1 - Ecuaciones. Sistemas de Ecuaciones Mixtos

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1 Nivelación de Matemática MTHA UNLP Ecuaciones. Sistemas de Ecuaciones Mixtos 1. Conjuntos numéricos Los números mas comunes son los llamados NATURALES O ENTEROS POSI- TIVOS: 1,, 3,... Para designar a este conjunto se usa N. Los números -1, -, -3,... se llaman ENTEROS NEGATIVOS. Si queremos hablar del conjunto de los enteros positivos con los enteros negativos y el 0, los llamamos sencillamente ENTEROS. Para designar a este conjunto se usa la letra Z. Además de los enteros tenemos fracciones, como 3, 1,, 56, 3,... que pueden ser positivas o negativas, y que se pueden escribir como cocientes m/n, donde m, n son enteros y n no es igual a cero. Dichas fracciones se llaman NUMEROS RACIONALES. Todo entero m es un número racional, pues se puede escribir como m/1. Para designar a este conjunto se usa la letra Q. Los números que no pueden expresarse como cociente de dos enteros, por ejemplo:, π, 3,... se llaman NUMEROS IRRACIONALES. Podríamos representar a los números irracionales mediante decimales infinitos, como = 1, , del mismo modo los racionales tendrían la forma: 3 = 3, , 3 = 0, , 1 = 0, A este conjunto se lo llama NUMEROS REALES y para 4 3 designarlo se usa la letra R. Los números reales se representan geométricamente como la colección de todos lo puntos de una recta, eligiendo una unidad arbitraria. Aclaración: La expresión 1/0 o 0 1 no está definida. En otras palabras, no es posible dividir por cero π Comentario: Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periodicas. Todos los irracionales están ubicados en la recta real, si queremos saber entre que dos números enteros se encuentra un irracional podemos pensarlo del siguiente modo: como 1 = 1 y 4 = los irracionales y 3 se encuentran entre 1 y (es decir 1 < < ; 1 < 3 < ). Entre que números enteros está el número irracional 9? Como 5 = 5 y 36 = 6 entonces 5 < 9 < 6. Ecuaciones.1. Solución de ecuaciones por factorización Cuando se multiplican dos números, el producto dará cero si uno de los factores vale cero. También vale que si el producto es cero, al menos uno de los factores

2 Nivelación de Matemática MTHA UNLP será cero. Es decir: Para cualesquiera números reales a y b, a.b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0. Nuestro objetivo es utilizar este teorema para resolver ecuaciones. Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones: 1. (x + 4)(x ) = 0 por el teorema 1 tiene que ser: x + 4 = 0 o x = 0 resolviendo cada ecuación : x = 4 o x = La ecuación tiene dos soluciones: 4 y. El conjunto solución, formado por todas las soluciones de la ecuación es: 4, }. 7x(4x + 5) = 0 por el teorema 1 tiene que ser: 7x = 0 o 4x + 5 = 0 resolviendo cada ecuación: x = 0 o x = 5 4 El conjunto solución es: 0, 5 4 } 3. x 3 3x + x = 0 Factorizando: x 3 3x + x = x(x 3x + 1) Luego la ecuación se puede escribir: x(x 3x + 1) = 0 cuyas soluciones son x = 0 y las soluciones de x 3x + 1 = 0. Luego las soluciones de la ecuación cúbica son: x 1 = 0 x = x 3 = Ecuaciones bicuadradas Una ecuación de cuarto grado de la forma: ax 4 + bx + c = 0 se llama bicuadrada. Este tipo de ecuaciones se resuelve utilizando la sustitución x = t Ejemplo: Resolver la ecuación x 4 5x + 4 = 0 Primero resolvemos la ecuación cuadrática t 5t + 4 = 0. (Esta resulta de hacer la sustitución x = t en la ecuación bicuadrada). Las soluciones son t 1 = 1 y t = 4 Luego las soluciones de x 4 5x + 4 = 0 son: x = ± t 1 = ±1 y x = ± t = ±. Obtenemos por lo tanto cuatro soluciones: x 1 = 1 x = 1 x 3 = x 1 =

3 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 3.3. Ecuaciones fraccionarias Son las ecuaciones en las que la incógnita aparece en el denominador. Siempre es posible, operando convenientemente transformar una ecuación fraccionaria en otra no fraccionaria, entre cuyas soluciones estarán las de la ecuación original. Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones x + x 1 + x = 0 1) Sumamos las fracciones del primer miembro, utilizando el mínimo común múltiplo de los denominadores: o sea x(x 1) + x + (x 1) x (x 1) 3x + x x (x 1) = 0 = 0 que es una ecuación con las mismas soluciones de la ecuación dada. ) Como la división por cero no es posible, debemos excluir como posibles soluciones los números que anulan el denominador. En este caso x no puede valer ni 0 ni 1. 3) Las soluciones son las que anulan el numerador : 3x + x = 0 que además son distintas de 0 y 1. Resolviendo esta ecuación cuadrática obtenemos: x 1 = 3 y x = 1 Es conveniente verificar las soluciones obtenidas. 4x x 1 x 1 = 1 1) Pasando 1 al otro miembro queda: 4x x 1 x = 0 ) Sumando las fracciones usando el mínimo común múltiplo de los denominadores: 4x (x + 1) + x 1 = 0 (x 1)(x + 1) o sea x + x 3 (x 1)(x + 1) = 0 3) Debemos excluir como posibles soluciones los números 1 y 1 que anulan el denominador. 4) La ecuación x +x 3 = 0 tiene como soluciones x 1 = 1 y x = 3. Hay que descartar 1 como solución. Luego x = 3 es la única solución de la ecuación.

4 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 4 3. Sistemas de Ecuaciones Mixtos Definición: Un sistema de k ecuaciones con n incógnitas es mixto si por lo menos una de las ecuaciones del sistema no es lineal. Llamaremos solución del sistema a todo conjunto de números (s 1, s,..., s n ) que reemplazados en el lugar de las incógnitas hagan verdaderas las k ecuaciones simultáneamente. 4. Métodos de resolución En los casos en que una o mas ecuaciones son cuadráticas es posible resolver sistemas mixtos aplicando los métodos de sustitución o eliminación Ejemplos 1. En el caso en que una de las ecuaciones sea lineal y la otra cuadrática, se puede resolver el sistema por sustitución, pues de la ecuación lineal se puede despejar una de las incógnitas. x + y = 41 x y = 7 1) Despejamos x de la ecuación lineal: x = y + 7 ) Sustituimos x por y + 7 en la ecuación cuadrática: (y + 7) + y = 41 3) Resolvemos la ecuación anterior y obtenemos dos valores: y 1 = 3; y = ) Como x = y + 7, se tiene: para y 1 = 3: x 1 = = 4 para y = 19 3 : x = = 3 Luego el sistema tiene dos soluciones: x 1 = 4 y x = 3 5) Comprobando las primera solución: y 1 = 3 y = ( 3) = 41 4 ( 3) = 7 Del mismo modo puede verificarse la otra solución.. En el caso en que ambas ecuaciones sean cuadráticas, se puede resolver el sistema por sustitución o eliminando una de las incógnitas. x + y = 11 3y + x = x

5 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 5 En este caso es conveniente eliminar y: 1) Multiplicando por 3 la primera ecuación y por la segunda se igualan los coeficientes de y : 3x + 6y = 11 6y + 4x = x ) Restando ambas ecuaciones queda: 3x 4x = 33 x 3) Resolviendo esta ecuación se obtienen dos valores para x: x = 3 y x = ) De la primera ecuación : y 11 x = 5) Para x = 3; y 11 3 = = 1, luego y = 1 ó y = 1 Para x = 11 5 ; 11 ( 11/5) y = = , luego y = ó y = 5 5 6) Luego el sistema tiene cuatro soluciones: 3. Problemas de aplicación: x 1 = 3; y 1 = 1 x = 3; y 1 = 1 x 3 = ; y 3 = 5 x 4 = ; y 4 = 5 Antes de comenzar a resolver un problema es necesario tener la seguridad de haber comprendido el enunciado. El siguiente paso será identificar las cantidades que se quieren conocer (incógnitas) Después buscar las relaciones presentes en el enunciado y traducirlas al lenguaje de las ecuaciones. Ejemplo: Dos autos realizan un recorrido de 360 km a velocidad uniforme. Uno de ellos tarda dos horas mas que el otro, pues ha viajado a una velocidad 15 km/h menor. Cuáles fueron las velocidades y cuales los tiempos empleados por los autos? En el enunciado se relacionan las velocidades y los tiempos, usaremos como incógnitas: v : velocidad del auto mas lento en km/h t : tiempo que empleó el auto mas lento en horas La relaciones entre estas cantidades son: v = 360 por definición de velocidad t v + 15 velocidad del otro auto t tiempo que tardó el otro auto

6 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 6 v + 15 = 360 por definición de velocidad t Queda el sistema mixto: v = 360 t v + 15 = 360 t Reemplazando en la segunda ecuación queda: 360 t Igualando a cero y sacando denominador común: 360(t ) + 15t(t ) 360t t(t ) + 15 = 360 t t debe ser distinto de 0 y de. Las soluciones de la ecuación son las que anulan el numerador: 48 t+t = 0 que son los valores: t 1 = 6 (no tiene sentido porque t representa un tiempo) y t = 8 Las soluciones del sistema son: t = 8 y v = = 45 Luego las velocidades fueron 45 km/h y 60 km/h y los tiempos empleados 8 horas y 6 horas respectivamente. 5. Ejercicios 1. Resolver las siguientes ecuaciones a) x 4 x = 0 Rta: ; b) 8x 4 6x + 1 = 0 Rta: 1 1 ; ; 1 ; 1 c) x 4 3x = 0 Rta: 3; 3; 0 d) x(3x + 1)(5x 6) = 0 Rta: 1 3 ; 6 5 ; 0 e) 6x (x 1) = (x 1) Rta: 1 3 ; 1 3 ; 1 = 0 f) x 4 = x 3 x Rta: 1; g) x 3 + 4x 8x 3 = 0 Rta: 4; 8; 8. Resolver las siguientes ecuaciones y verificar las soluciones obtenidas: a) = x x 1 Rta: 0; 7 b) x 1 6 x 1 = 5 Rta: 3 5 ; c) x x + = 1 x x Rta: 1 1 d) x 1 + x = x + 1 x Rta: sin solución

7 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 7 1 e) = 0 Rta: x f) y 1 y 3 = Rta: sin solución y 3 y g) y 6 3 y 6y + 9 = y Rta: 6; 5 3y 9 h) x 3 x 1 = 10 x 1 + x 3 Rta: sin solución x Tomás puede cortar el césped de una cancha de golf en 4 horas; Pedro lo puede hacer en 5 horas. Cuánto tiempo tardarán en cortar el césped si trabajan juntos? 4. Un tanque puede llenarse utilizando dos canillas: A y B. Con la canilla A, el tanque se llena en 18 horas. Con las dos canillas el tiempo que tarda en llenarse es de 9, 9 horas. Cuanto tiempo se tardará en llenarse el tanque usando la canilla B?. 5. Un aeroplano vuela 106 km. con el viento a favor. En el mismo tiempo puede volar 738 km. con el viento en contra. La velocidad del aeroplano cuando no sopla el viento es de 00 km/h. Determinar la velocidad del viento. Recordar que la velocidad promedio se define como v = d/t. 6. La suma de un número y 1 veces su recíproco es 10. Determinar el número. 7. Resolver los siguientes sistemas: y x = a) x 6x + 8 = y R: y 1 = 3; x 1 = 1 y = 8; x = 6 x y = 0 b) xy = 4 R: y 1 = 4; x 1 = 1 y = ; x = x + y = 1 c) x + y R: y = 6xy 1 = 1( + ); x 4 1 = 1( ) 4 y = 1( ); x 4 = 1( + ) 4 d) x + y = 13 xy = 6 xy = 18 e) 1 1 = 1 x y 3 x f) + 4y = 18 x y = 1 x g) + y = 5 x y = 0 R: y 1 = ; x 1 = 3 y = 3; x = y 3 = 3; x 3 = y 4 = ; x 4 = 3 R: x 1 = 3( 1 3); y 1 = 3(1 3) x = 3( 1 + 3); y = 3(1 + 3) R: sin solución R: x 1 = 5; y 1 = 10 x = 5; y = 10 x 3 = 5; y 3 = 10 x 4 = 5; y 4 = 10

8 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 8 h) (x )(y + 1) = 1 xy = 3 R: x 1 = 6; y 1 = 3 x = 6; y = 3

9 Nivelación de Matemática MTHA UNLP 9 8. En el gráfico a) hay dos cuadrados y el área total es de 130 metros cuadrados, hallar la longitud del lado de cada cuadrado. R: 7 m. y 9 m. En b) hay dos cuadrados blancos y el menor está contenido en un cuadrado igual al mayor. Calcular la longitud de un lado de cada cuadrado. R: 8 m. y 7 m. a) b) 15m 16m área:15m 9. En los fondos de una vivienda hay un parque de 8 metros por 40 metros donde se desea construir una pileta rectangular de 160 metros cuadrados. Se desea que la franja de parque que rodeará a la pileta sea de una ancho uniforme. Cuáles deberán ser las dimensiones de la pileta? R: 0 metros por 8 metros. 10. Un tren de carga viajando a 5 km/h menos que su velocidad acostumbrada tarda una hora mas para realizar un viaje de 10 km. Cuál es la velocidad normal del tren? R: 35km/h 11. Dos amigos parten con sus autos desde el mismo punto sobre una ruta y recorren un trayecto rectilíneo con velocidades medias de 70 km/h y 90 km/h respectivamente. Si uno de ellos parte dos horas después que el otro. Hallar el tiempo que tardan en encontrarse y la distancia recorrida hasta el encuentro. R: 9 horas y 630 km. 1. El perímetro de un campo rectangular es de 04 metros y el área de 565 metros cuadrados. Hallar las dimensiones del campo. R: 45 metros por 57 metros. 13. El área de un rectángulo es de 300 metros cuadrados y la longitud de una de sus diagonales es de 5 metros. Encontrar las dimensiones del rectángulo. R: 0 metros por 15 metros.