MATEMATICA II Resumen

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1 Números reales y radicales. Los números irracionales U n núm e r o e s irra cio nal s i p ose e inf in it a s c ifras d e c imales n o p e r iódi cas, p or tant o no se p ue d e n e x p r e sar en f orma de fracció n. Los números reales El conjunto f o rm a do p or l os n úm e r os racionales e irra cionales e s e l con ju nt o de los núm e r o s r e a le s, se d e sig na por. Con lo s n ú m e ros reales p o d e m os r e a liz a r t o das las o pe raciones, e x ce pt o la radi ca ción de índice p a r y radican d o n e gativo y la div is ión por ce ro. L os int e r v a lo s e st á n d e t e r m inad os p or d o s núm e r o s q ue se l laman e x t r e m os. En u n i nt e r v a lo se e ncue nt r a n t odo s lo s n úm e r os comprendid os e nt r e a m b os y t a m b i é n p ue d e n e st a r lo s e x t r e m os. Intervalos I n t e rvalo abiert o (a, b) = {x / a < x < b} I n t e rvalo ce rra do [a, b] = {x / a x b} 1

2 I n t e rvalo s e m ia biert o po r la izquierda (a, b] = {x / a < x b} I n t e rvalo s e m iabiert o po r la de r e cha [a, b) = {x / a x < b} Semirrectas x > a (a, + ) = {x / a < x < + } x a [a, + ) = { x / a x < + } x < a (-, a ) = { x / - < x < a} x a (-, a ] = { x / - < x a} Valor absoluto 2

3 P ropieda de s a = a a b = a b a + b a + b Distancia d(a, b ) = b a Entornos S e llama e n t o rno de ce n t ro a y r a dio r, y se d e n ot a p or E r (a) o E (a,r), al interva lo abiert o (a - r, a + r). E r (a) = (a - r, a+r) E n t o rnos laterales: P or la iz q u ierda E r (a - ) = (a - r, a) P or la derecha E r (a + ) = (a, a+r) E n t o rno reduci do E r * (a) = { x (a- r, a+r ), x a} 3

4 Potencias Con expon en te en tero Con expon en te raci on al P ropiedades 1.a 0 = 1 7.a n : b n = (a : b ) n 2.a 1 = a 3.a m a n = a m + n 4.a m : a n = a m - n 5.(a m ) n =a m n 6.a n b n = (a b ) n Radicales U n radi cal e s u n a e x presión de la f o rm a, e n la que n y a ; con t a l que cuan do a s e a n e gativo, n h a de s e r im par. 4

5 S e puede ex presar un ra di cal en f o rm a de potencia: Radiales equiv alen tes S implificaci ón de radic ales S i e x is t e u n n ú m e ro n a t u ral que d ivi da a l ín di ce y a l e x ponente (o los e x ponentes) de l radican do, s e o bt iene u n radi cal s im plif ica do. Reducción de radi cal es a índi ce común 1 H a llamos e l m ín im o común m ú lt iplo de los índice s, q ue se r á e l común índi ce 2 Divi dim o s e l común ín di ce po r ca da u n o de los índice s y cada r e s ult a d o obtenid o s e m u lt ipli ca por s u s e x ponentes corresp ond ient e s. Extracc ión de fa ctores fuera d el signo radical S e de s compone e l radica ndo e n fa ct o res. Si: U n e x ponente e s m e n o r q ue e l ín d ice, e l f a ct or corre spond ient e s e de j a en el ra di cando. 5

6 U n e x ponente e s igual a l í ndi ce, e l f a ct or c orresp ondie nt e s a le f u e ra de l ra di cando. U n e x p one nt e e s m a y o r que e l índi ce, s e divi de d ic ho e x p o ne nt e por e l ín di ce. El co ci e n t e obtenido e s e l e x ponente de l f a ct o r f u e ra d e l r a d i cand o y e l resto e s e l e x ponente de l f a ct o r de n t ro d e l radica ndo. In troducción de fa ctores den tro del signo radica l S e introduce n los f a ct o res e levados a l índice correspon di e n t e de l ra di cal. Operaciones con radicales S u ma de radicales S o lamente puede n s u m a rs e (o restars e ) dos radicales cuando s o n ra dica les s e m e j a n t e s s, e s de ci r, s i s o n radi cales co n e l m is m o índice e igua l radican d o. P roducto de radical es R a di cales de l m is m o ín dice R a di cales de d is t into índi ce P rim e ro s e re duce n a ín di ce com ú n y luego s e m u lt i pli can. 6

7 Cocien te de radi cal es R a di cales de l m is m o ín dice R a di cales de d is t into índi ce P rim e ro s e re duce n a ín di ce com ú n y luego s e div ide n. P oten cia de radi cales Raíz de un radical Racionalizar C o n s is t e e n quit a r los radical e s de l de n o m inador, lo q ue p e r m it e f a cilit a r e l cál cu l o de opera cio ne s como la sum a d e f r a c cio ne s. P odemos d ist ing uir tres ca so s. 1 D e l tipo 7

8 S e m u lt ipli ca e l numerado r y e l de n o m inador por. 2 D e l tipo S e m u lt ipli ca numera dor y de n o m inador por. 3 D e l t ipo, y e n g e ne r a l c uand o e l d e nominador se a un binomio con al m e n o s un ra dic a l. S e m u lt iplica e l n u m e rador y de n o m inador por e l conjugado de l de n o m inador. 8

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