Cálculo I. Cálculo Diferencial por Competencias para Bachillerato. Segunda Edición. Autores:

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Cálculo I. Cálculo Diferencial por Competencias para Bachillerato. Segunda Edición. Autores:"

Transcripción

1

2

3 Cálculo I Cálculo Diferencial por Competencias para Bachillerato Segunda Edición Autores: Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Faustino Vizcarra Parra Revisión Técnica: Dr. Armando Flórez Arco

4

5 Cálculo I Cálculo Diferencial por Competencias para Bachillerato Segunda Edición

6 Cálculo I Cálculo Diferencial por Competencias para Bachillerato Tercer grado, primer semestre Fases especializadas: Físico-Matemáticas y Químico-Biológicas Primera Edición, Agosto 0. Segunda Edición, Junio 0. Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Faustino Vizcarra Parra Diseño portada: Carol Judith Zazueta Rivera Diseño de interior: Irán Sepúlveda León Carol Judith Zazueta Rivera Eva Margarita Moreno Chávez Revisión Técnica: Dr. Armando Flórez Arco Servicios Editoriales Once Ríos Río Usumacinta 8 Col. Industrial Bravo. C.P. 800 Culiacán, Sinaloa, Méico. Impreso en Méico Edición con fines académicos, no lucrativos 6

7 ÍNDICE GENERAL: Presentación... 9 Dedicatoria y agradecimientos... UNIDAD DE APRENDIZAJE I. FuNCIONES MATEMÁTICAS: MODELACIÓN, graficación Y VARIACIÓN.. Introducción Evaluación diagnóstica Funciones y modelación matemática..... Funciones algebraicas: Defi nición, análisis y grafi cación... 6 UNIDAD DE APRENDIZAJE II. LÍMITES, RAZONES DE CAMBIO Y CONCEPTO DE DERIVADA.. Introducción Variación, límites y continuidad de funciones Variación y razones promedio de cambio Qué es el Cálculo Diferencial? Variación y razones instantáneas de cambio Concepto y defi nición de derivada... UNIDAD DE APRENDIZAJE III. CÁLCuLO DE DERIVADAS MEDIANTE FÓRMuLAS Y TÉCNI- CAS DE DERIVACIÓN.. Introducción..... Reglas y fórmulas básicas de derivación..... Derivadas de orden superior. Derivada implícita Funciones trigonométricas directas e inversas Límites y derivadas de las funciones trigonométricas Funciones eponenciales y logarítmicas Derivada de las funciones eponenciales y logarítmicas... UNIDAD DE APRENDIZAJE IV. APLICACIONES DE LAS FuNCIONES Y LA DERIVADA.. Introducción Aplicaciones geométricas de la derivada Aplicaciones físicas de la derivada..... Aplicaciónes de la derivada al análisis y grafi cación de funciones Aplicación de las funciones y la derivada a la modelación y resolución de problemas de optimización Evaluación sumativa del curso Bibliografía de consulta para el estudiante y el profesor

8 8

9 PRESENTACIÓN (CURRICULAR Y DIDÁCTICA): La presente segunda edición de este teto, al igual que en la edición anterior, es un material didáctico de apoyo, para el estudiante y el maestro, para el proceso de enseñanza / aprendizaje de la asignatura de Cálculo I (Cálculo Diferencial de Una Variable) la cual se estudia en el quinto semestre del plan de estudio 009 del bachillerato de la universidad Autónoma de Sinaloa. En el estudio de la asignatura y el teto de Cálculo I, se presentan nuevos conocimientos y una forma específica de pensamiento matemático, en la que el estudiante se enfrenta a procesos dinámicos infinitos de aproimación relacionados con el paso al límite, y también, se profundizan, sistematizan e integran muchos de los contenidos estudiados anteriormente en los cursos de matemáticas. Por lo que esta asignatura, junto con el Cálculo II (Cálculo Integral), brinda posibilidades formativas ecepcionales para el desarrollo de las competencias disciplinares de matemáticas de este nivel educativo. En este sentido queda justificado en el bachillerato el aprendizaje y la enseñanza del Cálculo I. Considerando que el bachillerato universitario tiene carácter propedéutico, el contenido tratado en este teto es de nivel introductorio y elemental, y se desarrolla didácticamente de manera intuitiva e informal, enfatizando en aplicaciones sencillas. Así, pues, los autores hemos dejado, deliberadamente, para los niveles de licenciatura la formalización rigurosa, tan necesaria para la ciencia matemática pero difícil y carente de interés, en la mayoría de los casos, para los estudiantes de la preparatoria. En congruencia con el programa de estudio correspondiente el teto está elaborado para que se trabaje con un enfoque por competencias lo cual implica que deberá ser estudiado y enseñado (por el estudiante y el profesor respectivamente) con una metodología activa y refleiva a través del desarrollo de lecturas y actividades matemáticas individuales y colectivas. Esto en aras de que el alumno logre desarrollar, además de algunas competencias genéricas, un conjunto de competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas. Las cuales se concretizaran en la medida en que los estudiantes adquieran la capacidad de modelar e interpretar matemáticamente el entorno que los rodea, y desarrollen su creatividad, su pensamiento lógico y crítico. Así como, la habilidad para plantear y resolver problemas, y sus capacidades de estructurar y comunicar mejor sus ideas y razonamientos, y de argumentar sus procedimientos y resultados. Bajo estas concepciones del proceso de desarrollo de las competencias matemáticas, en el teto los contenidos de aprendizaje y enseñanza de Cálculo I están estructurados y secuenciados de lo sencillo a lo complejo en cuatro unidades de aprendizaje. Pero, en esta segunda edición del teto, retomando algunas eperiencias y observaciones hechas por algunos profesores y profesoras de esta asignatura, se ha reorganizado una parte del contenido presente en la edición anterior en la idea de hacerlo más didáctico y funcional. Sin embargo, aunque se redujo el teto en general, el contenido básico se mantiene, ya que es necesario para un desarrollo que dé cuenta de la naturaleza lógica y epistemológica de esta rama de las matemáticas superiores. 9

10 De esta manera en la primera unidad sobre las funciones, donde se aseguran las bases matemáticas del Cálculo Diferencial, se activan, sistematizan y profundizan los conocimientos que los alumnos han adquirido sobre los números reales y las funciones elementales. La atención se concentra en el dominio por parte del alumno de procedimientos algebraicos, de modelación, graficación y análisis de las funciones matemáticas. En particular, se presta atención al análisis y determinación de dominios, imágenes, ceros, polos, monotonías, asíntotas, simetrías, inversas y otras propiedades de las funciones que requieren la aplicación del razonamiento matemático y de las habilidades de cálculo algebraico. Las operaciones con funciones se trabajan como sistematización de algo que los alumnos conocen y se introduce una operación nueva: la composición de funciones. Sobre la base del concepto de variación funcional, y a través del análisis de las funciones algebraicas, en esta unidad se introducen intuitivamente dos nuevos conceptos básicos del cálculo, como son el de límite y continuidad de una función, los cuales se retomarán con más formalidad en la unidad. En la segunda unidad se estudian los límites, la continuidad, las razones de cambio y el concepto de derivada. La noción intuitiva de límite que se presenta es básicamente un concepto auiliar para introducir la derivación y, por tanto, lo fundamental es preparar a los alumnos para comprender el concepto de derivada de una función y deducir las reglas de derivación. Respecto al cálculo de límites, lo importante es que los alumnos calculen algunos límites de las funciones mediante aproimaciones y de manera directa cuando sea posible, esto facilitara continuar desarrollando las habilidades aritméticas y algebraicas de cálculo y fijar las propiedades fundamentales de las operaciones con límites. En lo que se refiere al concepto función continua, lo esencial es que los alumnos lo comprendan y lo reconozcan geométricamente, y puedan reconocer que algunas de las funciones elementales son continuas en todos los puntos donde están definidas y lo que esto implica para el cálculo de límites. El concepto derivada se relaciona con el concepto geométrico tangente para su interpretación geométrica, y con el concepto físico de velocidad instantánea para su interpretación física. Aquí es importante, para efecto de profundizar en la conceptualización, que se calculen derivadas de funciones sencillas a partir de la definición de derivada, así como de hallar ecuaciones de rectas tangentes y normales a una curva dada. En la tercera unidad se continua con el estudio de las funciones, en particular con las funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas, ya que son necesarias para completar el estudio de las reglas, formulas y técnicas básicas de derivación que son el objeto central de estudio de la unidad. Razón por la cual aquí se estudian los límites fundamentales: trigonométrico y algebraico. Al introducir el límite fundamental algebraico, se introduce el número e y se completa el estudio de las funciones elementales con la eponencial y la logarítmica de base e. Aquí hay que tener en cuenta que se trata de un curso introductorio de Cálculo Diferencial y, por esta razón, no se tratan de buscar teoremas fuertes, sino desarrollar las reglas y fórmulas básicas que se aplican en los cálculos usuales de derivación. Por esto es esencial que los alumnos dominen las reglas básicas de derivación y sean capaces de derivar las funciones algebraicas y trascendentes tratando de epresar el resultado en la forma más simplificada posible, lo que conduce a la realización de cálculos algebraicos que contribuyen al mantenimiento de habilidades matemáticas fundamentales. 0

11 El curso termina, en la cuarta unidad, con algunas aplicaciones de las funciones y sus derivadas. Como aplicaciones fundamentales de las derivadas, se determinan las ecuaciones de rectas tangente y normal a la grafica de una función, y también se abordan el análisis y la graficación de funciones mediante la determinación de sus valores etremos (máimos y mínimos) y de los intervalos donde estas son crecientes y decrecientes, además, desde la perspectiva o interpretación física, se calculan velocidades instantáneas o razones instantáneas de cambio, por último, se estudian aplicaciones a la solución de problemas de etremos y/o de optimización. Estas aplicaciones permiten, continuar profundizando en la conceptualización matemática y en el mantenimiento de las habilidades de cálculo con números reales, funciones, inecuaciones, ecuaciones, etc. Además, de permitir continuar desarrollando la competencia para plantear y resolver problemas y contribuir a que los alumnos comprendan cómo la matemática permite modelar y resolver diferentes problemas prácticos de la vida cotidiana, las ciencias y la ingeniería. Sin duda alguna, la importancia de esta unidad didáctica resulta evidente ya que con las aplicaciones del Cálculo Diferencial, el estudiante profundiza e integra funcionalmente sus conocimientos matemáticos previamente estudiados y, además, adquiere nuevos conocimientos, herramientas y habilidades para la formulación y resolución de problemas prácticos más complejos, lo que facilita y promueve el desarrollo de las competencias del área de matemáticas. En resumen: El estudio del Cálculo Diferencial es una gran oportunidad para que el alumno sistematice los estudios matemáticos elementales y continúe desarrollando las competencias disciplinares de matemáticas, a la vez que le abre la puerta de entrada para cursos superiores de matemáticas que les serán necesarios en su futura profesión. Para lograr lo anterior, el enfoque pedagógico-didáctico considerado como el más pertinente y congruente para el desarrollo de las competencias disciplinares básicas de la asignatura de Cálculo I, y del área de matemáticas en general, se fundamenta epistemológicamente en el paradigma constructivista, y psicopedagógicamente está centrado en el aprendizaje del estudiante, así como en su desarrollo personal y social. Esto en razón de que desde los enfoques constructivista y humanista, el estudiante es considerado como un sujeto activo y responsable de su propio aprendizaje y de su crecimiento personal, que logra aprendizajes significativos solo a través del desarrollo de actividades previamente motivadas por conflictos y/o problemáticas contetualizadas en sus entornos reales o perceptivos inmediatos. Estos requerimientos de formación y práctica docente muestran que el problema didáctico crucial para el desarrollo de las competencias matemáticas en el currículo actual del bachillerato, es cómo motivar y activar a los estudiantes para que desarrollen competencias que les posibiliten lograr aprendizajes profundos y de alta calidad. De donde, en aras de que los aprendizajes logrados en los estudiantes sean significativos y funcionales, y de disminuir los altos índices de reprobación, se hace necesario desarrollar la docencia con un nuevo enfoque didáctico congruente con un enfoque constructivista centrado en el aprendizaje individual y cooperativo del estudiante, donde el contenido de aprendizaje se estudie preferentemente contetualizado y con un enfoqué de resolución de problemas y de

12 análisis y autoevaluación constructiva de aciertos y errores. Es importante enfatizar que en la actividad de formular y resolver problemas se despliegan e integran las más variadas motivaciones y actividades características del quehacer matemático competente. Por esta razón el enfoque didáctico de este teto de Cálculo I está orientado a la formulación y resolución de problemas tanto en lo individual como grupal. Durante el proceso de desarrollo de las competencias matemáticas de Cálculo I, si bien es cierto que los aspectos operativos y algorítmicos del Cálculo son importantes, y por ende no deben dejarse de lado, también es cierto que los conceptos básicos subyacentes a tal operatividad deben ser construidos y comprendidos por los estudiantes si se quiere que desarrollen competencias para aplicarlos correctamente en otras disciplinas y en la misma matemática. Por tanto, el maestro desarrollará el curso mediante una metodología de enseñanza que equilibre los enfoques conceptuales, intuitivos, numéricos, algebraicos, variacionales y funcionales. Procurando que la formalización sea más frecuentemente un punto de llegada (cuando sea esta posible) y no de partida. Desde este marco de ideas didácticas generales, finalmente les deseamos respectivamente a los alumnos y profesores mucho éito en el aprendizaje y enseñanza del Cálculo Diferencial y esperamos que este libro les ayude en esta emocionante empresa académica. Teniendo siempre presente que el aprendizaje significativo se logra cuando la bibliografía se transforma en biografía, y que uno de los mejores caminos para lograrlo es la formulación y resolución de problemas matemáticos contetualizados. Estimables lectores, aunque este nuevo teto fue revisado con sumo cuidado en su escritura y edición, desgraciadamente siempre se presentan errores involuntarios, por lo cual les agradecemos de antemano que nos hagan llegar, a la Academia de Matemáticas de la dgepuas (o la dirección electrónica todos los errores que detecten al momento de su lectura, así como sus criticas y sugerencias para mejorarlo conjuntamente con ustedes en futuras ediciones. ATENTAMENTE Culiacán Rosales, Sinaloa, Junio de 0. Muchas gracias: LOS AUTORES

13 DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS Dedicamos este libro a todos los estudiantes, maestros y maestras que hacen, y han hecho, el esfuerzo cotidiano por mejorar la calidad de la educación en general, y del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en particular, en las aulas universitarias. En especial a los maestros y maestras de Cálculo I del bachillerato de la universidad Autónoma de Sinaloa. Por supuesto, también agradecemos a nuestras familias, amigos y amigas, que nos brindan el marco afectivo y motivacional de apoyo tan necesario para continuar con nuestra difícil, pero grata, tarea docente. Finalmente agradecemos también a los directivos de la Dirección general de Escuelas Preparatorias (DgEP) de la universidad Autónoma de Sinaloa las facilidades para la elaboración y publicación de esta obra. En particular al Dr. Armando Florez Arco por su paciente y eperta revisión técnica del teto. Esta edición del libro se ha realizado en los talleres gráfi cos de Servicios Editoriales Once Ríos, los lectores podrán apreciar la calidad del trabajo que evidencia su profesionalismo, lo que nos produce gran satisfacción, por tal motivo les epresamos nuestro reconocimiento y felicitación.

14

15 UNIDAD DE APRENDIZAJE I FUNCIONES MATEMÁTICAS: MODELACIÓN, GRAFICACIÓN Y VARIACIÓN Competencia de unidad: Grafica y analiza las funciones algebraicas, y las aplica en la modelación, formulación y resolución de problemas de su vida cotidiana, y de algunas áreas de las ingenierías y las ciencias. COMPETENCIAS DISCIPLINARES QUE PROMUEVE En esta unidad de aprendizaje se contribuye de manera directa a desarrollar las siguientes competencias disciplinares del área de matemáticas: C. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos y operaciones aritméticas, algebraicas y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. C. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. C. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. C. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. C5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. C8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y tetos con símbolos matemáticos y científicos. 5

16 CONTENIDO TEMÁTICO:. Introducción.. Evaluación diagnóstica. Aseguramiento del nivel de partida y reactivación de matemáticas previas al Cálculo Diferencial: Números reales y operaciones con epresiones algebraicas. Ecuaciones e inecuaciones. Razones y funciones trigonométricas. Relaciones y funciones. Lugares geométricos.. Funciones y modelación matemática: La matemática como modelo del mundo. Historia, concepto, definición y notación de función. Análisis (propiedades y gráficas) de las funciones elementales. Evaluación y determinación del dominio, rango, imagen y ceros de las funciones. Función creciente y decreciente, Función par e impar. Operaciones con funciones. Función inversa y su determinación. Clasificación de funciones: Algebraicas y trascendentes.. Gráficacion y Analisis de las funciones algebraicas: Funciones polinomiales, funciones racionales y funciones irracionales. Una versión de la paradoja de Zenón es la famosa carrera entre Aquiles y una tortuga. Aquiles, el más rápido de los hombres, no puede alcanzar a una lenta tortuga si te da una ventaja inicial, pues mientras Aquiles recorre el camino que le separaba inicialmente de la tortuga, la tortuga habrá recorrido un cierto trecho. Cuando Aquiles llegue a recorrer este trecho, la tortuga se habrá desplazado otra porción de terreno, aunque más pequeña, y así sucesivamente. Es decir mientras Aquiles llega al lugar donde instantes antes estaba la tortuga, ésta se habrá movido a otro lugar. De esta forma la tortuga siempre llevará una pequeña ventaja a Aquiles, quién por tanto nunca la alcanzará. Qué te parece? Crees que la Tortuga vencería a Aquiles? Si decides echar una carrera con un caracol, no se te ocurra darle ventaja, porqué... No lo alcanzarías nunca! Si no estás de acuerdo con estas afirmaciones, algo tendrás que pensar para justificarlo. 6

17 UNIDAD DE APRENDIZAJE I FUNCIONES: MODELACIÓN, GRAFICACIÓN Y VARIACIÓN. Introducción En este capítulo se reactivan, sistematizan y se profundizan los conocimientos sobre los números reales y las funciones elementales. La atención se concentra en la modelación, graficación, variación y en el análisis de las operaciones y propiedades básicas de las funciones algebraicas. En particular, desde la perspectiva del pensamiento matematico variacional, se enfatiza en el análisis y determinación de dominios, imágenes, monotonía, asintotas, ceros y otras propiedades de las funciones. También, en base al concepto de variación funcional, se introducen intuitivamente dos nuevos conceptos básicos del cálculo, como son el de límite y continuidad de una función, dando así las bases para su formalización en la siguiente unidad de aprendizaje.. Evaluación diagnóstica sobre conocimientos y competencias matemáticas básicas. Aseguramiento del nivel de partida y reactivación de matemáticas previas al Cálculo Diferencial. El estudio y aprendizaje significativo del Cálculo I (Cálculo Diferencial) requiere entre, otras cosas, de los conocimientos, habilidades y actitudes (competencias matemáticas) previamente adquiridas y desarrolladas, en un cierto nivel de dominio, en los cursos previos de Matemáticas de secundaria y del bachillerato. En consecuencia el estudiante que inicia este curso debe saber hacer operaciones básicas con los números reales y epresiones algebraicas. Debe saber resolver y aplicar las ecuaciones e inecuaciones. Debe saber reconocer, graficar y aplicar las funciones elementales, así como las razones e identidades trigonométricas y los lugares geométricos. también debe saber analizar, graficar y aplicar la línea recta y las secciones cónicas. En razón de lo anterior resulta conveniente adquirir y/o reactivar dichos conocimientos previos para tener altas probabilidades de éito y de acreditación de esta asignatura. Estos conocimientos y habilidades deben quedar manifiestos al realizar el estudiante los ejercicios y problemas de las siguientes actividades de aprendizaje, las cuales a su vez servirán para realizar una evaluación diagnóstica sobre la situación del aprendiz en cuanto a su nivel de desarrollo de sus competencias matemáticas. 7

18 Cálculo Diferencial ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA REACTIVAR, EVALUAR Y DIAGNÓSTICAR CONOCIMIENTOS Y PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS Act-) Escribe, sin el símbolo de valor absoluto, el valor que representa la epresión: a) ( 7 ) + 7 = b) c) p + = d) 00 = = e) [( 5) 5 ] = f) g) h) = ( 9 + ( ) ) = e p = p e Act-) Verifica mediante cálculos aritméticos que para a R y b R es válida la desigualdad del triangulo: a + b a + b Act-) En equipo colaborativo escribe los siguientes conjuntos en forma de intervalos, y haz su representación gráfica. { R / 7 < < 6} = { Z / 7 < < 6} = { R / < } = {y R / < y 0} = {w R / 0 w 00} = {r R / r < 5} = {t R / t > } = {v R / v } = {u R / u } = Act-) En equipo colaborativo determina el resultado, en forma de intervalos (analiticamente) y graficamente de las siguientes operaciones. (,8) (,6)= (,8) (,6)= (, 5) (5, )= [,0] [9,]= (,) C = (,+ ) [0.58, + ) [, p] (,.) = [, p] (,. ) = R [0,+ ) = Act-5) En equipo de a personas, realiza las siguientes operaciones aritméticas o algebraicas y simplifica lo más posible los resultados: 8 a) (5 )[ 00 ( ) ] ( 9 + ( ) ) [(+ / )( )]= 0 b) d) f) h) ( / + + / )( ) = Si k = 5 /, calcular el valor de k (a b) 6 = 6 (a ab + b ) = c) e) ( 6) ( ) (+) = b + c bc b c g) (y 5y + )( y) = i) ( / / ) = j) l) [( + y) /5 ] 5 = = k) m) (7 ) 8 +5 / (log 6 log 00)= = 8 8 uas

19 unidad I Funciones matemáticas Act-6) Factoriza los siguientes polinomios, y verifica el resultado mediante la multiplicación algebraica y la sustitución (o evaluación) aritmetica: a) 6 9y = b) 6 + = c) = d) + = Act-7) Escribe en que subconjuntos numéricos del conjunto de los números reales (R) se encuentran las raíces de las siguientes ecuaciones: a) + 7 = 5 9 b) c) 5 = 0 d) + 6 = 0 5 = 0 Act-8) Escribe una ecuación cuadrática cuyas raíces sean: a) = 5 b) = / c) = 6 y y y = = 0 = 0 Act-9) Escribe la definición de función matemática, y grafica ejemplos en un plano cartesiano especificando su modelo analítico correspondiente. Act-0) Determinar el cociente f ( + Δ ) f () =? para los siguientes casos: Δ a) Cuando: f()=5 + 6 b) Cuando: f()= c) Cuando: f()=5 d) Cuando: f()= Act-) En base a la siguiente tabla que muestra la estatura promedio de los adolescentes con relación a su edad. Edad en años (t) 5 6 Estatura promedio en cm (h) Conteste las siguientes cuestiones: a) Cuánto cambia la estatura de los adolescentes de los a los años? b) Cuánto cambia la estatura de los adolescentes de los a los años? c) Cuánto cambia la estatura de los adolescentes de los a los 6 años? d) En qué par de edades consecutivas el cambio de estatura es mayor? e) En qué par de edades consecutivas el cambio de estatura es menor? f) El cambio de la estatura promedio por año es constante o variable? Act-) Determina la pendiente, el ángulo de inclinación y la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) A(, 0) y B(, ) b) C(, ) y D( 5, 6) c) E(0, 8) y F(0, 8) d) G(, 0) y H(, 7) dgep 9

20 Cálculo Diferencial Act-) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(, ) y que es perpendicular a la recta 5 + y + 0 = 0. Act-) Calcular la distancia mínima del punto P(, 8) a la recta cuya ecuación es 5 + y + 6 = 0. Act-5) De la siguiente función cuadrática: f()= + 7. Determine: (a) Su gráfica ; (b) las coordenadas de su vértice ; (c) Su valor mínimo. Act-6) Representa la función cuadrática y=9 6+ mediante: (a) una tabla de tabulación (b) un conjunto de pares ordenados (c) una gráfica en un plano cartesiano. Además, determina si tiene valores máimos o mínimos relativos, y los intervalos donde es creciente o decreciente. Act-7) Determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola y=, en el punto P(,) de su gráfica. PROPUESTA DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA REACTIVAR, EVALUAR Y DIAGNÓSTICAR COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Competencia a evaluar C. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos y operaciones aritméticas, algebraicas y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. ACTIVIDADES Act-8) Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia + y 5=0, y que pasa por el punto P(,) Act-9) Determina el modelo matemático (relación o fórmula) que representa que y es directamente proporcional a e inversamente proporcional al cuadrado de w Act-0) Observa las siguientes figuras: La primera tiene lados, la segunda, la tercera 8. Cuántos lados tendrá la siguiente figura en la serie? Y la n-ésima? Act- Un jardinero quiere cercar su jardín rectangular y cuenta con 50 metros de malla que va a usar totalmente. Determinar el área del jardín como una función de la longitud de uno de los lados del jardín. 0 uas

21 unidad I Funciones matemáticas C. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. C. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Act-) Un avión que vuela a 900 metros de altura y 00 km/hr comienza a descender con velocidad constante hacia la pista, en una trayectoria recta que está a 7 grados debajo de la horizontal. Cuánto se tardará el avión en tocar la pista de aterrizaje? Act-) El área de un triángulo rectángulo es 0 cm y la hipotenusa mide 6 cm. Cuáles son las longitudes de los catetos? Act-) Un propietario recibió $8, por pago de renta de dos casas en un año, la renta mensual de una era $, más que la otra. Cuál fue la renta mensual de cada una si la más barata estuvo desalquilada meses? Act-5) Un ciclista parte de una ciudad A hacia otra ciudad B y se desplaza a 60 km/hr. Un segundo ciclista parte de a.5 horas después con el mismo destino, y se desplaza a 75 km/hr. Cuánto tardará el segundo ciclista en alcanzar al primero? Act-6) De un cartón rectangular de 0 por 50 centímetros por lado se hace una caja sin tapa, para esto se recortan cuadrados de igual tamaño en las esquinas del cartón y se doblan las cejas con el fin de formar la caja. Qué dimensiones deberá tener la caja para obtener su volumen máimo? Act-7) Comunica y argumenta a tus compañeros por qué son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones: P ) Si a < b y c > 0 a c < b c P ) Si a < b y c < 0 a c > b c P ) Si a R, a 0 a 0 = P ) Si a R a < P 5 ) Si a y b R a + b = a + b P 6 ) Si a R, n N (a) n = ( a) n Act-8) Analiza las siguientes igualdades matemáticas y determina (o eplica) por qué son erróneas en lo general, además escribe la igualdad correctamente: a) (a + b) = a + b b) ( + y) n = n + y n c) + = d) ( n ) m = n+m y + y e) log(y) = log() log(y) f) cos(a+b) = cos a + cos b dgep

22 Cálculo Diferencial C. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. C5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Act-9) A partir de la definición de las razones trigonométricas de un triangulo rectángulo demuestra la validez de las siguientes identidades trigonométricas: a) sen α + cos α= b) tan α + = sec α c) cot α + = csc α Act-0) Comunica y argumenta a tus compañeros por qué la suma de las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90 grados. Act-) Comunica y argumenta a tus compañeros por qué el valor del coseno y el seno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo siempre son menores que uno. Act-) Un automóvil se desplaza sobre una autopista recta, de tal manera que en un intervalo de tiempo Δt=0.5 horas se desplaza una distancia Δs=70 kilómetros. (a) Calcular la velocidad promedio del recorrido. (b) Con los datos anteriores se podrá calcular la velocidad instantánea del automóvil a los 6 minutos de su recorrido? Eplica tu respuesta. Act-) La cantidad de teléfonos celulares que un fabricante lanzará al mercado está relacionada con el precio unitario p (en pesos) por la función p()= Determina: (a) Cuántos teléfonos lanzará el fabricante al mercado si el precio unitario es de $ ? (b) Cuál será el precio unitario si lanzan al mercado 0000 teléfonos? En ambos casos analiza los resultados. uas

Cálculo I. Cálculo Diferencial para Bachillerato. Autores: Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Faustino Vizcarra Parra.

Cálculo I. Cálculo Diferencial para Bachillerato. Autores: Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Faustino Vizcarra Parra. Cálculo I Cálculo Diferencial para Bachillerato Autores: Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Faustino Vizcarra Parra Revisión Técnica: Dr. Armando Flórez Arco Cálculo I Cálculo Diferencial

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y UNIDAD I. FUNCIONES POLINOMIALES Conceptos clave: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. 1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías y matemáticas aplicadas.

Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías y matemáticas aplicadas. Guía para el eamen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías matemáticas aplicadas. Septiembre 23 Índice. Instrucciones.. Objetivo....2. Requisitos....3. Característicasdeleamen...

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) 50 0 5 E F G H 0 (5, ) 50 0 50 0 (, ) 5 I J K L LINEALES

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez Ejercicios de Matemática para Bachillerato Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Se pretende mediante este material contribuir a que los estudiantes que se preparan de

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

Funciones y gráficas (1)

Funciones y gráficas (1) Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes

Más detalles

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES FUNCINES PLINÓMICAS RACINALES EJERCICIS PRPUESTS. Estudia y representa la siguiente función cuadrática: f(). Es una parábola con las ramas hacia arriba, pues a 0. El vértice es el punto V, 5 8. El eje

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Transformación de gráfica de funciones

Transformación de gráfica de funciones Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD Función Eponencial y Función Logarítmica 9 Alicia rió. "No sirve de nada intentarlo - dijo -; uno no puede creer cosas imposibles." - "Me atrevería a decir que no tienes

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

12 ESTUDIO DE FUNCIONES

12 ESTUDIO DE FUNCIONES ESTUDI DE FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS. Representa las siguientes funciones lineales e indica el valor de sus pendientes. a) y b) y 5 y = + y = 5 c) y a) m 0 b) m 5 c) m y =. Representa estas funciones

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y x 2 2. 2 1, su gráfico es el mismo que el de. En general, a partir del gráfico de

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y x 2 2. 2 1, su gráfico es el mismo que el de. En general, a partir del gráfico de Caso 3: En la ecuación general a b c, a 0 b 0, obtenemos a c, a 0. 10 = + = 8 6 4 = -1 3 - -1 1 3-1 Por ejemplo si a = 1 c = obtenemos. El gráfico de, es el mismo que el de desplazado unidades hacia arriba.

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

PROGRAMAS DE ESTUDIO EN MATEMÁTICAS TRANSICIÓN 2014

PROGRAMAS DE ESTUDIO EN MATEMÁTICAS TRANSICIÓN 2014 República de Costa Rica Ministerio de Educación Pública PROGRAMAS DE ESTUDIO EN MATEMÁTICAS TRANSICIÓN 2014 Basado en los programas de estudio en Matemáticas aprobados por el Consejo Superior de Educación

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

Máximo o mínimo de una función

Máximo o mínimo de una función Análisis: Máimos, mínimos, optimización 1 MAJ00 Máimo o mínimo de una función 1. Dados tres números reales cualesquiera r 1, r y r, hallar el número real que minimiza la función D( ) ( r ) ( r ) ( r 1

Más detalles

49 http://iedonboscohunter.hol.es

49 http://iedonboscohunter.hol.es 49 http://iedonboscohunter.hol.es MODULO PRECALCULO SEGUNDA UNIDAD Funciones Algebraicas Había un hombre en Roma que se parecía mucho a César Augusto; Augusto se enteró de ello, mandó buscarlo y le preguntó.

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

GUÍA DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL

GUÍA DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL I N S T I T U T O P O L I T É C N I C O N A C I O N A L C E N T R O D E E S T U D I O S C I E N T Í F I C O S Y T E C N O L Ó G I C O S N o.11 W I L F R I D O M A S S I E U A C A D E M I A D E M A T E

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD 3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Concepto clave: 1. Razones trigonométricas Si A es un ángulo interior agudo de un triángulo rectángulo y su medida es, entonces: sen longitud del cateto opuesto al A

Más detalles

NIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACION DE PRE-GRADO PROYECTO DE CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

NIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACION DE PRE-GRADO PROYECTO DE CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL NIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACION DE PRE-GRADO PROYECTO DE CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL PROGRAMA: MATEMÁTICA I CÓDIGO ASIGNATURA: 1215-101 PRE-REQUISITO:

Más detalles

1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo.

1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo. 1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo. 1.5.1.- Introducción. Como ya mencionamos al inicio de estas

Más detalles

I.E.S.MEDITERRÁNEO CURSO 2015 2016 DPTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O.

I.E.S.MEDITERRÁNEO CURSO 2015 2016 DPTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O. PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O. Este programa está destinado a los alumnos que han promocionado a cursos superiores sin haber superado esta materia.

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Una de las aplicaciones más comunes de los conceptos relacionados con la derivada de una función son los problemas de optimización.

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x +

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x + EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS).- La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: Tt t

Más detalles

IES CANARIAS CABRERA PINTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015

IES CANARIAS CABRERA PINTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015 CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015 UNIDAD 1: LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES Y RELACIONES El sistema de numeración decimal Estimación y redondeo de un número natural Las operaciones con números

Más detalles

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos Unidad 6 Cálculo de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente. Usará la derivada para calcular los etremos

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

ASOCIATIVA: La suma no varia si se asocian en diferentes formas los sumandos. NEUTRO: El cero ( 0 ) es le elemento neutro aditivo.

ASOCIATIVA: La suma no varia si se asocian en diferentes formas los sumandos. NEUTRO: El cero ( 0 ) es le elemento neutro aditivo. ARITMETICA I. NÚMEROS NATURALES Ν Es el conjunto de los números positivos desde el cero hasta el infinito ( ). Ejemplo: Ν{0,1,,3,4,, } I.1 PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES. Dentro de las

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

LAS FUNCIONES ELEMENTALES UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

# Matemática/Polimodal: Funciones 1 y 2. Editorial Longseller

# Matemática/Polimodal: Funciones 1 y 2. Editorial Longseller PROGRAMA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO E. P. E. T. N 20-2014 UNIDAD N 1: FUNCIONES REALES Estudio de funciones reales (lineal, cuadrática, cúbica, módulo, homográfica, trigonométricas, por partes) a partir de

Más detalles

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx.

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Conceptos de derivada y de diferencial Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela 1 Universidad de Salamanca 18 de agosto de 2012 v1.3: 17 de septiembre de 2012 Aunque

Más detalles

9 Estudio de funciones

9 Estudio de funciones Solucionario 9 Estudio de funciones ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Resuelve las siguientes inecuaciones. a) 0 0 b) 4 0 c) 0 d) 0 7 9 a) (, ) b) (, 4] c) (, ] [0, ] d) (, ) (4, ) 9.II. Halla el valor en radianes

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

UNIDAD 2: Funciones racionales y con radicales 2.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES

UNIDAD 2: Funciones racionales y con radicales 2.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES .5 FUNCIONES CON RADICALES UNIDAD : Funciones racionales y con radicales.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES Aprendizajes: - Eplora en una situación o problema que da lugar a una función

Más detalles

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O.

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O. Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar L. F. Reséndis O. 2 Contents 1 Números reales L.F. Reséndis O. 5 1.1 Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O............ 5

Más detalles

1. TEMPORALIZACIÓN POR EVALUACIONES DE LOS CONTENIDOS

1. TEMPORALIZACIÓN POR EVALUACIONES DE LOS CONTENIDOS 1. TEMPORALIZACIÓN POR EVALUACIONES DE LOS CONTENIDOS Primera Evaluación TEMA 1. NÚMEROS REALES Distintos tipos de números. Recta real. Radicales. Logaritmos. Notación científica. Calculadora. TEMA 2.

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

Geometría Analítica. Efraín Soto Apolinar

Geometría Analítica. Efraín Soto Apolinar Geometría Analítica Efraín Soto Apolinar TÉRMINOS DE USO Derechos Reservados c 010. Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraín. Geometría Analítica 010 edición.

Más detalles

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { } I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas

Más detalles

Funciones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Relaciones funcionales...pág. 204. 2.Representación gráfica...pág. 211. 3.Propiedades generales...pág.

Funciones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Relaciones funcionales...pág. 204. 2.Representación gráfica...pág. 211. 3.Propiedades generales...pág. 11 Funciones. Objetivos En esta quincena aprenderás a: Comprender, distinguir y valorar el concepto de función Interpretar y relacionar tabla, gráfica y fórmula de una relación funcional Distinguir los

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas del

Más detalles

UNIDAD EDUCATIVA INTERNACIONAL SEK-ECUADOR PROGRAMA DE MATEMÁTICAS NM

UNIDAD EDUCATIVA INTERNACIONAL SEK-ECUADOR PROGRAMA DE MATEMÁTICAS NM UNIDAD EDUCATIVA INTERNACIONAL SEK-ECUADOR PROGRAMA DE MATEMÁTICAS NM I. DATOS INFORMATIVOS: NIVEL DE EDUCACIÓN: Bachillerato. ÁREA: Matemáticas CURSO: Segundo de bachillerato (1º año de Diploma) PARALELO:

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN 6 - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 8 4- CONTINUIDAD

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN AUTOR: M. F. ALBERTO DE LA ROSA ELIZALDE MATEMÁTICAS II (CÁLCULO DIFERENCIAL) Clave: 66 Plan: 005 Créditos: 8 Licenciatura:

Más detalles

Ejercicios para aprender a derivar

Ejercicios para aprender a derivar Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( ) k f '( ) 0 f ( ) a f '( ) a n n f ( ) a f '( ) an f ( ) u( ) + v( ) f '( ) u' + v' Ejemplos:

Más detalles

Cálculo Diferencial. Efraín Soto Apolinar

Cálculo Diferencial. Efraín Soto Apolinar Cálculo Diferencial Efraín Soto Apolinar TÉRMINOS DE USO Derechos Reservados c 2010. Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraín. Cálculo Diferencial Primera edición.

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA ASIGNATURA: PRECÁLCULO DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS PLANES DE ESTUDIO: CÓDIGO: Mnemónico PREM Numérico 1. OBJETIVOS GENERALES Estudiar el campo ordenado de los reales. Estudiar

Más detalles

4. FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA

4. FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA Función Lineal Ecuación de la Recta 4. FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA El concepto de función es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para epresar el cambio que se produce en las

Más detalles

Las Matemáticas En Ingeniería

Las Matemáticas En Ingeniería Las Matemáticas En Ingeniería 1.1. Referentes Nacionales A nivel nacional se considera que el conocimiento matemático y de ciencias naturales, sus conceptos y estructuras, constituyen una herramienta para

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Características de funciones que son inversas de otras

Características de funciones que son inversas de otras Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =

Más detalles

CAPÍTULO 2 APLICACIONES DE LA DERIVADA

CAPÍTULO 2 APLICACIONES DE LA DERIVADA CAPÍTULO 2 APLICACIONES DE LA DERIVADA 2.1 ANÁLISIS Y TRAZO DE CURVAS 2.1.1 Estudio de la Variación de una Función a) Tabulación y Graficación de una Función b) Dominio y Rango de una Función 2.1.2 Intersecciones

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f (x) 3x 1 b) g(x) x c) h(x) x 3

EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f (x) 3x 1 b) g(x) x c) h(x) x 3 0 FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS 0. Halla el dominio y el recorrido de estas funciones. a) f () b) g() c) h() a) D(f) R; Recorrido (f) R b) D(g) R; Recorrido (g) [0, ) c) D(h) R; Recorrido (h) R 0. 0. Calcula

Más detalles

Oleksandr Karelin Carlos Rondero Guerrero Anna Tarasenko DESIGUALDADES Métodos de cálculo no tradicionales

Oleksandr Karelin Carlos Rondero Guerrero Anna Tarasenko DESIGUALDADES Métodos de cálculo no tradicionales Oleksandr Karelin Carlos Rondero Guerrero Anna Tarasenko DESIGUALDADES Métodos de cálculo no tradicionales Patrocinado por: Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Madrid - Buenos Aires - México Oleksandr

Más detalles

Carrera: ACF-0901 3-2 - 5

Carrera: ACF-0901 3-2 - 5 1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Carrera: Clave de la asignatura: (Créditos) SATCA 1 Cálculo Diferencial Todas las Carreras ACF-0901 3-2 - 5 2.- PRESENTACIÓN Caracterización de la asignatura.

Más detalles

Guía de estudio para presentar exámenes de Recuperación y Acreditación Especial. (Versión preliminar)

Guía de estudio para presentar exámenes de Recuperación y Acreditación Especial. (Versión preliminar) Guía de estudio para presentar eámenes de Recuperación Acreditación Especial (Versión preliminar) Diciembre de 004 ii Matemáticas II ÍNDICE PRESENTACIÓN... PRÓLOGO... vi vii UNIDAD 1. Sistema de ejes coordenados...

Más detalles

RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2014 /2015 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS MATERIA: RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS CURSO:

RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2014 /2015 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS MATERIA: RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS CURSO: RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2014 /2015 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS MATERIA: RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS CURSO: 2º ESO OBJETIVOS: Resolver problemas con enunciados relacionados con la

Más detalles

DOCUMENTO DE APOYO AL PLAN DE TRANSICIÓN 2014 MATEMÁTICAS

DOCUMENTO DE APOYO AL PLAN DE TRANSICIÓN 2014 MATEMÁTICAS DOCUMENTO DE APOYO AL PLAN DE TRANSICIÓN 2014 MATEMÁTICAS Basado en los Programas de Estudio en Matemáticas aprobados por el Consejo Superior de Educación el 21 de mayo del 2012 y en el Plan de Transición

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo Cálculo Contenidos Clase 1: Funciones: Dominio, recorrido, gráfico. Ejemplos. Clase 2: Igualdad de funciones.

Más detalles

Teoría de Conjuntos y Funciones

Teoría de Conjuntos y Funciones Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles