ÁLGEBRA APUNTES. EXPONENTES y RADICALES. Ing. Francisco Raúl Ortíz González UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS Y DE LAS INGENIERÍAS INGENIERÍA MECÁNICA-ELÉCTRICA APUNTES EXPONENTES RADICALES + 0 ; ; ; ; ( + ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález,009

2 EXPONENTES RADICALES El presete trjo tiee coo ojetivo descriir los coceptos propieddes de los epoetes los rdicles, co los cules se oper Oviete o se pretede sustituir este te relciodo co el álger, coteidos e puliccioes t prestigids relciods co ls teátics, que solete es u guí Por lo que si se quiere profudizr e este te es ecesrio cosultr iliogrfí especilizd, pr teer u iforció ás pli co or profudidd que l que quí se preset Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

3 EXPONENTES RADICALES i CONTENIDO Pág INTRODUCCIÓN GENERALIDADES LOS NÚMEROS ALGEBRAICOS VALOR ABSOLUTO NÚMEROS IGUALES, DESIGUALES Y SIMÉTRICOS SUMA o ADICIÓN RESTA o SUSTRACCIÓN REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 0 TÉRMINOS Y COEFICIENTES EXPONENTES POTENCIACIÓN POTENCIA DE UN MONOMIO PROPIEDADES EXPONENTES DE NÚMEROS REALES REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES 8 EL EXPONENTE CERO EXPONENTES NEGATIVOS REGLA DEL COCIENTE RESUMEN EJERCICIOS RADICALES 9 RAÍZ CUADRADA DE 0 RAÍZ CUADRADA PRINCIPAL 0 RAÍCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE RAÍCES CÚBICAS RAÍCES ENÉSIMAS EXPONENTES RACIONALES EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

4 EXPONENTES RADICALES ii 8 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS 9 9 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES 0 PROPIEDADES DE LOS RADICALES 0 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA 0 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES 0 SUMA Y RESTA 8 RESUMEN 0 RACIONALIZACIÒN 0 BINÓMIOS CONJUGADOS BIBLIOGRAFÍA Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

5 EXPONENTES RADICALES INTRODUCCIÓN Álger es u plr de orige áre, lgir, que se utiliz pr orr el estudio de ls opercioes propieddes de gitudes represetds por síolos, que geerlete so literles o letrs El prier itroductor del álger se cree que fue el griego Diofto e el siglo III, uque prece que e l Idi Persi se coocí teriorete E Europ fuero los áres los que lo itrodujero e el siglo IX El sio Al-Khuwrizi fue el que itrodujo síolos pr represetr gitudes, opercioes epresioes El itlio Leordo Piso recogió e el siglo XIII ls eseñzs de ls áres, ls trdujo l ltí, sí se etediero por tod Europ GENERALIDADES El álger es l r de l teátic que estudi l ctidd cosiderd del odo ás geerl posile [BALDOR, A, Pág ] Lo iso que e ritétic, e el álger se efectú opercioes co los úeros, pero su odo de represetrlos difiere e s rs de l teátic Pr l ritétic, sólo se eple los sigos coúete lldos ráigos (0,,,, ), co l filidd de escriir los úeros; ietrs que e el Álger, pr represetrlos se utiliz literles (,, c,,,, z) Los síolos epledos e álger pr represetr ctiddes so los úeros ls letrs, dode: ) Los úeros se eple pr represetr ctiddes coocids deterid ) Ls letrs se us pr represetr tod clse de ctiddes, se coocids o descoocids c) Ls ctiddes coocids se epres por ls priers letrs del lfeto:,, c,, d) Ls ctiddes descoocids so epresds por ls últis letrs del lfeto: u, v, w,,, z Cosecueci de l geerlizció que iplic l represetció de ctiddes por edio de epresioes lgerics Pr ello se eple sigos de operció, sigos de relció sigos de grupció Ejeplo: Se ls siguietes dos literles efectur: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

6 EXPONENTES RADICALES Sigos de Operció: Solució: E álger se verific ls ctiddes co ls iss opercioes que e Aritétic: su, rest, ultiplicció, divisió, elevció potecis etrcció de ríces ) Sigo de l su (dició) es +, que se lee ás + (se lee ás ) ) Sigo de l rest (sustrcció) es, que se lee eos (se lee eos ) c) Sigo de l ultiplicció (producto) es X, que se lee ultiplicdo por X (se lee ultiplicdo por o por ) E lugr del sigo X, suele usrse u puto etre los fctores o e su cso colocr los fctores etre prétesis, coo se idic cotiució: o ( )( ) (leédose igul que el terior) Etre fctores literles o etre u fctor uérico u literl el sigo de l ultiplicció suele oitirse Así, c equivle X X c, equivle X X, equivle X d) Sigo de l divisió (cociete) es /, que se lee dividido etre / (se lee dividido etre ) Tié est operció se idic seprdo el dividedo el divisor por edio de u r horizotl, tl coo se idic cotiució: (se lee dividido etre o sore ) e) Sigo de l elevció poteci (epoete), el cul es u úero pequeño colocdo e l prte superior de u ctidd o literl esto idic ls veces Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

7 EXPONENTES RADICALES que dich ctidd será ultiplicd por si is lld se, l cul se to coo fctor ; Cudo u letr o tiee epoete, su epoete es l uidd ; f) Sigo de ríz es, jo este sigo se coloc l ctidd l cul se le etre l ríz Así, equivle l ríz cudrd de, cu ctidd que elevd l cudrdo reproduce l ctidd de Tié equivle l ríz cúic de, que l ser elevd l cuo reproduce l ctidd de Sigos de relció: Se eple estos sigos pr idicr l relció que eiste etre dos ctiddes Los priciples so: ) Sigo de igul es, que se lee igul (se lee igul ) ) Sigo de or es >, que se lee or que > ( se lee or que ) c) Sigo de or e igul, que se lee or o igul que (se lee or o igul que ) d) Sigo de eor <, que se lee eor que < ( se lee eor que ) e) Sigo de eor e igul, que se lee eor o igul que ( se lee eor o igul que ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

8 EXPONENTES RADICALES Sigos de grupció: Los sigos de grupció idic que l operció colocd etre ellos dee efecturse priero Estos sigos so los siguietes: ) El prétesis ordirio ( ), ) El corchete [ ], c) Ls llves { }, d) L rr o vículo Así: c ( +, idic que el resultdo de l su de dee ultiplicrse por ) c [ ], idic que l difereci etre dee ultiplicrse por, { + }/ { c d }, idic que l su de dee dividirse etre l difereci c d E el producto de dos fctores, culquier de los fctores es lldo coeficiete del otro fctor Así, e el producto el fctor es coeficiete del fctor e idic que el fctor se to coo sudo cico veces, que: E el producto, el fctor es coeficiete de e idic que Siedo estos coeficietes uéricos E el producto, el fctor es coeficiete del fctor, e idic que el fctor se to coo sudo veces, es decir, veces Este es u coeficiete literl E el producto de ás de dos fctores, uo o vrios de ellos so el coeficiete de los resttes Así, e el producto cd, es el coeficiete de cd ; es el coeficiete de cd ; c es el coeficiete de d Cudo u ctidd o tiee coeficiete uérico, su coeficiete es l uidd Así, equivle ; c equivle c LOS NÚMEROS ALGEBRAICOS Muchs gitudes puede cosiderrse e dos setidos opuestos; sí, e el coercio puede hlrse de pérdids de gcis; eiste teperturs sore cero jo cero; eiste regioes sore el ivel del r jo dicho ivel; se hce refereci fechs posteriores ciert edd o teriores ell; e l superficie de l tierr, h lugres de ltitud orte de ltitud sur, etc Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

9 EXPONENTES RADICALES Ls pérdids ls gcis, ls teperturs sore cero o jo cero, etc, costitue evideteete, diferetes clses de ctiddes Los úeros co que se desig ls gcis, ls teperturs sore cero, ls ltitudes orte, etc, se ll úeros positivos, se idic, coveciolete, tepoiédoles el sigo +, coo + Los úeros que sirve pr idetificr pérdids, teperturs jo cero, ltitudes sur, etc, se ll úeros egtivos, se h coveido e represetrlos tepoiédoles el sigo Así, ( 0) pesos represet u pérdid; ( ) grdos, referido tepertur, idic grdos jo cero; 8 grdos de ltitud, idic u lugr situdo e el heisferio sur Si u úero o está precedido de igú sigo, se cosider coo positivo; por tto, es lo iso que + Lláese úeros lgericos el cojuto de los úeros positivos egtivos, icluedo el cero X' O X Rect uéric o eje de los úeros reles (R) VALOR ABSOLUTO El vlor soluto o ódulo de u úero lgerico es el vlor ritético de ese úero Este vlor es el que se otiee supriiedo el sigo; v gr, el ódulo de + es, el de es El vlor soluto de u úero se represet escriiedo dicho úero etre dos rs verticles, coo: + ; Que se lee, respectivete: vlor soluto de +, vlor soluto de NOTA: Coo se oserv, todo úero positivo es igul su vlor soluto NÚMEROS IGUALES, DESIGUALES Y SIMÉTRICOS Dos úeros lgericos so igules, cudo tiee el iso vlor soluto e igul sigo, coo: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

10 EXPONENTES RADICALES + +, Dos úeros lgericos so desigules, cudo difiere: por el sigo, por el ódulo o por el sigo el ódulo L desiguldd se idic por el sigo que se lee: o igul, o diferete de Así: + ; ; + Dos úeros lgericos so siétricos, cudo sólo difiere por el sigo Así: ; + ; + ; so siétricos SUMA o ADICIÓN Sur (+ ) co (+ ) Pr efectur est operció ritétic se puede prtir del vlor + loclizrlo e l escl de los úeros de l rect uéric X X; seguidete, cotr divisioes l derech; sí, se lcz el ( + ) + ( + ) ; o sipleete: + Pr sur () co ( ), se prte de se cuet divisioes l izquierd; sí, se lleg l puto 9, por lo que: ( ) + ( ) ( 9) o sipleete: 9 De esto se deduce lo siguiete: pr sur úeros lgericos del iso sigo, se su sus ódulos l su se le d el sigo de los sudos Pr sur (+ ) co ( 9), se prte de 9 se cuet divisioes l derech, hst llegr Y que: ( 9) + ( + ) ( ), o sipleete: 9 + Del iso odo se otedrá: ( + 8) + ( ) 8 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

11 EXPONENTES RADICALES Por tto: pr sur dos úeros lgericos de distito sigo, se rest el ódulo eor del or, l difereci se le d el sigo del úero de or ódulo L su de vrios úeros lgericos de diferetes sigos, se reduce los dos csos teriores; que st grupr por seprdo todos los positivos todos los egtivos, plicdo l su l rest, pr filete diciorlos ( + ) + ( ) + ( + ) + ( ) Agrupdo los sigos igules: ( + ) + ( + ) + ( ) + ( ) RESTA o SUSTRACCIÓN L rest es l operció ivers de l su, por lo tto: pr restr úeros lgericos, se procede l ivers de cóo se hce pr sur Se restr (+ ) de (+ 8) Pr efectur est operció, se prte de 8 se recorre divisioes l izquierd, llegádose l puto ( + 8) ( + ) 8 Pr restr (+ ) de ( ), se prte de se cuet uiddes l izquierd, llegádose l puto ( ) ( + ) Pr restr ( 8) de ( ), se prte de se cuet 8 uiddes l derech; se lleg sí l puto ( ) ( 8) + 8 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A cotiució se euci l regl de los sigos del producto: ) El producto de dos úeros lgericos de iso sigo es positivo ) El producto de dos úeros lgericos de distito sigo es egtivo Este resultdo puede idicrse siólicete coo se idic cotiució: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

12 EXPONENTES RADICALES 8 ( + )( + ) + ( )( ) + ( + )( ) ( )( + ) E l ultiplicció o producto de úeros lgericos se puede distiguir dos csos: Multiplicr dos úeros positivos, coo ( + )( + ) Al cosiderr coo coeficiete, l operció equivle tor sudos igules (+ ), por tto: ( + )( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + + Coo se ot, este cso o difiere del de l ultiplicció de úeros ritéticos Ejeplo: Multiplicr dos úeros de diferete sigo: ) ( + )( ) ;, ) ( )( + ) Solució: ) E el producto ( + )( ), cosiderdo (+ ) coo coeficiete, l operció idicd equivle tor sudos igules ( + )( ) ( ) + ( ) + ( ) ) E el producto ( )( + ), dode ( ) se cosider coo coeficiete, l operció idicd equivle tor egtivete sudos igules (+ ) ( )( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Resultdo que coo se oserv, es igul l terior Multiplicr dos úeros egtivos, coo ( )( ) Este cso es u coició de ) de ) del cso terior, que equivle tor egtivete sudos igules ( ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

13 EXPONENTES RADICALES 9 ( )( ) ( ) ( ) ( ) REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El álisis de los sigos idicdo e los ejeplos teriores de este sute, perite forulr l siguiete regl: ) El cociete de dos úeros lgericos de iso sigo es positivo ) El cociete de dos úeros lgericos de distito sigo es egtivo Est regl puede idicrse siólicete de l siguiete er: ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) + + L divisió es u operció ivers de l ultiplicció, que tiee por ojeto hllr uo de dos fctores (cociete), cudo se cooce su producto (dividedo) el otro fctor (divisor) Por tto: pr dividir, se procede l ivers de cóo se hce e l ultiplicció Suele cosiderrse los isos csos que e l ultiplicció, los cules puede resuirse coo se idic seguidete: ( + 0) ( + ) ( + 0) ( ) ( 0) ( + ) ( 0) ( ) + ; ; ; + ; ()() porque 0 ()() () ( )( ) porque 0 ( )( ) ( ) porque ( )( + ) 0 porque ( + )( ) 0 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

14 EXPONENTES RADICALES 0 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se el siguiete rectágulo ABCD, el cul tiee cetíetros (c) de lrgo cetíetros de cho coo se idic e l siguiete figur geoétric E est figur geoétric se puede forr fjs de cetíetros de lrgo por cetíetro de cho; cd fj puede dividirse e cico cudritos de cetíetro de lrgo cetíetro de cho Ls tres fjs juts cost de: D A D c de lrgo C B C c de cho X c, que es el áre del rectágulo El resultdo se epres diciedo: el áre de u rectágulo es igul l producto de l se por l ltur c A c c c B c Est epresió puede revirse de l siguiete er: Áre se X ltur L cul puede ser represetd por ls literles: A áre; se;, ltur Por lo que: A X Dich revició, su vez, result ás cort si se suprie el sigo X;, sí qued l epresió: A Dich epresió, se ll fórul lgeric Tod fórul es u regl epresd por edio de síolos, e idic ls opercioes que dee de efecturse co los úeros represetdos por ls literles, pr oteer ciertos resultdos [Afosi, Agustí, Pág ] Así, el rectágulo costrá de fjs de A X [ c ] c cd u el áre será de: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

15 EXPONENTES RADICALES De l fórul pr oteer el áre del rectágulo A, se deduce ls siguietes trsforcioes de dich epresió: A ;, A Dode pr l prier epresió, coocid el áre del rectágulo su ltur, se puede ser su se;, pr l segud epresió; coocid el áre del rectágulo su se, se puede oteer su ltur El áre de u rectágulo de se ltur, es El áre de tres rectágulos igules l terior, es + + El volue de u prlelepípedo e que ls diesioes de l se so, l ltur es c, es c El volue de dos prlelepípedos igules l terior es c+ c c Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

16 EXPONENTES RADICALES El duplo se escrie quítuplo de c, c, etc Así se tiee:, el triple de se escrie, el cuádruplo de,, el c c+ c+ c+ c+ c e e+ e+ e+ + ( sudos igules e) E ls epresioes teriores,,,, se ll coeficietes El coeficiete es el úero o l literl que idic cuátos sudos igules se to Los cutro prieros so uéricos el últio es literl Ejeplo: ) Represetr l edd de cd uo de los ieros de l fili de Crlos Se se que l edd de l her es dos tercios de l de Crlos, l de l dre el triple, l del pdre cutro veces l del uelo es igul l su de ls eddes del pdre de l dre Solució: L edd de Crlos es L edd de l her es L edd de l dre es L edd del pdre es Y l edd del uelo es + Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

17 EXPONENTES RADICALES ) A cotiució se preset u plo de u prte de u piso, cus diesioes está epresds e el iso h c i d 8 e E este plo se oserv que l logitud de este piso se puede epresr coo: 8 +, de dode 8 Y que el cho es: c + d h + i E estos dos ejeplos prece epresioes que so coicioes de úeros literles seprds por los sigos de ls opercioes teátics (ritétics) Ests epresioes recie el ore de epresioes lgerics TÉRMINOS Y COEFICIENTES Se l siguiete epresió lgeric l cul está ford por cico sudos: Así: Se ll tério de u epresió lgeric cd uo de dichos sudos es u epresió lgeric de u tério + es u epresió lgeric de dos térios + + es u epresió lgeric de tres térios Dode cd tério cost de u prte uéric (coeficiete del tério) otr literl Así: es u tério de coeficiete prte literl es u tério de coeficiete prte literl Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

18 EXPONENTES RADICALES es u tério de coeficiete prte literl Ejeplo: Represetr l edd de cd uo de los ieros de l fili de Crlos Se se que l edd de l her es dos tercios de l edd de Crlos, l de l dre el triple, l del pdre cutro veces l del uelo es igul l su de ls eddes del pdre l dre Solució: Ls epresioes lgerics será ls siguietes: L edd de Crlos L edd de l her L edd de l dre L edd del pdre Y l edd del uelo + A cotiució se preset el vlor uérico de cd u de ls epresioes lgerics si se se que l edd de Crlos es de 9 ños, es decir 9 L edd de Crlos 9 ños ()(9) 8 L edd de l her (9) ños L edd de l dre (9) ños L edd del pdre (9) ños Y l edd del uelo (9) + (9) + ños Not: Si l edd de Crlos fuer otr, los vlores uéricos de cd u de ls epresioes lgerics serí distitos El vlor uérico de u epresió lgeric o es úico, que depede del vlor que se le dé l literl o letr(s) que e ell iterveg Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

19 EXPONENTES RADICALES EXPONENTES Cosidere el cso especil de l ultiplicció e el que todos los fctores que se v ultiplicr so igules Así, si se ultiplic el úero por sí iso, se otiee el producto, el cul geerlete se escrie e l for E geerl, el producto de fctores, cd uo de ellos igules, se escrie e l for, reciiedo el úero etero positivo el ore de epoete E este cso se dice que se h elevdo el úero l eési poteci, operció que recie el ore de potecició POTENCIACIÓN L poteci de u epresió lgeric es l is epresió o el resultdo de torl coo fctor dos o ás veces Así, l prier poteci de u epresió es l is epresió coo se idic cotiució: () L segud poteci o cudrdo de u epresió es el resultdo de torl coo fctor dos veces Por lo que: ()() ()()( )( ) ( ) El cuo de u epresió es el resultdo de torl coo fctor tres veces, por ejeplo: ( ) ()()() ()()()( )( )( ) 8 Y e for geerl: ( ) ( )( )( ) veces POTENCIA DE UN MONOMIO Pr elevr u ooio u poteci se elev su coeficiete es poteci se ultiplic el epoete de cd letr por el epoete que idic l poteci Ejeplo: Desrrollr ls siguietes epresioes lgerics: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

20 EXPONENTES RADICALES ) ( ) ; ) ( ) ; c) ; d) Solució: ) ()() ()() ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()() ()() ) 9 ()() c) ()() 8 ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ()() ()() ( ) ( ) () 8 d) ( ) ( ) 0 PROPIEDADES Los epoetes idic ultiplicció repetid, por ejeplo: ) ( )( ) Dode se lee, l segud poteci o l cudrdo z ) z z z ( )( z)( z) c) ( )( )( )( ) se lee, l curt poteci EXPONENTES DE NÚMEROS REALES Si es u úero rel, etoces: z se lee, z l tercer poteci o z l cuo fctores de Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

21 EXPONENTES RADICALES L epresió epoecil poteci o l poteci E l epresió siguiete: se ll poteci de, se lee, l eési Epoete Bse se ll se es el epoete U epoete que se úero turl idic cuáts veces se us l se de epresió epoecil coo fctor de u producto, por ejeplo: ) ()()()()() ) ( ) ( )( )( )( )( ) () ) c) ( d) ( ) ( )( )( )( ) e) 8 f) g) ; idic que se dee usr cico veces coo fctor, represet que se dee usr tres veces coo fctor; por lo que se usrá ocho veces coo fctor fctores de fctores de X 8 fctores de Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

22 EXPONENTES RADICALES 8 E geerl: fctores de fctores de X + fctores de Por lo tto, pr ultiplicr epresioes epoeciles co l is se, se tiee es se se su los epoetes REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES Si so úeros turles, etoces: + Pr desrrollr l regl de divisió de ls epresioes epoeciles, se procede de l siguiete er: + ( ) Por tto, pr dividir dos epresioes epoeciles co l is se distit de cero, se tiee l se se rest el epoete del deoidor del epoete del uerdor NOTA: L regl del producto pr epoetes sólo se plic epresioes epoeciles que tiee l is se Por ejeplo, l epresió o se puede siplificr, porque ls ses de ls epresioes epoeciles so diferetes Ejeplos: Resolver ls siguietes epresioes epoeciles: ) ; ) ; c) ;, d) 8 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

23 EXPONENTES RADICALES 9 Solució: ) ) c) d) que Pr ecotrr otr propiedd, se siplificrá l epresió se elev l cuo, o e su cso se repite tres veces: ( ), que sigific Dode: ( ) ( )( )( ) + + E geerl, se tiee que: fctores de fctores de ( ) Así, pr elevr u epresió epoecil u poteci, se tiee l is se se ultiplic los epoetes Ejeplo: Si se elev l cudrdo, se otiee el siguiete resultdo ( ) () ( ) ()()( )( ) 9 E geerl, se tiee que: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

24 EXPONENTES RADICALES 0 fctores de fctores de ( ) ( )( )( ) ( ) fctores de Otr propiedd, por ejeplo, es elevr l cuo l siguiete epresió: Solució: ( )( )( ) ()()() E geerl, se tiee lo siguiete: fctores de ; ( 0) fctores de ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) fctores de Los tres resultdos teriores se ll regls de potecis de los epoetes Si so úeros turles, etoces: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

25 EXPONENTES RADICALES Ejeplos: ( ) ; ( ) ; ; ( 0) h) Resolver ls siguietes epresioes epoeciles: ) ( ) ; ) ( ) ; c) ( ) ; d) ( ) ( ) ; e) ( ) ; f) ( ) ; g) ; Solució: ()() ) ( ) 9 ()() ) ( ) + ()() 0 c) ( ) ( ) ( ) ()() ()() d) ( ) ( ) ( )( ) ()() ()() e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) f) ( ) ( ) ( ) g) 8 ( ) ; ( 0) h) ( ) 8 ( ) ; ( 0) Alizr l difereci que eiste etre ( ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

26 EXPONENTES RADICALES Solució: fctores de fctores de ( ); ( ) ( )( )( ) ( ) Tié, es coveiete hcer otr l difereci que eiste etre dode: ( ), fctores de fctores de ( ) ( )( )( ) ( ) EL EXPONENTE CERO Cudo ls regls de los epoetes so válids si el epoete es igul 0 (cero), se tiee lo siguiete: () ( ) Coo 0, e cosecueci ; ( 0) 0 etoces 0 El epoete cero, si 0, E geerl, culquier se distit de cero elevd l poteci cero, es igul Tié: 0 Si tods ls ses so distits de cero el epoete es cero, etoces: ) 0 ) ( ) 0 0 c) ( ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

27 EXPONENTES RADICALES 9 d) z NOTA: es idefiido, esto cosecueci de que: 0 EXPONENTES NEGATIVOS Ls regls de los epoetes so válids tié cudo éstos so eteros egtivos + 0 ; ( 0) que, Adeás, se defie coo el recíproco de Por lo que: NOTA: De cuerdo co l defiició de epoetes egtivos, l se o puede ser 0 Así, u epresió coo 0 o está defiid, por lo que: 0 Ejeplos: Resolver ls siguietes epresioes epoeciles: ) ; ) 0 ; c) ( ) ; d) ; e) ; f)( ) Solució: ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

28 EXPONENTES RADICALES ) c) 0 0 ( 000 ) ( ) 8 d) + e) ( )( ) f) ( ) REGLA DEL COCIENTE Si so eteros, etoces: ( ) ; 0 Ejeplos: Resolver ls siguietes epresioes epoeciles: ) ; ) Solució: ; c) ( ) ; d) ( ) ; e) ; f) ) ) c) + Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

29 EXPONENTES RADICALES d) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 o e su cso: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) e) f) ( ) ( ) ( ) ()() ()() ()( ) ()() )( o e su cso ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El siguiete teore idic que u frcció elevd u poteci egtiv se puede ivertir elevrse sí u poteci positiv Teore: Si es u úero etero, etoces: ( ) 0 0, ; Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

30 EXPONENTES RADICALES Ejeplos: Resolver ls siguietes epresioes epoeciles: ) Solució: ; ), c) ; d) ) ( ) 8 ( ) ) ()() 9 ( ) ()() ( ) c) d) RESUMEN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 )() ()() 9 ( ) ( ) ( ) 9 ()() ()() ( ) ( ) ( )() ()() Si o eiste divisioes etre 0 (cero), etoces, pr eteros culesquier: ) + ) ( ) c) ( ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

31 EXPONENTES RADICALES d) 0 e) ; ( 0) f) g) h) NOTA: Ls iss regls se plic cudo los epoetes so vriles EJERCICIOS Siplificr ls siguietes epresioes ) ; ) Solució: ( ) ; c) ) ()() ( ) ; d) ; e) ) c) ()() ( ) ( )( ) ( ) o tié: ( ) ()( ) ()() ( ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

32 EXPONENTES RADICALES 8 d) ) ( () ) )( ( + o tié: ) )( )( )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( )( )( ( ) )( )( ( e) Siplificr ls siguietes epresioes cosiderdo que iguo de los deoidores se igul cero ) 9 ) ( ; ) ) ( ; c) 0 ) ( ; d) 0 0 ) ( ) ( ; e) 9 Solució: ) ()() 9 9 ) ( ) )() ( 8 8 ) (8)( ) )( ( ) ( c) () ()9 () ) ( ) ( d) + () () ) ( ) ( ()() Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

33 EXPONENTES RADICALES 9 e) 9 ( ) ( 9 ) ( 9 ) ( ) 0 ( 9) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) 9 9 Ecotrr el vlor uérico de ls siguietes epresioes, co ;,, pr: ) ; ) ; c) ( ) ; d) ; e) ( ) Solució: ) ( ) ( ) ( 8)(9) ) 8 ( ) ( ) ( )( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) ( ) RADICALES Co frecueci, e los proles de plicció se dee deterir qué úero se puede elevr l cudrdo pr oteer u segudo úero, Si se puede deterir, ese úero se le ll u ríz cudrd de Por ejeplo: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

34 EXPONENTES RADICALES 0 ) 0 es u ríz cudrd de 0, porque 0 0 ) es u ríz cudrd de, porque c) es u ríz cudrd de, porque ( ) d) es u ríz cudrd de 9, porque () 9 e) es u ríz cudrd de 9, porque ( ) 9 RAÍZ CUADRADA DE El úero es u ríz cudrd de cudo Todos los úeros positivos tiee dos úeros reles que so sus ríces cudrds: uo positivo otro egtivo El úico úero co u sol ríz cudrd es 0, cu ríz cudrd es 0 Ejeplo: Deterir ls dos ríces cudrds de Solució: Ls dos ríces cudrds de so, porque: ;, ( ) RAÍZ CUADRADA PRINCIPAL Se ll sigo rdicl l síolo, el úero que se ecuetr detro del sigo rdicl que se ll rdicdo Sí > 0, l ríz pricipl de es l ríz cudrd positiv de, se represet co L ríz cudrd pricipl de 0 es 0; 0 0 NOTA: Por defiició, el cudrdo pricipl de u úero positivo siepre es positivo Auque so ríces cudrds de, sólo es l ríz cudrd pricipl El rdicl represet El rdicl represet Ejeplo: Resolver ls siguietes ríces cudrds: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

35 EXPONENTES RADICALES ) ) 8 9 c) 8 9 d) e) f) g) Los úeros coo, 9,, 9, 00 se ll cudrdos eteros, porque cd uo de ellos es el cudrdo de u etero L ríz cudrd de todo cudrdo etero es u úero rciol Por ejeplo: ; 9 ; ; 9 ; 00 0 Ls ríces cudrds de uchos eteros positivos o so úeros rcioles Por ejeplo, es u úero irrciol cuo vlor proido ( ) es de, ( ) Dode el síolo quiere decir proidete igul Ls ríces cudrds de úeros egtivos o so úeros reles Por ejeplo, 9 o es úero rel, porque igú úero rel elevdo l cudrdo es igul 9 Ls ríces cudrds de los úeros egtivos origi u cojuto lldo úeros igirios Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

36 EXPONENTES RADICALES RAÍCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0, el úero positivo ( ) tiee por ríces Pr idicr l ríz cudrd positiv de positivo o egtivo Si > 0, se puede escriir lo siguiete: ; dode represet l ríz cudrd positiv de Si es egtivo, etoces > 0 es:, porque ( ), se dee ser si es, que es ; que represet l ríz cudrd positiv de, que es Si o se se si es positivo o egtivo, se puede epler síolos de vlor soluto pr grtizr que se positiv siepre cudo se culquier úero rel Si es culquier úero rel, etoces: ( ) ) Por lo que: escriir e l for ( ), siedo que( ) que podrí ser egtivo Los síolos de vlor soluto so ecesrios, que e el producto, es u costte positiv ) ( ) + Puesto + Porque + + Coo puede ser culquier úero rel, + puede ser egtivo, por ejeplo cudo 8 c) + + ( + ) + Porque ( ) + + Coo puede ser culquier úero rel, + puede ser egtivo, por ejeplo cudo d) ; porque ( ) Coo 0 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

37 EXPONENTES RADICALES RAÍCES CÚBICAS L ríz cúic de se represet por, si Por ejeplo, el úero tiee dos ríces cudrds que so úeros reles, 8 8 Si ergo, sólo tiee u ríz cúic rel que es el vlor de, porque es el úico úero rel cuo cuo es Por lo tto: Coo todos los úeros reles tiee u solo u ríz cúic rel, lgus de ls cules so positivs otrs egtivs, o es ecesrio epler síolos de vlor soluto l siplificr ls ríces cúics Ejeplo: Resolver ls siguietes ríces cúics: ) ; ) ; c) 8 ; d) 8 ; e) 0 Solució: ) ; porque ()()() ) ; porque 8 8 c) d) ; porque ( ) ( )( )( ) 8 8 ; porque e) 0 0 ; porque ( 0 ) ( 0 )( 0 )( 0 ) 0 RAÍCES ENÉSIMAS Así coo eiste ríces cudrds ríces cúics, tié eiste ls ríces curts, ríces quits, ríces sets, etc Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

38 Cudo es ipr, el rdicl ( >) represet u ríz ipr EXPONENTES RADICALES Coo todo úero rel tiee u sólo u ríz eési rel cudo es ipr, o es ecesrio preocuprse por los síolos de vlor soluto cudo se clcul ríces ipres Ejeplo: ; porque ) 8 ) 8 ( ) ; porque ( ) Cudo es pr, el rdicl ( >) represet u ríz pr E este cso, hrá u ríz eési positiv u eési egtiv Por ejeplo, ls dos ríces sets reles de 9 so, porque 9 ( ) 9 Cudo se deteri ríces reles se eple co frecueci los síolos de vlor soluto pr grtizr que l eési ríz se positiv Ejeplos: ) ( ) Tié se puede siplificr de l siguiete er: ( ) 8 9 ) ( ) Los síolos de vlor soluto grtiz que l ríz set es positiv Geerlizdo, se tiee ls siguietes regls Si es u úero rel >, etoces: ) Si es u úero ipr turl, ) Si es u úero pr turl, Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

39 EXPONENTES RADICALES NOTA: E el rdicl se le ll el ídice u orde del rdicl Cudo el ídice es, el rdicl es u ríz cudrd, se costur o escriir el ídice ejeplo: Cudo es pr ( >) < 0, el rdicl o es u úero rel Por 8 o es u úero rel, porque igú úero rel elevdo l curt poteci es 8 Ejeplo: ) ; porque ) ; porque ( ) c) ; porque EXPONENTES RACIONALES Los epoetes eteros positivos idic l ctidd de veces que se dee usr u se coo fctor e u producto Por ejeplo, sigific que se dee epler cico veces coo fctor, que: fctores de ( )( )( )( )( ) Es posile elevr ses potecis rcioles (frccioris), cudo se dese que dichos epoetes respete ls iss regls que los coeficietes eteros: el cudrdo de 0 dee ser 0, porque: 0 0 ( ) 0 0 Se tiee l se se ultiplic los epoetes: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

40 EXPONENTES RADICALES ( ) ; 0 0 Si ergo, h que recordr que: ( 0) 0 Coo 0 ( 0 ) so igules 0 Co esto se puede defiir que 0 es igul 0 Igulete pr: ) 0 coo 0 ) 0 coo 0 c) 0 coo 0 Por lo que, si es u úero turl or que etoces: es u úero rel, Ejeplo: Resolver los siguietes rdicles: ) 9 ; ) h) ( z ) Solució: 9 ; c) ( ) ; d) ; e) 8 ; f) 0 ; g) ( ) ; ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

41 EXPONENTES RADICALES ) c) ( ) d) e) 8 8 f) g) ( ) z h) ( ) z i) Ejeplos: Escriir los siguietes rdicles e for de epresioes elevds epoetes frcciorios: ) z ; ) Solució: z z ) ( ) ) EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE Se puede plir l defiició de cuos uerdores se distitos de pr rcr los epoetes frcciorios Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

42 EXPONENTES RADICALES 8 Por ejeplo, se puede escriir de l er siguiete: Etoces ( ) ( ) 8 Así, se puede siplificr elevdo l cuo l ríz cudrd de Tié se puede siplificr scdo l ríz cudrd del elevdo l cuo ( ) 8 A cotiució, se preset l siguiete regl: Coversió de epoetes rcioles rdicles: si so eteros positivos, > 0 se ecuetr e su for siplificd, ( ) De cuerdo co est defiició, est regl ers: se puede iterpretr de dos ) sigific l eési ríz de l eési poteci de ) sigific l eési poteci de l eési ríz de Ejeplos: ) ( ) 9 o 9 9 ) 8 o c) ( ) ( ) ( ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

43 EXPONENTES RADICALES 9 o d) ( ) ( ) se Pr evitr los úeros grdes, lo ejor es priero deterir l ríz de l 8 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS Se defie l epresió frcciori egtiv eteros positivos, se ecuetr e su for siplificd etoces: coo sigue: si so es u úero rel, ( 0) Ejeplos: Resolver los siguietes epoetes frcciorios: ) ; ) Solució: ; c) ( ) ; d) ( ) ) 8 ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) [( )]? Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

44 EXPONENTES RADICALES 0 e) No tiee solució, porque: ( ) o es u úero rel NOTA: Por defiició, 0 0 es idefiido o ideterido U se 0 elevd u poteci egtiv tié es idefiido, porque ideterido por o poderse dividir etre 0 0 es igul, lo cul es 0 Se puede usr ls lees de los epoetes pr siplificr uchs epresioes co epoetes frcciorios Si tods ls vriles represet úeros positivos; o es ecesrio icluir los síolos de vlor soluto Ejeplos: ) Solució: ) + ; se us l regl ; se su Solució: c) ( ) ; se us l regl ( ) ; se ultiplic Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

45 EXPONENTES RADICALES Solució: ; se us l regl ( ) ; se us regl ( ) pr cd uo ; se siplific cd epoete d) 8 Solució: ; se us ls regls ; 8 + ; Ejeplo: Cosiderr que tods ls vriles represet úeros positivos; escriir ls respuests si epler epoetes egtivos ) + Solució: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

46 EXPONENTES RADICALES + + NOTA: + L epresió + o se puede siplificr, porque o so térios seejtes ) + Solució: c) + Solució: ( ) ( ) ( )( ) d) + Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

47 EXPONENTES RADICALES Solució: SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchs epresioes si rdicles se puede siplificr siguiedo los siguietes psos: Covertir l epresió co rdicl u epresió epoecil co epoetes rcioles Siplificr los epoetes rcioles Cir l epresió epoecil u co rdicl Ejeplo: Siplificr: ) Solució: ) 8 ( ) Solució: 8 ( ) ( ) 8 8 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

48 EXPONENTES RADICALES c) 9 Solució: 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 PROPIEDADES DE LOS RADICALES Eiste uchs propieddes de los epoetes que tiee su cotrprte e l otció co rdicles E u de ells iterviee productos, coo ( ) etoces:, Ejeplo: Resolver ls siguietes epresioes: ) Solució: ( )( ) ) 9 Solució: ( )( ) 9 c) 8 Solució: 8 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

49 EXPONENTES RADICALES 0 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA Si so úeros reles, etoces Y que todos los rdicles represet úeros reles, l ríz eési del producto de dos úeros es igul l producto de ls ríces eésis de los úeros L propiedd ultiplictiv de los rdicles se plic l ríz eési del producto de dos úeros No eiste u propiedd seejte pr sus o rests, por ejeplo: ) Solució: ) 9 9 Solució: 9 9 Así, + + Otr propiedd de los rdicles iplic el uso de cocietes Y que: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

50 EXPONENTES RADICALES E cosecueci: Ejeplo: ) 8 Solució: 8 8 ) Solució: Si se plic l propiedd siétric de l iguldd l ejeplo terior, se lleg lo siguiete: Si so úeros reles, etoces: ; ( 0) Y que todos los rdicles represet úeros reles, l ríz eési del cociete de dos úeros es igul l cociete de sus ríces eésis 0 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES Se dice que u epresió co rdicles está e su for ás siple cudo se cuple cd u de ls siguietes codicioes: No prece rdicles e el deoidor de u frcció Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

51 EXPONENTES RADICALES El rdicdo o cotiee frccioes i úeros egtivos Cd fctor e el rdicdo está elevdo u poteci eor que el ídice del rdicl Ejeplo: Siplificr: ) ; ) 98 ; c) Solució: ) ( )( ) ) 98 ( 9)( ) 9 c) ( )( ) Siplificr: ) 9 Solució: ; ) 0 ) ) Siplificr ls epresioes siguietes Cosiderdo que tods ls vriles represet úeros positivos ) 8 ; ) ; c) ; d) 8 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

52 EXPONENTES RADICALES 8 Solució: 8 8 ) ( )( ) 8 8 ) ( )( ) c) 9 d) 8 ( )( ) 8 0 SUMA Y RESTA Ls epresioes que tiee rdicles co el iso ídice el iso rdicdo se ll rdicles seejtes Por ejeplo, so rdicles seejtes Si ergo, o so rdicles seejtes, porque los rdicdos so distitos Ahor ie o so rdicles seejtes, porque los ídices so distitos Co frecueci, se puede coir rdicles seejtes Por ejeplo, pr siplificr l epresió +, se dee usr l propiedd lld distriutiv pr que se el fctor coú co l filidd de siplificr, por lo que: ( + ) + Los rdicles que tiee igul ídice, pero rdicdos diferetes, se puede siplificr pr oteer rdicles seejtes Por ejeplo, pr siplificr l epresió, se siplific os rdicles después se coi los rdicles seejtes ( 9)( ) ( )( ) ( ) ( ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

53 EXPONENTES RADICALES 9 Coo los ejeplos teriores prece idicr l siguiete regl pr sur o restr rdicles: Pr sur o restr rdicles, priero h que siplificr cd rdicl después coir todos los rdicles seejtes Pr coir rdicles seejtes, h que sur los coeficietes teiedo el rdicl coú Ejeplo: Siplificr por seprdo cd rdicl, pr después coir los rdicles seejtes: ) 8 + ; ) + ; c) + 8 ( > 0) Solució: ) 8 + ( )( ) ( )( ) ( + ) ) ( 8)( ) ( )( ) + ( 8)( ) + NOTA: No se puede coir diferetes, porque los rdicles tiee rdicdos 8 c) + ( 8 )( ) + ( )( ) ( )( ) + + ( + + ) 9 Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

54 EXPONENTES RADICALES 0 RESUMEN L epresió, que represet l ríz pricipl de ídice de, se ll rdicl, l ctidd que prece jo el sigo rdicl se ll rdicdo o surdicl Al ídice de l ríz,, se le ll tié orde del rdicl Por defiició se se que: lo cul sigific que los rdicles puede ser sustituidos por potecis Por tto, ls opercioes co rdicles puede efecturse utilizdo ls lees de los epoetes Soretediédose que tod ríz utilizd es l ríz pricipl De ests lees reltivs los epoetes se otiee ls siguietes lees de los rdicles: I ( )( ) II 0 III RACIONALIZACIÒN Cudo se dese dividir epresioes rcioles co rdicles, es ecesrio rciolizr el deoidor, pr reeplzrlo por u úero rciol Por ejeplo: 8 Dividir 8 etre Se escrie l divisió e for de rciol Pr eliir el rdicl e el deoidor, se ultiplic tto uerdor coo el deoidor por cierto úero que produzc u cudrdo perfecto e el rdicl del deoidor Coo ( )() 9 es u cudrdo perfecto, ese úero es Por lo que 8 8 (8)() NOTA: E el deoidor o eiste rdicl o se puede siplificr, l epresió está e su for ás siple, por lo que l divisió está coplet Ejeplos: Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

55 EXPONENTES RADICALES Rciolizr los deoidores siguietes: ) 0 ; ) ; c) ; d) 8 ( so úeros positivos) Solució: 0 0 ) se ultiplic el uerdor el deoidor por 0 se ultiplic los rdicles, teiedo e cuet que que: 0 ()() ) se ultiplic el uerdor el deoidor por se ultiplicro los rdicles e el deoidor 8 8 siplificdo c) 8 8 se ultiplic el uerdor el deoidor por 0 se ultiplicro los rdicles 0 que, 0 o se siplific Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

56 EXPONENTES RADICALES d) BINOMIOS CONJUGADOS Si se dese rciolizr el deoidor ioil de culquier frcció dode eist ríces cudrds, se ultiplic su uerdor el deoidor por el cojugdo de dicho deoidor NOTA: Los ioios cojugdos so todos quellos ioios que tiee los isos térios, pero de sigo diferete etre ellos El cojugdo del ioio + es ;, el cojugdo de es + Ejeplos: Rciolizr el deoidor de los siguietes ejercicios: ) + : ) + dode ( > 0) ; c) dode ( > 0) Solució: ) + ultiplicr el uerdor el deoidor por el cojugdo del deoidor +, que es Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

57 EXPONENTES RADICALES + ( ) ( )( ) ; ( + )( ) ( ) + ( ) ( ) ; ( ) ; ) + ; dode ( > 0), ultiplicr l uerdor l deoidor por el cojugdo de deoidor, que es: + + ( ( + )( )( + ) + ) c) + + dode ( > 0) E ocsioes es ecesrio rciolizr el uerdor de lgu epresió rciol, ultiplicdo tto l uerdor coo l deoidor por el cojugdo del uerdor ( )( ( + ) + ) ; ( + ) es el cojugdo del uerdor ( ) Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález

58 EXPONENTES RADICALES BIBLIOGRAFÍA Afossi, gustí Curso de álger Editoril Progreso, S A BALDOR, A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL, S A de C V Déci set reipresió: 998 Gustfso, R Dvid Álger Iteredi Iterciol Thoso Editores, SA de CV 99 Leh, Chrles H Álger LIMUSA Ig Frcisco Rúl Ortíz Gozález