Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas

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1 1. Verificar las identidades siguientes: 1) P (3, 3), Q( 1, 3), R(4, 0) Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 2) O( 10, 2), P ( 6, 3), Q( 5, 1) 2. Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles. 1) A(2, 5), B( 8, 1), C(10, 7) 2) A( 3, 4), B( 8, 5), C( 6, 2) 3. Demostrar que los puntos dados forman un triángulo rectángulo y hallar su área. 1) (0, 9), ( 4, 1), (3, 2) 2) (3, 2), ( 2, 3), (0, 4) 4. Demostrar que los puntos dados son colineales 1) (0, 6), (2, 7), ( 2, 3) 2) (3, 7), ( 3, 5), (0, 1) 5. Hallar las coordenadas del punto que equidista de los tres puntos dados. 1) A(1, 2), B(5, 0), C(3, 6) 2) A(2, 1), B(3, 1), C(6, 1) 6. Hallar. 1) Encontrar k para que los puntos (1, 1),( 1, 1) y (0, k) tengan la misma distancia. 2) Encuentre k tal que el punto (1, k) sea colineal con (7, 1) y (4, 1).

2 Laboratorio #2 Pendientes y Razones de Cambio 1. Hallar la pendiente de inclinación de la recta que pasa por los puntos dados. 1) (2, 3), (1, 0) 2) (1, 1), ( 4, 3) 2. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos dados. 1) (3, 5), (1, 4), (1, 1) 2) (6, 1), (2, 0), (4, 5) 3. Resuelve los siguientes problemas. 1) Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo son (3, 2), ( 1, 2) y (5, 4). Hallar las coordenadas de sus vertices. 2) Hallar la pendiente de la recta forma un ángulo de 45 con la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (5, 3). 3) La pendiente de una recta que pasa por el punto A(3,2) es igual a 3 4. Situar dos puntos sobre la recta que disten 5 unidades del punto A. 4) La recta l 1 pasa por los puntos(3, 2) y ( 2, 1) y otra recta l 2 que pasa por el punto ( 8, 10) y A cuya abscisa es 1. Encontrar la ordenada del punto A sabiendo que l 1 y l 2 son perpendiculares 5) Tres de los vertices de un paralelogramo son ( 1, 4), (1, 1) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto vertice es de 6. Cual es la abscisa? 6) Demostrar que los cuatro puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9), (6, 5) son los vertices de un rombo y que sus diagonales son prependiculares. 4. Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento determinado por P 1 y P 2 en la razón r = P1P P 2P. 1) P 1 ( 5, 2)P 2 (1, 4); r = 3 5

3 Laboratorio #3 Gráficas de Ecuaciones 1. Estudiando las intersecciones con los ejes coordenados, simetrias, extensiones y asíntotas, trazar la gráfica de la ecuación dada. 1) x 2 2x + y 3 = 0 2) 4x 2 9y = 0 3) x 2 + y 2 + 2x 3y + 1 = 0 4) 3xy 6 + x 2 3xy + y = 0 5) y(x + 2)(x 4) 8 = 0 6) xy 3y x = 0 2. En el mismo sistema de coordenadas trazar la gráfica de las ecuaciones dadas. Resolver el sistema algebraicamente. 1) 2x 2 + y 2 = 6; x 2 y 2 4 = 0 2) x 2 4y = 0; x 2 y + 4y 8 = 0

4 Laboratorio #4 Lugares Geométricos 1. Hallar la ecuación del lugar geometrico de los puntos, P(x,y) tales que: 1) Su distancia al punto (3, 2) es igual a la mitad de su distancia al punto ( 1, 3.) 2) La diferencia de sus distancias a los puntos fijos (3, 2) y ( 5, 2) es igual a 6. 3) Encontrar la ecuacion del lugar geometrico de los puntos P (x, y) que equidistan de ( 7, 1) y (0, 2). 4) Equidiste de Y = 4 y de (1, 1). 2. Resuelve las siguiente problemas 1) Dados los puntos A( 2, 3) y B(3, 1). Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) de modo que la pendiente PA sea el recíproco de signo contrario de la pendiente P B. 2) Hallar el lugar geométrico tal que la suma de los cuadrados de la suma de las distancias entre el punto P (x, y) al punto (3, 5) y de P a ( 4, 2) es igual a 30. 3) Hallar P (x, y) tal que la diferencia de distancias de P a (2, 2) y ( 2, 2) es siempre igual a 5. 4) Hallar P (x, y) tal que la distancia de P a ( 4, 3) es siempre igual al doble de distancia de P (x, y) al eje X. 5) Hallar P (x, y) tal que el producto de la distancia a los ejes coordenados es siempre igual a 10.

5 1. Resuelve los siguientes problemas. Laboratorio #5 La Linea Recta 1) Hallar el valor k en la ecuación 2x + 3y + k = 0 de la forma que dicha recta determine con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área 27 unidades cuadradas. 2) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (1, 4) y su paralela a la recta 3x 2y = 40. 3) Halla el valor de k tal que kx + (2k 3)y = k 3 sea perpendicular a 4x 3y = 8. 4) Hallar el ángulo formado por las rectas 4x 9y + 11 = 0 y 3x + 2y 7 = 0. 5) Encuentre la ecuación de la recta l 1 que es perpendicular a la recta que pasa por (1, 1) y ( 3, 5), mientras que la recta l 1 pasa por ( 2, 3). 2. Para el triángulo cuyos vertices son los puntos A(2, 4), B(5, 7), C(6, 2). 1) Las ecuaciones de sus alturas. 2) Las ecuaciones de sus medianas. 3) Su área. 4) Demostrar que los puntos de intersección de las alturas, medianas y mediatrices son colineales. 3. Para el siguientre triángulo realizar las instrucciones anteriores (Ecuaciones de sus alturas y medianas. Área y demostrar que los puntos de intersección de las alturas medianas y mediatrices son colineales) 1) ( 6, 6) (1, 5) ( 1, 3).

6 Laboratorio #6 Familia de Rectas 1. Escribir la ecuacion de la familia de rectas que cumples la condicion dada. 1) La suma de las coordenadas al origen es 8 2) La suma de las coordenadas al origen sea 6 3) Tienen pendiente de π 4 4) De abscisa el origen es 7 5) El cocient de su ordenada sobre su abscisa es 4 2. Sin obtener el punto de interseccion de las rectas, resuelva los siguientes ejercicios. 1) Hallar la ecuacion de la perpendicular a la recta 4x+y = 1 que pase por el punto de interseccion a las rectas 2x 5y + 3 = 0 y x 3y = 7. 2) Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto de interseccion de las rectas x 3y + 1 = 0 y 2x + 5y 9 = 0 cuya distancia al origen es 2. 3) Hallar la ecuacion de la familia de rectas que pasa por la interseccion de x = 0 y 4x + 2y 5 = 0 y con pendiente igual a Resuelva los siguientes ejercicios. 1) Halle las longitudes de los lados del triangulos cuyos vertices son los puntos (-3,-4), (5,1) y (-2,6). 2) Encuentre la distancia de la recta 5x = 12y + 26 a los puntos (3,5), (-4,1) y (9,0). 3) Hallar la ecuacion del lugar geometrico de los puntos que equidistan de la recta 3x 4y 2 = 0 y el punto (-1,2).

7 Laboratorio #7 Circunferencia 1. Reducir la ecuacion dada a la forma ordinaria, determinar las coordenadas y el valor del radio de la circunferencia descrita por esta. 1) 2x 2 + 2y 2 + 6x 4y 8 = 0 2) 4x 2 + 4y 2 16x + 48y 40 = 0 3) 25x y x 20y 62 = 0 4) x 2 + y 2 + 6x + 4y = 0 2. Hallar la ecuacion de la circunferencia descrita por las ondiciones dadas. 1) Tiene su centro en (5,-2) y pasa por el punto (-1,5) 2) Pasa por el punto (5,9) y es tangente a la recta x + 2y 3 = 0 en el punto (1,1) 3) Pasa por los puntos (5,3), (6,2), (3,-1) 3. Resuelve los siguientes problemas: 1) Hallar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro en (-2,2) y pasa por las intersecciones de las circunferencias x 2 + y 2 + 3x 2y = 0 y x 2 + y 2 2x y 6 = 0 2) Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto (6,4) a la circunferencia x 2 + y 2 + 4x + 6y 19 = 0 3) Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia x 2 + y 2 4x + 2y 47 = 0 en el punto (6,5). Hallar su ecuacion. 4) Hallar la ecuacion de la tangente ala circunferencia x 2 + y 2 2x 6y 3 = 0 en el punto (-1,6)

8 Laboratorio #8 Transformacion de Coordenadas 1. Determinar las coordenadas del punto p cuando los ejes coordenados son transladados al nuevo origen O. 1) P(5,2) O (-3,-4) 2) P(π, 2π) O (0, π) 3) P(3 2, 2) O ( , 1 + 2) 2. Hallar la transformada de la ecuacion dada cuando los ejes coordenados son transladados al nuevo origen O indicado. 1) y 2 + 8x 6y + 25 = 0 ; O (-2,3) 2) x 2 + 2x + 3y + 7 = 0 ; O (-1,-2) 3) 4x 2 y 2 8x 10y = 25 ; O (1,-5) 4) 2y 2 + 3x 2 + 8y + 8 = 0 ; O (-2,1) 3. Encontrar el punto al cual debe transladarse el origen de modo que la ecuacion transformada no contenga terminos de primer grado. Traza la grafica correspondiente. 1) x 2 + 4y 2 8x 8y + 5 = 0 2) 2x 2 3xy y 2 + x 5y 3 = 0 3) 3x 2 + 2y 2 12x + 4y 100 = 0

9 Laboratorio #9 La Parábola 1. Reducir la ecuacion dada a la forma ordinaria de la ecuacion de la parabola. Hallar sus elementos y trazar el lugar geometrico correspondiente. 1) 4y 2 x 48y = 0 2) 4x 2 48y 20x = 71 3) x x 20y + 25 = 0 2. Hallar la ecuacion de la parabola que satisface las condiciones dadas. 1) Tiene su verticeen el origen, eje paralelo al eje Y y logitud del lado recto igual a 12. 2) Pasa por los puntos (-2,30), (0,14), (1,9) y su eje paraleloal eje Y. 3) V(3,2) P(3,4). 4) V(3,-4), el eje paralelo al eje x y pasa por (2,-5) 3. Resuelve los siguientes problemas: 1) Determinar los puntos de interseccion de la recta 6x y 2 = 0 y la parabola x 2 +4x y 5 = 0 2) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la parabola, y 2 2x + 2y + 3 = 0 que es perpendicular a la recta 2x + y + 7 = 0 3) Con referencia a la parabola x 2 + 2x 2 y = 0 encuentra los valores de K, para los cuales las rectas de la familia 3x + y = k cumplen con las condiciones requeridas: a) Cortan a la parabola en dos puntos diferentes b) Son tangentes a la parabola

10 Laboratorio #10 La Elipse 1. Reducir la ecuacion dada a la forma ordinarade la ecuacion de la elipse, hallar sus elementos y trazar la grafica correspondiente. 1) 27x 2 + y x 10y + 52 = 0 2) 9x 2 + 4y 2 8y = 32 3) 9x 2 + y 2 18x + 1 = 2y 2. Hallar la ecuacion de la elipse que satisface las condiciones dadas. 1) e = 1 6 5, V (3, 2 ), C(3, 1) 2) F (2 6, 6)C(0, 6) y pasa por (4, 33 5 ) 3) F 1 (0, 7), F 2 (0, 7), longitud del eje menor 3 4) Pasa por los puntos (2,1), (-1,3), (2,5), (5,3) y sus ejes son paralelos a los ejes coordenados. 3. Resuelve los siguientes problemas. 1) Halle la ecuacion de la parabola con vertice en el centro de la elipse 3x 2 +2y 2 +24x 32y+17 = 0, se abre hacia abajo y pasa por el punto (-2,0) 2) Halle la ecuacion de la recta tangente a la elipse 4x 2 +5y 2 = 8 que es paralela a la recta 2x y = 2. 3) Hallar los puntos de interseccion de la elipse x 2 + 4y 2 = 20 y la recta x + 2y = 6.

11 Laboratorio #11 La Hipérbola 1. Reducir la ecuacion a la segunda forma ordinaria de la ecuacion de la hiperbola, hallar sus elementos y trazar su grafica. 1) x 2 2y 2 4x 4y 14 = 0 2) 3x 2 2y x + 2y 14 = 0 3) 4x 2 9y 2 + 8x 54y 77 = 0 4) 16x 2 9y 2 64x 18y = 0 5) 4y 2 9x 2 + 8y 54y 81 = 0 2. Encuentre la ecuacion dela hiperbola que satisface las siguientes condiciones: 1) Vertices (1,7), (1,-3) y focos (1,9), (1,-5) 2) Vertices en (0,-3), (0,-3), distanciafocal igual a 7 3) Eje focal 8 y distancia focal 10 4) Eje no focal de una hiperbola mide 8 y las ecuaciones de las asintotas son y = ± 2 3 x 5) Determina la ecuacion reducida de una hiperbola sabiendo que un foco dista de los vertices de la hiperbola 50 y 2

12 Laboratorio #12 Ecuacion General de Segundo Grado 1. Hallar la transformada de la ecuacion dada cuando los ejescoordenado giran el angulo indicado. 1) x 2 + xy + y 2 = 1; θ = 45 2) 2x 2 + y 2 + 3xy + 2x + 2y = 2; θ = π 6 3) x y = 3; θ = π 3 4) 2x 2 24y + 9y 2 + 5x = 3; θ = sin 1 ( 3 5 ) 2. Mediante una rotacion de ejes coordenados transforme la ecuacion en otra que no contenga xy. 1) 2x 2 + 2y 2 + 2xy = 3 2) 3x 2 + y xy + 4y = 2 3) 2x 2 4xy + 5y 2 + 2x + 3y = 18 4) 3x 2 2xy + 3y x 6 2y + 2 = 0 3. Identificar el tipo de conica representado por la ecuacion dada. Reducir la ecuacion a su forma canonica y trazar la grafica correspondiente. 1) 4x 2 + 8y 2 3xy 9 = 0 2) 2x 2 + 2y 2 + x y x 16 2y + 12 = 0 3) 9x 2 + 6xy + y 2 + 3x y = 0 4) 8x 2 24xy + 15y 2 + 4y 4 = 0

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