) = α i para todo i = 1,..., n. Para ver la unicidad, consideremos un homomorfismo g que cumple las propiedades del enunciado. Dado a = m 1 u 1 + +m n u n, al ser g un homomorfismo de grupos tendremos g(a) = m 1 g(u 1 )+ + m n g(u n ) = m 1 α m n α n, luego g es precisamente f. Teorema Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un cociente de Z n. DEMOSTRACIÓN: Si G = α 1,..., α n, tomamos f : Z n G tal que f(e i ) = α i para i = 1,..., n. Observemos que f es sobreyectiva porque α 1,..., α n = G. Por tanto, por el primer teorema de isomorfía: Z n / ker(f) = im(f) = G. El teorema anterior nos dice que estudiar los grupos abelianos finitamente generados es equivalente a estudiar los grupos cocientes de la forma Z n /H. Teorema Todo subgrupo de Z n está finitamente generado. Es más, admite un sistema de generadores con a lo sumo n elementos. 3

4 DEMOSTRACIÓN: Sea H Z n. Es bien conocido que si n = 1 entonces H = m para un cierto entero m, por tanto el resultado es cierto para n = 1. Supongamos que n > 1 y que el resultado es cierto para n 1. Sea π 1 : Z n Z la proyección sobre la primera coordenada, esto es, π 1 (a 1,..., a n ) = a 1 para todo (a 1,..., a n ) Z n. Observemos que π 1 (H) Z. En efecto, dados a, b π 1 (H) existen (a, a 2,..., a n ), (b, b 2,..., b n ) H, luego (a b, a 2 b 2,..., a n b n ) H y por tanto a b π 1 (H). Tenemos entonces π 1 (H) = a para un cierto a Z. Es decir, la primera coordenada de todo elemento de H es un múltiplo de a. Además, debe existir algún elemento u = (a, a 2,..., a n ) H, cuya primera coordenada sea a. Observemos que ker(π 1 ) = {(, a 2,..., a n ) Z n } es claramente isomorfo a Z n 1. Por tanto H ker(π 1 ), que es un subgrupo de ker(π 1 ), es isomorfo a un subgrupo de Z n 1. Pero entonces, por hipótesis de inducción tenemos H ker(π 1 ) = u 1,..., u r, con r n 1. Ya sólo queda observar que H = u, u 1,..., u r, ya que dado u = (m a, c 2,..., c n ) H, tenemos u mu H ker(π 1 ) = u 1,..., u r, luego u u, u 1,..., u r. Observemos además que el número de elementos en este sistema de generadores es r + 1 n, como queríamos demostrar Forma normal de Smith Sea H Z n. Acabamos de demostrar que podemos escribir H = a 1,..., a s, donde a i = (a 1i,..., a ni ). Estudiaremos H y Z n /H usando la matriz A = cuyas columnas son estos generadores de H. a 11 a 1s.. a n1 a ns Haremos transformaciones elementales por filas y columnas para simplificar A, y así conocer la estructura de Z n /H. Para ello debemos interpretar qué implica hacer una transformación elemental por filas o por columnas. Transformaciones elementales por columnas. Una transformación elemental por columnas de una matriz A consiste en una de las siguientes acciones: 1. Intercambiar dos columnas. 2. Cambiar una columna de signo. 3. Sumar a una columna un múltiplo (entero) de otra. Hay dos observaciones importantes que hacer: La primera es que al aplicar una transformación elemental por columnas a la matriz A (cuyas columnas son unos generadores de H), simplemente estamos cambiando el sistema de generadores de H. La segunda observación es que aplicar una transformación elemental por columnas equivale a multiplicar la matriz A, por la derecha, por una matriz elemental E i,j, E i ( 1) o E i,j (m) (de tamaño s s). Por tanto, al aplicar varias transformaciones elementales por columnas seguidas estamos multiplicando la matriz A, por la derecha, por una matriz con determinante ±1. Transformaciones elementales por filas. Una transformación elemental por filas de una matriz A consiste en una de las siguientes acciones: 4

5 1. Intercambiar dos filas. 2. Cambiar una fila de signo. 3. Sumar a una fila un múltiplo (entero) de otra. En este caso, observemos que aplicar una transformación elemental por filas equivale a aplicar una transformación elemental a la base de Z n, es decir, se trata simplemente de un cambio de base. Además, aplicar una transformación elemental por filas equivale a multiplicar la matriz A, por la izquierda, por una matriz elemental E i,j, E i ( 1) o E i,j (m) (de tamaño n n). Por tanto, al aplicar varias transformaciones elementales por filas seguidas estamos multiplicando la matriz A, por la izquierda, por una matriz con determinante ±1. Por tanto, para estudiar H y Z n /H, podemos transformar la matriz A, por filas y columnas, para simplificarla lo máximo posible. El resultado será una matriz cuyas columnas son un sistema de generadores de H, escrito respecto de una cierta base de Z n. Veamos cuánto se puede simplificar la matriz A. Teorema 1.13 (Forma normal de Smith). Sea A una matriz n s de enteros. Existe una única matriz n s de enteros S, de la forma d S = d r.... donde d 1,..., d r > y d i d i+1 para todo i = 1,..., r 1, tal que S se obtiene de A mediante transformaciones elementales de filas y columnas. DEMOSTRACIÓN: Veamos primero la existencia, dando un procedimiento para calcular S. Tomemos A. Permutando filas y columnas colocamos en la posición (1, 1) el elemento no nulo de menor valor absoluto, digamos m. Podemos considerar que m >, ya que si fuera m < cambiamos de signo su columna. Si un elemento a 1j de la primera fila no es un múltiplo de m, sabemos que a 1j = qm + m, con < m < m. Restando a la columna j, q veces la columna 1, obtenemos m en la posición (1, j). Permutando entonces las columnas 1 y j, obtenemos m < m en la posición (1, 1). Análogamente, si algún elemento de la primera columna no es múltiplo del de la posición (1, 1), podemos disminuir el elemento de la posición (1, 1) mediante transformaciones elementales por filas. Como este proceso debe parar (m no puede disminuir indefinidamente), en algún momento tendremos un elemento m en la posición (1, 1) que divide a todos los de su fila y columna. Entonces, haciendo transformaciones de tipo 3, se obtiene una matriz m. M Ahora, si un elemento en la posición (i, j) no es múltiplo de m, podemos sumarle a la fila 1 la fila i. Obtendremos un elemento en la primera fila que no es múltiplo de m, y podremos reducir m como antes. 5

6 Repetimos el proceso hasta que m no se pueda disminuir más, y obtendremos una matriz de la forma: d 1. M con d 1 dividiendo a todo elemento de M. Si tuviéramos s = 1 (una sola columna), ya habríamos terminado. Si s > 1, por inducción en s podemos aplicar transformaciones por filas y columnas, cambiando M, hasta obtener d d s.... con d 1, d 2,..., d r > y d 2 d 3 d r. Queda probar que d 1 d 2. Pero d 1 dividía a todo elemento de M, y esta propiedad se preserva al aplicar transformaciones elementales a M, por tanto d 1 d 2, y hemos probado la existencia de S. Veamos la unicidad. En primer lugar, el número r es precisamente el rango de A (porque las transformaciones elementales no varían el rango), luego r está determinado por la matriz original. Veamos que para todo i = 1,..., r, se tiene: i (A) = mcd ({menores de orden i de A}) = d 1 d i, y por tanto d 1,..., d r también estarán determinados por A. Para ello basta observar que una transformación elemental preserva el mcd de los menores de orden i de una matriz, y por tanto i (A) = i (S). Es fácil ver que i (S) = d 1 d i, y esto termina la demostración. Corolario Dado H Z n, existe una base B = {u 1,..., u n } de Z n y unos enteros positivos d 1 d 2 d r, tales que H = d 1 u 1, d 2 u 2,..., d r u r. DEMOSTRACIÓN: Basta transformar la matriz H en su forma normal de Smith, e interpretar el resultado. Una observación importante: Si al transformar la matriz A en su forma de Smith S, vamos aplicando las mismas transformaciones por filas a la matriz I n n, y las mismas transformaciones por columnas a la matriz I s s, obtendremos dos matrices P y Q, con determinante ±1, tales que P AQ = S Estas matrices P y Q son invertibles como matrices de enteros. Es decir, existe P 1 GL n (Z) y existe Q 1 GL s (Z). Es más, por construcción, las columnas de P 1 forman precisamente la base B = {u 1,..., u n } descrita en el corolario anterior, y las columnas de AQ son los generadores de H respecto de la base original. 6

7 Es interesante observar que para conocer las primeras r columnas de P 1 no es necesario calcular la inversa de P. Basta con darse cuenta de que las primeras r columnas de AQ son precisamente d 1 u 1,..., d r u r, luego podemos calcular cada u i simplemente dividiendo por d i la columna i de AQ, para i = 1,..., r. Proposición En las condiciones anteriores, DEMOSTRACIÓN: Consideremos Z n /H = Z/Zd 1 Z/Zd 2 Z/Zd r Z n r n r f : Z n {}}{ Z/Zd 1 Z/Zd r Z Z (m 1,..., m n ) B (m 1,..., m r, m r+1,..., m n ) La aplicación f está claramente bien definida, y es un homomorfismo de grupos sobreyectivo. Además { mi = k f((m 1,..., m n ) B ) = (,...,,,..., ) i d i i = 1,..., r m i = i = r + 1,..., n Es decir, ker(f) = {(k 1 d 1,..., k r d r,,..., ) B ; k 1,..., k r Z} = (d 1,,..., ) B, (, d 2,,..., ) B,..., (,...,, d r,,..., ) B = d 1 u 1, d 2 u 2,..., d r u r = H. Y por el primer teorema de isomorfía: Z n /H = Z n / ker(f) = im(f) = Z/Zd 1 Z/Zd r Z n r Teorema 1.16 (de estructura de los grupos abelianos finitamente generados). Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un único grupo de la forma con 1 < d t d t+1 d r. Z/Zd t Z/Zd t+1 Z/Zd r Z n r DEMOSTRACIÓN: Sabemos que todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a Z n /H para algún H Z n. Ahora basta aplicar el resultado anterior, y observar que si algún d i = 1 (necesariamente estos d i, si existen, serán los primeros) entonces Z/Zd i = Z/Z = {}. La unicidad proviene de la unicidad de la forma normal de Smith. La escritura de un grupo abeliano finitamente generado G como en el teorema de estructura, se llama descomposición canónica de G como producto directo de grupos cíclicos, y los enteros d 1,..., d r se llaman factores invariantes. Terminaremos este tema con un último resultado sobre los subgrupos de Z n. Ya hemos visto que pueden ser generados con a lo sumo n elementos. Pero además podemos dar una propiedad mucho más fuerte: Todo subgrupo de un grupo libre es libre. Demostraremos esta propiedad sólo para los grupos libres finitamente generados, usando la forma normal de Smith: Teorema Todo subgrupo de Z n es isomorfo a Z r para algún r n. [Trabajo personal: demostrarlo]. 7

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