Ingeniería Técnica Industrial, todas especialidades. Ingeniería Técnica Telecomunicaciones, Telemática Problemas de examenes

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1 Universidad Politécnica de Cartagena Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Métodos estadísticos de la ingeniería, Estadística Problemas de examenes: Métodos estadísticos de la ingeniería Ingeniería Técnica Industrial, todas especialidades Estadística Ingeniería Técnica Telecomunicaciones, Telemática Problemas de examenes

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3 Variables Aleatorias. 29 Universidad Politécnica de Cartagena Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Métodos estadísticos de la ingeniería, Estadística Problemas de examenes: Variables Aleatorias. Problema 1 Consideremos una variable aleatoria bidimensional (X, Y ) con función de densidad conjunta: k x (1 y f (X,Y ) (x, y) = 2 ) si 1 x 1 y si 0 < y < 1 0 en otro caso. a) Determinar el valor de la constante k para que f (X,Y ) (x, y) sea una función de densidad. b) Calcular la función de densidad marginal de X y de Y. Son X e Y independientes? c) Calcular la siguiente probabilidad condicionada Pr(0 < Y < 1 X 0.8). Problema 2 II.3. La longitud, en metros, de los radios que fabrica una máquina es una variable aleatoria X cuya función de densidad viene dada por 1/3 si 1/2 x < 2 kx si 2 x 6 Se pide: 1. Obtener el valor de la constante k. 2. Calcular la longitud media de los radios que fabrica dicha máquina. 3. Cuál es la probabilidad de que los radios midan menos de 3 metros? Problema 3 II.2- Consideramos un dado de tal manera que, con el experimento aleatorio tirar el dado, la función puntual de probabilidad de la variable aleatoria X = número obtenido, es a) Calcular el valor de k. b) Está el dado trucado? f X (x) = k 1 38 (x 3)2, para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 0 en otro caso. c) Represente gráficamente f X. Si tienes que apostar por un número, cuál elegirías? d) Se propone el juego siguiente: se apuesta 500 pts, se tira el dado y si sale par, se recupera la apuesta más 100 pts, mientras que si sale impar, se pierde la cantidad apostada. Merece la pena jugar?

4 30 Variables Aleatorias. Problema 4 II.1- Con objeto de establecer un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda semanal es una variable aleatoria X cuya función de densidad viene dada por: k(4x 2x 2 ) si 0 x 2 0 en otro caso donde x viene expresada en millones de unidades. Calcular: (a) El valor de la constante k. (b) La demanda esperada en una semana. (c) El coste de producir x millones de unidades viene dada por C = 5X + 40 unidades monetarias, cuál será el coste semanal esperado? (d) La probabilidad de que la demanda semanal supere el millón y medio de unidades. Problema 5 II.2.- La distribución de estudiantes de secundaria en una comunidad autónoma es la siguiente: sexo \ estudios Opción B Opción C Opción A Opción D alumnos 12% 8% 21% 9% alumnas 19% 9% 15% 7% (a) Cuál es la proporción de alumnas entre los estudiantes de secundaria? (b) Se escoge al azar un estudiante de secundaria en la comunidad y resulta ser alumna, Cuál es la probabilidad de que estudie la opción C?. (c) Introducimos las variables : X = sexo e Y = opción escogida. Determinar las distribuciones marginales de X y de Y. Son independientes las dos variables?. Problema 6 II.1.- La función de densidad de una variable aleatoria X, viene dada por la siguiente expresión: kx 0 < x < 6 f x (x) = 0 en caso contrario (a) Para qué valor de k es f x (x) una función de densidad?. Hallar E[X] (b) Calcular la función de densidad de la v. a. Y = 1/X,así como E[Y ]. II.2.- Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional discreta, cuya función puntual de probabilidad conjunta, viene dada por la tabla siguiente: X = 1 X = 0 X = 1 Y = 1 1/8 1/8 1/8 Y = 0 1/8 0 1/8 Y = 1 1/8 1/8 1/8

5 Variables Aleatorias. 31 (a) Hallar las funciones puntuales de probabilidad marginal de X y de Y. (b) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre X e Y. Se puede afirmar que son independientes?. Justifica la respuesta. (c) Determinar P (Y > 1/X > 1). Problema 7 1. Una determinada empresa química está interesada en comprar un dispositivo que mida la concentración de sosa en el producto y su PH. Los errores asociados a las mediciones de dicho dispositivo pueden ser consideradas como dos variables aleatorias X e Y (X = Error al medir la concentración de sosa e Y = Error en la determinación del PH ) cuya distribución conjunta viene dada por: k[1 + xy(x 2 y 2 si y [ 1, 1] )] si x [ 1, 1] f(x, y) = 0 en caso contrario (a) Calcular el valor de la constante k. (b) Calcular las distribuciones marginales de ambas variables. (c) Se pueden considerar independientes ambas variables? (d) Sabiendo que en un determinado producto el error que se comete al medir la concentración de sosa es inferior a 0.5, calcular la probabilidad de que el error cometido al medir su PH sea inferior a 0.5 (±0.5). Problema 8 II.2.- La función puntual de probabilidad de una variable aleatoria bidimensional discreta (X, Y ) viene dado por: Y 2 3 X 1 1/ /9 3 2/9 0 Obtener: (a) Las funciones puntuales de probabilidad marginal de la X y la Y. (b) Pr(X = 1/X + Y 4) y Pr(Y > 2/X > 1). (c) E(X) y V ar(x). Problema 9 1. Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución: 1 e x si x > 0 F (x) = 0 si x 0

6 32 Variables Aleatorias. (a) Calcular, la función de densidad asociada a dicha variable, su media y Pr(X > 2). (b) Consideremos una nueva variable aleatoria Y de manera que la función de densidad conjunta de ambas variables es: y e (x+y) si x > 0, y > 0 f X,Y (x, y) = 0 en otro caso. Indicar de forma razonada si se puede considerar que ambas variables son independientes. En cualquier caso, calcular Pr(Y < 1 X > 2). Problema 10 I.1.- Supóngase que X e Y son variables aleatorias para las que: E(X 2 ) = 5 V ar(x) = 4 V ar(x + Y ) = 10 Cov(X, Y ) = 2 (a) Calcular E(X) y V ar(y ). (b) Sea Z = 5X 3. Calcular E(Z) y V ar(z). Problema La resistencia de un tornillo en gr/mm 2 es una variable aleatoria con densidad: 1 kx 0 x 2 0 en otro caso (a) Determinar el valor de la constante k así como la resistencia esperada. (b) Calcular y representar su función de distribución. (c) Determinar la probabilidad de que un tornillo aguante más de 1.5 gr/mm 2 si para 1.0 gr/mm 2 aún resiste. Problema 12 II.2 El porcentaje de contaminante presente en una muestra de aire es una variable aleatoria con función de densidad dada por a + bx 2 0 < x < 1 0 en otro caso 1. Si E(X) = 3/5. Calcular el valor de a y b para que f sea función de densidad. 2. Calcular la probabilidad de que el porcentaje de contaminante en una muestra de aire sea superior a 0.6. Problema 13

7 Variables Aleatorias. 33 La resistencia de ciertos componentes eléctricos tiene una distribución de probabilidad desconocida de media 200 Ohmios y desviación típica 1 Ohmio. Un tipo de circuitos está formado por tres de estos componentes independientes, de manera que la resistencia del circuito viene dada por la suma de las resistencias de los componentes. a) Cuál sería la media y desviación típica de la resistencia del circuito? b) Se consideran válidos aquellos circuitos cuya resistencia se encuentre en el intervalo (590,610). Qué porcentaje máximo de circuitos defectuosos se fabrica? Problema 14 La función de densidad de la variable aleatoria bidimensional (X, Y ) viene dada por: kxy si 0 < x < y < 1 f(x, y) = a) Calcular el valor de k. b) Calcular la probabilidad P (X < 0.5 Y = 0.5). c) Son independientes X e Y? Razona tu respuesta. Problema 15 II.2 El tiempo de espera, en horas, entre corredores sucesivos detectados por un radar es una variable aleatoria con función de distribución: F (x) = 0 x 0 1 e x/8 x > 0 1. Calcular la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre corredores sucesivos. 2. Calcular la función de densidad. 3. Un canal de televisión local se conecta en directo cada vez que un corredor pasa por el puesto de control. Si el tiempo entre corredores sucesivos se rellena con publicidad y supone una ganancia para el canal de ptas el minuto. Cuál es la ganancia que espera el canal entre las llegadas de dos corredores sucesivos? Problema 16 II.1 Consideremos un dado que tiene dos caras con el número uno, dos caras con el número dos y dos caras con el número tres, de manera que, con el experimento aleatorio tirar el dado, la función puntual de probabilidad de la variable aleatoria X = Número obtenido, es k 1 f X (x) = (x 8 1)2, para x = 1, 2, 3 0, resto 1. Calcular el valor de k.

8 34 Variables Aleatorias. 2. Está el dado trucado? 3. Si tienes que apostar por un número, cuál elegirías? 4. Se propone el juego siguiente: se apuesta 3 euros, se tira el dado y si sale impar, se recupera la apuesta más 2 euros, mientras que si sale par, se pierde la cantidad apostada. Merece la pena jugar? Problema 17 II.2 El rendimiento de un sistema informático es una variable aleatoria X con función de densidad ax 2 + b si 0 < x < 2 1. Calcular el valor de las constantes a y b para que f(x) sea verdaderamente una función de densidad sabiendo que la P r(1/2 < X < 1) = Calcular el rendimiento esperado del sistema informático. Problema 18 II.2 Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por X kx si 0 < x < 2 Se pide: 1. El valor de la constante k para que f(x) sea una función de densidad. 2. La función de distribución de la variable aleatoria X. 3. El valor esperado de la variable aleatoria X. Problema 19 II.2 La producción de trigo por parte de una determinada región es una variable aleatoria X cuya función de densidad viene dada por k(x + 3)(2 x) si 0 < x < 2 donde x se expresa en miles de toneladas. Se pide: 1. El valor de la constante k. 2. La probabilidad de que la producción de trigo sea mayor de mil toneladas. 3. Si el beneficio B por cada mil toneladas producidas se obtiene como función de la cantidad producida: B = X, cuál será el beneficio esperado?