UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE UNIDAD CULIACAN CURSO DE ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRIA PARA INGENIERÍA

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1 UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE UNIDAD CULIACAN CURSO DE ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRIA PARA INGENIERÍA Ing. Luis Antonio Aco Bustmnte Ing. José Antonio Cstro Inzunz JUNIO DE 0

2 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ÍNDICE Págin: INDICE PRESENTACIÓN UNIDAD I LOS NÙMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS EXPOENETES ACTIVIDAD NUMEROS NATURALES Y ENTEROS ACTIVIDAD NUMEROS RACIONALES 8 ACTIVIDAD NUMEROS IRRACIONALES 0 ACTIVIDAD PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NUMEROS REALES ACTIVIDAD PROPIEDADES DE LA IGUALDAD ACTIVIDAD DE LA ARITMETICA AL ALGEBRA ACTIVIDAD 7 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES ACTIVIDAD 8 EXPONENTES RACIONALES 8 0 UNIDAD II OPERACIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN ACTIVIDAD 9 EXPERSIONES ALGEBRAICAS ACTIVIDAD 0 PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS ACTIVIDAD DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 8 ACTIVIDAD PRODUCTOS NOTABLES 9 ACTIVIDAD BINOMIO DE NEWTON ACTIVIDAD PRODUCTOS DE BINOMIOS ACTIVIDAD FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMUN ACTIVIDAD FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 7 ACTIVIDAD 7 FACTORIZACION DE TRINOMIOS 9 ACTIVIDAD 8 FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS, SUMAS Y DIFERENCIASD DE CUBOS ACTIVIDAD 9 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION UNIDAD III EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALES ACTIVIDAD 0 EXPRESIONES RACIONALES ACTIVIDAD MULTIPLICACION Y DIVISION DE FRACCIONES 9 ACTIVIDAD SUMA DE FRACCIONES Y FRACCIONES COMPLEJAS ACTIVIDAD SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES IRRACIONALES ACTIVIDAD SUMA DE EXPRESIONES CON RADICALES 7 ACTIVIDAD PRODUCTOS Y DIVISIONES DE EXPRESIONES RADICALES 8 ACTIVIDAD OPERACIONES CON RADICALES Y RACIONALIZACION 0 ACTIVIDAD 7 LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO ACTIVIDAD 8 OPERACIONES EN EL CALCULO MISCELANEA DE EJERCICIOS UNIDAD IV TRIGONOMETRIA ACTIVIDAD 9 ANGULOS Y SUS MEDIDAS ACTIVIDAD 0 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ACTIVIDAD RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS ACTIVIDAD LEY DE SENOS ACTIVIDAD LEY DE COSENOS ACTIVIDAD IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS BIBLIOGRAFÍA

3 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. PRESENTACIÓN L enseñnz sd en competencis estlece que que dotr l lumno de un conjunto de conocimientos, destrezs ctitudes que le permitn su relizción desrrollo en el ámito personl como profesionl. Dentro de ls competencis ásics se encuentrn ls competencis mtemátics, ls cules se relcionn con el desrrollo de iliddes pr usr diferentes tipos de pensmiento mtemático, como son el lógico, espcil, el de representción por medio de modelos, fórmuls, gráficos, que tienen plicción universl pr l eplicr descriir l relidd. En definitiv, l competenci Mtemátic supone: plicr quells destrezs ctitudes que permiten rzonr mtemáticmente, comprender un rgumentción mtemátic epresrse comunicrse en el lenguje mtemático, utilizndo ls errmients de poo decuds e integrndo el conocimiento mtemático con otros tipos de conocimiento pr dr un mejor respuest ls situciones de l vid de distinto nivel de complejidd. Se deen desrrollr ls siguientes competencis ásics: Orgnizción, comprensión e interpretción l informción. Identificción de los elementos mtemáticos que se presentn en un situción rel. Aplicción de técnics decuds de selección, ordención representción de los dtos. Utilizción de procedimientos mtemáticos que permitn su nálisis l etrcción de conclusiones. Epresión mtemátic orl escrit. Uso del voculrio los símolos mtemáticos ásicos. Utilizción de forms decuds de representción según el propósito l nturlez de l situción. Epresión correct de los resultdos otenidos l resolver prolems. Justificción de resultdos con rgumentos epresiones de se mtemátic. Cpcidd pr seguir un demostrción sencill de un resultdo mtemático, identificndo ls ides fundmentles enjuicindo l lógic vlidez de ls rgumentciones e informciones. Plntemiento resolución de prolems. Reconocimiento plntemiento de situciones reles susceptiles de ser formulds en términos mtemáticos. Trducción esquems o estructurs mtemátics. Vlorción de distints vís pr resolver prolems. Selección de los dtos estrtegis propids pr resolver un prolem. Utilizción con precisión de procedimientos de cálculo ecto, proimdo, mentl, con clculdor,, fórmuls lgoritmos. Epresión correct de los resultdos su interpretción en términos de l situción inicil. Uso de medios tecnológicos en el trtmiento de l informción.

4 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. El Álger es un de ls rms más importnte de l Mtemátic, permite el mnejo de epresiones en form generl, permite simplificrls trnsformrls en otrs forms equivlentes más simples, por este motivo se deen desrrollr ls iliddes lgerics por medio del entendimiento prctic de sus principios fúndteles. El presente curso const de un serie de ctividdes donde se desrrolln los conceptos fundmentles se proponen ejercicios los cules deen ser resueltos pr dquirir l ilidd en el mnejo de epresiones lgerics, ls cules son l se pr el entendimiento de otrs áres como el Cálculo, Estdístic, Investigción de Operciones, mtemátics finnciers. Un de ls pregunts que nos cemos con ciert frecuenci es QUÉ ES LA MATEMÁTICA? Podrímos decir que l Mtemátic es un epresión de l mente umn, que reflej l voluntd ctiv, l rzón contempltiv el deseo de un perfección estétic. Sus elementos ásicos son: Lógic e intuición, nálisis construcción, generlidd prticulridd. Sin dud lgun, todo el desrrollo mtemático tenido sus ríces psicológics en necesiddes más o menos práctics, medinte un lrgo proceso de strcción. L istori de ls Mtemátics comienz en Oriente, donde ci el ño 000. C. los ilonios poseín un grn cntidd de conocimientos que podrín ser clsificdos como Álger Elementl. Pero como cienci en sentido moderno, donde prece más trde es en Greci entre los Siglos V IV. C. donde se origin un desrrollo iomático-deductivo, con Eudoio culmin con los elementos de Euclides, concepción que ctulmente se conserv. Durnte csi 000 ños el peso de l trdición geométric de los griegos retrsó l inevitle evolución del concepto de número del desrrollo del Cálculo Algerico, después de un periodo de preprción lent, l Mtemátic comenzó su vigoros evolución en el Siglo XVII, con l Geometrí Anlític el Cálculo Diferencil e Integrl. En este proceso uo grndes portciones de personjes, tles como Viet, Descrtes, Newton, Leinitz, Euler, Guss mucos otros. Los conocimientos mtemáticos fueron construidos de un mner progresiv, donde n sido pulidos st llegr l grdo de desrrollo ctul. Ls Mtemátics, son l llve pr l comprensión del mundo físico; nos dn el poder sore l nturlez le n ddo l omre l convicción de que se puede seguir profundizndo en los secretos de l mism. Además, ls Mtemátics, n permitido los pintores, pintr en form relist, sí como l comprensión de los sonidos musicles, el nálisis de tles sonidos fueron l se pr l construcción del teléfono, fonógrfo, l rdio e instrumentos de grción reproducción. Ls Mtemátics cd vez son más importntes pr l investigción iológic médic, el desrrollo de l electrónic, l computción otrs ciencis, tmién jueg un ppel importnte en l plnificción de l economí, l dirección de l producción, el dignóstico trtmiento de enfermeddes, el estudio del rendimiento de los tlets, invdiendo sí, todos los cmpos del ser de l umnidd.

5 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Actulmente los estudintes tienen l ide de que se les enseñn ls Mtemátics pr fstidirlos cusrles prolems. Este enfoque cusdo un jo nivel de provecmiento de l mteri por lo que se prenden los contenidos en form memorizd los procedimientos en form mecnizd, sin tener un clro entendimiento de los mismos o l form de utilizrlos en l vid diri o en su profesión. Es necesrio que los estudintes tengn un prticipción ctiv en l construcción del conocimiento mtemático, no ser simples repetidores, l enseñnz constructiv no es fácil, pero no cminos fáciles, pr disfrutr l vist de lo lto de un montñ que esclrl, en ls Mtemátics no teleféricos, los cles se rompen en l mente de los jóvenes, el rte de enseñr reside en l ilidd pr l utilizción de los procesos de descurimiento, con esto se puede estimulr desrrollr el poder cretivo de los estudintes de drles el plcer del descurimiento. L Cienci está más ctiv que nunc, cd vez más se us ls Mtemátics pr presentr predecir los fenómenos que ocurren en l nturlez, por est rzón es necesrio que los nuevos profesionists tengn un conocimiento más mplio pr poder entender los modelos mtemáticos formulr nuevos, demás de que son un lenguje universl. El prendizje de ls Mtemátics requiere de un esfuerzo significtivo por prte de los lumnos, el desrrollo de ls iliddes l dquisición de conocimientos mtemáticos es grdul solo es posile trvés de l constnci en el estudio. Tmién el prendizje de ls Mtemátics en l escuel está fundmentdo en tres elementos ásicos: El reconocido vlor de los conocimientos mtemáticos pr l solución de prolems que enfrent nuestr sociedd. L potencilidd del prendizje de ls mtemátics pr el desrrollo del pensmiento. L contriución de ls mtemátics l desrrollo de l concienci educción de ls nuevs generciones. NO TEMAS IR DESPACIO, TEME NO AVANZAR!

6 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. UNIDAD I LOS NUMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

7 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS OBJETIVO.- Relizr operciones con números nturles enteros. Los números reles están formdo por los números que se pueden escriir en notción deciml, pr estudir sus propieddes operciones, se dividen en: Números nturles: Son los números que se usn pr contr se representn:,,,, Números enteros: Se formn de los nturles, sus inversos ditivos el cero,,,,,0,,,,, OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS SUMA Si los números tiene el mismo signo se sumn sus vlores l resultdo se les sign el signo de los números. 7 7 Si los números tienen diferentes signos, se restn sus vlores l resultdo se le sign el signo del número mor. PRODUCTO: El producto de dos números enteros del mismo signo d como resultdo un número entero positivo. 8 El Producto de dos números enteros de diferente signo d como resultdo un número entero de signo negtivo. 0 Pr indicr operciones más complicds es necesrio usr símolos de grupmiento, en estos csos deemos respetr l jerrquí de ls operciones, por ejemplo l operción, primero se reliz l sum dentro de los préntesis 0, enseguid l multiplicción 0 por último l sum, el resultdo finl es, esto lo representmos: 0 0 En el siguiente ejemplo oserv el orden en que se relizron ls operciones { [ 8 ]} { [ 8 ]} { [ 8 ] } { [ ]} { } { } 8 Otr operción importntes es l potenci, l cul es un simplificción de l multiplicción, est se present cundo un cntidd se multiplic por si mimo vris veces, por ejemplo si multiplicmos lo podemos escriir como, un potenci tiene dos elementos, l se que en este cso es el número el eponente que indic el número de veces que se tom l se como fctor, en generl un potenci se puede escriir como: n Al estudir los números enteros se encontró que culquier entero positivo se puede epresr como el producto de números primos, esto se le conoce como El principio Fundmentl de l Aritmétic. Los números primos los tienen l crcterístic que sólo se pueden dividir ectmente entre ellos mismos l unidd, lgunos de estos números son los siguientes:

8 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí.,,,, 7,,, 7, 9,, 9,.. El proceso pr fctorizr un número en fctores primos se reliz dividiendo consecutivmente el número en fctores primos, jo el siguiente esquem: Por ejemplo el número 8 lo podemos epresr en números primos de l siguiente mner 8 8 Ejercicios:.- Reliz ls operciones siguientes: [ ] c.- { } d.- { } { } e.- [ ] f.- [ ] [ ] g.- [ ].- Descomponer en fctores primos los siguientes números usndo el principio fundmentl de l ritmétic c

9 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD NUMEROS RACIONALES OBJETIVO.- Simplificr relizr operciones con números frccionrios. Estos números se originn por l división de dos enteros, por ejemplo l dividir /, el cul es un entero, pero si cemos l división: 0... El resultdo no es un entero, es posile desrrollr operciones con estos números sin epresrlos en su form deciml, estos se les conoce como frcciones. Un crcterístic de estos números es que l relizr l división sus decimles presentn periodicidd. Los números rcionles se definen como el cociente de dos números enteros, donde 0, se representn por l letr De cuerdo est definición los números enteros son rcionles, por ejemplo el número lo podemos escriir como. Otro concepto importnte es el de frcciones equivlentes, ls cules tienen l propiedd de que su vlor numérico es el mismo, si considermos ls frcciones: entonces 8 8 Ls frcciones equivlentes se otienen l multiplicr o dividir el numerdor o denomindor por el mismo número, ecepto el cero. OPERACIONES Pr sumr frcciones deen tener el mismo denomindor, ls frcciones se pueden 9 sumr directmente:, oserve que solo se sumn los numerdores qued el mismo denomindor. Si ls frcciones tiene diferente denomindor, se deen llevr un denomindor común, esto lo podemos cer usndo el principio de ls frcciones equivlentes. Si queremos sumr ls frcciones: ls trnsformmos en ls frcciones equivlentes: Oserve que el común denomindor es el producto de los denomindores, en lgunos csos el común denomindor se puede otener por oservción, este tiene l propiedd de poderse dividirse entre cd denomindo. Por ejemplo, l operción, el común denomindor pueden ser los números,,, utilizndo culquier de ellos deemos otener el mismo resultdo, por fcilidd se utiliz el Mínimo común denomindor.. Pr otener el MCD se dividen los denomindores entre fctores primos el MCD es el producto de los fctores: 7 Sumr l descomponer cd denomindor en fctores primos se otiene: El MCD80 8

10 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Relizndo l sum PRODUCTO El producto entre frcciones se reliz multiplicndo los numerdores denomindores, ls regls de los signos pr los enteros tmién se plicn pr los rcionles. 8 c d 0 Se oserv que el resultdo nterior se puede otener multiplicndo el numerdor de l primer frcción por el denomindor de l segund se otiene el numerdor de l frcción resultnte l multiplicr el denomindor de l primer por el numerdor de l segund se otiene el denomindor del resultdo: Reliz ls operciones siguientes: c.- d.- e.- f.- 9

11 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD NUMEROS IRRACIONALES OBJETIVO.- Relizr operciones con números irrcionles. Son quellos que no se pueden escriir como un frcción, ls ríces de números que no son ects son irrcionles, sí como el vlor de pi., l crcterístic principl es que los decimles no son periódicos, se representn por. Los números con rdicl se pueden sumr si tienen el mismo orden de su rdicl el mismo surdicl, por ejemplo: Pr multiplicción solo es necesrio que tengn el mismo orden del rdicl: En l división se tiene l mism crcterístic nterior: Pr lguns multiplicciones de números irrcionles es necesrio utilizr un propiedd llmd distriutiv, por ejemplo, consideremos el producto: Al relizr l operción se oserv que el número se multiplic por cd número dentro del préntesis, esto lo podemos generlizr pr culquier número: c c Est propiedd es un de ls más importntes pr el desrrollo del álger. Usndo est propiedd es posile desrrollr los productos: En este ejercicio no es posile simplificr, puesto que rdicles del mismo tipo. Es posile simplificr los rdicles epresndo el surdicl en dos fctores, de tl mner que uno de ello teng l ríz ect, consideremos el rdicl, este lo podemos escriir, pr números más grndes se us el principio fundmentl de l ritmétic. Simplifiquemos 8 8. Otr operción importnte con los rdicles es l rcionlizción, l cul consiste en quitr el rdicl o rdicles del numerdor o denomindor de un cociente donde rdicles. Supongmos que se quiere rcionlizr el denomindor del número el numerdor denomindor por, l operción es:, pr esto se multiplic 0

12 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Ejercicos:.- Simplific los siguientes rdicles: c.-.- Relizs ls operciones indicds: c.- 0 d Rcionlizr el denomindor.-.- c.- Si reunimos todos los números que emos trtdo en un solo conjunto formremos el conjunto llmdo NÚMEROS REALES, los cules tienen l crcterístic de poderse epresr medinte un notción deciml. Así tenemos el siguiente esquem: Enteros Z Rcionles Números reles Frcciones Irrcionles

13 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES OBJETIVO.- Aplicr ls propieddes de cmpo pr desrrollr un operción. Al estudir ls operciones con los números se pueden otener propieddes ásics ls cules se les conoce como propieddes de cmpo de los números reles, que son: Sen,, c números reles:.- Eiste un elemento identidd en l sum multiplicción: 0.- Eiste un inverso multiplictivo ditivo pr cd número ecepto el cero en l multiplicción 0.- Propiedd Asocitiv: c c c c c c.- Propiedd conmuttiv:.- Propiedd Distriutiv: c c.- Propiedd de cerrdur: es un número rel es un número rel El uen mnejo entendimiento de ls propieddes de cmpo de los números reles es requisito indispensle pr poder desrrollr el álger. En ls operciones nteriores precen literles números, ests se les llm epresiones lgerics A continución se muestrn lguns operciones donde se utilizn ls propieddes de cmpo de los números reles. Ejemplo: Multiplicr usemos l propiedd distriutiv: Ejemplo: Multiplicr usndo l propiedd del elemneto identidd propiedd distriutiv propiedd distriutiv propiedd sociti Multiplicr 9 9 propiedd distriutiv propiedd conmuttiv propiedd distriutiv Elemento identidd inverso ditivo

14 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Ejercicio.- relizr ls siguientes operciones, indicndo l propiedd de cmpo utilizd.-.- c.- d.- e.- g

15 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD PROPIEDADES DE LA IGULADAD OBJETIVO. - Aplicr ls propieddes de l iguldd pr resolver ecuciones de primer grdo. El signo igul se us en ritmétic pr indicr el resultdo de un operción: Es decir lo usmos en l lectur de epresiones mtemátics siempre de izquierd derec, o tmién pr relcionr procesos que nos el mismo resultdo: -- En todos los csos nteriores los supuestos que estlecen son siempre verdderos, pero en el cso de que en ls epresiones eistn literles, el sentido del signo igul es diferente, por ejemplo: 7 Est iguldd no se cumple pr culquier vlor de, se oserv que solo el número l ce verdder, en este sentido el signo igul indic restricción, en este cso se le llm un ecución, tomemos or el siguiente ejemplo: Est iguldd se cumple pr culquier vlor de. Si El signo igul relcion dos epresiones que numéricmente son igules, pero están escrits de form diferente. Se dice que ls epresiones son equivlentes en este cso fue un identidd. En álger el signo igul en ests epresiones dee verse en form idireccionl, es decir, deemos verlo ctur tnto de izquierd derec, como de derec izquierd. Otro uso de signo igul es pr relcionr vlores de un vrile con los vlores de otr, esto d origen l concepto de función, si tenemos l epresión: 9 Nos dice que l vlor de l vrile le corresponde el vlor que impone l vrile : Si Si Si 9 7 Como vez el signo igul tiene vris interpretciones que es importnte distinguirls clrmente. Podemos mencionr que l iguldd tiene ls siguientes propieddes. Refleiv Simetric Trnsitiv Aditiv Multiplictiv Si Si Si entonces c entonces entonces entonces c c c c c

16 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Ls propieddes de cmpo de los números reles de l iguldd son de sum importnci pr un mnejo de ls propieddes lgerics. Determinr el vlor de de l siguiente epresión: 0 Pr otener el vlor de deemos plicr ls propieddes de l iguldd ls propieddes de cmpo: 0 Propiedd ditiv 0 Inverso ditivo Elemento identidd Propiedd multiplictiv Elemento identidd Podemos decir que un cntidd ps de un miemro otro efectundo l operción contrri pues eisten propieddes de ls operciones que permiten cerlo sí, es decir, si está sumndo se ps restndo, si está multiplicndo se ps dividiendo vicevers, esto se le conoce como TRANSPOSICION DE TERMINOS. H que tener muco cuiddo l plicr estos tjos, puesto que su plicción incorrect puede conducir errores, resolvmos el ejemplo nterior usndo trnsposición de términos: 8 Psmos el 8 restndo l segundo miemro -8 8 Psmos dividiendo el l segundo miemro luego reducimos 8/ Ejercicio..- Clculr el vlor de l incógnit usndo ls propieddes de l iguldd 8 c d 7 - e - f.- Despejr l literl que se indic en cd fórmul:!"#$ despejr $ %& ', despejr * c -. despejr /

17 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA OBJETIVO.- Plnter resolver prolems que dn origen ecuciones de primer grdo. Es de primordil importnci, contr con un uen se en Álger pr los cursos vnzdos de Mtemátics. Tmién es útil en prolems de l Industri, los Negocios, l Estdístic mucs otrs. El Alger se desrrolldo prtir de l generlizción de ls regls operciones de l Aritmétic. Ls siguientes operciones con números: 7, 78, 79, 0 / Se pueden representr de mner generl si se introducen símolos o letrs pr denotr números ritrrios oteniendo Epresiones Algerics, en ls cules precen números letrs relizndo diferentes operciones, ls operciones nteriores se pueden representr con símolos:, cd,, / Este lenguje del Alger es útil por dos rzones. Primero, puede ser utilizdo pr revir simplificr epresiones lrgs o complicds segundo, es un modo decudo de generlizr mucs epresiones específics. Alguns fórmuls usds en l cienci en l industri nos pueden udr ilustrr l generlidd del Alger. Por ejemplo si un vión vuel rzón constnte de 00 mp mills por or durnte ors, entonces l distnci recorrid es 00 o 00 mills Si l velocidd es de 0 mp el tiempo trnscurrido es de ors, entonces l distnci recorrid es de 0 o 70 mills Si or introducimos símolos denotmos con 0 l velocidd, $ el tiempo trnscurrido d l distnci recorrid, entonces se puede representr 0$, ests epresiones se les conoce como fórmuls. Otro tipo de epresiones que se otienen son los procesos de simolizción de prolems son ls ecuciones de primer grdo, en l cules eisten un o más cntiddes desconocids ls cules se representn por un literl, consideremos l siguiente situción. L sum de ls eddes de Pedro Jun sumn 7 ños, pero Pedro es mor ños que Jun, Cuáles son ls eddes de cd un? En este cso l solución l podrímos otener por prue error, usndo un procedimiento mtemático el plntemiento es el siguiente: Edd de Pedro Edd de Jun 7 Edd de Pedro Edd de Jun Se tommos l edd de Jun, entonces Edd de Pedro Sustituendo en l sum de ls eddes: 7 Resolviendo l ecución se 0, entonces l edd de Jun es 0 ños l de Pedro es ños.

18 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Un person tiene dos tipo de cfé, uno ncionl que cuest $ 0 el kilogrmo otro importdo que tiene un costo de $ 80 el kilogrmo, quiere form un mezcl l cul l pued vender $0 el kilogrmo, determine cuntos kilogrmos de cd cfé dee utilizr: Se dee cumplir que: Cntidd de cfé ncionl Cntidd de cfé importdo00 En cunto los ingresos se tiene: Ingresos por l vent del cfé ncionl Ingresos por el cfé importdo 000 Si considermos Cntidd de cfé ncionl, entonces Cntidd de cfé importdo 00- Sustituendo en l segund condición: Despejndo se otiene que. kg de cfé ncionl, por lo tnto kg de cfé importdo. Ejercicios:.- Determine tres números enteros positivos consecutivos cu sum se 9..- Un person pgó por un pr de zptos $70. L tiend tení un ofert de descuento del %. Cuál er el precio originl de los zptos?.- El Depto. de recursos umnos de Kurod le inform uno de sus empledo que su sueldo se incrementrá un.8%. Si reciirá $0 mensules. Cuál er su slrio nterior?.- Un person quiere invertir $000, tiene dos opciones: l primer un cuent que le pg el 8% de interés nul l otr que le pg el % de interés nul. Al finl de un ño quiere reunir $700 por concepto de intereses, Cuánto dee invertir en cd cuent?.- Se tiene un terreno cuo perímetro es de 00m, si se se que el lrgo es % más grnde que el nco, Cules son ls dimensiones del terreno?.- Un person tiene $0 en moneds de $ de $, si tres veces más moneds de $ que ls de $, Cunts moneds de cd denominción? 7

19 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. 8 ACTIVIDAD 7 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES OBJETIVO.- Relizr operciones usndo ls propieddes de los eponentes. Un potenci con eponente entero positivo, indic el número de veces que un cntidd se tom como fctor, por ejemplo, se pueden otener propieddes generles pr relizr operciones con los eponentes de potencis, el vlor de / se llm se epoenente enteros positivos números, reles números, Sen 0 n m m m m m m m mn n m n m n m n m n m Si se tienen eponentes negtivos se utiliz l propiedd: n n Ejemplos.- Se plicn ls propieddes de los eponentes pr simplificr ls siguientes epresiones sin eponentes negtivos. 7 g 8 8 f e d c

20 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. 9 Ejercicio:.-Usndo ls propieddes de los eponentes simplifique cd epresión sin eponente negtivo supong que ls cntiddes en el denomindor son diferentes de cero j. - i..- - g. f.- 8 e.- d.- c.-

21 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. 0 ACTIVIDAD 8 EXPONENTES RACIONALES OBJETIVO.- Relizr operciones usndo eponentes frccionrios. En ls operciones nteriores solo se trjron eponentes enteros positivos, en generl el eponente puede ser un número rel, continución trtremos los eponentes rcionles. Y se estudiron los números irrcionles lgunos de los cules los podemos representr por medio de un rdicl, por ejemplo definimos que l ríz de un número es otro número que l elevrlo l orden del rdicl d como resultdo el surdicl, por ejemplo. cudrdo se en este cso deemos encontrr un númro que elevdo l puesto que Si recordmos ls propieddes de los eponentes n m nm, tenemos * entonces es válid l siguiente operción: puesto que Que es el resultdo que uscámos. Se conclue que culquier rdicl lo podemos trnsformr un potenci con eponente rcionl: Se n, con >0 si n es pr, entonces n n siempre cundo n se diferente de cero. Ejemplos.- escriir los siguientes rdicles con eponente rcionl 0 Si el surdicl es un potenci se rzon de l mism mner, por ejemplo lo podemos escriir como puesto que, en form más generl podemos decir que: Se m n, con 0 m si n es pr, entonces 0 con, n n m n m Estos eponentes rcionles cumplen con tods ls propieddes de los eponentes enteros, pr su uen mnejo es necesrio recordr ls operciones con los números rcionles, gmos lgunos ejemplos: 7 d c

22 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Ejercicios:.- Usndo ls propieddes de los eponentes simplifique cd epresión, de tl mner que en el resultdo no prezcn eponentes negtivos: f e d c m n m n

23 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. UNIDAD II OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

24 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS OBJETIVO.- Clsificr relizr operciones con epresiones lgerics. Un epresión lgeric está formd por l sum, diferenci o cociente de números literles elevds diferentes potencis, por ejemplo: w En los ejemplos nteriores ls epresiones ls podemos dividir en epresiones más pequeñs llmds términos, por ejemplo tiene dos términos, esto tiene por ojeto cer un clsificción de ls epresiones de cuerdo l número de términos, por ejemplo: 0 0 Tiene dos términos Tiene tres términos Tiene dos términos o cutro El concepto de término es reltivo depende del sentido que se le dé l epresión. A ls epresiones que involucrn sums rests de términos que son productos de números o vriles elevds eponentes enteros les llmremos MULTINOMIOS, por ejemplo: 7 En prticulr si eiste un sol vrile, le llmremos POLINOMIOS, l epresión - es un polinomio con respecto, otros ejemplos: c De lo nterior podemos decir que un término está formdo por el producto de un coeficiente numérico vriles elevds diferentes potencis positivs. Los Multinomios se pueden clsificr de cuerdo su número de términos o su grdo, el segundo se otiene como l sum de los eponentes de l prte literl de cd término, el grdo del multinomio será el mor de los términos. Multinomio Tipo grdo - z c Trinomio Binomio Monomio 8 Monomio 0 Como los términos involucrdos en los multinomios son números reles, ls propieddes de estos son plicles pr ls operciones lgerics. Uno de los ojetivos ásicos del álger es l simplificción de ls epresiones lgerics, es decir, llevrls un form donde se use l menor cntidd posile de términos operciones, sí como relizr ls operciones ásics con ests epresiones.

25 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. L simplificción se s en el concepto de grupción de términos semejntes, los cules tienen l crcterístic de tener l mism prte literl elevd los mismos eponentes, por ejemplo: Términos semejntes,,, Hgmos lgunos ejemplos:.- Simplificr ls siguientes epresiones Podemos omitir lgunos psos pr simplificr ls operciones, se oserv que l grupr sólo se sumn los coeficientes de los términos podemos mrcr los términos semejntes pr no cmirlos de lugr: 8 En conclusión l sumr o restr dos o más epresiones lgerics deemos grupr los términos semejntes, en el cso de l rest deemos cmir de signo l sustrendo, lgunos ejemplos: Sumr Restr z z 8z- z-0 8z- z-0-z z 8z- z-0-z- z z-7 z-0 Sumr Ejercicios..-Indicr en los siguientes ejercicios el tipo grdo de los multinomios: c z c.- - c 8.- Sumr los Multinomios siguientes

26 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. c.- -7c -c c 8c- d.- n m 8 n - n m - n.- Restr los polinomios siguientes: de de -9 9 c.- - de -7 d.- 8 n n n de -9 n - n -.- Relizr ls operciones indicds c- c -7c -c c-7--c -c-

27 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD 0 PRODUCTOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS OBJETIVO.- Relizr productos con epresiones lgerics. Pr multiplicr epresiones lgerics se utiliz l propiedd distriutiv. Por ejemplo l multiplicr por -. Si tommos - como un número, podemos distriuir entre los términos de Aplicmos de nuevo l propiedd distriutiv Agrupmos términos semejntes - Multiplicr no terminos semejntes 9 9 L operción nterior se puede simplificr si multiplicmos cd término de l primer epresión por cd término de l segund: L operción nterior l podemos relizr en l siguiente form

28 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Ejercicio.- Relizr los productos indicdos: c-7 c c d.--7 e f g i.- {-} {--} j.- n - n n n k

29 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD DIVISIONES DE MULTINOMIOS OBJETIVO.- Aplicr el lgoritmo de l división entre Multinomios. Pr dividir dos epresiones dos Multinomios se plic el siguiente lgoritmo:. - Ordenr ls epresiones en form descendente.. - Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.. - Multiplicr el resultdo por los términos del divisor restr el producto l dividendo.. - Determinr si el grdo del primer término del residuo es menor l grdo del primer término del divisor, si lo es, se termin el proceso, si no lo es, se repite el pso en delnte. EJEMPLOS Dividir - entre - Ordenmos los polinomios - 0 -, en el lugr que ocup l potenci se dej un espcio: 0 El resultdo se escrie 0 - Reliz ls siguientes divisiones.- - / / - c.- c c c /c d.- - / 8

30 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. 9 ACTIVIDAD PRODUCTOS NOTABLES OBJETIVO.- Desrrollr inomios usndo ls regls de los productos notles. En l úsqued de rcionlizr el trjo lgerico, es posile encontrr regls que nos permitn cer lguns operciones sin necesidd de desrrollr todo el proceso, esto principlmente en el producto división, en el presente sección se estudirán lguns de ests regls. Como los productos notles fctorizción son dos procesos esencilmente inversos, iniciremos con los productos notles. Un de ls operciones ásics que se pueden desrrollr como un regl es l potenci de inomios, el primer cso es un inomio l cudrdo, l regl l otenemos prtir de l propiedd distriutiv: Omitiendo los psos intermedios tenemos que, trduciendo literlmente tenemos l regl: El cudrdo de un inomio es igul l cudrdo del primer término, más el dole producto del primer término por el segundo, más el cudrdo del segundo término. Al resultdo de elevr un inomio l cudrdo se le denomin trinomio cudrdo perfecto. Ejemplos: Desrrolle los siguientes inomios l cudrdo usndo l regl n n n n n n 8 9

31 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Ejercicios:.- Desrroll cd epresión usndo l regl del inomio l cudrdo:.- c-.- - c.- d.- e.- f.- m n g.- n n.- c j.- i.- k.- l.- m.- n.- De l mism form podemos otener un regl pr elevr un inomio l cuo: Ejercicios.-.- Desrrollr los inomios l cuo, usndo l regl:.-.- c.- d.-.- Relizr ls operciones simplificr.-.- d.- 0

32 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD BINOMIO DE NEWTON OBJETIVO.- Aplicr l fórmul de Newton pr desrrollr un inomio diferentes potencis. Est fórmul permite desrrollr un inomio un potenci positiv, su form es l siguiente: n n n n n n n n n n n n n n k nk k n n.....!! k! L operción k! se le conoce como el fctoril de un número, se clcul: k! k k k k ejemplo! 0 usndo l fórmul del inomio de Newton se otiene: Al desrrollr el inomio!!!! Un form de otener los coeficientes del desrrollo de Newton es usr el tringulo de pscl 0 0 Por ejemplo " " " 7 " * * " 7 " 8" 7 " * ".- Desrroll los siguientes inomios usndo l fórmul de Newton:.-.- c.-

33 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD PRODUCTOS DE BINOMIOS OBJETIVO.- Multiplicr inomios usndo l regl correspondiente. Al multiplicr dos inomios usmos l propiedd distriutiv, por ejemplo: Pr lgunos productos se pueden estlecer regls que permiten relizrlos más rápidmente. Al primer producto se le denomin producto de inomios con un término común, un condición que se pide es que el coeficiente de los términos comunes se uno, por ejemplo: 0 0 c-ccc-cc c-c-c c De los ejemplos se puede oservr que el coeficiente del término centrl del trinomio, es l sum de los términos no comunes el tercer miemro es el producto de éstos, si lo cemos en generl: Lo nterior corroor nuestr firmción, gmos unos ejemplos: En el segundo cso no es muco lo que se puede simplificr, lo sumo lguns operciones L operción nterior l podemos cer jo el siguiente esquem: En form generl: c d c d c d L utilidd de l epresión nterior es más que nd en l fctorizción. Ejemplos:

34 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Otr operción mu común es el producto de dos inomios conjugdos, los cules tienen l crcterístic de solo diferir en un signo, por ejemplo: Desrrollemos estos productos trtndo de encontrr un regl: Se conclue que l multiplicr dos inomios conjugdos se otiene como resultdo el término del mismo sigo elevdo l cudrdo menos el término de signo diferente elevdo l cudrdo, gámoslo en form generl: A este resultdo se l conoce como un diferenci de cudrdos. Ejemplos: c -c -c -c n - n n n n - n Ejercicios.-.- Reliz los siguientes productos usndo l regl: e f.- -- c.- -8 g.- n 7 n -8 d c -c.- Reliz los siguientes productos entre inomios: c.- c-c d e.- {-c}{c} f.- - g

35 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMUN OBJETIVO.- Fctorizr un epresión determinndo un fctor común. L fctorizción es el proceso de descomponer un epresión mtemátic como el producto de fctores, tods ls epresiones se pueden fctorizr. El primer tipo de fctorizción es por fctor común. Por ejemplo: 8c c Fctorizndo cd término, el fctor común está formdo por los fctores repetidos en cd término: ccc cc ccc c c 8c c Se puede otener el segundo fctor dividiendo l epresión originl entre el fctor común: 8c c 8c c c 8c 8c 8c Fctorizr 0 8z Fctorizndo cd término: z z Podemos oservr que el fctor común tiene ls siguientes crcterístics:. -Contiene los fctores comunes de los coeficientes numéricos en el cso de números enteros se epresn en fctores primos se tomn los de menor eponente.- Aprecen ls letrs comunes todos los términos elevds l menor eponente..- El segundo fctor se puede otener l dividir l epresión originl entre el fctor común. Ejemplos: Fctorizr: - - Por simple inspección tenemos que el fctor común es, pr otener l segund epresión dividimos cd término entre el fctor común Fctorizr: 70 c 80 c -00 c Epresmos cd coeficiente en fctores primos

36 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Fctor común de los coeficientes: 0 0 c c c- Fctorizr: en este ejemplo podemos tomr los el fctor común del z 8z z numerdor denomindor: z z z z 8 z z En lgunos csos es necesrio fctorizr lgun cntidd que no se encuentr en todos los términos, por ejemplos: Fctorizr efectu elproducto c tnto l fctorizción es c c v, de l siguiente epresión seotiene c c v v, tommos como fctor pr demostrr queel resultdo es correcto se c, porlo c Fcoriz de l epresión c el reusltdo es Este tipo de fctorizciones son importntes en l solución de ecuciones cudrátics..- Fctorizr cd epresión: c.- -c c d e.- c d cd c d f Fctorizr de cd epresión l cntidd que se te indique: fctor fctor c fctor d fctor e fctor

37 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Eisten otrs epresiones que se pueden fctorizr por medio de fctor común, por ejemplo: cc No eiste un fctor común todos los términos, pero si oservmos el primero curto tienen en común el segundo tercero, podemos gruprlos fctorizr: cc cc Tenemos un fctor común que no es un monomio, sino un inomio, usndo l propiedd distriutiv. c A este tipo de fctorizción se le conoce por grupmiento. Fctorizr: cc Los dos primeros términos tienen como fctor los restntes. cc c c c Ejercicios.-.- Fctorizr cd epresión..- tcc-t c.- t t d.- e m e m e e.- c c

38 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS OBJETIVO.- Identificr un trinomio cudrdo perfecto fctorizrlo como un inomio l cudrdo. A continución trtremos como fctorizr un trinomio cudrdo perfecto, pr esto primero deemos ser cómo identificrlo como tl, por ejemplo el trinomio: Si cemos el proceso inverso, los términos de los etremos deen provenir del cudrdo de dos números, en este cso de, el termino centrl dee ser el dole del producto de estos,, por tnto si es un trinomio cudrdo perfecto, su fctorizción es simplemente un inomio l cudrdo cuos términos son : Otro ejemplo -9 Deemos uscr dos números cuos cudrdos sen respectivmente 9, estos son, or deemos pror que el dole de su productos es el término centrl, no coincide puesto que dee ser -, pr que se cumpl podemos cer negtivo culquier de los números: -- o --, l fctorizción es: -9- o -9- Podemos concluir los siguientes psos pr fctorizr un trinomio cudrdo perfecto:.- Identificr que se trte de un trinomio cudrdo perfecto, pr esto se uscn números cuos cudrdos sen los términos de los etremos el dole producto el término centrl..- Formr el inomio l cudrdo, si el término centrl es negtivo se le sign un signo negtivo culquier de los dos términos del inomio. Ejemplos: fctorizr los siguientes trinomios: -0 Los números que elevdos l cudrdo dn los etremos son, como 0 si es un trinomio cudrdo perfecto: -0- El proceso nterior se puede simplificr jo el siguiente esquem 9 c c c c cc 7

39 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. c - 9 Primero fctorizmos por fctor común: Con un poc de práctic l verificción se puede cer mentlmente. d n n n n n n e f 9 g Ejercicios.-.- Fctorizr cd trinomio: - m -8m c d - e c m c m f -- g 0 9 i 8

40 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD 7 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS OBJETIVO.- Fctorizr o descomponer trinomios como un producto de dos inomios. Aor trtremos los trinomios donde el coeficiente del primer término es uno se puede escriir como cd. Recordemos que estos provienen del producto de dos inomios de l form de tl mner que: Entonces dee cumplirse que c d es decir, deemos uscr dos números cuo producto se d su sum se c, por ejemplo: Los únicos números que multiplicdos su resultdo es, son -- sumdos son los primeros, l fctorizción es: Fctoricemos -- Los fctores de - son - ó - de estos, el segundo cumple que su sum es el término centrl --, por lo tnto: --- Otro ejemplo: - los fctores del número son --, los primeros cumplen que su sum es -: --- El proceso es por tnteos lo podemos resumir :.- Buscr los posiles fctores del tercer término.- Determinr cuáles de los fctores nteriores su sum es el coeficiente del término centrl..- Formr el producto de los inomios. En cunto l signo de los fctores podemos concluir:.- Si el segundo tercer término son positivos, los fctores son positivos..- Si son de diferente signo o negtivos mos, los fctores tiene signo diferente..- Si el segundo es negtivo el tercero positivo, mos fctores son negtivos. Ejemplos: 0 Los fctores del son:, 8, como el segundo tercer término son positivos, los fctores deen ser positivos son 8 9

41 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí Los fctores son,como el segundo tercer término son negtivos, los fctores deen tener diferente signo, tommos - puesto que Eisten otros ejemplos que se pueden justr este cso, como 8 8, en el primero podemos cer c, entonces el trinomio tomrí l form c c8 que fctorizdo es cc, sustituendo c el resultdo es, pr cer este cmio l ríz cudrd del primer término dee precer como l prte literl del segundo. Ejemplo: fctorizr - es resultdo es 7 -. En el segundo cso 8 se puede resolver por nlogí, si oservmos l ríz cudrdo de l prte literl del primero tercer término precen como producto en el término centrl, entonces solo uscmos dos números que multiplicdos sen sumdos 8, estos son, l fctorizción es: 8 Fctorizr - -8 el resultdo es - El cso más generl es donde el coeficiente del primer término del trinomio se diferente de uno, estos trinomios son de l form e fd deen provenir del producto de dos inomios de l form c d : c d c d c d e f g Se dee cumplir que : e c, f dc, gd Esto signific que deemos uscr los fctores de e g, cominrlos decudmente pr otener f. Fctorizr -7- Los fctores de son 8, los fctores de son Promos cominciones st otener -7, como el tercer término del trinomio es negtivo los fctores del deen tener diferente signo: - -- no cumplen si cumplen Fctorizr 9-9 Fctores de, Fctores de 9, 9 Con un poco de ingenio podemos drnos cuent que l fctorizción es:

42 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. Ejercicios.-.- Fctorizr cd trinomio: c.- c c- d.- -- e.- -8 f.- - g z -z8 i j.- c 0c8 k.- n n l.- 0 m.- 0 n.- -0 ñ.- -7 o.- -c-c p.- - q.- 000

43 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD 8 FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS, SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS OBJETIVO.- Fctorizr epresiones donde se tienen diferencis de cudrdos, sums diferencis de cuos Otro tipo de fctorizción es l de un diferenci de cudrdos l cul d como resultdo el producto de dos inomios conjugdos, cuos términos son l ríz cudrdo de los términos de l diferenci de cudrdos, por ejemplo: n - n n n n - n [ ][ ] 9 Ls cutro últims fctorizciones son de sum importnci en l solución de ecuciones cudrátics. Ejercicios.-.- Fctorice cd epresión: c - c.- - d e.- - f.- c m - m g Un diferenci de cuos se puede fctorizr usndo l identidd este resultdo se otiene l relizr l división resultdo es. Ejemplos: cuo

44 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. c - 9 c - c - c c Un sum de cuos se fctoriz con l identidd. El trinomio - no se puede fctorizr. Ejemplos: 8 - c 9 c c - c c 8-9 Ejercicios.-.- Fctorice ls siguientes epresiones 7 c - c 9 d 8 e n n f

45 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD 9 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN OBJETIVO.-Poner en práctic l identificción solución de diferentes tipos de epresiones lgerics. Donde los productos notles ls fctorizciones son operciones inverss. No que perder de vist que ls regles son tn solo vís más prctics, en lguns ocsiones, pr otener un resultdo. Pero ests pueden olvidrse o confundirse fácilmente lo que puede ocsionr un plicción incorrect de ls misms. Lo más recomendle prenderse un regl trvés de l relizción repetid de ls operciones lgerics correspondientes cer uso de ls regls solo cundo se está seguro de que el resultdo es correcto..- Desrroll cd epresión usndo ls regls de los productos notles: e.-- d.- - e.- - f.-t -t g c m - m i.-d c -c j.- 8 k.- m - n m n l.-e -e -.- Fctoriz cd un de ls siguientes epresiones: -9- c -9 d -- e c c 9 f g j c c k - l cc m e -e n -7 ñ c c / ow 8 7w p r ru0vrutvt s t - - u --8 v m mn n w z - z 7-

46 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. UNIDAD III EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALES

47 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD 0 EXPRESIONES RACIONALES OBJETIVO.-Simplificr epresiones numérics lgerics, rcionles. Los números rcionles están formdos por el cociente de dos números enteros, por ejemplo: / -/ /7 -/9 En generl estos números se pueden epresr como con 0, or, si considermos el numerdor denomindor son multinomios o polinomios, entonces tendremos un epresión rcionl, por ejemplo: En todos los csos nteriores el denomindor dee ser diferente de cero; continución se desrrolln métodos pr simplificr relizr operciones con epresiones rcionles. En primer lugr se trtrá l simplificción de epresiones rcionles, pr esto recordemos que un número rcionl se puede simplificr epresndo el numerdor 8 denomindor en fctores primos, por ejemplo l frcción se puede simplificr: 8 Lo nterior tmién se puede cer cncelndo los fctores comunes, recordndo que l cer esto se multiplic por l unidd: 8 / / / / / / Cundo se tienen epresiones rcionles podemos proceder de l mism mner, es decir epresr el numerdor denomindor en fctores cncelr los comunes. Ejemplo: Simplificr Cncelmos fctores comunes: Simplificr, Epresmos el numerdor denomindor en fctores / / / / el numerdor es un diferenci de cudrdos en el denomindor podemos fctorizr por fctor común: Se elimino el fctor común en el numerdor denomindor. Un error mu común es trtr de cncelr ntes de epresr en fctores:

48 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. / / Un mner de compror si tenemos un error es sustituir un vlor en l vrile, como los resultdos son equivlentes ecepto pr - *, el resultdo de l operción deen coincidir, tomemos : Como se oserv los results no coinciden Pr simplificr epresiones rcionles que tener mu uen mnejo de l fctorizción, gmos otros ejemplos: Simplificr inomios: fctorizndo el numerdor denomindor como producto de dos 8 Simplificr en este cso el numerdor es un diferenci de cuos el denomindor un diferenci de cudrdos: Simplificr fctorizndo el numerdor por grupmiento Aprentemente no podemos cncelr ningún fctor, si oservmos l epresión del denomindor solo tiene cmidos los signos, pr cmirle de signo l nteponemos un signo negtivo: * En l epresión originl - ce que el denomindor se cero, pero en el resultdo simplificdo pr este vlor si eiste l epresión. 7

49 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. 8 Ejercicios.-.- Simplificr cd un de ls siguientes epresiones rcionles ñ n 9 m l k j i g f e d c 8 8 c c c c k k k

50 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. 9 ACTIVIDAD MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS OBJETIVO.- Relizr operciones con frcciones simplificción de resultdos. Al multiplicr dos números rcionles, se multiplic el numerdor denomindor de cd epresión, por ejemplo: 0 0 En el cso de epresiones rcionles se proced de l mism mner: Pr simplificr se procede de l mism mner que en l sección nterior, fctorizndo cd epresión pr cncelr fctores comunes: En generl pr multiplicr epresiones rcionles se fctoriz el numerdor denomindor en cd epresión enseguid se cnceln fctores comunes: 9.- Reliz cd uno de los siguientes productos 0 g f e d 9 8 c m n m n m

51 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. 0 Pr dividir epresiones rcionles se us el mismo criterio que pr los números rcionles: Se oserv que l división l podemos trnsformr en un multiplicción, simplemente tomndo el reciproco de divisor, en ls epresiones rcionles el procedimiento es el mismo: Fctorizndo cd epresión: 9 9 Otro ejemplo: Primero efectumos l operción entre préntesis:.- Reliz ls operciones siguientes g f e 9 d 8 8 c 9 7 z z z z z

52 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONES COMPLEJAS OBJETIVO.-Efectur operciones de sum su plicción en l simplificción de frcciones complejs. Al sumr números rcionles es necesrio primero otener el mínimo común denomindor, el cul es el resultdo de l fctorizción de cd denomindor en sus fctores primos se tomn los fctores diferentes elevdos l potenci mor: 7 00 Fctorizndo cd denomindor en fctores primos: El M.C.D. es 900, usemos el lgoritmo pr l sum de rcionles: En el cso de epresiones rcionles el procedimiento es nálogo, es decir cd denomindor se epres en fctores se tomn los fctores diferentes elevdos l potenci mor, por ejemplo: Los denomindores están epresdos en fctores, el M.C.D. es, or dividimos el M.C.D. entre cd denomindor el resultdo se multiplic por su numerdor correspondiente: Enseguid se simplific l epresión resultnte, en este ejemplo no es posile. Ejemplo: 8 9 fctorizmos cd denomindor: l primer epresión podemos simplificrl 0 L epresión resultnte no se puede simplificr. Otro ejemplo fctorizndo cd denomindor: L simplificción se dej l lector.

53 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí..- Efectú ls operciones indicds, simplificndo su mínim epresión el resultdo: i 8 g 8 f e d c 7 s s s s r s r s r s r t t n n n n n rs t r r t z z z 0 l k j m n n m n mn m n m Por último estudiremos ls epresiones rcionles complejs, en ls cules tenemos epresiones rcionles en el numerdor denomindor, pr simplificrls recordemos como se trj con ls frcciones complejs: Primero reducimos el numerdor denomindor un frcción: 0

54 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. En ls epresiones rcionles complejs se trj de l mism mner: Epresndo el numerdor denomindor como un sol frcción: Si eisten mor número de frcciones, se reduce primero ls más lejds de l división principl:.- Simplific cd un de ls siguientes frcciones compuests g f 7 e d 7 c

55 Curso de Alger Trigonometrí pr Ingenierí. ACTIVIDAD SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES CON RADICALES OBJETIVO.- Simplificr diferentes tipos de epresiones con rdicles. En ls epresiones con rdicles podemos tener por ejemplo: - El ojetivo de est sección es desrrollr métodos que nos permitn simplificr relizr operciones con epresiones de este tipo. Primero trtremos como simplificrls, recordemos que un rdicl se puede escriir como un eponente rcionl: n Este resultdo lo podemos utilizr pr estlecer ls siguientes propieddes: n n m n n n n m n n n n n n mn n n m n n Ls cules son un plicción de ls propieddes de los eponentes enteros, or l pregunte es Cómo podemos utilizr ls propieddes nteriores pr simplificr un epresión rcionl?,consideremos el siguiente ejemplo, tenemos que tiene ríz cudrd ect que es, si tenemos, no tiene ríz ect, pero podemos epresrl en dos fctores de tl mner que uno teng ríz ect plicmos l propiedd otenemos, en generl este procedimiento lo podemos plicr en culquier rdicl. Simplificr descomponiendo en fctores de tl mner que lgunos de ellos tengn ríz ect: Si eisten coeficiente numéricos enteros, se descomponen en fctores primos se tomn tntos fctores como el orden del rdicl, simplificr descomponemos el número en sus fctores primos se otiene 8 : Tenemos entonces Simplificr 800 fctorizndo en fctores primos tenemos que Simplificr 8 lo podemos escriir en fctores de l siguiente form: 8 Si tenemos un Multinomios en el rdicl, deemos trtr de epresrlo en fctores, uscndo que tengn ríz ect pr etráelos del rdic: