Cinética de partículas: segunda ley de Newton

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1 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página 691 PÍTUL12 inética de patículas: segunda ley de Newton uando un automóvil se desplaza sobe el tamo cuvo de una pista de caeas, está sujeto a una componente de aceleación diigida hacia el cento de la cuvatua de su tayectoia. La fueza de gavedad y las otas fuezas extenas ejecidas sobe el automóvil deben considease tanto como las componentes de aceleación. Este capítulo estudiaá la elación ente la fueza, la masa y la aceleación.

2 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página INÉTI DE PRTÍULS: SEGUND LEY DE NEWTN 12.1 Intoducción 12.2 Segunda ley de movimiento de Newton 12.3 antidad de movimiento de una patícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal 12.4 Sistemas de unidades 12.5 Ecuaciones de movimiento 12.6 Euilibio dinámico 12.7 antidad de movimiento angula de una patícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento angula 12.8 Ecuaciones de movimiento en téminos de las componentes adial y tansvesal 12.9 Movimiento paa una fueza cental. onsevación de la cantidad de movimiento angula Ley de gavitación de Newton Tayectoia de una patícula bajo la acción de una fueza cental plicación en mecánica celeste Leyes de Keple del movimiento planetaio INTRDUIÓN La pimea y la tecea leyes de Newton del movimiento se empleaon de manea amplia en estática paa estudia cuepos en eposo y las fuezas ue actúan sobe ellos. Estas dos leyes también se utilizan en dinámica; en ealidad, son suficientes paa el estudio del movimiento de cuepos ue no tienen aceleación. Sin embago, cuando los cuepos están aceleados, esto es, cuando cambia la magnitud o la diección de su velocidad, es necesaio ecui a la segunda ley de movimiento de Newton paa elaciona el movimiento del cuepo con las fuezas ue actúan sobe él. En este capítulo se estudiaá la segunda ley de Newton y se aplicaá al análisis del movimiento de patículas. omo se establece en la sección 12.2, si la esultante de las fuezas ue actúan sobe una patícula no es ceo, ésta tendá una aceleación popocional a la magnitud de la esultante y en la diección de esta fueza esultante. demás, es posible utiliza el cociente ente las magnitudes de la fueza esultante y de la aceleación paa defini la masa de la patícula. En la sección 12.3, se define la cantidad de movimiento lineal de una patícula como el poducto L mv de la masa m y la velocidad v de la patícula, y se demuesta ue la segunda ley de Newton puede expesase en una foma altenativa ue elaciona la azón de cambio de la cantidad de movimiento lineal con la esultante de las fuezas, ue actúan sobe la patícula. La sección 12.4 subaya la necesidad de unidades consistentes en la solución de poblemas dinámicos y ofece un epaso del Sistema Intenacional de Unidades (unidades del SI) y el sistema de uso común en Estados Unidos. En las secciones 12.5 y 12.6 y en los poblemas esueltos ue siguen, se aplica la segunda ley de Newton a la solución de poblemas de ingenieía, utilizando componentes ectangulaes o componentes tangenciales y nomales de las fuezas y las aceleaciones implicadas. Hay ue ecoda ue en un cuepo eal, incluidos cuepos tan gandes como un automóvil, un cohete o un aeoplano, puede considease como patícula con el fin de analiza su movimiento mientas sea posible ignoa el efecto de una otación del cuepo alededo de su cento de masa. La segunda pate del capítulo se dedica a la solución de poblemas en téminos de las componentes adial y tansvesal, subayando de manea paticula el movimiento de la patícula bajo una fueza cental. La sección 12.7, la cantidad de movimiento angula H de la patícula alededo del punto se define como el momento alededo de de la cantidad de movimiento lineal de la patícula: H mv. Luego se deduce de la segunda ley de Newton ue la azón de cambio de la cantidad de movimiento angula H de la patícula es igual a la suma de los momentos alededo de de las fuezas ue actúan sobe esa patícula. La sección 12.9 tata el movimiento de una patícula bajo la acción de una fueza cental, esto es, sujeta a una fueza diigida hacia o alejándose de un punto fijo. Puesto ue una fueza de este tipo tiene momento ceo alededo de, se concluye ue se conseva la cantidad de movimiento angula de la patícula alededo de. Esta popiedad simplifica de manea consideable el análisis del movimiento de una patícula bajo una fueza cental; en la sección se aplica la solución de poblemas ue implican el movimiento obital de cuepos sometidos a atacción gavitacional. Las secciones de la a la son opcionales. Pesentan una discusión más amplia del movimiento obital y contienen vaios poblemas elacionados con mecánica celeste.

3 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página 693 L SEGUND LEY DE NEWTN SE PUEDE ENUNIR DE L MNER SIGUIENTE: La segunda ley de Newton se puede enuncia de la manea siguiente: Si la fueza esultante ue actúa sobe una patícula no es ceo, la patícula tendá una aceleación popocional a la magnitud de la esultante y en la diección de esta fueza esultante. La segunda ley de movimiento de Newton se compende mejo al imagina el siguiente expeimento: una patícula se somete a una fueza F, de diección constante y magnitud constante F 1. ajo la acción de esa fueza, se obseva ue la patícula se mueve en línea ecta y en la diección de la fueza (figua 12. la). l detemina la posición de la patícula en difeentes instantes, se encuenta ue su aceleación tiene una magnitud constante a 1. Si el expeimento se epite con fuezasf 2, F 3,..., o de difeente magnitud o diección (figua 12.1b y c), se descube ue cada vez ue la patícula se mueve en la diección de la fueza ue actúa sobe ella y ue las magnitudes a 1, a 2, a 3,...,de las aceleaciones son popocionales a las magnitudes F 1, F 2, F 3,...,de las fuezas coespondientes F 1 a1 F 2 a2 F 3 a3 p constante El valo constante ue se obtiene paa el cociente de las magnitudes de las fuezas y aceleaciones es caacteístico de la patícula ue se considea; se denomina la masa de la patícula y se denota mediante m. uando sobe una patícula de masa m actúa una fueza F, la fueza F y la aceleación a de la patícula deben satisface entonces la elación F ma (12.1) Segunda ley de movimiento de Newton a 1 F 1 (a) a 2 F 2 (b) a 3 F 3 (c) Figua Esta elación popociona una fomulación completa de la segunda ley de Newton; no sólo expesa ue la magnitud de F y a son popocionales, sino también (puesto ue m es un escala positivo) ue los vectoes F y a tienen la misma diección (figua 12.2). Debe advetise ue la ecuación (12.1) sigue cumpliéndose cuando F no es constante sino ue vaía con el tiempo de magnitud o diección. Las magnitudes de F y a pemanecen popocionales, y los dos vectoes tienen la misma diección en cualuie instante deteminado. Sin embago, en geneal, no son tangentes a la tayectoia de la patícula. uando una patícula se somete de manea simultánea a vaias fuezas, la ecuación (12.1) debe sustituise po a F = ma m Figua 12.2 F ma (12.2) donde F epesenta la sumatoia, o esultante, de todas las fuezas ue actúan sobe la patícula. Debe notase ue el sistema de ejes con especto al cual se detemina la aceleación a no es abitaio. Estos ejes deben tene una oientación constante con especto a las estellas, y es necesaio ue su oigen esté unido al Sol o se mueva con velocidad constante con especto al Sol. Un sistema de ejes de estas caacteísticas ecibe el nombe de sis- Más pecisamente al cento de masa del sistema sola.

4 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página inética de patículas: segunda ley de newton tema de efeencia newtoniano. Un sistema de ejes unido a la Tiea no constituye un sistema de efeencia newtoniano, ya ue la Tiea gia con especto a las estellas y está aceleada con especto al Sol. Sin embago, en la mayoía de las aplicaciones de ingenieía, la aceleación a puede deteminase con especto a los ejes unidos a la Tiea y las ecuaciones (12.1) y (12.2) se utilizan sin ningún eo apeciable. Po oto lado, estas ecuaciones no se cumplen si a epesenta una aceleación elativa medida con especto a ejes en movimiento, tales como los ejes unidos a un automóvil aceleado o a una pieza de mauinaia otatoia. Se obseva ue si la esultante F de las fuezas ue actúan sobe la patícula es ceo, se deduce de la ecuación (12.2) ue la aceleación a de la patícula también es ceo, Si la patícula se encuenta inicialmente en eposo (v 0 0) con especto al sistema de efeencia newtoniano utilizado, así se mantendá en eposo (v 0). Si en un pincipio se movía con una velocidad v 0, la patícula mantendá una velocidad constante v v 0 ; esto es, se moveá con velocidad constante vo en una línea ecta. Esto es el enunciado de la pimea ley de Newton (sección 2.10). De tal modo, la pimea ley de Newton constituye un caso paticula de la segunda ley y puede omitise de los pincipios fundamentales de la mecánica NTIDD DE MVIMIENT LINEL DE UN PRTÍUL. RZÓN DE MI DE L NTIDD DE MVI- MIENT LINEL Si se eemplaza la aceleación a po la deivada dv dt en la ecuación (12.2), se escibe dv F m dt o, ya ue la masa m de la patícula es constante, d F (mv) (12.3) dt Figua 12.3 m v mv El vecto mv se denomina como la cantidad de movimiento lineal, o simplemente cantidad de movimiento de la patícula. Tiene la misma diección ue la velocidad de la patícula, y su magnitud es igual al poducto de la masa m y la velocidad v de la patícula (figua 12.3). La ecuación (12.3) expesa ue la esultante de las fuezas ue actúan sobe la patícula es igual a la azón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de la patícula. En esta foma fue ue Newton enunció oiginalmente la segunda ley de movimiento. l denota po L la cantidad de movimiento lineal de la patícula, L mv (12.4) y po L su deivada con especto a t, es posible escibi la ecuación (12.3) en la foma altenativa F L (12.5) Puesto ue las estellas no están ealmente fijas, una definición más iguosa de sistema de efeencia newtoniano (denominado también sistema inecial) es uno especto al cual se cumple la ecuación (12.2).

5 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página 695 Debe notase ue la masa m de la patícula se supone constante en las ecuaciones (12.3) a (12.5). La ecuación (12.3) o (12.5) no debe entonces usase paa esolve poblemas ue impliuen el movimiento de cuepos, como cohetes, ue ganan o pieden masa. Los poblemas de ese tipo se consideaán en la sección Se despende de la ecuación (12.3) ue la azón de cambio de la cantidad de movimiento lineal mv es ceo cuando F 0. De tal modo, si la fueza esultante ue actúa sobe una patícula es ceo, la cantidad de movimiento lineal de la patícula pemanece constante, tanto en magnitud cono en diección. Éste es el pincipio de consevación de la cantidad de movimiento lineal paa una patícula, el cual puede econocese como un enunciado altenativo de la pimea ley de Newton (sección 2. 10) Sistemas de unidades SISTEMS DE UNIDDES l utiliza la ecuación fundamental F ma, las unidades de fueza, masa, longitud y tiempo no pueden elegise de manea abitaia. Si eso ocuiea, la magnitud de la fueza F ue se euiee paa popociona una aceleación a a la masa m no seía numéicamente igual al poducto ma; sólo seía popocional a este poducto. En consecuencia, se pueden elegi tes o cuato unidades de manea abitaia, peo se debe escoge la cuata unidad de manea ue se satisfaga la ecuación F ma. Se dice entonces ue las unidades foman un sistema de unidades cinéticas consistentes. Suelen utilizase dos sistemas de unidades cinéticas consistentes: el Sistema Intenacional de Unidades (unidades del 5.11) y unidades utilizadas comúnmente en Estados Unidos. mbos sistemas se estudiaon en detalle en la sección 1.3 y se desciben sólo de manea beve en esta sección. Sistema Intenacional de Unidades (unidades del SI). En este sistema, las unidades básicas son las de longitud, masa y tiempo, y se denominan espectivamente, el meto (m), el kilogamo (kg) y el segundo (s). Las tes se definen en foma abitaia (sección 1.3). La unidad de fueza es una unidad deivada. Se denomina Newton (N) y se define como la fueza ue poduce una aceleación de 1 m/s 2 a una masa de 1 kg (figua 12.4). De la ecuación (12.1) se descibe 1 N (1 kg)(1 m/s 2 ) 1 kg m/s 2 Se afima ue las unidades del SI foman un sistema absoluto de unidades. Lo anteio significa ue las tes unidades básicas elegidas son independientes de la ubicación donde se efectúan las mediciones. El meto, el idlogamo y el segundo pueden se utilizados en cualuie pate sobe la Tiea; incluso pueden se usados en oto planeta. Y siempe tendían el mismo significado. El peso W de un cuepo, o la fueza de gavedad ue se ejece sobe ese cuepo, al igual ue ota fueza, se expesaá en newtons. Puesto ue un cuepo sometido a su popio peso aduiee una aceleación igual a la aceleación de la gavedad g, se deduce de la segunda ley de Newton ue la magnitud W del peso de un cuepo de masa m es W mg (12.6) Po oto lado, las ecuaciones (12.3) y (12.5) se cumplen en mecánica elativista, en la cual se supone ue la masa ni de la patícula vaía con la velocidad de la misma. SI es la abeviatua de Système Intenational d Unités (en fancés). a = 1 m/s 2 m = 1 kg Fig 12.4 F = 1 N

6 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página inética de patículas: segunda ley de newton a = 9.81 m/s 2 Fig 12.5 a = 32.2 ft/s 2 Fig 12.6 a = 1 ft/s 2 m = 1 slug (= 1 lb s 2 /ft) m = 1 kg W = 9.81 N m = 1 lb F = 1 lb F = 1 lb l ecoda ue g 9.81 m/s 2, se encuenta ue el peso de un cuepo de masa 1 kg (figua 12.5) es W (1 kg)(9.81 m/s 2 ) 9.81 N Los múltiplos y submúltiplos de las unidades de longitud, masa y fueza se usan con fecuencia en la páctica de la ingenieía. Estos son, espectivamente, kilómeto (km) y el milímeto (mm); el megagamo (Mg) y el gamo (g); y el kilonewton (kn). Po definición, 1 km 1000 m 1 mm m 1 Mg 1000 kg 1 g kg 1 kn 1000 N La convesión de estas unidades a metos, kilogamos y newtons, espectivamente, se efectúa simplemente desplazando el punto decimal tes lugaes a la deecha o la izuieda. tas unidades apate de las de masa, longitud y tiempo pueden expesase en téminos de estas tes unidades básicas. Po ejemplo, la unidad de cantidad en movimiento lineal se obtiene al ecoda su definición y al escibi mv (kg)(m/s) kg m/s Unidades de uso común en Estados Unidos. La mayoía de los ingenieos estadounidenses siguen utilizando de foma común un sistema en el ue las unidades básicas son las de longitud, fueza y tiempo; estas unidades coesponden, espectivamente, al pie (ft), la liba (lb), y el segundo (s). El segundo es el mismo ue la unidad coespondiente del SI. El pie se define como m. La liba se define como el peso de un patón de platino, denominado liba estánda, ue se conseva en el National Institute of Standads and Technology, ceca de Washington, y cuya masa euivale a kg. Puesto ue el peso de un cuepo depende de la atacción gavítacional de la Tiea, la cual vaía con la ubicación, se especifica ue la liba estánda debe situase a nivel del ma y a una altua de 45 paa defini de manea adecuada una fueza de 1 lb. Es clao ue las unidades de uso común en Estados Unidos no foman un sistema de unidades absoluto. En vitud de su dependencia de la atacción gavitacional teeste, se señala ue foman un sistema gavitacional de unidades. En tanto ue la liba estánda sive también como la unidad de masa en tansacciones comeciales en Estados Unidos, no puede utilizase en cálculos de ingenieía, pues una unidad de ese tipo no seá consistente con las unidades básicas definidas en el páafo anteio. En ealidad, cuando actúa sobe ella una fueza de 1 lb, esto es, cuando se somete a su popio peso, la liba estánda ecibe la aceleación de la gavedad, g 32.2 ft/s 2 (figua 12.6) y no la aceleación unitaia ue euiee la ecuación (12.7). La unidad de masa consistente con el pie, la liba y el segundo es la masa, ue ecibe una aceleación de 1 ft/s 2 cuando se le aplica una fueza de 1 lb (figua 12.7). Esta unidad, llamada en ocasiones un slug, puede deducise de la ecuación F = ma después de sustitui 1 lb y 1 ft/s 2 en vez de F y a, espectivamente. Se escibe F ma 1 lb (1 slug)(1 ft/s 2 ) Fig 12.7 onocida también como tonelada mética.

7 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página 697 y se obtiene 1 lb 1 slug 1 lb s 2 /ft 1 ft/s Ecuaciones de movimiento 697 l compaa las figuas 12.6 y 12.7, se concluye ue el slug es una masa 32.2 veces mayo ue la masa de una liba estánda. El hecho de ue los cuepos se caacteicen en el sistema de unidades de uso común en Estados Unidos po su peso en libas más ue su masa en slugs, fue una conveniencia en el estudio de la estática, en la ue se tata pincipalmente con pesos y otas fuezas, y aa vez con masas. Sin embago, en el estudio de la cinética, la cual implica fuezas, masas y aceleaciones, seá necesaio de manea epetida expesa en slugs la masa m de un cuepo, cuyo peso W se ha indicado en libas. l ecoda la ecuación (12.6), se escibe W m (12.7) g donde g es la aceleación de la gavedad (g 32.2 ft/s 2 ). tas unidades apate de las de fueza, longitud y tiempo pueden expesase en téminos de estas tes unidades básicas. Po ejemplo, la unidad de cantidad de movimiento lineal puede obtenese utilizando la definición de cantidad de movimiento lineal paa escibi mv (lb s 2 /ft)(ft/s) lb s onvesión de un sistema de unidades a oto. Las convesiones de las unidades del sistema de uso común en Estados Unidos a las del Sistema Intenacional de Unidades, y vicevesa, se estudió en la sección 1.4. Hay ue ecoda ue los factoes de convesión ue se obtuvieon paa las unidades de longitud, fueza y masa, son, espectivamente, Longitud Fueza: Masa: 1 ft m 1 lb N 1 slug 1 lb s 2 /ft kg unue no puede utilizase como una unidad de masa consistente, la masa de una liba estánda es, po definición, 1 liba/masa kg Es posible utiliza esta constante paa detemina la masa en unidades del SI (kilogamos) de un cuepo ue se ha caacteizado po su peso en unidades de uso común en Estados Unidos (libas) EUINES DE MVIMIENT onsidéese una patícula de masa m sobe la ue actúan vaias fuezas. Se tiene de la sección 12.2 ue la segunda ley de Newton puede expesase mediante la ecuación F ma (12.2) F 2 = ma ue elaciona las fuezas ue actúan sobe la patícula y el vecto ma (figua 12.8). Sin embago, paa esolve los poblemas ue implican el movimiento de una patícula se encontaá más conveniente sustitui la ecuación (12.2) po ecuaciones euivalentes ue incluyen cantidades escalaes. F 1 m Figua 12.8 m

8 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página inética de patículas: segunda ley de newton omponentes ectangulaes. l descompone cada fueza F y la aceleación a en componentes ectangulaes, se escibe de lo ue se deduce (F x i F y j F z k) m(a x i a y j a z k) F x ma x F y ma y F z ma z (12.8) l ecoda de la sección ue las componentes de la aceleación son iguales a la segunda deivada de las coodenadas de la patícula, se tiene F x mẍ F y mÿ F z m z (12.8 ) onsidéese, como un ejemplo, el movimiento de un poyectil. Si se ignoa la esistencia del aie, la única fueza ue actúa sobe el poyectil después de ue éste se ha lanzado es su peso W Wj. En consecuencia las ecuaciones ue definen el movimiento del poyectil son mẍ 0 mÿ W m z 0 y las componentes de la aceleación del poyectil coesponden a W ẍ 0 ÿ g z 0 m donde g es 9.81 m/s 2 o 32.2 ft/s 2.. Las ecuaciones ue se obtienen se integan de manea independiente, como se muesta en la sección , paa obtene la velocidad y el desplazamiento del poyectil en cualuie instante. uando un poblema implica dos o más cuepos, las ecuaciones de movimiento deben escibise paa cada uno de ellos (véanse los poblemas esueltos 12.3 y 12.4). Se ecueda de las secciones 12.2 ue todas las aceleaciones deben medise con especto a un sistema de efeencia newtoniano. En la mayoía de las aplicaciones de ingenieía, es posible detemina las aceleaciones con especto a ejes unidos a la Tiea, aunue las aceleaciones elativas medidas con especto a ejes móviles, como los ejes unidos al cuepo aceleado, no pueden sustituise en luga de a en las ecuaciones de movimiento. omponentes tangencial y nomal. l descompone las fuezas y la aceleación de la patícula en componentes a lo lago de la tangente a la tayectoia (en la diección de movimiento) y la nomal (hacia el inteio n n ΣF n m ΣF t t = ma n m ma t t Figua 12.9 Fotogafía 12.1 uando viaja sobe la pate cuva de la pista, el tineo de caeas está sujeto a una componente nomal de la aceleación diigida hacia el cento de cuvatua de su tayectoia. de la tayectoia) (figua 12.9) y sustitui a la ecuación (12.2), se obtienen las dos ecuaciones escalaes F t ma t F n ma n (12.9) l sustitui a, y a,, de las ecuaciones (11.40), se tiene dv F t m F n m (12.9 ) dt Las ecuaciones ue se obtienen pueden esolvese paa dos incógnitas. v 2

9 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página EQUILIRI DINÁMI l volve a la ecuación (12.2) y taspone el miembo del lado deecho, se escibe la segunda ley de Newton en la foma altenativa F ma 0 (12.10) Euilibio dinámico 699 en la ue se expesa ue si se suma el vecto ma a las fuezas ue actúan sobe la patícula, se obtiene un sistema de vectoes euivalente a ceo (figua ). El vecto ma, de magnitud ma y de diección opuesta a la de la aceleación, se denomina vecto de inecia. De tal modo, es factible considea ue la patícula está en euilibio bajo la acción de las fuezas dadas y del vecto de inecia. Se afima ue la patícula está en euilibio dinámico, y el poblema ue se considea puede esolvese mediante los métodos ue se desaollaon antes en estática. En el caso de fuezas coplanaes, todos los vectoes ue se muestan en la figua 12.10, incluyendo al vecto de inecia, pueden tazase uno después del oto paa foma un polígono vectoial ceado. También es posible iguala a ceo la suma de los componentes de todos los vectoes en la figua 12.10, incluyendo de nuevo al vecto de inecia. En consecuencia, utilizando componentes ectangulaes, se escibe F 2 m F 1 ma Figua = 0 F x 0 F y 0 incluyendo el vecto de inecia (12.11) uando se usan las componentes tangencial y nomal, esulta más conveniente epesenta el vecto de inecia po medio de sus dos componentes ma t y ma n en el mismo dibujo (figua 12.11). La componente tangencial del vecto de inecia ofece una medida ue la esistencia de la patícula pesenta a un cambio en la velocidad, en tanto ue su componente nomal (también llamadafueza centífuga) epesenta la tendencia de la patícula a abandona su tayectoia cuva. Es necesaio adveti ue cualuiea de estas dos componentes pueden se ceo en condiciones especiales: 1) si la patícula pate del eposo, su velocidad inicial es ceo y la componente nomal del vecto de inecia es ceo en t 0; 2) si la patícula se mueve con velocidad constante a lo lago de su tayectoia, la componente tangencial del vecto de inecia es ceo y sólo es necesaio considea su componente nomal. Debido a ue mide la esistencia ue la patícula ofece cuando se tata de ponela en movimiento, o cuando se intenta cambia las condiciones de este mismo, los vectoes de inecia a menudo se denominan fuezas de inecia. Sin embago, las fuezas de inecia no son similaes a las ue se encuentan en estática, ue son fuezas de contacto o fuezas gavitacionales (pesos). Po consiguiente, muchas pesonas objetan el uso de la palaba Fueza cuando se efieen al vecto ma, o incluso evitan el concepto de euilibio dinámico. tos afiman ue las fuezas de inecia y las fuezas eales, como las gavitacionales, afectan nuestos sentidos en la misma foma y no es posible distinguilas po mediciones físicas. Un hombe ue viaja en un elevado ue se acelea hacia aiba puede senti ue su peso se ha incementado de manea epentina; y ninguna medida efectuada dento del elevado podía establece si éste en vedad está aceleado o si se ha incementado de manea epentina la fueza de atacción ejecida po la Tiea. Se ha llegado a las soluciones de los poblemas esueltos de este texto mediante la aplicación diecta de la segunda ley de Newton, como se ilusta en la figua 12.8 y 12.9, y no mediante el método de euilibio dinámico. n F 2 F 3 m ma t Figua t F 1 ma n = 0

10 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página 700 P lb PRLEM RESUELT 12.1 Un bloue de 200 lb descansa sobe un plano hoizontal. Detemine la magnitud de la fueza P ue se euiee paa da al bloue una aceleación de 10 ft/s 2 hacia la deecha. El coeficiente de ficción cinética ente el bloue y el plano es k SLUIÓN La masa del bloue es W 200 lb m 6.21 lb s 2 /ft g 32.2 ft/s 2 P 30 W = 200 lb N F = m = 6.21 lb s 2 /ft ma Se tiene ue F k N 0.25N y ue a 10 ft/s 2.. l expesa ue las fuezas ue actúan sobe el bloue son euivalentes al vecto ma, se escibe y F x ma: P cos N (6.21 lb s 2 /ft)(10 ft/s 2 ) P cos N 62.1 lb (1) x F y 0: N P sen lb 0 (2) l esolve (2) paa N y sustitui el esultado en (1), se obtiene N P sen lb P cos (P sen lb) 62.1 lb P 151 lb P kg PRLEM RESUELT 12.2 Un bloue de 80 kg descansa sobe un plano hoizontal. Detemine la magnitud de la fueza P eueida paa da al bloue una aceleación de 2.5 m/s 2 hacia la deecha. El coeficiente de ficción cinética ente el bloue y el plano es k SLUIÓN El peso del bloue es W mg (80 kg)(9.81 m/s 2 ) 785 N P 30 W = 785 N N F = m = 80 kg ma Se tiene ue F k N 0.25N y ue a 2.5 m/s 2. l expesa ue las fuezas ue actúan sobe el bloue son euivalentes al vecto ma, se escibe y F x ma: P cos N (80 kg)(2.5 m/s 2 ) P cos N 200 N (1) x F y 0: N P sen N 0 (2) l esolve (2) paa N y sustitui el esultado en (1), se obtiene N P sen N P cos (P sen N) 200 N P 535 N 700

11 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página kg D PRLEM RESUELT 12.3 Los dos bloues ue se muestan empiezan a movese a pati del eposo. El plano hoizontal y la polea no pesentan ficción y se supone ue la masa de la polea puede ignoase. Detemine la aceleación de cada bloue y la tensión de cada cueda. 300 kg SLUIÓN inemática. Se tiene ue si el bloue se mueve la distancia x hacia la deecha, el bloue desciende x 1 2 x l difeencia dos veces con especto a t, se tiene W inética. Se aplica sucesivamente la segunda ley de Newton al bloue, el bloue y la polea. N T 1 = m a m = 100 kg loue. a 1 2 a (1) l denota mediante T 1 la tensión en la cueda D, se escibe y F x m a : T 1 100a (2) loue. l obseva ue el peso del bloue es T 2 W = 2940 N = m = 300 kg m a W m g (300 kg)(9.81 m/s 2 ) 2940 N y al denota mediante T2 la tensión en la cueda, se escibe w F y m a : o, al sustitui a de (1) T 2 300a T 1 T 1 T 2 = 0 Polea T 2 300( 1 2 a ) T a (3) Puesto ue m se supone igual a ceo, se tiene w F y m a 0: T 2 2T 1 0 (4) l sustitui T 1 y T 2 de (2) y (3), espectivamente, en (4), se obtiene a 2(100a ) a 0 a 8.40 m/s 2 Mediante la sustitución del valo ue se obtuvo paa a en (1) y (2), se tiene a 1 2 a 1 2 (8.40 m/s 2 ) a 4.20 m/s 2 T 1 100a (100 kg)(8.40 m/s 2 ) T N Recodando (4), se escibe T 2 2T 1 T 2 2(840 N) T N Se tiene ue el valo ue se obtuvo paa T2 no es igual al peso del bloue. 701

12 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página PRLEM RESUELT 12.4 El bloue de 12 lb empieza a movese desde el eposo y desliza sobe la cuña de 30 lb, la cual está sobe una supeficie hoizontal. Si se ignoa la ficción, detemine a) la aceleación de la cuña, b) la aceleación del bloue elativa a la cuña. SLUIÓN a a inemática. Se examina pimeo la aceleación de la cuña y la aceleación del bloue. uña. Puesto ue la cuña está estingida a movese sobe la supeficie hoizontal, su aceleación a es hoizontal. Se supondá ue ésta apunta hacia la deecha. loue. La aceleación a del bloue puede expesase como la suma de la aceleación de y de la aceleación de elativa a. Se tiene 30 a a a N 1 30 W a / = m a donde a está diigida a lo lago de la supeficie inclinada de la cuña. inética. Se dibujan los diagamas del cuepo libe de la cuña y del bloue y se aplica la segunda ley de Newton. uña. Se denotan las fuezas ejecidas po el bloue y la supeficie hoizontal sobe la cuña mediante N 1 y N 2, espectivamente. y F x m a : N 1 sen 30 m a 0.5N 1 (W g)a (1) y 30 N 2 W N 1 x = y m a / x 30 m a loue. l utiliza los ejes de coodenadas ue se muestan y descompone a y sus componentes a y a, se escibe p F x m a x : W sen 30 m a cos 30 m a W sen 30 (W g)(a cos 30 a ) a a cos 30 g sin 30 (2) F y m a y : N 1 W cos 30 m a sen 30 N 1 W cos 30 (W g)a sen 30 (3) a. celeación de la cuña. Si se sustituye N 1 de la ecuación (1) en la ecuación (3), se tiene 2(W g)a W cos 30 (W g)a sen 30 l esolve paa a y sustitui los datos numéicos, se escibe W cos 30 (12 lb) cos 30 a g (32.2 ft/s 2 ) 2W W sin 30 2(30 lb) (12 lb) sin 30 b. celeación del bloue elativa a l sustitui el valo ue se obtuvo paa a en ecuaciones (2), se tiene a (5.07 ft/s 2 ) cos 30 (32.2 ft/s 2 ) sin 30 a 20.5 ft/s 2 a 20.5 ft/s 2 d30 702

13 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página 703 PRLEM RESUELT m m La plomada de un péndulo de 2 m descibe un aco de cículo en un plano vetical. Si la tensión de la cueda de estos puntos es cinco veces el peso de la plomada en la posición ue se indica, detemine la velocidad y la aceleación de la plomada en esa posición. SLUIÓN t n T = 2.5 mg W = mg 30 = ma t ma n El peso de la plomada es W mg; la tensión en la cueda coesponde consecuentemente a 2.5 mg. l ecoda ue a, apunta hacia 0 y suponiendo ue a, en la foma ue se muesta, se aplica la segunda ley de Newton y se obtiene o F t ma t : F n ma n : mg sin 30 ma t a t g sin m/s mg mg cos 30 ma n a n g m/s 2 Puesto ue a n v 2, se tiene v 2 a n (2 m)(16.03 m/s 2 ) a t 4.90 m/s 2 o a n m/s 2 PRLEM RESUELT 12.6 Detemine la apidez máxima de la cuva de una autopista de adio 400 ft ue tiene un ángulo de pealte 18 La apidez máxima de la cuva pealtada de una autopista es auella a la cual un automóvil debe viaja paa ue no exista fueza de ozamiento lateal en sus neumáticos. n y W = R = 18 SLUIÓN El automóvil se taslada en una tayectoia cicula hoizontal de adio p. La componente nomal a,, de la aceleación apunta hacia el cento de la tayectoia; su magnitud es a n v 2, donde v es la velocidad del automóvil en ft s La masa m del auto es W g, donde W es su peso. Puesto ue no se va a ejece fueza de ficción lateal sobe el automóvil, la eacción R del camino se pesenta pependicula al mismo. l aplica la segunda ley de Newton se escibe W x F y 0: R cos W 0 R (1) co s z F n ma n : R sin W g a n (2) = ma n = 18 l sustitui R de (1) en (2), y ecoda ue a n v 2, W sin W co s g v 2 v 2 g tan l sustitui 400 ft y 18 en esta ecuación, se obtiene v 2 (32.2 ft/s 2 )(400 ft) tan 18 v 64.7 ft/s v 44.1 mi/h 703

14 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página 704 RESLUIÓN DE PRLEMS EN FRM INDEPENDIENTE En los poblemas de esta sección, se aplicaá la segunda ley de movimiento de Newton, F ma, paa elaciona las fuezas ue actúan sobe una patícula con el movimiento de esta misma. 1. Escitua de las ecuaciones de movimiento. l aplica la segunda ley de Newton a los tipos de movimiento ue se estudian en esta lección, se encontaá más conveniente expesa los vectoes F y a en téminos de sus componentes ectangulaes o de sus componentes tangencial y nomal. a. uando se utilicen componentes ectangulaes, y ecodando de la sección las expesiones ue se obtuvieon paa a x, a y, y a z, se debe escibi F x mẍ F y mÿ F z m z b. uando se use las componentes tangencial y nomal, y ecodando de la sección las expesiones ue se obtuvieon paa a t y a n se debe escibi F t m d v F n m v dt 2. El dibujo de un diagama de un cuepo libe ue mueste las fuezas aplicadas y un diagama euivalente ue indiue al vecto ma o sus componentes popocionaá una epesentación gáfica de la segunda ley de Newton [poblemas esueltos 12.1 a 12.6]. Estos diagamas esultaán de gan ayuda cuando se esciban las ecuaciones de movimiento. Hay ue obseva ue cuando el poblema incluye dos o más cuepos, suele se mejo considea cada cuepo po sepaado. 3. plicación de la segunda ley de Newton. omo se obsevó en la sección 12.2, la aceleación utilizada en la ecuación F ma siempe debe se la aceleación absoluta de la patícula (es deci, es necesaio medila con especto a un sistema de efeencia newtoniano), demás, si se desconoce el sentido de la aceleación a o no es fácil deducilo, hay ue supone un sentido abitaio paa la misma (po lo geneal la diección positiva de un eje de coodenada) y deja ue la solución popocione después el sentido coecto. Po último, hay ue adveti cómo las soluciones de los poblemas esueltos 12.3 y 12.4 se dividieon en la pate cinemática y en la pate cínética, y cómo en el poblema esuelto 12.4 se usaon dos sistemas de ejes coodenados paa simplifica las ecuaciones de movimiento. 4. uando un poblema incluye ficción seca, hay ue cecioase de evisalas impotantes secciones de Estática [secciones 8.1 a 8.31 antes de tata de esolvelo. En paticula, se debe sabe cuándo ecui a cada una de las ecuaciones F s N y F k N. También se debe econoce ue si no se especifica el movimiento de un sistema, es necesaio supone pimeo un posible movimiento y luego veifica la validez de la suposición

15 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página Solución de poblemas ue implican movimiento elativo. uando el cuepo se mueve con especto al cuepo, como en el poblema esuelto 12.4, a menudo esulta conveniente expesa la aceleación de como a a a donde a es la aceleación de elativa a, esto es, la aceleación de según se obseva desde un sistema de efeencia unido a y en taslación. Si se obseva ue se mueve en línea ecta, a estaá diigida a lo lago de esa línea. Po oto lado, si se obseva ue se mueve en una tayectoia cicula, la aceleación elativa a debe descomponese en las componentes tangencial y nomal a esta tayectoia. 6. Po último, hay ue considea siempe las implicaciones de cualuie suposición ue se haga. Po consiguiente, en un poblema ue incluya dos cuedas, si supone ue la tensión en una de las cuedas es igual a su máximo valo pemisible, se debe veifica si algún oto eueimiento impuesto paa la ota cueda seá satisfecho en ese caso. Po ejemplo, la tensión T en esa cueda cumpliá la elación 0 T T máx? esto es, la cueda pemaneceá estiada y su tensión seá meno ue su valo máximo pemisible? 705

16 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página 706 Poblemas Figua P En Mate, la aceleación debida a la gavedad es de 3.75 m/s 2. Si oficialmente se ha designado la masa de una baa de plata como igual a 20 kg, detemine este peso en newtons en Mate El valo de la aceleación de la gavedad a cualuie latitud está dado po g ( sin 2 ) m/s 2, donde se ha tomado en cuenta el efecto de la otación de la Tiea junto con el hecho de ue ésta no es esféica. Si oficialmente se ha designado la masa de una baa de oo como igual a 2 kg, detemine con hasta cuato cifas significativas su masa en kilogamos y su peso en newtons a una latitud de a) 0 o, b) 45º, c) 60º Una báscula de esote y una báscula de bazo ue tienen bazos de palanca iguales se fijan al techo de un elevado, y se les cuelgan en la foma indicada pauetes idénticos. Si en el momento ue el elevado se mueve hacia abajo con aceleación de 2 ft/s 2 la báscula de esote indica una caga de 7 lb, detemine a) el peso de los pauetes, b) la caga indicada po la báscula de esote y la masa necesaia paa euiliba la báscula de bazo cuando el elevado asciende con aceleación de 2 ft/s Un satélite paa el sistema de posicionamiento global (GPS, po sus siglas en inglés) se encuenta en óbita cicula a 12,580 mi sobe la supeficie de la Tiea y completa una óbita cada 12 h. Si la magnitud de la cantidad de movimiento lineal del satélite es de lb?s y el adio de la Tiea es de 3960 mi, detemine a) la masa del satélite, b) el peso del satélite antes de se lanzado desde la Tiea El bloue de 40 lb inicia su movimiento desde el eposo desplazándose hacia aiba cuando se aplican fuezas constantes de 10 y 20 lb sobe las cuedas ue lo sostienen. Si se ignoan las masas de las poleas y el efecto de la ficción, detemine la velocidad del bloue después ue se ha movido 1.5 ft. 10 lb 20 lb Figua P lb 12.6 Un automovilista ue viaja a una velocidad de 108 km/h aplica los fenos de manea súbita y se detiene después de patina 75 m. Detemine a) el tiempo eueido paa ue el automóvil se detenga, b) el coeficiente de ficción ente las llantas y el pavimento Un automóvil de 1400 kg se conduce hacia abajo po una pendiente de 4 a una velocidad de 88 km/h cuando se aplican los fenos, lo ue ocasiona una fueza de fenado total de 7500 N aplicada sobe el automóvil. Detemine la distancia ecoida po el auto antes de detenese po completo En la pueba de fenado de un automóvil depotivo, su velocidad se educe de 70 mi/h a ceo en una distancia de 170 ft con esbalamiento inminente. Si el coeficiente de ficción cinética coesponde a 80 po ciento del coeficiente de ficción estática, detemine a) el coeficiente de ficción estática, b) la distancia de fenado paa la misma velocidad inicial si el automóvil patina. Ignoe la esistencia del aie y la esistencia al odamiento.

17 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página Un cohete a escala ue pesa 0.2 lb se lanza veticalmente desde el eposo en el tiempo t = 0 con un empuje constante de 2 lb duante un segundo y sin empuje en t > 1 s. Si se ignoa la esistencia y la educción de masa del cohete, detemine a) la altua máxima h ue alcanza, b) el tiempo necesaio paa llega a su altua máxima. Poblemas Un pauete de 40 kg se encuenta sobe un plano inclinado cuando se le aplica una fueza P. Detemine la magnitud de P si se euieen 4 s paa ue el pauete ecoa 10 m al ascende po el plano. Los coeficientes de ficción estática y cinética ente el pauete y el plano son, espectivamente, de 0.30 y h 30 P 20 Figua P12.9 Figua P Si la distancia de fenado de un automóvil a pati de 100 km/h es de 60 m sobe pavimento paejo, detemine dicha distancia a pati de 100 km/h cuando el automóvil a) asciende po una pendiente de 6º, b) va hacia abajo sobe un plano con 2 po ciento de inclinación Los dos bloues mostados en la figua se encuentan en eposo al pincipio. Si se ignoan las masas de las poleas y el efecto de ficción en éstas y ente los bloues y el plano inclinado, detemine a) la aceleación de cada bloue, b) la tensión en el cable. 10 kg 8 kg 30 Figua P12.12 y P Los dos bloues mostados en la figua se encuentan en eposo al pincipio. Si se ignoan las masas de las poleas y el efecto de la ficción en éstas, y suponiendo ue los componentes de ficción ente ambos bloues y la pendiente son s 0.25 y k 0.20, detemine a) la aceleación de cada bloue, b) la tensión en el cable. 55 mph 55,000 lb 44,000 lb Un ten ligeo consta de dos caos y viaja a 55 mi/h cuando se aplican los fenos en ambos caos. Si el cao pesa 55,000 lb y el cao 44,000 lb, y la fueza de fenado es de 7000 lb en cada cao, detemine a) la distancia ecoida po el ten antes de detenese, b) la fueza pesente en el acoplamiento ente los caos mientas el ten disminuye su velocidad. Figua P12.14

18 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página inética de patículas: segunda ley de newton Resuelva el poblema suponiendo ue los fenos del cao no funcionan El bloue pesa 80 lb y el bloue 16 lb. Los coeficientes de ficción ente todas las supeficies de contacto son s 0.20 y k Si P = 0, detemine a) la aceleación del bloue, b) la tensión en la cueda. P 25 Figua P12.16 y P El bloue pesa 80 lb y el bloue 16 lb. Los coeficientes de ficción ente todas las supeficies de contacto son s 0.20 y k Si P 10 lb y, detemine a) la aceleación del bloue, b) la tensión en la cueda kg 36 kg Las cajas y están en eposo sobe una banda tanspotadoa ue se encuenta inicialmente en eposo. La banda se empieza a move de manea epentina en diección ascendente de modo ue ocue deslizamiento ente la banda y las cajas. Si los coeficientes de ficción cinética ente la banda y las cajas son ( k ) 0.30 y ( k ) 0.32, detemine la aceleación inicial de cada caja. Figua P El sistema ue muesta la figua se encuenta inicialmente en eposo. Ignoe las masas de las poleas y el efecto de la ficción en las mismas, y detemine a) la aceleación de cada bloue, b) la tensión en cada cable ada uno de los sistemas ue muesta la figua está al pincipio en eposo. Ignoe la ficción del eje y las masas de las poleas, y detemine paa cada sistema a) la aceleación del bloue, b) la velocidad del bloue después de habese movido 5 ft, c) el tiempo necesaio paa ue el bloue alcance una velocidad de 10 ft/s. 20 lb 60 lb 20 lb Figua P lb 50 lb 1050 lb 100 lb 100 lb 1100 lb (1) (2) (3) Figua P12.20

19 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página El emolue de platafoma plana tanspota dos vigas de 3000 lb con la viga supeio aseguada po medio de un cable. Los coeficientes de ficción estática ente las dos vigas y ente la viga infeio y la platafoma del emolue son, espectivamente, de 0.25 y Si no hay desplazamiento de la caga, detemine a) la aceleación máxima del emolue y la tensión coespondiente en el cable, b) la desaceleación máxima del emolue. Poblemas El bloue de 10 kg está sostenido po el bloue de 40 kg, el cual se jala hacia aiba sobe un plano inclinado mediante una fueza constante de 500 N. Si se ignoa la ficción ente el bloue y la pendiente y el bloue no esbala sobe el bloue, detemine el valo mínimo pemisible del coeficiente de ficción estática ente los bloues. Figua P kg 500 N Un pauete está en eposo sobe una banda tanspotadoa ue en un pincipio se encuenta en eposo. La banda empieza a movese desplazándose hacia la deecha duante 1.5 s con aceleación constante de 3.2 m/s 2. Después la banda se mueve con desaceleación constante a 2 y se detiene luego de un desplazamiento total de 4.6 m. Si los coeficientes de ficción ente el pauete y la banda son s 0.35 y k 0.25, detemine a) la desaceleación a 2 de la banda, b) el desplazamiento del pauete elativo a la banda cuando ésta se detiene Paa tanspota una seie de bultos de tejas hasta un techo, un contatista utiliza un montacagas motoizado compuesto po una platafoma hoizontal ue se monta sobe los ieles instalados a los lados de una escalea. El montacagas empieza su movimiento desde el eposo; al pincipio se mueve con aceleación constante a 1 como indica la figua. Después se acelea a una tasa constante a 2 y se detiene en D, ceca de la pate supeio de la escalea. Si el coeficiente de ficción estática ente el bulto de tejas y la platafoma hoizontal es de 0.30, detemine la aceleación máxima pemisible a 1 y la desaceleación máxima pemisible a 2 si el bulto no esbala sobe la platafoma. 40 kg 30 Figua P12.22 Figua P12.23 D 5 m a m Figua P12.24

20 bee76985_ch12.xd 23/10/06 5:44 PM Página P inética de patículas: segunda ley de newton 1 m 20 Figua P12.25 Figua P Paa baja de un camión una pila de madea compimida, el conducto inclina pimeo la cama del vehículo y después acelea desde el eposo. Si los coeficientes de ficción ente la lámina de madea compimida del fondo y la cama son s 0.40 y k 0.30, detemine a) la aceleación mínima del camión ue povocaá el deslizamiento de la pila de madea, b) la aceleación del camión necesaia paa ue la esuina de la pila de madea llegue al extemo de la cama en 0.4 s Los populsoes de un baco de masa m pueden genea una fueza impulsoa F 0 ; cuando los motoes se invieten, se poduce una fueza de igual magnitud peo diección opuesta. Si el baco se está desplazando hacia delante a su velocidad máxima v 0 cuando los motoes se ponen en evesa, detemine la distancia ue ecoe el baco antes de detenese. Suponga ue la esistencia ficcionante del agua vaía diectamente con el cuadado de la velocidad Se aplica una fueza constante P al pistón y la vailla de masa total m paa ue se muevan en un cilindo lleno de aceite. onfome se mueve el pistón, el aceite es obligado a atavesa los oificios del pistón paa ejece sobe éste una fueza de magnitud kv en la diección opuesta al movimiento del pistón. Si el pistón pate del eposo en t = 0 y x = 0, mueste ue la ecuación elativa x, v y t es lineal en cada una de las vaiables, donde x es la distancia ecoida po el pistón y v la velocidad del mismo. l Un poyectil de 4 kg se dispaa veticalmente con velocidad inicial de 90 m/s, alcanza su altua máxima y cae al suelo. El aaste aeodinámico D tiene magnitud D = v 2, donde D y v se expesan en newtons y m/s, espectivamente. Si la diección del aaste siempe es opuesta a la de la velocidad, detemine a) la altua máxima de la tayectoia, b) la velocidad del poyectil cuando llega al suelo. Figua P12.29 x Un esote de constante k se une a un sopote y a un collaín de masa m. La longitud nomal del esote es l. Si se suelta el collaín desde el eposo en x x 0 y se ignoa la ficción ente el collaín y la vailla hoizontal, detemine la magnitud de la velocidad del collaín cuando pasa po el punto El sistema de tes bloues de 10 kg se sostiene en un plano vetical y está inicialmente en eposo. Ignoando las masas de las poleas y el efecto de la ficción sobe éstas, detemine a) el cambio en posición del bloue después de 0.5 s, b) la tensión en el cable. 10 kg 10 kg Figua P kg 30 Figua P Los coeficientes de ficción ente el bloue y el bloue son s 0.12 y k 0.10, y ente el bloue y el plano inclinado son s 0.24 y k El bloue tiene masa de 10 kg y el bloue de 5 kg. Si el sistema se libea desde el eposo en la posición indicada, detemine a) la aceleación de, b) la velocidad de elativa a en t = 0.5 s.

+ + h. 8 v A. = = 2026 m s 1 3 1,3 10 6 m

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