UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ. Vicerrectorado de Investigación FÍSICA II. TINS Básicos

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2 UNIVESIDAD TECNOLÓGICA DEL PEÚ Vicerrectorado de Investigación FÍSICA II TINS Básicos INGENIEÍA INDUSTIAL, INGENIEÍA DE SISTEMAS, INGENIEÍA ELECTÓNICA, INGENIEÍA MECATÓNICA, INGENIEÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIEÍA AUTOMOTIZ, INGENIEÍA AEONÁUTICA, INGENIEÍA DE SOFTWAE, INGENIEÍA MAÍTIMA, INGENIEÍA NAVAL TEXTOS DE INSTUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP Lima - Perú

3 FÍSICA II Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación Elaboración del TINS : Mg. Elías Catalán Sánchez Ing. Agustín Gutiérrez Páucar Ing. Miguel Orellana Ambrosio Diseño y Diagramación : Julia Saldaña Balandra Soporte académico Producción : Instituto de Investigación, Insituto de Física Aplicada : Imprenta Grupo IDAT Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

4 El presente material de lectura contiene una compilación de artículos, de breves extractos de obras de Física II publicadas lícitamente, acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 4 inc. C y el Art. 4 inc. A., del Decreto Legislativo 8, Ley sobre Derechos de Autor.

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6 Presentación A la par del conocimiento continuo de la naturaleza, por el hombre, desde la antigüedad se van produciendo progresos notables, en el mundo de la Física. Área del conocimiento que empezó con reflexiones filosóficas, seguramente en Grecia, Egipto y la Mesopotamia, en Occidente; en Oriente, particularmente en la milenaria China. Acunada en la filosofía, la ciencia en una peregrinación de conocimientos entre las mentes más lúcidas de aquellas épocas fue cristalizando áreas de conocimiento, acerca de la naturaleza. Seguramente los Presocráticos en el proceso de estructuración de conocimientos fueron observando cuerpos, fenómenos en tierra, también en el infinito, que hoy se nombran con palabras que tienen sus raíces en el latín o en griego. Después de Sócrates, la ciencia fue decantando lentamente, hasta hacerse patente en los albores del enacimiento, con Ptolomeo, Copérnico, con una mayor evidencia con Galileo, en el siglo XVI también con Laplace y axiomatizándose con Newton, en el siglo XVII, quien formuló las leyes clásicas de la dinámica y la ley de la gravitación universal. Un siglo después se plasma la Termodinámica, la Mecánica Probabilística, la Física de los Fluidos y empieza a decantar la Electricidad y el Magnetismo en el siglo XIX; concretándose con Maxwell en el siglo XIX; pero el mayor avance, se produciría en el siglo XX con Einstein sobre la teoría de la elatividad y sobre la teoría cuántica con notables científicos como Planck, Bohr, utherford, Heisenberg, Schrödinger y Dirac. Se sumarían en el transcurso de los últimos años, del siglo acotado, nuevas teorías como la Teoría Cuántica de Campos, la Teoría Electrodinámica Cuántica como notable trabajo de Feynman, Schwinger, Tomonaga y Dyson, que sientan las bases de la teoría de las partículas, que va fructificando nuevas teorías favorecidas por el adelanto tecnológico de producción de aceleradores y colisionadores de altísima potencia, como el bautizado con el nombre de Fermilab de 800GeV. En este marco de ascenso de la ciencia y en el espacio de hipóteis y conjeturas del origen del universo es un imperativo en la formación de profesionales capaces de innovar la tecnología, el conocimiento de la Física en toda la extensión lograda; fundamentalmente para comprender conceptos y no sólo para la aplicación de fórmulas como sucede en abordajes mecanicistas. Avanzando con la elaboración de Textos de Instrucción (TINS), el presente volumen secuencial, corresponde a la Asignatura de Física II, para el tercer ciclo de 5

7 estudios, en el desarrollo de las Carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industrial, Electrónica, Mecatrónica y Telecomunicaciones. Análogamente a los textos de Física General y Física I el presente volumen condensa la preocupación institucional de innovación de la enseñanzaaprendizaje, de la ciencia, que en acelerada continuidad presenta nuevos alcances teóricos y una variedad sustantiva de temas prácticos, en congruencia al avance de la Ciencia Física. Este volumen contiene temas, apropiadamente recopilados, de diversas fuentes bibliográficas, de uso frecuente y actualizado en la enseñanza de la Física. Está ordenado en función del syllabus de la Asignatura arriba mencionada; y es fruto de la experiencia profesional y dedicación académica de los profesores: Mg. Elías Catalán S., Ing. Agustín Gutiérrez P. e Ing. Miguel Orellana A. La recopilación y composición, de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de Ingeniería, comprende un ordenamiento orientado a la continuidad de abordaje didáctico de la Física, y presenta los siguientes temas:. Carga Eléctrica y Ley de Coulomb. Campo Eléctrico. Potencias Eléctrico 4. Leyes de Gauss 5. Condensadores 6. Electrodinámica 7. Campo Magnético 8. Ley de Henry Faraday 9. Flujo Magnético Al cierre de estas líneas, el reconocimiento Institucional, por el esfuerzo y trabajo académico, a los profesores: Mg. Elías Catalán Sánchez, y los Ingenieros Agustín Gutiérrez Páucar y Miguel Orellana Ambrosio que han permitido la elaboración del presente texto en su primera edición. Lucio H. Huamán Ureta Vicerrectorado de Investigación 6

8 Índice. Carga eléctrica y ley de Coulomb.... Electromagnetismo.... Carga Eléctrica.... Cuantización de la Carga Eléctrica....4 Ley de Coulomb Principios de superposición... 5 Problemas esueltos Campo Eléctrico Campo Eléctrico de cargas puntuales Cascarón esférico con carga uniforme... 0 Problemas resueltos.... Potencial Eléctrico El acelerador electrostático El genarador de Van de Graaff Potencial generado por una serie de cargas puntuales Energía Potencial Electrostática Problemas resueltos Problemas de Electricidad y Magnetismo Leyes de Gaus Flujo del campo eléctrico Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior Deducción de la ley de Gaus a partir de la ley de Coulomb Distribución esférica de carga Características importantes de la Ley de Gauss Preguntas sobre la Ley de Gauss Condensadores Arreglos de condensadores Dieléctricos

9 5. Efecto del dieléctrico en un condensador Problemas resueltos problemas propuestos Electrodinámica Corriente eléctrica esistencia eléctrica () Leyes de Paullet Energía eléctrica (W) Efecto de Joule Fuentes de energía eléctrica Circuito eléctrico Fuerza electromotriz (E) Asociación de resistencias Asociación de Pilas Leyes de Kirchhoff Instrumentos eléctricos de medición Asociación de elementos serie paralelo Problemas resueltos... 8 Problemas propuestos Campo Magnetismo La Intensidad del campo magnético Movimiento de una carga en un campo magnético Problemas Aplicaciones del movimiento de partículas cargas en una campo magnético Placa metálica La interacción magnética entre corrientes paralelas Ley de Bio-Savart Campo magnético de un alambre recto y delgado que lleva una corriente l y de longitud l... 4 Problemas propuestos Ley de Henry Faraday Introducción Ley de Henry Faraday Ley de Lenz Fuerza electromotriz de movimiento Fuerzas electromotrices inducidas y campos eléctricos Inductancia

10 8.7 Circuitos L Energía magnética Preguntas Problemas Flujo magnético Ley de Gauss del magnetismo Corriente de desplazamiento Corrientes Parasitas Las ecuaciones de Maxwell Bibliografía

11 ELECTICIDAD Y MAGNETISMO Existen algunas evidencias en documentos chinos de que el magnetismo ya se conocía en el año 000 a.c. Muchos científicos e investigadores han contribuido al desarrollo de la electricidad y el magnetismo. Entre ellos podemos citar a William Gilbert, Charles Coulomb, Hans Oersted, Michael Faraday, James Clerk Maxwell, etc. Cuando encendemos o apagamos las luces en una habitación, o cuando ingresamos una orden en nuestra PC a través del teclado, o cuando hacemos uso del control remoto de un determinado equipo, lo que estamos realizando indirectamente es controlar fuerzas eléctricas o magnéticas que dirigen el flujo de energía o partículas. Estas fuerzas constituyen las bases para el estudio del electromagnetismo. Es importante que antes de abarcar los siguientes capítulos, nuestros conocimientos sobre el álgebra vectorial sean afianzados, esto ayudará a comprender mejor el comportamiento de las cargas eléctricas cuando se asocien con otras de igual o diferente polaridad. Este capítulo se inicia con un estudio del electromagnetismo, que paulatinamente cubrirá el resto del libro. Las fuerzas electromagnéticas son las causantes de la estructura de los átomos y la unión de estos en moléculas y sólidos.. CAGA ELÉCTICA Y LEY DE COULOMB En el presente capítulo haremos una breve exposición de la carga eléctrica, algunas propiedades de los cuerpos cargados y la fuerza eléctrica fundamental entre dos cuerpos con carga.. Electromagnetismo: (Introducción) Fuerzas eléctricas o magnéticas controlan o dirigen el flujo de energía o de partículas. Estas fuerzas constituyen las bases para el estudio del electromagnetismo. Todos los efectos electromagnéticos pueden ser explicados mediante las cuatro ecuaciones de Maxwell.

12 Primeramente analizaremos los fenómenos eléctricos y posteriormente los magnéticos. Consecuentemente veremos que es imposible separarlos: algunos fenómenos eléctricos producen efectos magnéticos, y algunos fenómenos magnéticos producen efectos eléctricos. Esto conlleva a unificarlos bajo el nombre de electromagnetismo. El descubrimiento de las leyes que rigen el electromagnetismo y su aplicación ha dado origen a muchos descubrimientos: motores, aparatos de radio y TV, radar hornos de microondas, teléfonos celulares, etc.. Carga Eléctrica: Todos de alguna u otra forma hemos experimentado los fenómenos de transferencia de carga eléctrica. Por ejemplo al peinarnos con un peine de plástico, el peine ejerce una fuerza sobre el pelo atrayéndolo y una vez que entra en contacto con él, dejan de ser atraídos. Podemos concluir que: la atracción entre el peine y el cabello se debe a que existe una transferencia de una entidad física desde el peine hacia el cabello cuando se frotan; la misma entidad física vuelve a ser transferida para que neutralice la atracción cuando entran en contacto. La entidad física es conocida como carga eléctrica. Existen dos tipos de carga eléctrica: Positiva y Negativa. Cuando un objeto tiene un exceso de carga negativa diremos que se encuentra cargado negativamente. Cuando se frotan dos objetos, por ejemplo una varilla de vidrio con un paño de seda, observamos que adquiere carga positiva y que se atraen entre sí. Figura a: Frotando una varilla de vidrio con un paño de seda. Figura b: Varilla de vidrio con exceso de carga positiva De otra forma, si frotamos una varilla de plástico con piel, observamos que la varilla adquiere carga negativa. La piel presenta ahora un déficit

13 de electrones mientras que la varilla de plástico presenta un exceso de carga negativa. En ambos casos, se han transferido un número relativamente pequeño de electrones y alterado la neutralidad de los objetos. Figura c: Frotando una varilla de PVC con un paño de piel. Figura d: Varilla de PVC con exceso de carga negativa Podemos hacer unos experimentos que comprueben lo mencionado. Sujetemos una varilla de vidrio a un hilo y sujeta en lo alto, frotemos un extremo con un paño de seda y luego acerquemos otra varilla de vidrio cargada en forma similar, encontraremos que las dos se repelen entre sí. Pero si acercamos una varilla de plástico cargada (frotándola con piel), las dos varillas se atraerán una a la otra. Este experimento obedece a la siguiente regla: Las cargas del mismo signo se repelen y las de signo contrario se atraen.la carga eléctrica neta de un objeto se representa con el símbolo q. Ésta es una cantidad escalar. Puede ser positiva o negativa. La carga eléctrica se mide en Coulombs (C). Debido a que el Coulomb es una unidad muy grande de carga; se requieren unos 6 x 0 8 electrones para obtener un coulomb. Suele utilizarse el Microcoulomb (μc) equivalente a x 0-6 C ó el Nanocoulomb (ηc) equivalente a x 0-9 C.. Cuantización de la Carga Eléctrica Al transferir carga eléctrica de uno a otro objeto, la transferencia no puede efectuarse en unidades arbitrariamente pequeñas. Por ejemplo no podemos hablar de una fracción de carga eléctrica. Los experimentos demuestran que la carga eléctrica siempre existe sólo en cantidades que son múltiplos enteros de cierta magnitud elemental de carga e -. Esto significa que: q ± n e - donde: n 0,,,, Así podemos expresar e -.60 x 0-9 C (con cuatro cifras significativas)

14 .4 Ley de Coulomb Una vez establecido la existencia de carga positiva y carga negativa y que las cargas ejercen fuerza una sobre la otra. Ahora sólo nos queda por entender la naturaleza de ésta fuerza. Los primeros experimentos cuantitativos exitosos al respecto fueron realizados por el ingeniero francés Charles Agustín Coulomb (76 806), quién midió las atracciones y repulsiones eléctricas deduciendo la ley que las rige. Los experimentos de Coulomb y de sus contemporáneos demostraron que la fuerza eléctrica ejercida por un cuerpo cargado sobre otro depende directamente del producto magnitudes e inversamente del cuadrado de su separación. Es decir: r k. q. q r F. (Expresión vectorial) r Veamos un simple ejemplo: Dos cargas eléctricas puntuales se atraen (o repelen) entre sí con una fuerza dada por q y q (valores de las cargas involucradas). Algunas veces la constante física k (constante de Coulomb), cuyo valor aproximado es 9.0 x 0 9 N.m / C es reemplazada por el valor [/ (4πεo)] donde εo es la permitividad del vacío (εo x0 - C / N.m ). La magnitud r representa la distancia entre sus centros. La fórmula se cumple exclusivamente con objetos cargados cuyo tamaño es mucho menor que la distancia entre ellos. r F q q F r F q Figura: La fuerza F representa la fuerza que ejerce la carga q sobre la carga q ; es de igual magnitud pero de sentido opuesto a la fuerza F que representa la fuerza que ejerce la carga q sobre la carga q. F q 4

15 .5 Principio de superposición La fuerza que ejerce un sistema de cargas sobre una carga, ubicada en el punto P, es igual a la suma (vectorial) de las fuerzas de cada una de las cargas del sistema sobre la carga en P. Se puede expresar de la siguiente forma: r F N 4πε qiq r r i 0 ri ˆ μ μˆ es el vector unitario en la dirección y sentido del vector Δ r r r r Δ i q q q F F Figura: La fuerza F sobre la F carga q es el vector suma de las fuerzas debidas a q y q, consideradas independientes F F F Lo mismo expresado de otra forma: En una distribución arbitraria de cargas eléctricas. La fuerza que ejerce una carga sobre otra, no depende de las fuerzas que ejercen las demás. En consecuencia, la fuerza eléctrica total sobre una carga se determina al sumar vectorialmente las fuerzas que existen entre dicha carga y cada una de las otras cargas. F F F (de acuerdo al gráfico mostrado en la figura arriba) Donde F: Fuerza total sobre la carga q F: fuerza en la carga q debido a la carga q F: fuerza en la carga q debido a la carga q Problemas resueltos:.) Una varilla de vidrio al ser frotada con un paño de seda pierde 4000 electrones, cuál es la carga que adquiere? Solución La varilla adquiere carga positiva, en reemplazo de la carga negativa perdida. Además toda carga es múltiplo de la carga del electrón: 5

16 q n e - q (4000) x (.609 x 0-9 C ) q 6.4 x 0-6 C.) Dos cargas fijas de μc y.9 μc, están separadas por una distancia de 0 cm. Determine la fuerza que ejerce una carga sobre la otra. r F q.0μc q.9 μc q. q F k. F r F. 6N 6.0x0 x.9x ) En el esquema mostrado, halle la fuerza electrostática que ejerce la carga de ( μc) sobre la carga de (5 μc). q. cm μc F 5 μc F F F q. q k. r 9x N N. m C 6 5x0 Cxx0 x (4x0 m) 6 C 7.0 cm q.4) Se localizan tres cargas ubicadas en las esquinas de un triangulo equilátero. Calcúlese la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7μC. 6

17 Y Y F 7.0 μc q 7.0 μc 0.50 m 0.50 m F.0 μc 4.0 μc X q.0 μc q 4.0 μc X r F F r F F N F q k. q k. r F. q r. q r F. 008N Luego : F F F 9x0 9 9x0. F x0 x.0x0 x x0 x4.0x0 x F. Cos0 6 6 F 0.87N.5) Seleccione las afirmaciones como verdaderas (V) o falsas (F): (a) Es posible descargar un electrón hasta que quede neutro. (b) La carga de una partícula puede ser 5.5 x 0-9 C. (c) La menor carga que conoce el hombre es ±.6 x 0-9 C. Solución I. Es imposible separar la carga del electrón para que quede neutro. II. La carga de 5.5 x 0-9 C no es múltiplo de la del electrón, no esta cuantizada; por lo tanto no existe. III. La carga más pequeña que conoce el hombre es ±.6 x 0-9 C. 7

18 .6) Calcule la fuerza neta sobre la carga q debida a otras dos cargas ubicadas colinealmente en el eje X, como se indica en la figura. Considere las siguientes magnitudes de las cargas: q 4. μc, q. μc y q. μc. q - 4. μc cm cm F q. μc q. μc F q Dado que las cargas son colineales, la fuerza resultante estará en la misma línea, por tanto podemos escribir: q. q q. q F k. k r r Por tanto, la fuerza F F 9 N. m 9x0. C 5N x.x. ( 0.0m).x4. (0.0m) x0 C neta sobre q apunta hacia le eje X..7) En la figura se muestran dos cargas eléctricas ubicadas en los vértices de un triángulo rectángulo. Calcule la fuerza electrostática sobre la carga q μc que produce la carga q 4 μc. F k. qq r q μc F F (9x0 9 N. m / C ) x(4x0 (0.m) 6 C) x(x0 6 C) 5 cm 0 q 4 μc F 7.N. CAMPO ELÉCTICO En el párrafo anterior vimos cómo se emplea la Ley de Coulomb para obtener la fuerza sobre una carga debido a su interacción con otras cargas. Ahora debemos considerar los efectos de las cargas en función de un concepto introducido por Michael Faraday: El Campo 8

19 Eléctrico. Definimos el campo Eléctrico ( E ) en cualquier punto en el espacio como la fuerza por unidad de carga que experimentará una pequeña carga de prueba positiva en cierta posición del espacio. Obedece a la fórmula E F / q0 Debido también al principio de superposición, la expresión del campo eléctrico en una posición del espacio creado por un sistema de cargas de valor qi, i,, N y posición ri será: r E N 4πε qi r r i 0 ri ˆ μ μˆ es el vector unitario en la dirección y sentido del vector Δ r r r r ( Δ ) i La fuerza y el campo eléctrico son magnitudes vectoriales que cumplen el principio de superposición. Por tanto se podrán sumar como vectores. El vector campo eléctrico apunta en el sentido de la fuerza sobre una carga de prueba positiva. Las unidades de campo eléctrico corresponden a Newtons por Coulumb, N/C. Por tanto la magnitud del campo eléctrico equivale a F q E K. r q 0 Figura: Campo eléctrico debido (a) una carga positiva, (b) una carga negativa 9

20 . Campo Eléctrico de cargas puntuales Supongamos que una carga positiva de prueba qo se coloca a una distancia r de una carga puntual q. La magnitud de la fuerza que opera sobre qo está dada está dada por la Ley de Coulomb, Q. 4πε 0 r Luego tenemos: E F q o 4πε 0 q. r La dirección de E es la misma que F. Por tanto, el campo eléctrico total se calcula como la suma de los n campos eléctricos, aplicando el Principio de Superposición : E E E E EN. Cascarón esférico con carga uniforme Un cascarón esférico con carga uniforme: no ejerce fuerza alguna sobre una carga de prueba en su interior, y en los puntos exteriores la fuerza que ejerce es la misma como si toda la carga del cascarón se concentrase en un punto de su centro. Aplicando ésta propiedad podemos deducir el campo eléctrico debido a un cascarón delgado cargado uniformemente. Supongamos que el cascarón tiene un radio y carga q, que por el momento suponemos positiva. Tenemos los siguientes resultados del campo eléctrico en varias distancias del centro del cascarón: E 0 (r < ) q E r. (r ) 4 πε r 0 En la última ecuación el subíndice r nos indica que el campo apunta en la dirección radial 0

21 Problemas resueltos:.) Encuentre el campo eléctrico en el punto P de la figura, ubicado sobre el eje y a 0.4 m sobre el origen, producido por las tres cargas puntuales que se muestran. La carga q 7 C se ubica en el origen del sistema de coordenadas, la carga q -5 C se ubica en el eje x a 0. m del origen y la carga q - C a la derecha del punto P y a 0.4 m sobre q. Determine además la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de x0-8 C cuando se ubica en el punto P. Solución: Primero calculamos separadamente la magnitud del campo eléctrico en P debido a la presencia de cada carga. Llamemos E al campo eléctrico producido por q, E al campo eléctrico producido por q y E al campo eléctrico producido por q. Estos campos se representan en la figura y sus magnitudes son: 6 q 9 7.0x0 5 E k. 9x0..9x0 N / C r q 9 5.0x0 5 E k. 9x0..8x0 N / C r q 9.0x0 5 E k. 9x0..0x0 N / C r 0.

22 Los vectores E, E y E conviene expresarlos usando vectores unitarios i y j para luego efectuar analíticamente su suma: r E Eˆj r E E.cosθ iˆ E. senθˆj r E Eˆ i El vector resultante E que buscamos es la suma vectorial de estos tres vectores, E E E E E.9 x 0 5 j (N/C) E (. x 0 5 i.4 x 0 5 j ) (N/C) E.0 x 0 5 i (N/C) El campo eléctrico E resultante en P es entonces: ( i j) E N C La fuerza eléctrica sobre una carga de x0-8 C cuando ésta se coloca en el punto P se obtiene simplemente usando F E x q, con qx0-8 C. ( i j) F N Esta fuerza tiene por supuesto la misma dirección que el campo eléctrico E..) Las cargas de 8 μc y 4 μc se han colocado en los vértices de un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura. Halle la magnitud del campo eléctrico en el vértice de 90. Solución: Suponemos que hay una carga de prueba, positiva, en el vértice de 90. Q 8 μc 0 cm E E 0 cm q 4 μc

23 E E E 9 6 k. q 9x0 x4x0 5 E 4x0 N / C (0.0m) 9x0 9 6 k. q 9x0 x8x0 5 E 8x0 N / C (0.0m) 4x0 Así: E.0 x 0 6 N/C.) Halle el campo eléctrico en el punto O de la figura. Dato: Cos r 0 E 0 E 0 q 0.5 μc 8.98 m r 8 q 0.5 μc Solución: E 0 E 0 9 9x0 x0.5x0 (m ) 6 4.5x0 N / C E 0 E 0 E 0. E 0. E 0. Cos(6 ) E 0 8.9x0 N / C.4) Dos cargas eléctricas de μc y 8 μc están situadas sobre una circunferencia de 5 m de diámetro, como se muestra en la figura. Halle el valor del campo eléctrico en el punto P. μc E P 9 9x0 x.0x0 (m) 6 000N / C P E P 9 9x0 x8.0x0 (4m) N / C E 5408.N / C 8 μc

24 .5) Se muestran tres cargas positivas en los vértices de un triángulo equilátero. Halle Q si se sabe que el campo resultante en el punto medio de uno de sus lados tiene la dirección que se muestra en el diagrama. q 6 μc E 5 q μc Q Solución: Graficamos cada uno de los campos eléctricos del sistema: Cálculo de E: k. q E ( a. ) 9 6 9x0 x6.0x0 8x0 E. a a q E a E E Cálculo de E: k. q E ( a) q a a q Q 9 6 9x0 x.0x0 8x0 E a a Cálculo de E: k. q E ( a) 9 9x0 xq 9xQx0 E a a E E E E 5 4

25 Luego tendremos que: E Tg 5 ( E E ) Luego: Q.5 Coulombs Q. POTENCIAL ELÉCTICO. El Acelerador Electrostático Cuando se introduce un conductor cargado dentro de otro conductor hueco y se ponen en contacto, toda la carga del primero pasa al segundo, cualquiera que sea la carga inicial del conductor hueco. Teóricamente, el proceso se podría repetir muchas veces, aumentando la carga del conductor hueco indefinidamente. De hecho, existe un límite debido a las dificultades de aislamiento de la carga. Cuando se eleva el potencial, el aire que le rodea se hace conductor y se empieza a perder carga. Hilo En la figura se muestra un aparato electrostático que produce éste tipo de diferencias de potencial. Una pequeña Q q esfera conductora de radio a y con una b a carga q se halla dentro de un cascarón grande de radio b que contiene una carga Q. Entre los dos conductores, momentáneamen-te se establece una aislante trayectoria conductora; la carga q se mueve por completo hacia el conductor externo, sin importar la cantidad de carga Q que ya esté allí (porque la carga de un conductor siempre se dirige hacia la superficie externa). Si se cuenta con un mecanismo apropiado para reponer la carga q en la esfera interna partiendo de un suministro externo. En teoría la carga Q en la esfera exterior y su potencial pueden aumentar sin límite. En la práctica, el potencial terminal se ve limitado por las chispas que se producen en el aire. 5

26 . El generador de Van de Graaff Van de Graaff inventó el generador que lleva su nombre en 9, con el propósito de producir una diferencia de potencial muy alta (del orden de 0 millones de voltios) para acelerar partículas cargadas que se hacían chocar contra blancos fijos. Los resultados de las colisiones nos informan de las características de los núcleos del material que constituye el blanco. El generador de Van de Graaff es un generador de corriente constante, mientas que la batería es un generador de voltaje constante, lo que cambia es la intensidad dependiendo que los aparatos que se conectan. Definición de Potencial Eléctrico: Se define el potencial eléctrico en un punto arbitrario como: el trabajo requerido por unidad de carga para trasladar una carga de prueba positiva desde el infinito hasta ese punto. En consecuencia podemos considerar que todas las cargas se encuentran en el infinito, y que no se requiere ningún trabajo para mantenerlos allí. Trayectoria q o Infinito q o A Figura: Potencial en el punto A. V A W q A o Donde: W A : Trabajo realizado para transportar la carga qo desde el infinito ( ) hasta el punto A. 6

27 qo : Carga transportada. VA : Potencial eléctrico en el punto A. La diferencia de la energía potencial ΔU Uf Ui Wif Donde Wif es el trabajo efectuado por la fuerza F cuando el objeto se mueve de la posición i hasta la posición f. Imaginemos una carga fija q, en el origen de un sistema de coordenadas. Tomemos otra carga qo, que llamaremos carga de prueba y la transferimos desde la posición A hasta la posición B, bajo la influencia de la fuerza debida a q. El cambio de energía potencial ΔU de éste sistema de dos cargas está dado por: ΔU U b U a 4. π. ε 0 q. q. rb ra. Potencial generado por una serie de cargas puntuales Supongamos que tenemos un conjunto de N cargas puntuales: q, q, q, qn, situadas en varios puntos fijos. Deseamos determinar el potencial en un determinado punto P debido a ellas. El procedimiento a seguir consiste en calcular el potencial en P producido por cada carga, como si no existieran las otras, y luego sumar todos los potenciales resultantes para obtener el potencial total. Es decir, aplicar el Principio de Superposición, para obtener: V V V V... V N V q. 4. πε r o q. 4. πε r o q. 4. πε r o q πε r o N N Lo mismo puede escribirse en forma reducida como: N q V. 4. πε n r o N N 7

28 .4 Energía Potencial Electrostática: Si se tiene una carga puntual q, el potencial a una distancia r de la misma será: k. q V r El trabajo necesario para trasladar una segunda carga puntual q desde el infinito hasta una distancia r es W q.v q. q W q. V k. r Para transportar una tercera carga, debe realizarse trabajo contra el campo eléctrico producido por ambas q y q. El trabajo necesario para transportar una tercera carga q desde una distancia r de q y r de q es: k. q. q W r En consecuencia, el trabajo requerido para reunir las tres cargas será: k. q. q k. q. q k. q. q W r r r k. q. q r.5 Problemas resueltos: ) Se desea situar una carga positiva q en cada uno de los vértices de un cuadrado de lado a. Cuál será el trabajo requerido? A B A a B a a a D C D a C 8

29 Procedimiento: Paulatinamente trasladamos, una por una, cargas q desde el hasta cada vértice del cuadrado. (a) Para trasladar la primera carga, desde el infinito ( ) hasta el vértice A, no se requiere ningún trabajo, pues no hay carga cerca, las cargas están aún en el infinito. Por tanto implica que el potencial es cero. WA 0; VA 0 (b) Trabajo para trasladar la segunda carga al vértice B: Ya existe una carga en el vértice A. k. q W B a (c) Trabajo para trasladar la tercera carga al vértice C: Ya existe una carga en el vértice A y otra en el vértice B. k. q k. q W C a a (d) Trabajo para trasladar la cuarta carga al vértice D: Ya existen una carga q en cada vértice A, B y C respectivamente. k. q k. q k. q a a a (e) El trabajo total realizado será: W W T T k. q 0 a k. q 4. a W D WT WA WB WC WD k. q k. q a a k. q a k. q k. q a a ) Determine el potencial eléctrico, en el punto (0, ) cm, efectuado por una carga puntual de 0. μc, ubicada en (9, 0). Solución: r 9 r 6.6cm (0, ) 9 r Q 0. μc (9, 0)

30 V V V k. Q r 9 (9x0 ) x(0.x0 (6.6x0 ) 569voltios 6 ) ) A una distancia r de la carga q, el potencial eléctrico es V 450 V y la magnitud del campo eléctrico es E 50 N/C. Determine r y q. Solución: El potencial de la carga q esta dado por: k. q V.. () r La intensidad de campo eléctrico de la carga q es: k. q E () r Dividiendo Ec. () y (): V r E Luego : 450 r m 50 Luego en la Ec. (): E. r 50x q 50C 9 k 9x0.6 Problemas de Electricidad Y Magnetismo. En la figura se muestran tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa m y carga q que cuelgan de tres cuerdas. Determine el valor de q en términos de m, L y θ. 0

31 θ θ q m L q m L q m g Solución : 4 q. L. m. g. Sen θ. Tgθ 5. Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje X. Una carga de μc en X 5.7 m, la segunda carga de 8 μc en X 5. m y una tercera carga de -.0 μc en el origen. Calcule la fuerza neta sobre la carga de.0 μc.. Tres cargas puntuales, q 4 μc, q 0 μc y q 9 μc, se colocan como se muestra en la figura. Determine la fuerza resultante sobre la carga q. q Y (0, ) cm X q (, 0) cm q (0, 0) cm 4. Tres cargas idénticas puntuales, cada una de magnitud q, se encuentran en cada uno de los vértices de un triángulo isósceles con su altura orientada verticalmente. La altura del triángulo es de 9.0 cm y su base es de 4.0 cm. (a) Si la fuerza eléctrica resultante ejercida sobre la carga localizada en el vértice superior del triángulo tiene una magnitud de 0.5 N con una dirección vertical con sentido hacia arriba; determine q. (b) Si la carga del vértice inferior izquierdo se reemplaza con una carga q, determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante ejercida sobre la carga localizada en el vértice superior del triángulo.