Guía de Materia Movimiento circular

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1 Física Guía de Materia Movimiento circular Módulo Electivo III Medio Nicolás Melgarejo, Verónica Saldaña Licenciados en Ciencias Exactas, U. de Chile Estudiantes de Licenciatura en Educación, U. de Chile

2 1. Movimiento circular uniforme Un cuerpo se encuentra en movimiento circular cuando la trayectoria que describe es una circunferencia o un arco de circunferencia. Si dicho movimiento se realiza a una velocidad de módulo constante, el movimiento circular es uniforme. Una partícula que gira atada al extremo de una cuerda es un ejemplo de movimiento circular. En la imagen se observa que el vector velocidad de la partícula varía continuamente de dirección, pero su magnitud se mantiene constante, es decir, se trata de un movimiento circular uniforme M.C.U Velocidad lineal La velocidad a la cual hacemos referencia en el ejemplo anterior es denominada velocidad lineal o tangencial, la cual se representa a través del vector tangente al punto de la trayectoria circular en que se halla la partícula en movimiento. Este vector cambia de dirección constantemente, por lo que la velocidad lineal no es constante. En un M.C.U. la velocidad tangencial mantiene su magnitud constante apidez lineal La rapidez lineal o tangencial es el módulo de la velocidad lineal, en un M.C.U. se mantiene constante y podemos determinar su valor a través del cuociente entre la distancia recorrida por la partícula y el tiempo que demora en recorrer dicha distancia. El tiempo que la partícula tarda en dar un giro completo se denomina periodo del movimiento, se le representa con la letra T. La distancia que recorre el cuerpo con M.C.U. en el lapso de un periodo T es igual al perímetro de la circunferencia 2π. Así, la rapidez tangencial v de un M.C.U. está dada por: v = 2π T donde es el radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria. (1) 1.3. Periodo Como se indicó anteriormente, el periodo T es el tiempo que una partícula emplea en dar una vuelta completa a su trayectoria. En un M.C.U. el periodo se mantiene constante, es decir, el cuerpo siempre demora la misma cantidad de tiempo en realizar un giro. 2

3 Ejemplo Determine la rapidez tangencial de un móvil que describe una circunferencia de 10[cm] de radio en 0,2[s]: Solución: Para hallar la rapidez lineal v, basta con reemplazar los datos dados en el enunciado en la ecuación (1): v = 2π 2π 10[cm] [ cm ] = = 314 T 0, 2[s] s 1.4. Frecuencia Se llama frecuencia f a la cantidad de giros o revoluciones que realiza un cuerpo en movimiento en una determinada unidad de tiempo, en particular, con movimiento circular. En un M.C.U. la frecuencia es constante y se puede determinar haciendo el cuociente entre la cantidad de giros y el tiempo empleado en hacer esos giros. En particular, si consideramos el cuociente entre una vuelta y el tiempo usado para dar esa vuelta se concluye que: f = 1 T [ ] 1 En el S.I. la unidad de medida de la frecuencia es el Hertz [Hz], donde 1[Hz] =1 s Ejemplo Un motor da revoluciones por minuto. Determine su periodo. Solución: El enunciado indica que el motor realiza giros en un lapso de tiempo igual a 60 segundos, ya que un minuto equivale a 60 segundos. Con esta información es posible determinar la frecuencia de oscilación del motor: f = [ ] giros = 50[Hz] 60 segundo Aplicando la ecuación (2) obtenemos el valor del periodo T : T = 1 f = 1 [s] = 0, 02[s] 50 Es decir, el motor demora 0,02 segundos en completar una revolución. (2) Desafío... En un hilo de 1[m] de largo se atan dos piedras, una en un extremo de la cuerda y la otra a 40[cm] del extremo, tal como se muestra en la figura. Si se hace girar el hilo a razón de 3 vueltas por segundo, qué sucede con la rapidez lineal de las piedras? son iguales? ó una tiene mayor rapidez que la otra? espuesta 3

4 1.5. Velocidad angular Una partícula que se mueve con movimiento circular pasa por la posición P 1, después de un intervalo de tiempo t está pasando por la posición P 2, en este lapso de tiempo el radio de la trayectoria del movimiento del cuerpo ha barrido un ángulo θ. La relación entre el ángulo θ descrito y el intervalo de tiempo t empleado para describirlo se denomina velocidad angular ω del cuerpo en movimiento. En un M.C.U. la velocidad angular se mantiene constante, su magnitud está dada por: ω = θ t Como la velocidad angular se mantiene constante, podemos hallar el valor de ω para el instante en que la partícula completa una vuelta, tendremos que θ = 2π radianes y t = T, así: ω = 2π T donde recordemos que T es el período o tiempo que emplea el cuerpo en dar un giro completo. Sabiendo que la frecuencia f es el inverso multiplicativo del periodo, la expresión (4) es equivalente a: (3) (4) ω = 2πf (5) Si a la ecuación (4) multiplicamos el valor del radio de la circunferencia que sigue el cuerpo como trayectoria, se obtiene la expresión (1): ω = 2π T Se concluye: ω = v (6) El vector velocidad angular ω es perpendicular al plano en donde se dibuja la trayectoria circular del movimiento de la partícula, su origen se encuentra en el eje de rotación y su sentido depende del sentido del vector velocidad lineal v. Es posible expresar la ecuación (6) vectorialmente como producto cruz: ω = v (7) donde es el vector posición del cuerpo. Estos vectores son perpendiculares entre sí y se relacionan a través de la regla de la mano derecha. 4

5 Desafío... especto al desafío anterior, qué sucede con la magnitud de la velocidad angular de las piedras? son iguales? ó una tiene mayor rapidez angular que la otra? espuesta Ejemplo Calcule la magnitud de la velocidad tangencial de un punto de la línea del Ecuador de la Tierra. Considere el radio terrestre igual a 6.000[Km] Solución: La Tierra tarda un día en dar un giro completo respecto de su eje de rotación. En una vuelta o giro completo, el radio terrestre barre un ángulo de 360, lo que expresado en radianes es igual a 2π. De acuerdo a esto, la velocidad angular ω del movimiento de rotación terrestre es: ω = 2π rad día Un día corresponde a 24 horas. Como cada hora tiene 60 minutos y cada minuto tiene 60 segundos, realizando un sencillo cálculo puede concluir que un día equivale a segundos. eemplazando: ω = 2π [ ] rad s Aplicando la ecuación (6) obtenemos el valor de la magnitud de la velocidad tangencial, es decir, la rapidez tangencial v del punto del Ecuador: v = ω = 2π [ ] [ ] rad Km 6.000[Km] = 0, s s 1.6. Aceleración centrípeta Sabemos que en un M.C.U. la magnitud de la velocidad lineal o tangencial de la partícula se mantiene constante, lo que implica que no existe sobre el cuerpo aceleración tangencial. Pero la dirección del vector velocidad lineal cambia, por lo tanto, existe una variación de dicho vector en el tiempo, lo que a su vez genera el vector aceleración centrípeta a c. El vector a c tiene la dirección del radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria y siempre apunta hacia el centro de ésta. Su magnitud está dada por la ecuacione: a c = v2 5 (8)

6 donde v es la magnitud de la velocidad lineal, el radio de la circunferencia. Según la ecuación (6) v = ω, reemplazando en (8) nos queda que: (ω )2 a c = = ω2 2 = ω 2 (9) donde es el radio y ω la magnitud de la velocidad angular Fuerza centrípeta De acuerdo a la segunda ley de Newton, si un cuerpo con M.C.U. se ve afectado por la aceleración centrípeta, entonces sobre este cuerpo actúa una fuerza que provoca dicha aceleración. Esta fuerza a sido denominada fuerza centrípeta, tiene igual dirección y sentido que la aceleración centrípeta. Su magnitud queda determinado por: F c = m a c donde m corresponde a la masa del objeto en movimiento y a c a su aceleración centrípeta. eemplazando las ecuaciones (8) y (9) obtenemos: F c = m v2 (10) F c = m ω 2 (11) Desafío... espuesta Demuestre que la magnitud de fuerza centrípeta es igual al producto del momentum lineal p y la rapidez angular ω, es decir, F c = p ω 6

7 Ejemplo Determine la magnitud de la fuerza centrípeta sobre un automóvil de 10[Kg], el cual recorre una pista circular de 80[m] de radio, con M.C.U. a 72 [ ] Km h de velocidad lineal. Solución: De acuerdo a los datos entregados en el enunciado, la ecuación pertinente para determinar el módulo de la fuerza centrípeta F c es la número (10). eemplazando: F c = m v2 = 10[Kg] ( [ 72 Km ]) 2 h 80[m] Note que es necesario trasformar los [Km] de la unidad de la velocidad lineal, ya que el radio de la pista está expresada en metros. Además transformaremos la unidad hora a segundos para escribir la respuesta en Newton: F c = 10[Kg] ( [ m s 80[m] ]) 2 [ = 50 Kg m ] s 2 = 50[N] 1.8. Momento angular Momento angular o cantidad de movimiento angular L corresponde a una característica de los cuerpos que están en rotación, es la medida de la inercia rotacional de un cuerpo que gira. El momento angular es un vector perpendicular al plano de la trayectoria del cuerpo que rota, el cual tiene una magnitud dada por: L = p (12) donde es el radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria y p es la magnitud del vector momento lineal de la partícula. El momento lineal p es una característica de los cuerpos con masa que se mueven a cierta velocidad, es la medida de la inercia de un cuerpo que se traslada, su magnitud está dada por: p = m v (13) donde m es la masa del cuerpo en movimiento y v su velocidad, en el caso de moverse con M.C.U. v es la velocidad lineal de la partícula. eemplazando la ecuación (13) en la expresión (12) se obtiene: L = m v (14) eemplazando la ecuación (6) en esta última expresión se concluye que el momento angular depende de la masa del cuerpo que gira, de su velocidad angular y del radio de giro de su trayectoria: Es posible escribir vectoriamente la ecuación (12) como producto cruz: L = m 2 ω (15) L = p (16) donde es el vector posición del cuerpo. Estos vectores son perpendiculares entre sí y se relacionan a través de la regla de la mano derecha. 7

8 1.9. Conservación del momento angular El momento angular se conserva si no actúa sobre el objeto o sistema en rotación un momento de torsión o torque externo neto. ecordemos que torque τ es una magnitud vectorial que indica cuantitativamente la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo respecto de un eje de giro. En función del cambio de momento angular L del cuerpo o sistema en rotación, el torque puede se expresado como: τ = L (17) t donde t es el intervalo de tiempo en el cual se produce la variación de momento angular. Aplicar un torque a un cuerpo o sistema mecánico en rotación genera una variación o cambio en su momento angular. Si la magnitud de torque es nulo, es decir, τ = 0, entonces el cambio en el momento angular también es nulo. Por lo tanto, si no actúa un torque externo sobre un objeto o sistema en rotación, el momento angular se mantiene constante, es decir, se conserva. Ejemplo Un hombre está sentado en una silla giratoria mientras sostiene dos bolas de boliche de 3[Kg] cada una. Después de darse [ un impulso comienza a girar con los brazos estirados, las bolas rotan con una rapidez m ] lineal igual a 2 con un radio de giro igual a 60[cm]. Si el radio de giro disminuye a 40[cm] al recoger s sus brazos, cuál es la rapidez lineal de las bolas de boliche? Solución: Por el principio de conservación del momento angular, la magnitud del momento angular antes de recoger los brazos, L i, es igual a la magnitud del momento angular después de recoger los brazos, L f, así: L i = L f eemplazamos en la ecuación (14) los valores correspondientes al antes y después de haber cambiado el radio de giro: i m i v i = f m f v f Como la masa de las bolas de boliche no varía, la expresión se reduce a: i v i = f v f Despejamos el valor de la rapidez de las bolas después de haber encojido los brazos, v f, y hallamos su valor reemplazando los datos: [ m ] v f = i v 60[cm] 2 [ i = s m ] = 3 f 40[cm] s 8

9 Desafíos resueltos Desafío I: La piedra que está en el extremo de la cuerda tiene mayor rapidez lineal que la que se encuentra a 40[cm] del extremo, pues en el mismo tiempo describe una circunferencia mayor, es decir, recorre una mayor distancia. Volver Desafío II: Ambas piedras poseen igual rapidez angular ya que describen ángulos iguales en tiempos iguales. Volver Desafío III: Por la ecuación (10) tenemos que: F c = m v2 que puede ser reescrita como: F c = m v v Como el momentum es igual a masa por velocidad (P = m v) y por la ecuación (6) ω = v, entonces: Volver F c = p ω 9

10 Bibliografía [1 ] Física 3 Educación Media, Santillana (2010) Luis Pavez, Javier Jiménez, Esteban amos. [2 ] Física General, Tercera edición, Harla. México (1981) Beatríz Alvarenga, Antônio Máximo. [3 ] Física Tomo I, Tercera edición, Mc Graw-Hill. México (1992) aymond A. Serway. [4 ] Física Conceptual, Novena edición, Pearson Educación. México (2004) Paul Hewitt. [5 ] Introducción a la Física, Séptima edición, Editorial Kapelusz, Argentina (1958) Alberto Maiztegui, Jorge Sabato. [6 ] Manual de preparación PSU ciencias módulo optativo, Física, Ediciones Universidad Católica de Chile, Chile (2004) Miguel Ormazabal Díaz-Muñoz, Oscar Bravo Lutz, Luz María Gazzolo Torrealba. 10

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