1 NÚMEROS REALES Representación sobre la recta Entre dos números cualesquiera pertenecientes a él hay infinitos números racionales.

Transcripción

1 1 NÚMEROS REALES 1.1 NÚMEROS RACIONALES Contiene a los Naturales (N), que son los números usados para contar, y a los enteros (Z), que son los naturales y sus opuestos, y se pueden representar por una fracción de números enteros Representación sobre la recta Entre dos números cualesquiera pertenecientes a él hay infinitos números racionales. 1.2 NÚMEROS IRRACIONALES No se pueden expresar como cociente de números enteros Algunos números irracionales: - Radicales: n p si p no es una potencia enésima. - Número áureo (Φ): es la relación entre la diagonal de un pentágono regular y su lado. Φ= Número π: π = L =3, R - Número e: e = 2, NÚMEROS REALES. RECTA REAL Los números reales (R) contienen a los racionales y los irracionales Aproximación decimal de un número real Los números racionales se escriben mediante una expresión decimal finita o periódica. Los número irracionales se expresan mediante infinitas cifras decimales no periódicas. 1.4 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL a = a si 0 a a = - a si a < 0 1

2 1.5 NOTACIÓN CIENTÍFICA Es útil para expresar números muy grandes o muy pequeños ya que, al tener una sola cifra en la parte entera y una potencia de base 10, el orden de magnitud es evidente. N = a,bcd 10 n 1.6 RADICALES. PROPIEDADES n a=b a=b n n a. Radical a. Radicando n. Índice n a existe sólo para n impares Propiedades de los radicales Recordemos que los radicales son potencias de exponente fraccionario, por lo cual se aplican las mismas propiedades que las potencias. a n m m n =a 1.- np a p = n a 2.- n a p = n a p 3.- m n a= mn a 4.- n a b= n a n b 5.- n a n a = b n b Suma de radicales: sólo pueden sumarse radicales idénticos Racionalización de denominadores La racionalización consiste en eliminar los radicales del denominador multiplicando la fracción por una fracción unitaria. - Para suprimir una raíz enésima se multiplica por otra raíz enésima tal que se complete en el radicando una potencia enésima = = 5 5 2

3 - Una suma de raíces cuadradas se multiplica por la diferencia de ellas. 1 a b = a b a b a b = a b a b 1.7 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO Intervalo abierto (a, b) {x / a < x < b} Intervalo cerrado [a, b] { x/a x b } Intervalo semiabierto (a, b] { x/a x b } [a, b) { x/a x b } (, a) {x / x < a} Semirrecta (, a] { x/ x a } (a, ) {x / a < x} [a, ) { x/a x } 1.8 LOGARITMOS Si a > 0 y a 1, logaritmo en base a de p (log a p) es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener p. log a p=x a x = p Propiedades 1.- P Q log a P log a Q Si a > 1 y P < Q => log a P < log a Q 2.- log a a = log a 1 = log a (P Q) = log a P + log a Q 5.- log a (P/Q) = log a P log a Q 6.- log a P n = n log a P 7.- log a n P= log a P n 8.- log a P= log b P log b a Logaritmos decimales (log) Log K = log 10 K Logaritmos neperianos (Ln) Ln K = log e K 3

4 2 ARITMÉTICA MERCANTIL 2.1 AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES C r = 1 r 100 C r (en forma decimal) es el índice de variación. Ej: C + 12% = 1,12 C (1,12 es el índice de variación) Para encadenar varios incrementos porcentuales se multiplican los índices de variación. C inicial = C final r C 2.2 INTERESES BANCARIOS Rédito es el tanto por ciento anual que paga un banco por depositar en él un dinero. Pago anual de intereses: C n años al r anual C 1 r n 100 Pago mensual de intereses: C m meses al r anualc 1 r m 1200 Periodo de capitalización es el tiempo que el banco deja transcurrir hasta que un capital produzca intereses. Pago diario de intereses: C n días al r anualc 1 r TASA ANUAL EQUIVALENTE (T.A.E.) La TAE es el tanto por ciento de crecimiento total del capital durante un año. Si el periodo de capitalización es menor que un año, la TAE es mayor que el rédito declarado. Además, en los préstamos se incluyen en ella los gastos fijos. n 4

5 2.4 AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Cada pago salda los intereses que produce la deuda pendiente desde el pago anterior, y el resto amortiza parte de esa deuda, hasta que se amortiza la totalidad de la deuda pendiente. Lo habitual es que todos los pagos sean idénticos. 2.5 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una progresión geométrica es una sucesión de números (términos de la progresión) en la cual cada uno se obtiene multiplicando la anterior por un número constante r (razón de la progresión). El término enésimo se obtiene multiplicando el primero por r n-1 veces: a n = a 1 r n Suma de los términos de una progresión geométrica S n =a 1 a 2... a n S n r=a 1 r a 2 r... a n 1 r a n r=a 2 a 3... a n a n r S n r S n = a a n r=a n r a 1 S n r 1 =a n r a 1 S n = a n r a 1 r CÁLCULO DE ANUALIDADES O MENSUALIDADES PARA AMORTIZAR DEUDAS C (en n años) C (1+i) n a (en n-1 años) a (1+i) n-1 a (en n-2 años) a (1+i) n-2.. a (en 1 año) a (1+i) C (1+i) n = (a + a (1+i) + + a (1+i) n-2 + a (1+i) n-1 = = a 1 i n 1 1 i a =a 1 i n 1 1 i 1 i Anualidades: a=c 1 i n i 1 i n 1 Mensualidades: m=c 1 i n i 1 i n 1 a donde i= r 100 donde i= r

6 3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 3.1 SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Grado de un monomio es la suma de los exponentes de las indeterminadas que intervienen. Grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. Suma y resta: Para sumar dos polinomios se suman los monomios del mismo grado de cada uno de ellos. Producto: se multiplica cada monomio de un polinomio por cada uno de los monomios del otro. 3.2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Técnica de la división de polinomios Ejemplo: Para dividir P(x) = x 5 6x 3 25x entre Q(x) = x 2 + 3x procedemos así: Si en la división, además de cociente hay resto, se llama división entera, si no división exacta Regla de Ruffini Para dividir un polinomio por un binomio de primer grado (x a ). Ejemplo: para dividir (2x 3 15x 8) : (x 3) 6

7 1. Se ponen los coeficientes de dividendo (teniendo en cuenta que los coeficientes de los términos que no están son cero) y el término independiente del divisor cambiado de signo. 2. Se baja el primer coeficiente (2). 3. Se multiplica el divisor (3) por el coeficiente que se ha bajado (2) y se coloca el producto debajo del segundo coeficiente (6 debajo del 0). 4. Se suman y se pone el resultado debajo (6 + 0 = 6). 5. Se procede igual hasta terminar. 6. El cociente es un polinomio de un grado menor que el dividendo. Divisibilidad por x a: Si un polinomio tiene coeficiente enteros, para que sea divisible por x a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Teorema del resto: El valor que toma un polinomio P(x) cuando hacemos x = a (o sea P(a)) coincide con el resto de dividir P(x) entre x a. P(a) = r 3.3 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Las raíces de un polinomio son los valores de las indeterminaciones (x) para los cuales el polinomio es igual a cero. Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios del menor grado posible. 1. Intentar sacar algún factor común. 2. Buscar algún producto notable o una ecuación de segundo grado. 3. Usar la regla de Ruffini. Es relativamente fácil con raíces enteras, pero no cuando las raíces son fraccionarias o cuando los factores son polinomios de grado mayor que 1. Un polinomio es irreducible cuando no tiene divisores. 3.4 DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS Un polinomio D(x) es divisor de otro P(x) si la división P(x) : D(x) es exacta. Entonces P(X) es múltiplo de D(x) Máximo común divisor (M.C.D.) Un polinomio es M.C.D. de dos polinomios si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con mayor grado que él. 7

8 Se descomponen ambos polinomios y se toman los factores que coincidan en ambos Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Un polinomio es m.c.m. de dos polinomios si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo común que tenga menor grado que él. Se descomponen ambos polinomios y se toman los factores comunes o no, con los mayores exponentes que presentan. 3.5 FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es el cociente entre dos polinomios. Simplificación: Para simplificar una fracción se dividen numerador y denominador por un mismo polinomio de grado igual o mayor que 1 (si se puede). Si dividimos numerador y denominador por su M.C.D. se obtiene una fracción irreducible. Dos fracciones son equivalentes si ambas, al simplificarse dan lugar a la misma fracción. Común denominador: Para reducir a común denominador varias fracciones algebraicas, lo hacemos obteniendo fracciones equivalentes a las primeras y con el mismo denominador. Suma: Para sumar fracciones algebraicas se reducen a común denominador (que será el denominador de la suma) y se suman los numeradores. Producto: Es el producto de los numeradores dividido por el producto de los denominadores. Una fracción es la inversa de otra cuando el producto de ambas es igual a 1. División: Es el producto de una por la inversa de la otra. 8

9 4 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS 4.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. INTERPRETACIÓN GRÁFICA Ecuación de segundo grado: ax 2 + bx +c = 0 con a 0 Solución: x= b± b2 4 ac 2a Parábolas La representación gráfica de las funciones cuadráticas es una parábola. - Su eje es paralelo al eje y. - Su forma depende del coeficiente de x 2 (a) - Si a > 0 tiene las ramas hacia arriba, y si a < 0 tiene las ramas hacia abajo. - Cuanto mayor sea a, más cerrada es la parábola. - La abscisa del vértice de la parábola está en x 0 = b 2a - Las abscisas de los puntos de corte x 1 y x 2 con el eje x son las soluciones a la ecuación. - La parábola corta la eje Y en el punto (0, c) Discriminante: = b 2 4ac > 0: la ecuación tiene dos soluciones = 0: la ecuación tiene una solución (doble) < 0: la ecuación no tiene solución real Ecuaciones de segundo grado incompletas: son aquellas en las que el término en x ó el término independiente son cero (b = 0 ó c = 0). 4.2 ECUACIONES RELACIONADAS CON LAS DE SEGUNDO GRADO Ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar: ax 4 + bx 2 +c = 0 Para resolverlas hacemos el cambio: x 2 = y 9

10 ay 2 + by + c = 0 Por cada valor positivo de y habrá dos valores de x: x=± y Ecuaciones con radicales Cuando x está bajo una raíz cuadrada, aislamos la raíz en un miembro y elevamos ambos miembros al cuadrado. Pueden aparecer soluciones ficticias que habrá que rechazar, así que hay que comprobar todas las soluciones. Factorización: En una ecuación factorizada resolvemos cada uno de los factores como una ecuación independiente. 4.3 SISTEMAS DE ECUACIONES. INTERPRETACIÓN GRÁFICA Varias ecuaciones forman un sistema cuando se busca la solución común a todas ellas, que es la solución del sistema. Si el sistema no tiene solución se dice que es incompatible (y está formado por ecuaciones incompatibles) y si tiene una o más soluciones se dice que es compatible. Gráficamente, las soluciones a un sistema de ecuaciones, son los puntos en que las gráficas de esas ecuaciones se cortan. 4.4 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Método de sustitución: Despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación. Método de igualación: Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes. Método de reducción: Se preparan las dos ecuaciones para que una incógnita tenga el mismo coeficiente en ambas. Restando las ecuaciones miembro a miembro, se obtiene una ecuación con una sola incógnita. 4.5 INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Resolver una inecuación o un sistema de inecuaciones consiste en encontrar todas las soluciones que lo verifican. Suelen ser infinitas, que se agrupan en intervalos de R. 10

11 4.6 INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Tienen esta forma: ax + by +c <0 ó ax + by +c > 0 El conjunto de soluciones es el semiplano que está a uno de los lados de la recta. Si en la desigualdad está incluido el signo igual, los puntos de la recta son también soluciones. 4.7 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS La solución de este tipo de sistemas es un recinto poligonal o un recinto abierto. Si los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones no tienen ningún punto en común, el sistema es incompatible y no tiene solución. 11