palabra igual ya que es fundamental para todo lo se que realiza en matemática.

Transcripción

1 ECUACIONES ALGEBRAICAS. Introducción Parte de la genialidad que tuvo la humanidad fue la creación de la palara igual ya que es fundamental para todo lo se que realiza en matemática. Pero descriir tal palara puede no ser tan sencillo como parece. Cuando se escrie: 7 = no significa que el símolo de la izquierda coincide con el de la derecha. En camio, significa que el símolo complicado y el sencillo representan al mismo número. Este es el significado fundamental de cómo se utiliza la palara igual en matemática. A continuación se dee hacer otra diferencia en el uso del símolo =. Cuando se escrie: y 9 0 se tienen dos epresiones indiscutilemente distintas en mente. En el primer caso, se está haciendo una afirmación. Se afirma que no importa qué número representa, la epresión de la izquierda y la epresión de la derecha de la igualdad, representan al mismo número. Este no puede ser el significado que dee dársele al segundo caso, pues aquí se está haciendo una pregunta, la Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

2 cual es: Qué números puede simolizar para que amos lados de la igualdad 9 = 0 representen al mismo número? Una igualdad que es verdadera para todos los valores de la variale, se llama identidad. Aquella que es válida sólo para algunos valores, recie el nomre de ecuación condicional. Otra gran diferencia entre estas dos definiciones, es que las identidades se demuestran, mientras que las ecuaciones se resuelven (se encuentran soluciones). Amas son operaciones muy importantes en matemática; sin emargo, parte de la segunda es la que se estudiará en este capítulo. Son algunos ejemplos de identidades, las epresiones: ) 6 + = ) + 7 = 7 + ) ( ) = + ) + = + Son algunos ejemplos de ecuaciones, las epresiones: ) = ) + 7 = 6 ) ) Cuando la variale se sustituye por un número específico, el resultado puede ser verdadero o falso. Si es cierto, el número constituye una solución o raíz de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones recie el nomre de Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

3 conjunto solución de la ecuación. Un número que es una solución se dice que satisface la ecuación. Una ecuación algeraica en la variale es un enunciado en el que se dice que dos epresiones de son iguales. Es costumre llamar a la variale de una ecuación incógnita. Algunas veces se puede resolver una ecuación por simple inspección. Se necesita poca imaginación y ningún recurso matemático para ver que la ecuación: = 0 tiene por raíz a =. Por otro lado, resolver la ecuación + 0 = 0 es ya un prolema distinto. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario usar ciertos recursos. La estrategia general es modificar una ecuación paso a paso hasta llegar a una forma en que la solución sea inmediata. Desde luego, hay que tener cuidado al hacer las modificaciones para no camiar las soluciones. En general, se usa el concepto de ecuaciones equivalentes, que son ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, las tres ecuaciones siguientes son equivalentes: 0 = 0 = 0 = Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

4 Un tipo de importante de ecuación es la ecuación polinomial de una variale, que puede escriirse de la forma P = 0, donde P es un polinomio en una variale. El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, así por ejemplo las ecuaciones: 0 = = 0 y + y y = 0 es de primer grado es de segundo grado es de tercer grado t - t + = 0 es de cuarto grado Hay ecuaciones algeraicas en las que, eisten términos que contienen epresiones racionales, como por ejemplo: a este tipo de ecuación se le conoce como ecuación racional. Finalmente, se presentan algunas ecuaciones que tienen la variale dentro uno o más radicales, llamadas ecuaciones irracionales. Por ejemplo, 7 0 En este capítulo se analizarán los siguientes tipos de ecuaciones algeraicas:.- De primer grado.- De segundo grado Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

5 .- Racionales que conducen a ecuaciones de primer o segundo grado.- Irracionales. Ecuaciones algeraicas de primer grado La ecuación de primer grado o lineal, es una ecuación de la forma: a + = 0 donde a y son números reales y a 0. Es el tipo de ecuación más sencillo para resolver y se reconoce por tener la variale o incógnita únicamente elevada a la primera potencia. Para resolver las ecuaciones de primer grado se dee tener en cuenta las siguientes reglas para modificar ecuaciones:.- Si se suma o se resta la misma cantidad a amos lados de una ecuación, sus soluciones no varían..- Al multiplicar o dividir amos lados de una ecuación por la misma cantidad diferente de cero, no varían sus soluciones. Ejemplo: Considérese la ecuación 7 = + 8 sumando a amos lados, se tiene 7 = + restando a amos lados, se tiene = Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

6 dividiendo entre a amos lados, luego = Se puede verificar que el valor encontrado, efectivamente es la solución de la ecuación. La verificación es la pruea de que el valor otenido para la incógnita es correcto, la misma se realiza sustituyendo dicho valor en la ecuación dada, y si es cierto, la ecuación se convertirá en una identidad; así, en el ejemplo anterior, haciendo = en la ecuación dada, resulta: 7 = + 8 7() = () + 8 = = 7 lo cual es cierto. Ejemplo ilustrativo Otener el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones. ) y + 6y 8 = 7y y ) ( ) ( + 6 ) = ( 8 + ) ( 6 ) ) ( t ) = ( t + ) ) ( + )( ) = 9 ( 6 )( ) ) { + [ ( + 6 ) ] } = 6) ( + ) = ( ) con cualquier real diferente de cero Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

7 7) 8) ) ( + ) = ( + 6 ) Solución: ) y + 6y 8 = 7y y y 8 = 7y + 0 y = 7y y = 7y + 8 y 7y = 8 agrupando términos semejantes sumando 8 a amos lados agrupando términos semejantes restando 7y a amos lados 6y = 8 agrupando términos semejantes y dividiendo entre 6 amos lados ) ( ) ( + 6 ) = ( 8 + ) ( 6 ) + 6 = eliminando los paréntesis = + 7 = + 8 = 8 agrupando términos semejantes sumando a amos lados restando a amos lados = 8 agrupando términos semejantes Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

8 9 dividiendo entre y simplificando ) ( t ) = ( t + ) t 0 = t t 0 = t t = t + 9 t + t = 9 t = 9 t = eliminando los paréntesis agrupando términos semejantes sumando 0 a amos lados sumando t a amos lados agrupando términos semejantes dividiendo entre amos lados ) ( + )( ) = 9 ( 6 )( ) ( ) = 9 (6 + ) multiplicando = eliminando los paréntesis = agrupando términos semejantes + = + 7 sumando 6 a amos lados 8 + = 7 restando a amos lados 8 = restando a amos lados = dividiendo entre 8 amos lados ) { + [ ( + 6 ) ] } = { + [ 6 ] } = { } = eliminando los paréntesis eliminando los corchetes Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

9 + 6 = = = 8 = eliminando los paréntesis agrupando términos semejantes restando a amos lados dividiendo entre amos lados 6) ( + ) = ( ) con 0 + = multiplicando 7 + = 7 = = sumando a amos lados restando a amos lados dividiendo entre 7 amos lados 7) El mínimo común múltiplo de,,, y es 60. Multiplicando por 60 todos los términos de la ecuación, se tiene: ( ) 0( ) ( ) ( ) efectuando las divisiones = + 60 eliminando los paréntesis + = + 60 agrupando términos semejantes 7 + = 60 7 = = / 7 sumando a amos lados restando a amos lados dividiendo entre 7 amos lados Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

10 8) El mínimo común múltiplo de 6 y es. Multiplicando por todos los términos de la ecuación, se tiene: ( 0 + ) = 8 ( 6 + ) efectuando las divisiones y productos 8 0 = eliminando los paréntesis 6 0 = 9 agrupando términos semejantes 0 = 9 6 restando 6 a amos lados 0 = agrupando términos semejantes = / dividiendo entre 0 y simplificando 9) ( + ) = ( + 6 ) eliminando los paréntesis, se tiene 6 + = 6 + restando 6 a amos lados, se otiene = lo cual es falso. Como no hay valor que satisfaga la ecuación, entonces se dice que la solución de la ecuación es vacía cuyo símolo es Ø. Otener el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones. ) y + 6y 8 = 7y y ) ( ) ( + 6 ) = ( 8 + ) ( 6 ) Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

11 ) ( t ) = ( t + ) ) ( + )( ) = 9 ( 6 )( ) ) { + [ ( + 6 ) ] } = 6) ( + ) = ( ) con cualquier real diferente de cero 7) 8) ) ( + ) = ( + 6 ). Ecuaciones algeraicas de segundo grado La ecuación de segundo grado o cuadrática, es una ecuación de la forma: a + + c = 0 donde a, y c son números reales y a 0. Este tipo de ecuación se reconoce por tener la variale o incógnita elevada al cuadrado. Una ecuación cuadrática tiene como máimo tres términos, es decir eisten ecuaciones de segundo grado que poseen uno, dos y tres términos. Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

12 Deido a lo epuesto anteriormente, se ve claramente que hay cuatro formas distintas de encontrar ecuaciones de segundo grado en función a sus términos, que son:.- = 0 y c = 0 a = 0.- = 0 y c 0 a + c = y c = 0 a + = y c 0 a + + c = 0 Estudiando caso por caso, se tiene: Primer caso: Dada ecuación a + + c = 0, si = 0 y c = 0, entonces a = 0; la solución es trivial, pues el único número que la satisface es = 0. Ejemplos: ) = 0 ). = 0 ) = 0 Segundo caso: Dada ecuación a + + c = 0, si = 0 y c 0, entonces a + c = 0. En cuanto a a y c, se presenta dos posiilidades, que son:.- a y c tienen igual signo.- a y c tienen diferente signo.- Si a y c tienen igual signo, la solución no pertenece a los números reales, pues la suma algeraica de dos términos (a + c) es diferente de 0. La solución pertenece a los números complejos, y es: c a c a i Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

13 Ejemplo ilustrativo 6 Resolver las ecuaciones: ) + 0 = 0 ) 7 7 = 0 Solución: ) + 0 = 0 Despejando la, se tiene la solución compleja: 0 i La solución es: i ) 7 7 = 0 Despejando la, se tiene la solución compleja: 7 7 i La solución es: i.- Si a y c tienen diferente signo, la solución pertenece a los números reales, y es: c a Ejemplo ilustrativo 7 Resolver las ecuaciones: ) 6 = 0 ) = 0 Solución: Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

14 ) 6 = 0 Dividiendo entre toda la ecuación, se otiene: = 0 Factorizando la diferencia de cuadrados: ( )( + ) = 0 Aquí vale la pena preguntarse Cuándo el producto dos números da 0? La respuesta es sencilla, simplemente cuando uno de ellos es 0, es decir: = 0 o + = 0 Si = 0 = Si + = 0 = La solución de la ecuación 6 = 0 es el conjunto, que puede escriirse de la siguiente forma ) = 0 Multiplicando por ( ) la ecuación, se otiene: = 0 La nueva presentación es similar al ejemplo anterior, que puede resolverse de la siguiente manera: Sumando a amos lados de la igualdad = Dividiendo entre la ecuación = Aquí vale la pena preguntarse Qué números elevados al cuadrado dan? La respuesta es sencilla, simplemente la raíz cuadrada de y recordando que cualquier número elevado al cuadrado resulta positivo, entonces la Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

15 solución de la ecuación = 0 es el conjunto. La ecuación tiene dos valores de que la satisfacen, que son: y. Tercer caso: Dada ecuación a + + c = 0, si 0 y c = 0, entonces a + = 0. La solución de esta ecuación es de fácil comprensión, factorizando la misma resulta: a + = 0 ( a + ) = 0 y para que el producto de dos números valga 0, es necesario que uno de ellos sea 0, por consiguiente = 0 o a + = 0 la primera solución es = 0 y la segunda se otiene de resolver la ecuación de primer grado: a + = 0 restando a amos lados, se tiene dividiendo entre a a = = / a Ejemplo ilustrativo 8 Resolver las ecuaciones: ) = 0 ) 9 = 0 Solución: ) = 0 Sacando factor común, ( ) = 0 Luego = 0 o = 0 Por consiguiente la soluciones son = 0 y = Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

16 ) 9 = 0 ( 9 ) = 0 = 0 y = 9 / Cuarto caso: Dada ecuación a + + c = 0, si 0 y c 0, entonces a + + c = 0. Para resolver ecuaciones de este tipo, se requiere de un estudio especial, cuyo procedimiento de descrie a continuación: Sea a + + c = 0, se resolverá esta ecuación para en términos de a, y c, completando cuadrados, de manera que el trinomio sea cuadrado perfecto. Primero se divide entre a la ecuación a + + c = 0 + a + a c = 0 + a + a c = 0 + a = a c Ahora se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de a amos lados: + + a a c = + a a a a c a ac a a a a ac Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

17 a ac a a ac Estos valores de son las soluciones de la ecuación a + + c = 0. Se ha otenido así la fórmula cuadrática que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, simplemente sustituyendo los valores de a, y c en dicha fórmula. Ejemplo ilustrativo 9 Aplicando la fórmula cuadrática resolver las siguientes ecuaciones: ) 6 0 = 0 ) + 0 = 0 ) + = 0 ) + 9 = 0 Solución: ) 6 0 = 0 Al sustituir por a = 6, = y c = 0 en a ac resulta: ( ) ( ).6.6.( 0 ) Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

18 El conjunto de las soluciones es ) + 0 = 0 Al sustituir por a =, = y c = 0 en a ac resulta: ( ) ( ) El conjunto de las soluciones es Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

19 Hay algunas ecuaciones cuadráticas que fácilmente se pueden resolver factorizando, como es el caso de + 0 = 0. Se presenta a continuación otra manera para resolverla: Sea + 0 = 0 ( 0 )( ) = 0 Luego = 0 y = ) + = 0 Esta epresión de segundo grado es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que su solución se facilita factorizando + = 0 ( ) = 0 por consiguiente = 0 Esta ecuación tiene por solución una raíz dole que es ) = 0 Al sustituir por a =, = 8 y c = en a ac resulta: 8 ( 8 ) Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

20 Osérvese que 6 no tiene solución real. Usualmente se acostumra decir que no tiene solución, y es porque se traaja en los números reales. Lo que se dee decir es que no tiene solución en el campo de los números reales, deido a que en el campo de los números complejos si tiene solución. Recuérdese, lo siguiente: 6 = y como i =, se tiene: 6 = 6i 8 6i i 0 i i 8 6i i 0 i El conjunto de soluciones es Finalmente, se mostrará cómo otener información acerca del carácter de las raíces de una ecuación cuadrática sin tener que resolverla. fórmula cuadrática a ac Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia En la, la cantidad suradical ac recie el nomre de discriminante de la ecuación cuadrática. El carácter de

21 las raíces puede determinarse oteniendo el valor del discriminante, por los que:.- Si ac = 0, la ecuación tiene dos raíces reales e iguales; es decir tiene una raíz dole.- Si ac > 0, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.- Si ac < 0, la ecuación no tiene solución real; las raíces son imaginarias y diferentes; son complejos conjugados entre sí. Ejemplo ilustrativo 0 Determinar el carácter de las raíces de cada una de las siguientes ecuaciones: ) + = 0 ) + 0 = 0 ) = 0 Solución: ) + = 0 ac = ( ).. = 6 6 = 0 Presenta una raíz dole, como se demostró en el ejemplo anterior numeral, cuando se resolvió y se encontró que la ecuación tiene por solución la raíz dole. ) + 0 = 0 Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

22 ac = ( )..0 = 0 = 8 > 0 La ecuación tiene dos raíces reales y diferentes como se demostró en el ejemplo anterior numeral, y cuya solución fue ) = 0 ac = ( 8 ).. = 6 00 = 6 < 0 La ecuación tiene dos raíces imaginarias y diferentes como se demostró en el ejemplo anterior numeral, y cuya solución fue. No tiene raíces reales... Ecuaciones racionales que conducen a ecuaciones de primer y segundo grado Una ecuación racional es aquella en la que aparecen términos que son epresiones racionales. Son ejemplos de ecuaciones racionales: y y y t 6 t 0 Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

23 Ejemplo ilustrativo Encontrar los valores de que satisfacen cada una de las siguientes ecuaciones ) 8 ) 0 z z 6 ) ) ) 6) Solución: ) 8 Como la división entre 0 no esta definida, entonces se dee cumplir que 0. El m.c.m. de: 8, y es 8. Multiplicando por 8 todos los términos de la ecuación: restando a amos lados = dividiendo entre amos lados Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

24 = Nota importante: Al resolver una ecuación racional, se dee comproar que el resultado otenido satisface dicha ecuación. Comproación: ) 0 z z 6 Como la división entre 0 no esta definida, entonces se dee cumplir que z y z 6. El m.c.m. de: ( z) y (z + 6) es ( z).(z + 6). Multiplicando por ( z).(z + 6) todos los términos de la ecuación:.( z z ).( z 6 ) z.( 6 z ).( z 6 ) 0.( z ).( z 6 ) z ( z) = 0 z z = 0 eliminando el paréntesis 8 z = 0 agrupando términos semejantes z = 8 restando 8 a amos lados z = 9 dividiendo entre amos lados Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

25 Comproación: 0 z z = 0 ) Como la división entre 0 no esta definida, entonces se dee cumplir que y. El m.c.m. de: ( + ) y ( + ) es ( + ).( + ). Multiplicando por ( + ).( + ) todos los términos de la ecuación:.. ( ).( + ) = ( ).( + ) + 8 = 8 8 = 8 = = 0 = 0 efectuando los productos notales restando a amos lados sumando 8 a amos lados sumando a amos lados dividiendo entre amos lados Comproación: Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

26 = ) En la ecuación se dee cumplir que: y. El m.c.m. de: ( + ) y ( + ) es ( + ).( + ). Multiplicando por el m.c.m. todos los términos de la ecuación:.. ( + ).( + ) = ( ).( + ) + + = + + = efectuando los productos notales restando a amos lados = restando a amos lados Lo cual es falso, por lo tanto no hay valor de que satisfaga dicha ecuación, luego la solución es Ø. ) 6 factorizando Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

27 En la ecuación se dee cumplir que: y. Multiplicando por el m.c.m., que es ( + )( ), todos los términos de la ecuación:... ( ) + ( + ) = = 8 8 = 8 = = efectuando los productos agrupando términos semejantes sumando 8 a amos lados dividiendo entre 8 amos lados Comproación: El valor otenido no satisface la ecuación, pues la división entre 0 no esta definida. Además, este valor se ha descartado al comenzar a resolver el ejercicio. Por consiguiente, la solución es Ø. 6) factorizando Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

28 En la ecuación se dee cumplir que: 0 y. Multiplicando por el m.c.m., que es ( + ), todos los términos de la ecuación:.. ( ) = efectuando el producto y restando a amos lados = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado ( ) ( )...( ) Para que estos dos valores sean solución, dee realizarse su verificación en la ecuación original. Comproación: Para = Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

29 . = la satisface Para = /. 6 = / la satisface El conjunto de las soluciones es,. Ecuaciones irracionales Una ecuación irracional es aquella que tiene una o más incógnitas, ajo el signo radical. Son ejemplos de ecuaciones irracionales: Para resolver una ecuación irracional se dee tener en cuenta lo siguiente: Si A y B son dos epresiones algeraicas, entonces A = B es una Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

30 ecuación algeraica, y su conjunto de soluciones es suconjunto de soluciones de la ecuación A n = B n donde n es cualquier entero positivo. Ejemplo: La ecuación: = 0 tiene por conjunto de soluciones. Si se eleva al cuadrado amos lados se otiene: = 00 tiene por conjunto de soluciones. El conjunto solución de la primera ecuación es suconjunto del conjunto de soluciones de la segunda. Ejemplo ilustrativo Encontrar los valores de que satisfacen cada una de las siguientes ecuaciones ) ) y y ) ).. Solución: ) 6) 6 ) restando a amos lados elevando al cuadrado amos miemros 0 resolviendo las potencias Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

31 0 0 agrupando términos semejantes en un solo miemro ( 0 )( ) = 0 factorizando por consiguiente: = 0 o = Comproación: Para =. 9 = es solución Para = = es falso No satisface la ecuación original, y se le denomina solución etraña, la cual se introdujo cuando se elevaron amos miemros al cuadrado En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { }. ) y y y y Sumando y a amos lados y y Elevando al cuadrado amos miemros y y y Resolviendo las potencias y Agrupando términos semejantes y Elevando al cuadrado amos miemros y y Dividiendo entre Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

32 Comproación: y y = es solución En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { }. ) El miemro de la izquierda presenta la suma de dos términos positivos que nunca va a dar 0, por consiguiente no eiste valor de que satisfaga la ecuación, en consecuencia la solución es Ø ).... Elevando a la cuatro amos miemros. Resolviendo las potencias. 0 Agrupando términos semejantes 70 Dividiendo entre amos miemros 70 Elevando al cuadrado amos miemros 900 Resolviendo las potencias 90 Sumando a amos miemros Comproación: Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

33 es solución En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 90 }. )... Multiplicando por el m.c.m que es Resolviendo los productos Elevando al cuadrado amos miemros + = + = 0 Resolviendo las potencias Restando a amos miemros ( )( ) = 0 Factorizando Por consiguiente = o = Comproación: Para = = = es raíz Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

34 Para = = = no es raíz En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { }. 6) 6 6 Elevando al cuadrado amos miemros 6 Resolviendo las potencias 6 Sumando a amos lados 6 Elevando al cuadrado amos miemros Resolviendo las potencias 0 8 Agrupando términos semejantes Por consiguiente, = 0 Comproación: = es raíz En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 0 }. Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

35 Ejercicios propuestos Encontrar el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones. ) ( ) = ( 6 ) 8 ) = ) 6y [ y ( 6 9y ) ] = 0y + [ ( y + ) ( y + ) ] ) 0( m 9 ) 9( 6m ) = ( m ) + ( m + ) ) ( w + )( w ) ( w )( w + ) 6 = 8w ( w )( w + 7 ) 6) ( )( ) = ( 0 )( 7 ) 7) 0 8) v 8 v v 6 v ) 6 0) a( y a ) ( y ) = a ) a a a ) a a a a a ) 9 = 0 ) 0 = 0 ) = 7 6) m m = 6 7) 7 + = 0 8) = 9) + = 0) + = 0 ) = + ) ( + ) = ( ) 7( ) ) ( ) ( + )( ) = 0( ) + 7 Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

36 ) ( + )( ) ( + )( ) + = ) + + = 0 6) ( ) ( 6 ) = ( ) 7) t t t t t 8 8) 0 7 9) y y y 0) 7 60 ) 6 7 ) 6 9 ) w w 8 7w w ) 9 ) 8 6) 7) 8) 0 9) 0) 0 ) ) t t 6 ) 0 0 ) ) Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

37 6) 7) 0 Respuestas ) { / } ) { / } ) { / } ) { } ) { } 6) { / } 7) { 9 } 8) { } 9) { / } 0) y = a + con a ) = a con a ) = ( a + ) con a ) { ± / } ) {, } ) 6) {, 6 } 7) { /, } 8) { 0, } 9) { /, / } 0) 7 ) 7 ) { / 9, } ) {, 6 } ) { 8, } ) No tiene solución real, i. 7 6) { } 7) { / } 8) { 8 } 9) { } Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia

38 0) { /, } ) { } ) { /, 6 } ) { /, } ) { / 9 } ) { / } 6) { } 7) { } 8) { } 9) { / } 0) {, } ) { } ) { } ) { } ) { /, } ) { } 6) { 0 } 7) Te Preparamos En Matemática-Física-Química-Lógica Para tus Eamenes de Admisión Unet-Ula..etc. Telefonos: (076)-970; (06)-7986 ; Años de Eperiencia Hacen la Diferencia