Funciones Racionales y Asíntotas
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- Mario Maestre Flores
- hace 7 años
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1 Funciones Racionales y Carlos A. Rivera-Morales Precálculo II Funciones Racionales y
2 Tabla de Contenido Verticales y Horizontales Funciones Racionales y
3 : Contenido Discutiremos: qué es una función racional Funciones Racionales y
4 : Contenido Discutiremos: qué es una función racional asíntotas verticales y sus ecuaciones Funciones Racionales y
5 : Contenido Discutiremos: qué es una función racional asíntotas verticales y sus ecuaciones asíntotas horizontales y sus ecuaciones Funciones Racionales y
6 : Contenido Discutiremos: qué es una función racional asíntotas verticales y sus ecuaciones asíntotas horizontales y sus ecuaciones la relación entre la gráfica de una función racional y las asíntotas Funciones Racionales y
7 Funciones Racionales Funciones Racionales Definición: Una función racional r en una variable real x es una función de la forma r(x) = P (x) Q(x), donde P (x) y Q(x) son polinomios. Funciones Racionales y
8 Funciones Racionales Funciones Racionales Definición: Una función racional r en una variable real x es una función de la forma r(x) = P (x) Q(x), donde P (x) y Q(x) son polinomios. Nota: Supondremos que la fracción racional P (x) Q(x) forma más simple. está en su Funciones Racionales y
9 Funciones Racionales Funciones Racionales Definición: Una función racional r en una variable real x es una función de la forma r(x) = P (x) Q(x), donde P (x) y Q(x) son polinomios. Nota: Supondremos que la fracción racional P (x) Q(x) forma más simple. está en su El dominio de r es el conjunto de números reales excepto aquellos para los cuales el denominador es igual a cero. Esto es, D r = {x R Q(x) 0} Funciones Racionales y
10 Funciones Racionales Aunque las funciones racionales se construyen con polinomios, sus gráficas son, en general, diferentes a las gráficas de funciones polinomiales. Veamos algunos ejemplos. Funciones Racionales y
11 Funciones Racionales Aunque las funciones racionales se construyen con polinomios, sus gráficas son, en general, diferentes a las gráficas de funciones polinomiales. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1: r(x) = 1 x ; D r = {x R x 0} Funciones Racionales y
12 Funciones Racionales Aunque las funciones racionales se construyen con polinomios, sus gráficas son, en general, diferentes a las gráficas de funciones polinomiales. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1: r(x) = 1 x ; D r = {x R x 0} Figura: r(x) = 1 x Funciones Racionales y
13 Funciones Racionales r(x) = 1 x ; D r = {x R x 0} Funciones Racionales y
14 Funciones Racionales r(x) = 1 x ; D r = {x R x 0} Funciones Racionales y
15 Funciones Racionales Podemos indicar lo anterior como sigue: r(x) + según (o cuando) x 0 + Funciones Racionales y
16 Funciones Racionales Podemos indicar lo anterior como sigue: r(x) + según (o cuando) x 0 + r(x) según (o cuando) x 0 Funciones Racionales y
17 Funciones Racionales Podemos indicar lo anterior como sigue: r(x) + según (o cuando) x 0 + r(x) según (o cuando) x 0 r(x) 0 según (o cuando) x + Funciones Racionales y
18 Funciones Racionales Podemos indicar lo anterior como sigue: r(x) + según (o cuando) x 0 + r(x) según (o cuando) x 0 r(x) 0 según (o cuando) x + r(x) 0 según (o cuando) x Funciones Racionales y
19 Funciones Racionales Usando notación de cálculo: lím r(x) = + x 0 + Funciones Racionales y
20 Funciones Racionales Usando notación de cálculo: lím r(x) = + x 0 + lím r(x) = x 0 Funciones Racionales y
21 Funciones Racionales Usando notación de cálculo: lím r(x) = + x 0 + lím r(x) = x 0 lím r(x) = 0 x + Funciones Racionales y
22 Funciones Racionales Usando notación de cálculo: lím r(x) = + x 0 + lím r(x) = x 0 lím r(x) = 0 x + lím r(x) = 0 x Funciones Racionales y
23 Funciones Racionales: Para la función r(x) = 1 x : Los ejes de coordenadas son asíntotas de la gráfica de r(x) = 1 x. Funciones Racionales y
24 Funciones Racionales: Para la función r(x) = 1 x : Los ejes de coordenadas son asíntotas de la gráfica de r(x) = 1 x. El eje vertical es una asíntota vertical y el eje horizontal es una asíntota horizontal. Funciones Racionales y
25 Funciones Racionales: Para la función r(x) = 1 x : Los ejes de coordenadas son asíntotas de la gráfica de r(x) = 1 x. El eje vertical es una asíntota vertical y el eje horizontal es una asíntota horizontal. También se dice que la gráfica tiene un comportamiento asintótico con respecto a esas dos líneas. Funciones Racionales y
26 Funciones Racionales: Para la función r(x) = 1 x : Los ejes de coordenadas son asíntotas de la gráfica de r(x) = 1 x. El eje vertical es una asíntota vertical y el eje horizontal es una asíntota horizontal. También se dice que la gráfica tiene un comportamiento asintótico con respecto a esas dos líneas. Funciones Racionales y
27 Funciones Racionales: Hay tres tipos de asíntotas: Funciones Racionales y
28 Funciones Racionales: Hay tres tipos de asíntotas: 1 verticales Funciones Racionales y
29 Funciones Racionales: Hay tres tipos de asíntotas: 1 verticales 2 horizontales Funciones Racionales y
30 Funciones Racionales: Hay tres tipos de asíntotas: 1 verticales 2 horizontales 3 oblicuas Funciones Racionales y
31 Funciones Racionales: Hay tres tipos de asíntotas: 1 verticales 2 horizontales 3 oblicuas Sólo estudiaremos los primeros dos tipos. Funciones Racionales y
32 Funciones Racionales: Verticales Ejemplo 2: r(x) = 1 x+2 ; D r = {x R x 2} Figura: r(x) = 1 x+2 Funciones Racionales y
33 Funciones Racionales: Verticales r(x) = 1 x+2 ; D r = {x R x 2} Nota: La línea vertical x = 2 es una asíntota vertical de la gráfica de r. Funciones Racionales y
34 Funciones Racionales: Verticales r(x) = 1 x+2 ; D r = {x R x 2} Nota: La línea vertical x = 2 es una asíntota vertical de la gráfica de r. Verticales Definición: La línea x = a es una asíntota vertical de la función y = f(x) si y tiende a ± cuando x tiende a por la derecha o por la izquierda. Funciones Racionales y
35 Funciones Racionales: Verticales Verticales Nota: En general, la línea vertical con ecuación x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una función racional r(x) = P (x) Q(x), en su forma más simple o reducida, si a / D r. Funciones Racionales y
36 Funciones Racionales: Verticales Verticales Nota: En general, la línea vertical con ecuación x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una función racional r(x) = P (x) Q(x), en su forma más simple o reducida, si a / D r. Esto es, si a es un cero de Q(x). Funciones Racionales y
37 Funciones Racionales: Verticales Ejemplo 3: r(x) = x+2 x 3 ; D r = {x R x 3} Funciones Racionales y
38 Funciones Racionales: Verticales Ejemplo 3: r(x) = x+2 x 3 ; D r = {x R x 3} Figura: r(x) = x+2 x 3 Funciones Racionales y
39 Funciones Racionales: Horizontales r(x) = x+2 x 3 ; D r = {x R x 3} La línea vertical x = 3 es una asíntota vertical y la recta y = 1 es una asíntota horizontal de la gráfica de r. Funciones Racionales y
40 Funciones Racionales: Horizontales r(x) = x+2 x 3 ; D r = {x R x 3} La línea vertical x = 3 es una asíntota vertical y la recta y = 1 es una asíntota horizontal de la gráfica de r. Horizontales Definición: En general, la línea horizontal con ecuación y = b es una asíntota horizontal para la gráfica de una función racional r, en su forma más simple o reducida, si r(x) tiende a b según x tiende a ±. Funciones Racionales y
41 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Ejemplo 4: r(x) = D r = {x R x 1, 4} x 2 x 2 3x 4 = x 2 (x+1)(x 4) ; Funciones Racionales y
42 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Ejemplo 4: r(x) = D r = {x R x 1, 4} x 2 x 2 3x 4 = x 2 (x+1)(x 4) ; Figura: r(x) = x+2 (x+1)(x 4) Funciones Racionales y
43 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales r(x) = x 2 (x+1)(x 4) ; D r = {x R x 1, 4} La gráfica de r tiene dos asíntotas verticales con ecuaciones x = 1 y x = 4 y una asíntota horizontal con ecuación y = 0. Funciones Racionales y
44 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Nota: Sea r la función racional r(x) = P (x) Q(x) = anxn +a n 1 x n a 1 x+a 0 b mx m +b m 1 x m 1 + +b 1 +b 0, en su forma más simple o reducida. Funciones Racionales y
45 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Nota: Sea r la función racional r(x) = P (x) Q(x) = anxn +a n 1 x n a 1 x+a 0 b mx m +b m 1 x m 1 + +b 1 +b 0, en su forma más simple o reducida. 1 Las asíntotas verticales de la gráfica de r son las líneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. Funciones Racionales y
46 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Nota: Sea r la función racional r(x) = P (x) Q(x) = anxn +a n 1 x n a 1 x+a 0 b mx m +b m 1 x m 1 + +b 1 +b 0, en su forma más simple o reducida. 1 Las asíntotas verticales de la gráfica de r son las líneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. horizontales: Funciones Racionales y
47 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Nota: Sea r la función racional r(x) = P (x) Q(x) = anxn +a n 1 x n a 1 x+a 0 b mx m +b m 1 x m 1 + +b 1 +b 0, en su forma más simple o reducida. 1 Las asíntotas verticales de la gráfica de r son las líneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. horizontales: 2 a) Si n < m, entonces r tiene asíntota horizontal y = 0. Funciones Racionales y
48 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Nota: Sea r la función racional r(x) = P (x) Q(x) = anxn +a n 1 x n a 1 x+a 0 b mx m +b m 1 x m 1 + +b 1 +b 0, en su forma más simple o reducida. 1 Las asíntotas verticales de la gráfica de r son las líneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. horizontales: 2 a) Si n < m, entonces r tiene asíntota horizontal y = 0. b) Si n = m, entonces r tiene asíntota horizontal y = an b m Funciones Racionales y
49 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Nota: Sea r la función racional r(x) = P (x) Q(x) = anxn +a n 1 x n a 1 x+a 0 b mx m +b m 1 x m 1 + +b 1 +b 0, en su forma más simple o reducida. 1 Las asíntotas verticales de la gráfica de r son las líneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. horizontales: 2 a) Si n < m, entonces r tiene asíntota horizontal y = 0. b) Si n = m, entonces r tiene asíntota horizontal y = an b m c) Si n > m, entonces r no tiene asíntota horizontal. Funciones Racionales y
50 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Nota: Sea r la función racional r(x) = P (x) Q(x) = anxn +a n 1 x n a 1 x+a 0 b mx m +b m 1 x m 1 + +b 1 +b 0, en su forma más simple o reducida. 1 Las asíntotas verticales de la gráfica de r son las líneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. horizontales: 2 a) Si n < m, entonces r tiene asíntota horizontal y = 0. b) Si n = m, entonces r tiene asíntota horizontal y = an b m c) Si n > m, entonces r no tiene asíntota horizontal. Además, los interceptos-x de la gráfica de r son los ceros de P (x), el numerador. Funciones Racionales y
51 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Ejemplo 5: Graficar r(x) = x 1 x 2 x 6. Primero, se expresa la función r en forma factorizada. r(x) = x 1 (x+2)(x 3) Funciones Racionales y
52 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Ejemplo 5: Graficar r(x) = x 1 x 2 x 6. Primero, se expresa la función r en forma factorizada. x 1 r(x) = (x+2)(x 3) D r = {x R x 2, 3} Funciones Racionales y
53 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Ejemplo 5: Graficar r(x) = x 1 x 2 x 6. Primero, se expresa la función r en forma factorizada. x 1 r(x) = (x+2)(x 3) D r = {x R x 2, 3} Interceptos: intercepto-x = 1 ; intercepto-y = 1 6 Funciones Racionales y
54 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales Ejemplo 5: Graficar r(x) = x 1 x 2 x 6. Primero, se expresa la función r en forma factorizada. x 1 r(x) = (x+2)(x 3) D r = {x R x 2, 3} Interceptos: intercepto-x = 1 ; intercepto-y = 1 6 Ecuaciones de las asíntotas: Verticales: x = 2; x = 3 ; Horizontal: y = 0 Funciones Racionales y
55 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales r(x) = x 1 x 2 x 6 = x 1 (x+2)(x 3). Funciones Racionales y
56 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales r(x) = x 1 x 2 x 6 = x 1 (x+2)(x 3). Se determinan los intervalos de prueba para luego construir un esquema de signos haciendo uso de los valores para los cuales r(x) = 0 y los valores para los cuales no está definida. Intervalos de prueba:(, 2), ( 2, 1), (1, 3), (3, + ) Funciones Racionales y
57 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales r(x) = x 1 x 2 x 6 = x 1 (x+2)(x 3). Se determinan los intervalos de prueba para luego construir un esquema de signos haciendo uso de los valores para los cuales r(x) = 0 y los valores para los cuales no está definida. Intervalos de prueba:(, 2), ( 2, 1), (1, 3), (3, + ) Figura: Gráfica de los Intervalos de Prueba Funciones Racionales y
58 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales r(x) = x 1 x 2 x 6 = x 1 (x+2)(x 3). Esquema de signos: Figura: Signos de r(x) = x 1 (x+2)(x 3) Funciones Racionales y
59 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales r(x) = x 1 x 2 x 6 = x 1 (x+2)(x 3). Luego, se juntan todas las piezas y se construye un esquema de la gráfica de r. Funciones Racionales y
60 Funciones Racionales: Verticales y Horizontales r(x) = x 1 x 2 x 6 = x 1 (x+2)(x 3). Luego, se juntan todas las piezas y se construye un esquema de la gráfica de r. Figura: Gráfica der(x) = x 1 Funciones (x+2)(x 3) Racionales y
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