Representación de datos y aritmética básica en sistemas digitales

Transcripción

1 Representación de datos y aritmética básica en sistemas digitales DIGITAL II - ECA Departamento de Sistemas e Informática Escuela de Ingeniería Electrónica Rosa Corti 1

2 Sistemas de Numeración: Alfabeto: Símbolos utilizados Base: Cantidad de símbolos del alfabeto Sistemas Posicionales: La posición del dígito en la tira de símbolos da un peso a su valor 2

3 Sistemas de Numeración: Sistema binario {0,1} Sistema octal {0,1,2,3,4,5,6,7} Sistema hexadecimal { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} 3

4 Representación decimal: Código BCD Dígito decimal Dígito decimal codificado en binario

5 Representación y operaciones básicas con enteros. 5

6 Representación de enteros Magnitud y signo Utilizada en la vida diaria Complementos Complemento a la base Complemento a la base menos 1 6

7 Complemento a la base menos 1 Dado un número N en base r con n dígitos, el complemento (r 1) de N se define como ( r n 1) N. Ejemplo en binario: N = (01101) 2 -N = (10010) 2 Ventaja: Implementación muy simple Inconveniente: Doble representación del cero Ejemplo en decimal: N = (31.479) 10 -N = (68.520) 10 7

8 Complemento a la base Dado un número N en base r con n dígitos, el complemento a r de N se define como r n N. Ejemplo en binario: Ejemplo en decimal: N = (01101) 2 -N = (10011) 2 N = (31.479) 10 -N = (68.521) 10 Es el complemento más utilizado en sistemas digitales 8

9 Representación del signo: Ejemplo en binario: N = (14) 10 = ( ) 2 -N = (- 14) 10 = ( ) 2 Utilizando complemento a 2. -N = (- 14) 10 = ( ) 2 Utilizando complemento a 1. Ejemplo en decimal: N = (+ 258) 10 = ( ) BCD -N = (- 258) 10 = ( ) BCD, en C 10. 9

10 Suma en C2 Caso 1: A > 0 y B > 0 S = A + B Resultado correcto Cout A Sumador Binario S B Cin Sistema decimal Sistema binario A B S = A + B

11 Suma en C2 Caso 2: A < 0 y B < 0 Resultado correcto S = (r n A) + ( r n B) = r n + r n ( A + B ) Sistema decimal Sistema binario A B S = A + B

12 Suma en C2 Caso 3: A < 0 y B > 0 y A < B Resultado correcto S = (r n A) + B = r n + ( B - A ) Sistema decimal Sistema binario A B S = A + B

13 Suma en C2 Caso 4: A > 0 y B < 0 y A < B Resultado correcto S = A + (r n B) = r n - ( B - A ) Sistema decimal Sistema binario A B S = A + B

14 Sumador binario en C2 A B Cout Σ Sumador Binario Cin S Cuando sumamos números positivos y negativos utilizando complemento a r, se obtendrá el resultado correcto siempre, si se ignora r n. 14

15 Sobreflujo (Overflow) El sobreflujo ocurre cuando al sumar dos números de n bits, el resultado ocupa n + 1bits. Es un problema de la representación ligado al tamaño finito de los registros del sistema En general se detecta y se informa. 15

16 Bibliotecas Unificadas: Sumador binario Se disponen en distinto tamaño: 4, 8, 16 bits Son encadenables Sumadores de mayor tamaño Números sin signo o C2 Interpretación de los operandos 16

17 Suma Binaria Suma BCD Valor decimal Suma BCD de dos dígitos Se puede obtener utilizando un sumador binario? K Z 8 Z 4 Z 2 Z 1 C S 8 S 4 S 2 S

18 Suma en BCD Ejemplo 1: S = A + B, dónde A = (+ 184) y B = (+ 576) Acarreo BCD Suma Binaria Signo Centena Decena Unidad Suma Decimal Corrección Suma BCD

19 Suma en BCD Ejemplo 2: S = A + B, dónde A = (- 184) y B = (- 576) Acarreo BCD Suma Binaria C 10 (A) = C 10 (B) = Signo Centena Decena Unidad Suma Decimal Corrección Suma BCD

20 Suma en C1 Caso 1: A > 0 y B > 0 A B S = A + B Resultado correcto Cout Sumador Binario Cin S Sistema decimal Sistema binario A B S = A + B

21 Suma en C1 Caso 2: A < 0 y B < 0 Resultado correcto S = (r n 1 A) + ( r n 1 B) = r n 1 + r n 1 ( A + B ) Sistema decimal Sistema binario A B S = A + B (- 20)

22 Suma en C1 Caso 3: A < 0 y B > 0 y A < B Resultado correcto S = (r n 1 A) + B = r n 1 + ( B A ) Sistema decimal Sistema binario A B S = A + B ( + 6)

23 Suma en C1 Caso 4: A > 0 y B < 0 y A < B Resultado correcto S = A + (r n 1 B) = r n 1 ( B A ) Sistema decimal Sistema binario A B S = A + B

24 Sumador binario en C1 A B Cout Σ Sumador Binario Cin S Cuando sumamos números positivos y negativos utilizando complemento a r 1, se obtendrá el resultado correcto siempre, si se suma r n al dígito menos significativo. 24

25 Resta binaria R = A - B R = A + (- B) Se complementa el sustraendo ( C2 ó C1) Se obtiene a partir del bloque sumador 25

26 Bibliotecas Unificadas: Sumador/Restador binario Se disponen en distinto tamaño: 4, 8, 16 bits Son encadenables Operandos de mayor tamaño Números sin signo o C2 Interpretación de los operandos 26

27 Multiplicación y división binarias Se obtienen a partir de la suma y resta binarias, realizando los corrimientos correspondientes. Se opera con los valores absolutos y se obtiene el signo del resultado a partir de los signos de los operandos. ALU Operaciones aritméticas Operaciones lógicas Corrimientos y rotaciones 27

28 Representación de números reales. 28

29 Representación de números reales Se considera la coma o punto, fijo en cierta posición. Representación de punto fijo Se almacena la posición que ocupa la coma o punto. Representación de punto flotante 29

30 Representación en punto fijo El punto en el extremo izquierdo El número es una fracción El punto en el extremo derecho El número es un entero 30

31 Representación en punto flotante Mantisa: Número de punto fijo con signo N = m x r e Exponente: Representa la posición del punto La mantisa y el exponente se representan físicamente 31

32 Normalización en punto flotante Un número con punto flotante está normalizado si el dígito más significativo de la mantisa es distinto de cero. Ejemplo: Mantisa fraccionaria (magnitud y signo 8 bits), exponente (C2, 6 bits) Nro. binario ,011 Número sin normalizar Número normalizado Mantisa Exponente Mantisa Exponente Bit de signo El punto está a la derecha del bit de signo 32

33 Representación computacional de datos. 33

34 Representación computacional de datos Enteros o en punto fijo Reales en punto flotante Decimales Caracteres Código ASCII 34

35 Representación computacional de enteros 8 Bits 16 Bits 32 Bits BYTE SBYTE WORD SWORD DWORD SDWORD 35

36 Conversión entre distintas longitudes Ejemplo: + 18 = (complemento a dos, 8 bits) = (complemento a dos, 16 bits). -18 = (complemento a dos, 8 bits) = (complemento a dos, 16 bits). Debe completarse el formato usando el bit de signo 36

37 Representación computacional de decimales BCD Empaquetado BCD Desempaquetado Modo Carácter Nº BCD Empaquetado BCD Desempaquetado Nº ASCII

38 Representación computacional en punto flotante Mantisa normalizada Representada en magnitud y signo Se asume que es fraccionaria Exponente sesgado Se suma un valor fijo para que sea siempre positivo La base se conoce y por lo tanto no se representa 38

39 Estándar 754 de IEEE para punto flotante Los distintos formatos del esquema tienen la misma estructura La mantisa se normaliza y no se representa el bit más significativo SIGNIFICANTE El significante es un número entre 1 y 2. 39

40 Estándar 754 de IEEE para punto flotante 40

41 Estándar 754 de IEEE para punto flotante 41

42 Estándar 754 de IEEE: Ejemplos 42

43 Estándar 754 de IEEE para punto flotante Los bits disponibles en cada formato de la norma se reparten entre significante y exponente Existe un compromiso entre rango representable y resolución. 43

44 Suma y resta en punto flotante Se siguen los siguientes pasos: Verificación de operandos nulos Alineación de significantes Suma o resta de significantes Normalización y redondeo del resultado 44

45 Suma y resta en punto flotante La suma y la resta obligan a realizar un alineamiento de significantes Los exponentes deben ser iguales Se pierden dígitos significativos Se desplaza el significante del número más chico Ejemplo en decimal: S = = , = 127,

46 Estándar 754 de IEEE: Bits de guarda Z = X Y = 1, , Sin bits de guarda: X = 1, x Y = 0, x 2 1 Z = 0, x 2 1 Con bits de guarda: X = 1, x Y = 0, x 2 1 Z = 0, x 2 1 Z = 1, x 2-22 Z = 1, x 2-23 Sirven para reducir los errores al operar 46

47 Estándar 754 de IEEE: Redondeo Redondeo a cero Trunca los bits de guarda Redondeo al más próximo Usada por defecto Redondeo hacia + Redondeo hacia - Se utilizan sólo si las necesidades de exactitud son muy altas 47

48 Multiplicación y división en punto flotante Se siguen los siguientes pasos: Verificación de operandos nulos Suma o resta de exponentes Multiplicación o división de significantes Normalización y redondeo del resultado 48

49 Caracterización de las representaciones. 49

50 Caracterización de los sistemas de representación Capacidad de representación: Cantidad de tiras de datos distintas que es posible representar en el sistema. Depende del número de símbolos del alfabeto y de la longitud de la tira con la que se representan los valores. 50

51 Caracterización de los sistemas de representación Capacidad de representación, ejemplos: Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits Número de representaciones posibles 2 6 = 64 Que ocurre con el valor anterior si la representación es: Punto fijo, se representan enteros positivos. Punto fijo fraccionaria pura > = 0. Punto flotante, mantisa entera en C2 de 3 bits, exponente positivo de 3 bits. 51

52 Caracterización de los sistemas de representación Rango: En sistemas de numéricos, es un entorno que queda definido por los valores mínimo y máximo que pueden representarse en la recta numérica. 52

53 Representación restringida a n bits: Parámetros Rango, ejemplos: Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits Números enteros >= 0 Números enteros, en C1 Mantisa fraccionaria pura >= 0 [0, 63] [- 31, +31] [0, ] Mantisa entera >= 0 (2 bits), exponente en C1 [0, 3*2 7 ] 53

54 Caracterización de los sistemas de representación Resolución: En sistemas de representación numéricos, se define a partir de los números consecutivos en la recta numérica. 54

55 Representación restringida a n bits: Parámetros Resolución, ejemplos: Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits Números enteros >= 0 (1) 2 Mantisa fraccionaria pura >= 0 ( ) 2 Mantisa entera >= 0 (2 bits), exponente en C1 R M = (1* 2 7 ) 2 R m = (1*2-7 ) 2 55

56 Conclusiones El número de símbolos del alfabeto y la longitud de la tira que se utiliza para representar los valores, son quienes determinan la capacidad de representación de un sistema. Representaciones numéricas restringidas a n dígitos El rango en punto flotante es más amplio que en punto fijo. 56

57 Conclusiones Los sistemas numéricos en punto flotante, tienen resolución variable a lo largo de la recta numérica. La distribución de los dígitos de la representación entre mantisa y exponente en un sistema en punto flotante constituye una solución de compromiso. 57

58 Conclusiones Los sistemas reales tienen recursos limitados Los requerimientos del diseño determinan las características de la representación más adecuada. La bondad del sistema de representación se evalúa en el contexto de la aplicación en la que se lo utiliza 58