Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones

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1 Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU.

2 1 Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones algebraicas Soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas 2 Desigualdades Propiedades Ejemplos con desigualdades 3 Sistemas de coordenadas rectangulares Plano coordenado Distancia entre dos puntos Punto medio de un segmento 4 Gráficas de ecuaciones Rectas Pendiente Ecuación de la circunferencia 5 Funciones Definición de función Dominio Funciones cuadráticas Función compuesta

3 Ecuaciones Definición de ecuación Una ecuación (o igualdad) es un enunciado en el cual dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales. Ejemplos: Caida de un cuerpo: s = 1 2 gt2 + v 0t Ecuación en y: 3y + 5 = 0 Ecuación en x: 1 x + 1 = x + 2 Ecuación de las lentes: 1 f = 1 p + 1 q Ecuación en z: 3z 2 + z = 1 z Capital más interés: A = P + P rt

4 Ecuaciones Definición de ecuación Una ecuación (o igualdad) es un enunciado en el cual dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales. Ejemplos: Caida de un cuerpo: s = 1 2 gt2 + v 0t Ecuación en y: 3y + 5 = 0 Ecuación en x: 1 x + 1 = x + 2 Ecuación de las lentes: 1 f = 1 p + 1 q Ecuación en z: 3z 2 + z = 1 z Capital más interés: A = P + P rt

5 Terminología Terminología Definición Ejemplo Ecuación en x Igualdad que contiene la variable x x x 2 = 3x + 1 Solución o raíz, de una ecuación en x Resolver una ecuación en x Un número, digamos b, que al sustituirlo por x nos da una igualdad. Encontrar todas las soluciones de la ecuación b = 2 es solución de la ecuación: x 2 16 = 10 x Las soluciones de x 2 + x 2 = 0, que equivale a resolver (x + 2)(x 1) = 0, son x = 2 y x = 1 Teorema P Q = 0 si, y sólo si P = 0 o Q = 0.

6 Terminología Terminología Definición Ejemplo Ecuación en x Igualdad que contiene la variable x x x 2 = 3x + 1 Solución o raíz, de una ecuación en x Resolver una ecuación en x Un número, digamos b, que al sustituirlo por x nos da una igualdad. Encontrar todas las soluciones de la ecuación b = 2 es solución de la ecuación: x 2 16 = 10 x Las soluciones de x 2 + x 2 = 0, que equivale a resolver (x + 2)(x 1) = 0, son x = 2 y x = 1 Teorema P Q = 0 si, y sólo si P = 0 o Q = 0.

7 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0.

8 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0. 2 Cuadrática: 9x 2 8x + 1 = 0.

9 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0. 2 Cuadrática: 9x 2 8x + 1 = 0. 3 Expresión racional: 3 7x 2 = 6 2x + 1 (reducible a lineal)

10 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0. 2 Cuadrática: 9x 2 8x + 1 = 0. 3 Expresión racional: 3 7x 2 = 6 2x + 1 (reducible a lineal) 4 Expresión racional: 4 x 3 = x 9 (reducible a cuadrática)

11 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0. 2 Cuadrática: 9x 2 8x + 1 = 0. 3 Expresión racional: 3 7x 2 = 6 2x + 1 (reducible a lineal) 4 Expresión racional: 4 x 3 = x 9 5 x 3 x 2 + x 1 = 0 (no es lineal ni cuadrática) (reducible a cuadrática)

12 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0. 2 Cuadrática: 9x 2 8x + 1 = 0. 3 Expresión racional: 3 7x 2 = 6 2x + 1 (reducible a lineal) 4 Expresión racional: 4 x 3 = x 9 5 x 3 x 2 + x 1 = 0 (no es lineal ni cuadrática) (reducible a cuadrática)

13 Soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas Ecuación lineal: ax + b = 0 con a 0 Solución: x = b a Ecuación cuadrática: ax 2 + bx + c = 0, a 0. 1 Factorización x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0. Soluciones: x = k y x = d. 2 Completación de cuadrados x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = x 2 + bx + b 2 2 b 2 2+ c = 0 x + b 2 2 = b 2 2 c. Ejemplo Resolver: 5x + 3 = 25 + x Solución: 5x + 3 = 25 + x 4x = 28 x = 7 Soluciones: x = b 2 ± r b 2 2 c 3 Fórmula general ax 2 + bx + c = 0. Soluciones: x = b ± b 2 4ac 2a

14 Soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas Ecuación lineal: ax + b = 0 con a 0 Solución: x = b a Ecuación cuadrática: ax 2 + bx + c = 0, a 0. 1 Factorización x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0. Soluciones: x = k y x = d. 2 Completación de cuadrados x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = x 2 + bx + b 2 2 b 2 2+ c = 0 x + b 2 2 = b 2 2 c. Ejemplo Resuelva: x 2 + 4x 45 = 0 Solución: x 2 + 4x + 45 = 0 (x 5)(x + 9) = 0. Así: x = 5 y x = 9 Soluciones: x = b 2 ± r b 2 2 c 3 Fórmula general ax 2 + bx + c = 0. Soluciones: x = b ± b 2 4ac 2a

15 Soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas Ecuación lineal: ax + b = 0 con a 0 Solución: x = b a Ecuación cuadrática: ax 2 + bx + c = 0, a 0. 1 Factorización x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0. Soluciones: x = k y x = d. 2 Completación de cuadrados x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = x 2 + bx + b 2 2 b 2 2+ c = 0 x + b 2 2 = b 2 2 c. Ejemplo Resuelva: x 2 8x + 8 = 0 Solución: x 2 8x + «2 «2 8 8 = (x 4) 2 = 8 x 4 = ±2 2 x = 4 ± 2 2 Soluciones: x = b 2 ± r b 2 2 c 3 Fórmula general ax 2 + bx + c = 0. Soluciones: x = b ± b 2 4ac 2a

16 Soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas Ecuación lineal: ax + b = 0 con a 0 Solución: x = b a Ecuación cuadrática: ax 2 + bx + c = 0, a 0. 1 Factorización x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0. Soluciones: x = k y x = d. 2 Completación de cuadrados x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = x 2 + bx + b 2 2 b 2 2+ c = 0 x + b 2 2 = b 2 2 c. Ejemplo Resuelva: Solución: x + 1 3x + 2 = x 2 2x 3 (x + 1)(2x 3)=(x 2)(3x + 2) 2x 2 x 3 = 3x 2 4x 4 x 2 3x 1 = 0 x = 3 ± 13 2 Soluciones: x = b 2 ± r b 2 2 c 3 Fórmula general ax 2 + bx + c = 0. Soluciones: x = b ± p b 2 4ac 2a

17 Observación. Para la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 cuya solución viene dada por x = b ± b 2 4ac, el valor b 2 4ac se conoce como 2a discriminante. Si b 2 4ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Si b 2 4ac = 0 la ecuación tiene una única solución real. Si b 2 4ac < 0 la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas). Recomendaciones para la solución de problemas Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad desconocida (o incógnita). Relacione los datos conocidos con la incógnita a través de una ecuación. Resuelva la ecuación y compruebe las soluciones obtenidas.

18 Observación. Para la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 cuya solución viene dada por x = b ± b 2 4ac, el valor b 2 4ac se conoce como 2a discriminante. Si b 2 4ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Si b 2 4ac = 0 la ecuación tiene una única solución real. Si b 2 4ac < 0 la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas). Recomendaciones para la solución de problemas Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad desconocida (o incógnita). Relacione los datos conocidos con la incógnita a través de una ecuación. Resuelva la ecuación y compruebe las soluciones obtenidas.

19 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución:

20 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución: Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm.

21 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución: Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm. Paso 2. Ecuación: Volumen de una caja: Vol=base altura Incógnita = L

22 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución: Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm. Paso 2. Ecuación: Volumen de una caja: Vol=base altura Incógnita = L Paso 3. 3(2L 6)(L 6) = 60 L 2 9L + 8 = 0 (L 8)(L 1) = 0

23 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución: Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm. Paso 2. Ecuación: Volumen de una caja: Vol=base altura Incógnita = L Paso 3. 3(2L 6)(L 6) = 60 L 2 9L + 8 = 0 (L 8)(L 1) = 0 Luego L = 8cm es la solución válida.

24 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución: Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm. Paso 2. Ecuación: Volumen de una caja: Vol=base altura Incógnita = L Paso 3. 3(2L 6)(L 6) = 60 L 2 9L + 8 = 0 (L 8)(L 1) = 0 Luego L = 8cm es la solución válida.

25 Desigualdades Propiedades de las desigualdades Propiedad de la no-negatividad: a 2 0 Propiedad aditiva: Si a < b entonces a + c < b + c; además, si a > b entonces a + c > b + c Propiedades de la multiplicación por un escalar. Sea c > 0. Si a < b entonces ac < bc; además a > b entonces ac > bc Sea c < 0. Si a < b entonces ac > bc; además a > b entonces ac < bc Propiedades del recíproco. Si a > 0, entonces 1 a > 0; además, si Si a < 0, entonces 1 a < 0. Desigualdades con valor absoluto x a es equivalente a a < x < a x a es equivalente a x a o x a

26 Desigualdades Propiedades de las desigualdades Propiedad de la no-negatividad: a 2 0 Propiedad aditiva: Si a < b entonces a + c < b + c; además, si a > b entonces a + c > b + c Propiedades de la multiplicación por un escalar. Sea c > 0. Si a < b entonces ac < bc; además a > b entonces ac > bc Sea c < 0. Si a < b entonces ac > bc; además a > b entonces ac < bc Propiedades del recíproco. Si a > 0, entonces 1 a > 0; además, si Si a < 0, entonces 1 a < 0. Desigualdades con valor absoluto x a es equivalente a a < x < a x a es equivalente a x a o x a

27 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando

28 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando

29 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando

30 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando

31 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando

32 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando

33 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando

34 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando

35 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando La solución es: x (, 2] (1, 3].

36 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 x 2 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: x 2 2 < x + 4 x + 4 y x 2 x 2 < 2

37 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 x 2 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: x 2 2 < x + 4 x + 4 y x 2 x 2 < 2 0 < 2 + x + 4 x 2 o sea, 0 < 3x x 2

38 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 x 2 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: x 2 2 < x + 4 x + 4 y x 2 x 2 < 2 0 < 2 + x + 4 x 2 o sea, 0 < 3x x 2 x + 4 x 2 2 < 0 o sea, 8 x x 2 < 0

39 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 x 2 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: x 2 2 < x + 4 x + 4 y x 2 x 2 < 2 0 < 2 + x + 4 x 2 o sea, 0 < 3x x 2 x + 4 x 2 2 < 0 o sea, 8 x x 2 < 0

40 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 x 2 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: x 2 2 < x + 4 x + 4 y x 2 x 2 < 2 0 < 2 + x + 4 x 2 o sea, 0 < 3x x 2 x + 4 x 2 2 < 0 o sea, 8 x x 2 < 0 Luego: x (, 0) (2, + ) y x (, 2) (8, + ) Intersección:

41 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 x 2 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: x 2 2 < x + 4 x + 4 y x 2 x 2 < 2 0 < 2 + x + 4 x 2 o sea, 0 < 3x x 2 x + 4 x 2 2 < 0 o sea, 8 x x 2 < 0 Luego: x (, 0) (2, + ) y x (, 2) (8, + ) Intersección: es decir: x (, 0) (8, + )

42 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 x 2 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: x 2 2 < x + 4 x + 4 y x 2 x 2 < 2 0 < 2 + x + 4 x 2 o sea, 0 < 3x x 2 x + 4 x 2 2 < 0 o sea, 8 x x 2 < 0 Luego: x (, 0) (2, + ) y x (, 2) (8, + ) Intersección: es decir: x (, 0) (8, + )

43 Plano cartesiano Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto 0. La recta horizontal es llamada eje x o eje de las abscisas.

44 Plano cartesiano Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto 0. La recta horizontal es llamada eje x o eje de las abscisas. La vertical, eje y o eje de las ordenadas.

45 Plano cartesiano Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto 0. La recta horizontal es llamada eje x o eje de las abscisas. La vertical, eje y o eje de las ordenadas. El punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

46 Plano cartesiano Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto 0. La recta horizontal es llamada eje x o eje de las abscisas. La vertical, eje y o eje de las ordenadas. El punto donde se cortan recibe el nombre de origen. A cada punto P del plano cartesiano se le puede asociar un par ordenado (a, b).

47 Plano cartesiano Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto 0. La recta horizontal es llamada eje x o eje de las abscisas. La vertical, eje y o eje de las ordenadas. El punto donde se cortan recibe el nombre de origen. A cada punto P del plano cartesiano se le puede asociar un par ordenado (a, b). a es la abscisa b es la ordenada

48 Plano cartesiano Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto 0. La recta horizontal es llamada eje x o eje de las abscisas. La vertical, eje y o eje de las ordenadas. El punto donde se cortan recibe el nombre de origen. A cada punto P del plano cartesiano se le puede asociar un par ordenado (a, b). a es la abscisa b es la ordenada

49 Distancia entre dos puntos P 1 y P 2: La distancia entre dos puntos cualesquiera (x 1, y 1) y (x 2, y 2) de un plano coordenado es: d(p 1, P 2) = p (x 2 x 1) 2 + (y 2 y 1) 2 Observe que d(p 1, P 2) = d(p 2, P 1).

50 Distancia entre dos puntos P 1 y P 2: La distancia entre dos puntos cualesquiera (x 1, y 1) y (x 2, y 2) de un plano coordenado es: d(p 1, P 2) = p (x 2 x 1) 2 + (y 2 y 1) 2 Observe que d(p 1, P 2) = d(p 2, P 1). Ejemplo. La distancia entre los puntos A( 3, 6) y B(5, 1) está dada por: d(a, B) = p (5 ( 3)) 2 + (1 6) 2 = p ( 5) 2 = = 89

51 Distancia entre dos puntos P 1 y P 2: La distancia entre dos puntos cualesquiera (x 1, y 1) y (x 2, y 2) de un plano coordenado es: d(p 1, P 2) = p (x 2 x 1) 2 + (y 2 y 1) 2 Observe que d(p 1, P 2) = d(p 2, P 1). Ejemplo. La distancia entre los puntos A( 3, 6) y B(5, 1) está dada por: d(a, B) = p (5 ( 3)) 2 + (1 6) 2 = p ( 5) 2 = = 89

52 Punto medio de un segmento El punto medio M del segmento de recta formado por los dos puntos P 1(x 1, y 1) y P 2(x 2, y 2) x1 + x 2 y1 + y2, 2 2

53 Gráficas de ecuaciones Cada solución (a, b) de una ecuación en x y y tiene un punto en el plano coordenado. El conjunto de todos esos puntos es la gráfica de la ecuación.

54 Gráficas de ecuaciones Cada solución (a, b) de una ecuación en x y y tiene un punto en el plano coordenado. El conjunto de todos esos puntos es la gráfica de la ecuación. Ejemplo: Queremos trazar la gráfica de y = 2x 1. O sea, ubicar en el plano coordenado los puntos (x, y) que satisfacen esta ecuación.

55 Gráficas de ecuaciones Cada solución (a, b) de una ecuación en x y y tiene un punto en el plano coordenado. El conjunto de todos esos puntos es la gráfica de la ecuación. Ejemplo: Queremos trazar la gráfica de y = 2x 1. O sea, ubicar en el plano coordenado los puntos (x, y) que satisfacen esta ecuación. Para esto, podemos reemplazar algunos valores de x y encontrar su correspondiente par y.

56 Gráficas de ecuaciones Cada solución (a, b) de una ecuación en x y y tiene un punto en el plano coordenado. El conjunto de todos esos puntos es la gráfica de la ecuación. Ejemplo: Queremos trazar la gráfica de y = 2x 1. O sea, ubicar en el plano coordenado los puntos (x, y) que satisfacen esta ecuación. Para esto, podemos reemplazar algunos valores de x y encontrar su correspondiente par y. Por ejemplo, si x = 1, y = 2(1) 1 = 1. Así, el punto (1, 1) pertenece al gráfico. Veamos varios de estos casos:

57 Gráficas de ecuaciones Cada solución (a, b) de una ecuación en x y y tiene un punto en el plano coordenado. El conjunto de todos esos puntos es la gráfica de la ecuación. Ejemplo: Queremos trazar la gráfica de y = 2x 1. O sea, ubicar en el plano coordenado los puntos (x, y) que satisfacen esta ecuación. Para esto, podemos reemplazar algunos valores de x y encontrar su correspondiente par y. Por ejemplo, si x = 1, y = 2(1) 1 = 1. Así, el punto (1, 1) pertenece al gráfico. Veamos varios de estos casos:

58 ... Graficando y = 2x 1 x y

59 Ecuación de la recta Queremos encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P 1(x 1, x 2) y P 2(x 1, x 2).

60 Pendiente de una recta: Sea L una recta que no es paralela al eje y, y sean P 1(x 1, y 1) y P 2(x 2, y 2) dos puntos diferentes de L. La pendiente m de L es: m = y2 y1 x 2 x 1 Cuando la recta L es paralela al eje y la pendiente no está definida.

61 En las siguientes figuras tenemos dos rectas no paralelas al eje y. La primera muestra una recta con pendiente positiva, en este caso decimos que la recta crece.

62 En las siguientes figuras tenemos dos rectas no paralelas al eje y. La primera muestra una recta con pendiente positiva, en este caso decimos que la recta crece. La segunda muestra una recta con pendiente negativa, en ese caso decimos que la recta decrece.

63 En las siguientes figuras tenemos dos rectas no paralelas al eje y. La primera muestra una recta con pendiente positiva, en este caso decimos que la recta crece. La segunda muestra una recta con pendiente negativa, en ese caso decimos que la recta decrece.

64 Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que interseca al eje y en 2 y tiene pendiente m = 4/5. y 2 = 4 (x 0) 5 = 4x 5 y = 4 5 x + 2

65 Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que interseca al eje y en 2 y tiene pendiente m = 4/5. y 2 = 4 (x 0) 5 = 4x 5 y = 4 5 x + 2

66 Ecuación de la circunferencia Si C(h, k) es un punto en el plano coordenado, entonces, una circunferencia con centro C y radio r > 0 está formada por todos los puntos del plano que están a una distancia r del punto C. Como vemos en la figura, un punto P (x, y) está sobre la circunferencia si su distancia hasta el punto C(h, k) es igual a r, es decir, r 2 = (x h) 2 + (y k) 2

67 Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (0, 3) y tiene centro C(3, 0). r = d(c(3, 0), P (0, 3)) = p (3 0) 2 + (0 3) 2 = 3 2 Luego, la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (0, 3) y tiene radio r = 3 2 está dada por: (x 3) 2 + (y 0) 2 = (3 2) 2 (x 3) 2 + y 2 = 18

68 Definición de función Una función f de un conjunto D en un conjunto E es una correspondencia que asigna a todo elemento x de D exactamente un elemento y de E. El elemento x de D es el argumento de f. El conjunto D es el dominio de la función.

69 Definición de función Una función f de un conjunto D en un conjunto E es una correspondencia que asigna a todo elemento x de D exactamente un elemento y de E. El elemento x de D es el argumento de f. El conjunto D es el dominio de la función. El elemento y de E es la imagen de f en x y se denota f(x).

70 Definición de función Una función f de un conjunto D en un conjunto E es una correspondencia que asigna a todo elemento x de D exactamente un elemento y de E. El elemento x de D es el argumento de f. El conjunto D es el dominio de la función. El elemento y de E es la imagen de f en x y se denota f(x). La imagen de f (o rango) es el subconjunto de E formado por todos los posibles valores f(x) para x en D.

71 Definición de función Una función f de un conjunto D en un conjunto E es una correspondencia que asigna a todo elemento x de D exactamente un elemento y de E. El elemento x de D es el argumento de f. El conjunto D es el dominio de la función. El elemento y de E es la imagen de f en x y se denota f(x). La imagen de f (o rango) es el subconjunto de E formado por todos los posibles valores f(x) para x en D. En la figura se observa que los elementos f(z), f(x) y f(w) de E corresponden a los elementos w, z, x del conjunto D. Puede ocurrir que elementos distintos en D tengan el mismo valor en E.

72 Definición de función Una función f de un conjunto D en un conjunto E es una correspondencia que asigna a todo elemento x de D exactamente un elemento y de E. El elemento x de D es el argumento de f. El conjunto D es el dominio de la función. El elemento y de E es la imagen de f en x y se denota f(x). La imagen de f (o rango) es el subconjunto de E formado por todos los posibles valores f(x) para x en D. En la figura se observa que los elementos f(z), f(x) y f(w) de E corresponden a los elementos w, z, x del conjunto D. Puede ocurrir que elementos distintos en D tengan el mismo valor en E.

73 Dominio Cuando no se especifique el dominio de una función, asumiremos que éste viene dado por el conjunto de valores de x para los cuales f(x) esté definida. Ejemplos g(x) = x 2. El dominio de g es R y su imagen (o rango) es R + {0}.

74 Dominio Cuando no se especifique el dominio de una función, asumiremos que éste viene dado por el conjunto de valores de x para los cuales f(x) esté definida. Ejemplos g(x) = x 2. El dominio de g es R y su imagen (o rango) es R + {0}. h(x) = 1 x 2 9. Su dominio son todos los reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea 0. Es decir, {x R : x 3 ó x 3}.

75 Dominio Cuando no se especifique el dominio de una función, asumiremos que éste viene dado por el conjunto de valores de x para los cuales f(x) esté definida. Ejemplos g(x) = x 2. El dominio de g es R y su imagen (o rango) es R + {0}. h(x) = 1 x 2 9. Su dominio son todos los reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea 0. Es decir, {x R : x 3 ó x 3}. f(x) = x + 5. El dominio de f son los reales x tales que: x Es decir, {x R : x 5} = [ 5, ).

76 Dominio Cuando no se especifique el dominio de una función, asumiremos que éste viene dado por el conjunto de valores de x para los cuales f(x) esté definida. Ejemplos g(x) = x 2. El dominio de g es R y su imagen (o rango) es R + {0}. h(x) = 1 x 2 9. Su dominio son todos los reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea 0. Es decir, {x R : x 3 ó x 3}. f(x) = x + 5. El dominio de f son los reales x tales que: x Es decir, {x R : x 5} = [ 5, ).

77 Funciones cuadráticas Una función f es una función cuadrática si f(x) = ax 2 + bx + c, donde a, b y c son números reales con a 0. Si b = c = 0 y a 0 entonces f(x) = ax 2. Veamos su representación gráfica:

78 Si b = 0, a 0 y c 0, entonces f(x) = ax 2 + c se representa como la parábola descrita antes, con vértice en el punto (0, c) en el eje y. Ejemplo: en la figura se presentan las gráficas de f(x) = 3x 2 y de g(x) = 3x

79 Si a, b y c son diferentes de 0, entonces completamos el cuadrado para escribir a f(x) de manera que quede escrita de la siguiente forma: f(x) = a(x h) 2 + k. Ejemplo: expresemos f(x) = 2x 2 12x + 22 en la forma a(x h) 2 + k. f(x) = 2x 2 12x + 22

80 Si a, b y c son diferentes de 0, entonces completamos el cuadrado para escribir a f(x) de manera que quede escrita de la siguiente forma: f(x) = a(x h) 2 + k. Ejemplo: expresemos f(x) = 2x 2 12x + 22 en la forma a(x h) 2 + k. f(x) = 2x 2 12x + 22 = 2(x 2 6x) + 22

81 Si a, b y c son diferentes de 0, entonces completamos el cuadrado para escribir a f(x) de manera que quede escrita de la siguiente forma: f(x) = a(x h) 2 + k. Ejemplo: expresemos f(x) = 2x 2 12x + 22 en la forma a(x h) 2 + k. f(x) = 2x 2 12x + 22 = 2(x 2 6x) + 22 = 2(x 2 6x + 9)

82 Si a, b y c son diferentes de 0, entonces completamos el cuadrado para escribir a f(x) de manera que quede escrita de la siguiente forma: f(x) = a(x h) 2 + k. Ejemplo: expresemos f(x) = 2x 2 12x + 22 en la forma a(x h) 2 + k. f(x) = 2x 2 12x + 22 = 2(x 2 6x) + 22 = 2(x 2 6x + 9) = 2(x 3) Esta última expresión tiene la forma (x h) 2 + k con a = 2, h = 3 y k = 4.

83 Si a, b y c son diferentes de 0, entonces completamos el cuadrado para escribir a f(x) de manera que quede escrita de la siguiente forma: f(x) = a(x h) 2 + k. Ejemplo: expresemos f(x) = 2x 2 12x + 22 en la forma a(x h) 2 + k. f(x) = 2x 2 12x + 22 = 2(x 2 6x) + 22 = 2(x 2 6x + 9) = 2(x 3) Esta última expresión tiene la forma (x h) 2 + k con a = 2, h = 3 y k = 4.

84 La función f(x) = a(x h) 2 + k, es una parábola cuyo vértice está desplazado h unidades a horizontalmente y k unidades verticalmente.

85 La función compuesta La composición de dos funciones f y g, denotada por f g, está definida por (f g)(x) = f(g(x)). El dominio de f g es el conjunto de todas los x en el dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f.

86 Ejemplo Sean f(x) = x 2 16 y g(x) = x. Encontremos quienes son f g y g f (f g)(x) = f(g(x)) = f( x) = ( x) 2 16 = x 16.

87 Ejemplo Sean f(x) = x 2 16 y g(x) = x. Encontremos quienes son f g y g f (f g)(x) = f(g(x)) = f( x) = ( x) 2 16 = x 16. El dominio de f g está dado por todas las x en el intervalo [0, ). (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 16) = p x 2 16

88 Ejemplo Sean f(x) = x 2 16 y g(x) = x. Encontremos quienes son f g y g f (f g)(x) = f(g(x)) = f( x) = ( x) 2 16 = x 16. El dominio de f g está dado por todas las x en el intervalo [0, ). (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 16) = p x 2 16 El dominio de f g es la unión (, 4] [4, ).

89 Ejemplo Sean f(x) = x 2 16 y g(x) = x. Encontremos quienes son f g y g f (f g)(x) = f(g(x)) = f( x) = ( x) 2 16 = x 16. El dominio de f g está dado por todas las x en el intervalo [0, ). (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 16) = p x 2 16 El dominio de f g es la unión (, 4] [4, ).

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