M etodos Num ericos con Matlab

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1 M etodos Num ericos con Matlab MishelleSegu ³ 1 1 Esta es una primera versi on, por lo que se agradece cualquier comentario o sugerencia. 1

2 Introducci on El prop osito de estas notases dar una introducci on a los sistemas de softwareinteractivo Matlab (Matrixlaboratory) yoctave, loscualesson equivalentes, con laventajadeque Octaveesunsoftwarelibre 2. Estoconelobjetivodequeposteriormentelosalumnospuedan crear sus propios programas de programaci on din amica, los cuales pueden incluir gr a cas, regresiones, o cualquier computo num erico quesedesee. Dado que Matlab est a dise~nado para resolver problemas num ericamente, es decir, que tienen un aritm etica deprecisi on nita, nosva a producir solucionesaproximadasy no exactas. Sin embargo, esto no resta credibilidad a esteprograma, ya que es uno de los programas m asultizadosentreloseconomistasquerealizan calibraciones, y esmuyf acil de usar. 2 Si tienen Windows, lo pueden bajar de http : ==sourceforge:net=project=showfiles:php?group id = 2888 y se llama \Octave for Windows Installer". 2

3 Temario 1. Introducci on amatlab: Sint axis, c alculossencillosygr a casb asicas 2. Integraci on y diferenciaci on num erica 3. Resolver un sistema deecuaciones no lineales con m etodos de gradiente (Newton, secante) 4. Resolverunaecuaci oniferenciasconm etodosnum ericos(gauss-seidel). 5. Programaci ondin amicanum erica: ² Iteraci ondelafunci ondevalor ² Programaci on din amicadetermin istica ² Programaci on din amicaestoc astica 6. Otrosm etodosdelaaproximaci on: polinomios, interpolaci on 7. Aplicacionesecon omicas 3

4 1 Introducci on a Matlab 1.1 Sint axisyc alculossencillos Antes que nada se~nalemos que cuando una quiere iniciar Matlab, estepuede tardar unos segundosenabrir(de10a15seg.). Algunas cosas que uno debe desaber dematlab son: ² Lasmin usculasylasmay usculasno son equivalentes ² Unpuntoycomaal naldelcomandohar aquenoseveaenlapantallaelresultado ² Matlab utiliza par entesis() ycorchetes[], loscualesnoson intercambiables ² Lasteclas con las echas hacia arriba y hacia abajo ayudan para desplazarseentre los comandospreviosqueserealicen ² Paraseleccionarayuda,hayqueteclearhelpseguidodelcomandodelcualserequiere laayuda ² Matlab sepuedecerrar tecleandoquit oexit Explicar las barras de herramienta Notemos que en la ventana decomandos, cuando asignamosun nombrea una expresi on, es s olo un nombrey NO representa una variable matem atica, como lo hace Maple. Veamos ahora unos ejercicios de s ³mbolos y puntuaci on 3 para realizarlos en la computadora: Ver ejercicios1.1.pdf 3+7 a=sqrt(3) b=sin(pi) c=[1:10] d=1:2:8 e=[1 4]; e 0 e: e f =[1 4;2 5] f^2 3 4

5 Recordemosahoraalgunaspropiedadesb asicasdelasmatrices. Digamosquetenemosel vector lag=[1 2 3]yelvectorcolumnah=[4;5;6],entoncespodemoscomolosvectores son conformables, podemos multiplicar g h; o tambi en podemos computar el producto internoconlafunci ondot(g;h): Hacerloycomprobar queda32 Recordar que el producto a a no est a de nido, dado que las dimensiones no son compatibles,conlocualsilotecleamos,matlabnosarrojaunerror. Matlab tienemuchasfunciones matem aticas para las matrices, por ejemplo exp(g); log(h),sqrt(g);abs(g);sin(g);etc. Por default Matlab nosmuestra el resultado con 4 d ³gitos decimales, aunque siempre losguarda completosen la memoria ycomputa el equivalente a 14 d ³gitos decimales. Si deseamos ver dichos d ³gitos, escribimos format long, por ejemplo sqrt(g). Si deseamos regresar al formato anterior, s olo escribimos format. Notemos tambi en quematlab nosmuestralosn umerosmuygrandesymuypeque~nos ennotaci ondeexponencial,conunafactorde10denotadopore.porejemplo,2^( 24). Para redondear n umeros, Matlab tiene los comandos round; fix; ceil y floor; por ejemploround(g): Matlab tambi en puede realizar variasfunciones dean alisisde datos, por ejemplo sumar, sacarlamedia,mediana,desviaci onest andaroverladiagonal: sum(g);mean(g);median(g); std(g);diag(f): Veamos a continuaci on algunas funciones dealgebra lineal que Matlab realiza. Por ejemplo, recordando que h es un vector columna, tal vez quisieramos resolver el sistema linealb x=h, ondeb =[ 3 0 1;2 5 7; 1 4 8];atrav esdeloperador n, de laformax=bnh:recordemosqueladivisi oninclinadaaladerechaa=b,signi ca a b,pero inclinadaalaizquierdaanb,signi ca b: a Verqueelresltadoes ,1.3874, Unopodr ³acomprobar el resultado atrav esdela normaeuclideanadel residuo: norm(b x h); que espracticamentecero. Losvalores propios(eigenvalues) se pueden encontrar usandoeig,porejemploj=eig(b): Si queremossaber el tama~nodela matriz, simplementeescribimossize(b): Si la queremostransponerponemosb 0 : Como ya vimos podemos generar una secuencia se n umeros a trav es de los dos puntos, comoenelcasoc;elcualtambi enlopodemosobservarsinloscorchetes. Notamosqueen 5

6 este caso va del 1 al 10 en valores de uno, pero >c omo hacemos para que incrementen on otras unidades? Estoesmuysencillo, s olo seincorporan losincrementosespeci candolo comom:s:n;ondemeselvalorconelquesedeseainicializar,seselpasoconelcual sedeseaincrementar,yneselvalor nal. Porejemplo,k=1:3:10 ol=1:0:2:10: En Matlab tambi en podemos hacer matrices m as grandes usando otras que ya ten ³amos, porejemplo: C=[B;g]: Si deseamoss olo un elemento delamatriz, lo se~nalamoscomoc(i;j);ondeies la la y j es la columna, por ejemplo C(2;3); que nos de 7: Pero >qu e tal si queremos unasubmatriz? Entoncess oloseleccionamosc(i1:i2;j1:j2);porejemplo,c(2:3;1:2): EnMatlabtambi enpodemosescogers ololascolumnasolas las,porejemploc(:;j)esla columnaj dec, yc(i;:) esla lai: Matlab tambi en tiene por default algunas matrices, como la identidad y la de ceros y unos, a trav es de eye, zeros y ones. Por ejemplo, I3 = eye(3;3), Y = zeros(3;5); Z= ones(2): Si lo que deseamos es una secuencia de s olo un n umero repetido varias veces, porejemplosieln umeroceroloqueremosrepetido3veces,escribimosx(3)=0: Posteriormenteveremosquees util generar valoresaleatoriosa trav es deloscomandos rand y randn, los cuales vienen de la distribuci on uniforme [0,1] y dela normal (0,1), respectivamente. Porejemplo,F =rand(3)yg=randn(1;5): Matlabpuedecomputarelin nito,atrav esdelcomandoinf,sinembargorecordemos queno podemos dividir inf/inf, porquematem aticamenteno est a de nidoy en la pantalla dematlabaparecer ³aNaN(NotaNumber). Por ultimoveamosquematlbab, comomuchoslenguajesdeprogramaci on, trabajacon bucles(loops). Un ejemploes: Dicha soluci on se puede obtener generando el bucle m=2; forn=1:3;m=1+ 1 m ; m 6

7 Si deseamos ver todas nuestras variables escribimoswho y sedesplegaran todos los nombresdenuestrasvariables. Aunquesi se deseamayor informaci on acerca delasvariables, escribimoswhos. 1.2 Gr a cas Las gr a cas m as sencillas de hacer son las gr a cas de puntos en el plano cartesiano. Por ejemplo, x=[0;3;6:1;7]; y=[3;8;10;9:2]; plot(x;y) N otesequepor default, Matlab juntalospuntoscon l ³neasrectas, pero paratener s olo los puntosponemos plot(x;y;0o0) Tambi enpodemosgra carunafunci onconlospuntosdex;porejemplo, plot(x;sin(x)) Podemostambi arnos olopuntos,sinointervalos,porejemplo, x=(0::1:2 pi); y=sin(x); plot(x;y) 7

8 o x=( 5::1:5); y=x:=(1+x:^2); plot(x;y) Paraver lasdiferentesopcionesquetenemosparagr a car, nos podemosir alaayuda, donde ah ³ nosse~nalan c omo poner diferentescolores, marcadoresy tipos del ³neas. Veamos algunosejemplo: plot(x;y; 0g 0) plot(x;y; 0p0; 0 MarkerSize 0 ;10) Podemosa~nadirlealasgr a cast ³tuloynombrealosejes, por ejemplo plot(x;y);::: title(0gr afica10);::: xlabel(0ejex0) El comando hold on lo usamos para poner en una misma gr a ca, otra gr a ca, por ejemplo usando el ejemplo anterior, posteriormente escribimos: holdon v= 8

9 w= plot(v; w) Subplot hacequeaparezcan variasgr a casen una mismaventana. Realizemosahoraalgunosejerciciosdegr a cas 4 x= 10:0:5:10; y=x:^2; plot(x;y) t=0:0:1:2 pi; x=cos(t); y=sin(t); plot(x;y) t=0:pi=5:2 pi; u=cos(t); v=sin(t); figure plot(u;v) plot(x;y; 0r 0;u;v; 0b :0) figure subplot(1;2;1) plot(x;y) title(0f ino0) subplot(1;2;2) plot(u;v) title(0t osco0) Ver ejercicios1.2.pdf 4 idem 9

10 2 Integraci on y diferenciaci on num erica En estecap ³tulo usaremos m etodos num ericos para resolver problemas de c alculo y ecuaciones diferenciales. Veremos algunas t ecnicas num ericas para encontrar derivadas e integrales de nidas. Por ejemplo, c omo calculamos el area de un triangulo usando Matlab. Lo que podemos empezarahaceresunarchivo.m,enelcualde namosnuestroobjetivo: function A=Atri(b,h) A=b*h/2; Entoncesen laventanade Matlab s olo escribimos por ejemplo Atri(2,5) para saber el area deun tri angulo de base 2 y altura Integraci onnum erica Elproblemageneralenlaintegraci onnum erica,tambi enllamadocuadratura,eseldecomputar R f(x)dxondef D :Rn!Resunafunci onintegrablesobreeldominiod½r n. Todaslas f ormulasde integraci on num erica usan un n umero nito deevaluacionesdel integrando,f,yusanunasumaponderadadeestosvaloresparaaproximar R f(x)dx. Existen D variosm etodos, aunqueaveceslosm assencillos noson tan e cientesylosm ascomplejos tardan mucho ynecesitan varios requisitos. Nosotros no veremos los m etodosmuy complejos. Lasf ormulasde cuadratura de las cotasdenewton eval uan a f en un n umero nito de puntos, usan esta informaci on para construir una aproximaci on polinomial por pedazos def,eintegranestafunci onf paraaproximar R D f(x)dx. 10

11 f(x) U Q V S R P a b x Gr a ca2.1. ReglasdelascotasdeNewton Enlagr a ca2.1lafunci onf pasaporlospuntosp;qyr. Laintegral R b a f(x)dxes elareabajolalafunci onf yelejedelasabscisas. Podemosobservartresaproximaciones directamente. LacajaaUQVb aproximaaf conunafunci onconstantedef enq, quees el punto medio de[a; b]: El trapezoide ap Rb aproxima a f con una l ³nea recta a trav esde los puntos P y R: Por ultimo, el area bajo la curva punteada PQSR aproxima a f con una par abola atrav es dep; Qy R: Estas aproximaciones est an basadas en uno, dos ytres evaluacionesdef, respectivamente, lascualesson usadaspara computar polinomiosde orden uno, dosytres. Esteenfoquenosllevaalasf ormulascuadr aticasdelascotasdenewton. Antes dever estasf ormulas delascotas denewton y las propiedadesdeloserrores, recordemosqueesel teorema detaylor. yenr n : TeoremadeTaylor Esel teorema m as utilizado en el an alisis num erico y veamoslo en sus versionesen R Teorema2.1. (TeoremadeTaylorenR)Si f 2C n+1 [a;b]yx;x 0 2[a;b];entonces f(x)=f(x 0 )+(x x 0 )f 0 (x 0 )+ (x x 0) 2 f 00 (x 0 ) 2! +:::+ (x x 0) n f (n) (x 0 )+R n+1 (x) n! 11

12 onde xi para»2[x;x 0 ] R n+1 (x)= 1 n! Z x (x t) n f (n+1) (t)dt= (x x 0) n+1 x 0 (n+1)! f (n+1) (») El teorema de Taylor dice, esencialmente, que uno puede usar informaci on de las derivadas en un s olo punto paraconstruir unaaproximaci on polinomail deunafunci on enunpunto. x 0 2:R n, Teorema2.2. (TeoremadeTaylorenR n )Sea f :R n!ryesc k+1 ;entoncespara f(x)=f(x 0 )+ i (x 0 )(x i x 0 i )+ 1 2! nx i=1 nx 2 j (x 0 )(x i x 0 i )(x j x 0 j ) +:::+ 1 k! nx ::: i 1 =1 nx i k k i1 ik (x 0 )(x i1 x 0 i 1 ):::(x ik x 0 i k )+ (jjx x 0 jj k+1 ) Regladelpuntomedio Estaeslaf ormuladecuadraturam assencilla, yvienedadapor Z b a f(x)dx=(b a)f( a+b 2 a)3 )+(b f 00 (») 24 para alguna» 2[a; b]: Como haremos tambi en m asadelante, los primerost erminoscompren la regla de integraci on y el ultimo t ermino es el error dedicha regla. Esta regla es un claroejemplodeunareglaabierta, queesunareglaquenoutilizalospuntosextremos. Por ejemplo, si queremos integrar la funci on S = R ¼ 0 medio,vamosaobtener sin(x) dx con la regla del punto x Z ¼ 0 sin(x) x dx ) ¼¼sin(¼ 2 ¼ 2 =¼ 1 ¼ 2 =2 regla. Vemosenlasiguientegr a caelverdaderovalordel areaconaquelencontradoconesta 12

13 Gr a ca 2.2. Area dada por la integral S y la aproximaci on usando la regla del punto medio Sin embargo, esta regla es poco precisa para aproximar el valor deseado, por lo que es m asconvenienteromper el intervalo [a; b] en peque~nosintervalos, aproximar la integral en cada uno deestospeque~nosintervalosysumar estasaproximaciones. El resultadoes unareglacompuesta. Sean 1eln umerodeintervalosyde namosahcomoh= (b a) n y x j =a+(j 1 2 )h;paraj=1;2;:::;n:entonceslareglacompuestadelpuntomedioes: Z b a f(x)dx=h nx j=1 f(x j )+ h2 (b a) f 00 (») 24 paraalguna»2[a;b]:notemosqueelerroresproporcionalah 2 ;esdecir,quesidoblamos eln umerodeintervalos,estoreducealamitadeltama~nodelpasohyporlotantoreduce el error un 75 porciento. Espor esto queesta regla compuesta del punto medio converge cuadr aticamenteparaf 2C 2 : Dado que esta regla es muy sencilla, pocas veces se llega a utilizar en la pr actica en econom ³a, por lo que demos enfasis a las siguientes dos reglas Reglatrapezoidal Se basa en la aproximaci on lineal de f usando s olo los valores def en los puntosextremos de[a; b]: La reglatrapezoidal consisteen: Z b a f(x)dx= (b a) [f(a)+f(b)] 2 (b a)3 f 00 (») 12 13

14 para alguna» 2[a; b]: Esta regla es el ejemplo m as simple para la regla cerrada; la cual es unareglaqueusalospuntosextremos. Porejemplo,f(x)=e x2 ;cona=0yb=2:usandolareglatrapezoidaltenemosque Z 2 0 e x2 dx ¼1[e 02 +e 22 ] ¼1:0183 Lafunci onylaaproximaci onlinealsepuedenverenlasiguientegr a ca: Gr a ca2.3. f(x)=e x2 yunal inearectaobtenidaporlareglatrapezoidal En t erminos de Matlab, lo escribiriamosen un archivo.m de la siguiente manera: function q=trapecio(f,a,b) ya=feval(f,a); yb=feval(f,b); q=(b-a)*(ya+yb)/2; De niocualquierfunci onenotroarchivo.m,porejemplo: function y=ejemplo(x) y=exp(-x^2); Luego en laventanadematlab s oloescribimostrapecio('ejemplo',0,2), si esque queremosintegrarde0a2. 14

15 Esta regla tambi en tiene el problema de que trata deaproximar con una recta, lo cual suenaunpocoil ogicoparaaproximarfuncionesenc n ;onden 2:Porlotanto,aqui tambi enquerremosutilizarlareglacompuestatrapezoidal. Seah= (b a) n,x j =a+jh;para j=1;2;:::;n;ydenotemosf i af(x j );entoncesdichareglaes: Z b paraalguna»2[a;b]: a f(x)dx= h 2 [f 0+2f 1 +:::+2f n 1 +f n ] h2 (b a) f 00 (») 12 Porejemplo,f(x)= 1 x ;cona=1,b=2yn=2:usandolareglacompuestatrapezoidal tenemosque Z x dx ¼1 4 [f(1)+2f(1:5)+f(2)]=1 4 [ : ]=17 24 ¼0:7083 Lafunci onylasaproximaci onlinealessepuedenverenlasiguientegr a ca: Gr a ca2.4. y= 1 x ylaaproximaci ontrapezoidalen[1,1.5]y[1.5,2] En t erminos de Matlab, lo escribiriamosen un archivo.m de la siguiente manera: function I=Trap(f,a,b,n) h=(b-a)/n S=feval(f,a); for i=1:n-1 x(i)=a+h*i; 15

16 S=S+2*feval(f,x(i)); S=S+feval(f,b); I=h*S/2; De niocualquierfunci onenotroarchivo.m,porejemplo: function y=ejemplo2(x) y=1/x; Luego en la ventana de Matlab s oloescribimostrap('ejemplo2',1,2,2), si es que queremosintegrarde1a2. Checar M672A RegladeSimpson Una aproximaci on por pedazos lineal de f en la regla compuesta trapezoidal puede ser innecesaria si f es suave. Otra manera es utilizar una aproximaci on por pedazos cuadr atica def,lacualutilizalosvaloresdef ena;byenelpuntomedio 1 2 (a+b):laregladesimpson enelintervalo[a;b]es: Z b a f(x)dx= (b a) 6 [f(a)+4f( a+b a)5 )+f(b)] (b f(4) (») paraalguna»2[a;b]: Z 1 0 Porejemplo,f(x)= 1 1+x 2 ;cona=0yb=1:usandolaregladesimpsontenemosque 1 1+x 2dx ¼1 6 [f(0)+4f(1 2 )+f(1)]= 1 6 [ ]= 60 ¼0: Elvalorexactodelaintegralesarctan(1)= ¼ 4 ¼0:7853 La funci on y el polinomio cuadr aticoquepasapor lospuntos(0,1),(.5,.8) y (1,.5) se puedenverenlasiguientegr a ca: 16

17 Gr a ca2.5. f(x)= 1 1+x 2 ylaaproximaci oncuadr aticausandolaregladesimpson No es desorprersequeel valor aproximado dela integral con lareglade Simpson seamuybueno, porquelasdosfuncionesson similares. En t erminos de Matlab, lo escribiriamosen un archivo.m de la siguiente manera: function s=simpson(f,a,b) ya=feval(f,a); yb=feval(f,b); c=(a+b)/2; yc=feval(f,c); q=(b-a)*(ya+4*yc+yb)/6; De niocualquierfunci onenotroarchivo.m,porejemplo: function y=ejemplo(x) y=exp(-x^2); Luego en la ventana de Matlab s oloescribimossimpson('ejemplo',0,2), si es que queremosintegrarde0a2. Construyamos ahora la correspondiente regla compuesta de(n + 1)-puntos sobre[a; b]: Sean 2unn umeropardeintervalos,entoncesh= (b a) n,x j =a+jh;paraj=0;1;:::;n; 17

18 ylareglacompuesta desimpson es: S n (f)= h 3 [f 0+4f 1 +2f 2 +4f 3 +:::+4f n 1 +f n ] h4 (b a) f (4) (») 180 para alguna» 2 [a; b]: Esta regla lo que hace b asicamente es que toma tres particiones consecutivasdex j ;usalafunci oncuadr aticaparaaproximaraf ylaintegraparaaproximar laintegralsobreelintervalo. Por ejemplo, f(x)=e x2 ; con a =0, b=2yn=4: Usando la regla compuesta de Simpson tenemosque Z 2 0 e x2 dx ¼ 1 6 [f(0)+4f(1 2 )+2f(1)+4f(3 2 )+f(2)] = 1 6 (e 02 +4e (1 2 )2 +2e 12 +4e (3 2 )2 +e 22 )=0:8818 La funci on y las aproximaciones cuadr aticas se pueden ver en la siguiente gr a ca: Gr a ca2.6. y=e x2 ysuaproximaci onusandolaregladesimpsonconn=4 En t erminos de Matlab, lo escribiriamosen un archivo.m de la siguiente manera: function J=Simp(f,a,b,n) h=(b-a)/n; S=feval(f,a); for i=1:2:n-1 x(i)=a+h*i; 18

19 S=S+4*feval(f,x(i)); for i=2:2:n-2 x(i)=a+h*i; S=S+2*feval(f,x(i)); S=S+feval(f,b); J=h*S/3 De niocualquierfunci onenotroarchivo.m,porejemplo: function y=ejemplo(x) y=exp(-x^2); Luego en la ventana de Matlab s oloescribimostrap('ejemplo2',0,2,4), si es que queremosintegrarde0a2. Notemos queusando localmente una aproximaci on cuadr atica de f tenemos un error de ordenh 4 ;mientrasqueusandolocalmenteunaaproximaci onlinealdelareglatrapezoidaltenemosunerrordeordenh 2 :Porloqueconcualquieraproximaci onlinealdefuncionessuaves, aproximacionesdealtosgradosdar an como resultadoerroresasimpt oticamentemenores. Veamosunejemplonum ericoenlatabla2.1,ondevemosqueenalgunoscasosse necesitan variospuntos para acercarnos a los valores verdaderos. Vemosque ambas reglas tieni cultadenla ultimacolumna,debidoalkinkenx= 0:05:Si estefueraenx=0; entonces cualquier regla trapezoidal con un n umero de puntos impares podr ³a computar la integralexactamente. Ejercicio2.2. Demostrar queesto se cumple. Tabla2.1. Algunasintegralessencillas Regla N umerodepuntos R 1 0 x1 4dx R 1 0 ex dx R 1 1 max[0;x+0:05]dx 19

20 Trapezoidal Simpson Verdadera En general, cuando queramosuna buena aproximaci on dela integral, vaa ser necesario utilizar muchos puntos para alcanzar la convergencia con nuestra funci on deseada. Si no queremos de nir una regla en particular, podemosaproximar la integral en Matlab/Octave con quad y quad8, y no tenemos que de nir cuantos puntos queremos aproximar. Porejemplo,queremosintegrarlafunci oni= R 2¼ 0 e x sin(10x)dx,entoncesescribimos >>f=inline('exp(-x).*sin(10*x)'); >>quad(f,0,2*pi) ans = Esto lo podemos comprobar resolvio la integral por partes que nos dar ³a I= e x [sin(10x)+10cos(10x)]j 2¼ 0 ¼0:0988 Si deseamos resolver integrales con m etodos de ordenes altas, entonces en vezde usar el comando quad('f',xmin,xmax) usamos quad8( ). El primer comando usa lareglade Simpson, mientras quequad8 usa cotas denewton m as elevadasde ordenes. Tambi en notemos que tanto Matlab como Octaveya tienen incluida el comandodel trapecio a trav es detrapz(x,y),ondexyysonvectores. Sin embargo, si queremos resolver la integral exactamente, escribimos en Matlab el comando syms x t para decirle a Matlab quequeremos integrar. Si queremos una integral inde nida, puess olo escribimolaintegral, por ejemplo int(-2*x/(1+x^2)^2) returns 1/(1+x^2). Perosiqueremosquenosintegreenunintervalo[a;b]escribimosporejemplo, int(x*log(1+x),0,1) returns1/4. int Realizemos a continuaci on algunos ejemplos usando: 20

21 a) La reglacompuestatrapezoidal con 2subintervalos b) La regla compuesta trapezoidal con 10 subintervalos c) La regla de Simpson compuesta con 2 subintervalos d) La regla de Simpson compuesta con 10 subintervalos 1. R 4 0 2x dx 2. R xdx 1+x 3 1. octave:1>trap('ejem1',0,4,2) h=2 ans=25 octave:2>trap('ejem1',0,4,10) h= ans= octave:3>simp('ejem1',0,4,2) h=2 J=22 ans=22 octave:4>simp('ejem1',0,4,10) h= J= ans= octave:5>trap('ejem2',0,1,2) h= ans= octave:6>trap('ejem2',0,1,10) h= ans=

22 octave:7>simp('ejem2',0,1,2) h= J= ans= octave:8>simp('ejem2',0,1,10) h= J= ans= Diferenciaci onnum erica La diferenciaci on num erica se usa frecuentemente en problemas num ericos. Por ejemplo, en optimizaci on yen problemasdeecuacionesno lineales vamosa usar aproximaciones nitasde gradientes, Hesianos yjacobianos. De hecho, estopor lo general se computa num ericamente, porque las soluciones anal ³ticasson muydif ³ciles, adem asdequedemoran mucho tiempo. Lasderivadasnum ericas tambi en son muy importantesen algunos m etodosde ecuaciones en diferencia. Lo queharemosser aencontrar estimacionespara laderivadao pientede una funci on usando los valores de la funci on s olo en un conjunto de puntos discretos. Laderivadaest ade nidacomo loquesugierelaf ormula f 0 (x)=lim "!0 f(x+") f(x) " f 0 (x) : = f(x+h) f(x) h ondehqueremosqueseapeque~na. Veamos ahora c omo diferenciar exactamente en Matlab. Usando tambi en antesel comando syms x t escribimos an alogamentecomo lo hicimos con la integral, pero usamos ahora el comandodiff, por ejemplodiff(sin(x^2))returns 2*cos(x^2)*x. 22

23 2.2.1 Primeras derivadas Diferencias adelantadas, atrasadas y centrales Lasf ormulasm assencillassebasan enutilizar una l ³nea recta para interpolar, dados losdatos, esdecir, queusan dos puntos dadosparaestimarladerivada. Porloquevamosasuponerquex i 1 yx i+1 existen. Sea f(x i 1 ) = y i 1 ; f(x i ) = y i y f(x i+1 ) = y i+1 y vamos a suponer que la distancia entrelasx'sesconstante,esdecir,h=x i+1 x i =x i x i 1 : Entoncesveamosnuestrastresf ormulas: Diferenciaadelanta f 0 (x i ) ¼ f(x i+1) f(x i ) x i+1 x i = y i+1 y i x i+1 x i Diferenciaatrasada f 0 (x i ) ¼ f(x i) f(x i 1 ) x i x i 1 = y i y i 1 x i x i 1 Unenfoquem asbalanceadodaunaaproximaci ondeladerivadaenx i usandolosvalores def(x i 1 )yf(x i+1 ):Tomandoelpromediodelasdosdiferenciasarribamencionadas, nos dalaf ormuladeladiferenciacentral. Diferenciacentral f 0 (x i ) ¼ f(x i+1) f(x i 1 ) x i+1 x i 1 = y i+1 y i 1 x i+1 x i 1 En la gr a ca2.7 podemosobservar estastres f ormulasde diferencia con unafunci on aleatoriaf 0 (x) 23

24 Diferencia central Diferencia atrasada Diferencia adelantada Gr a ca2.7. Aproximacionesdef ormulasdediferencias Parailustrarestastresf ormulas, consideremoslospuntos(1,2), (2,4), (3,8), (4,16) y (5,32),onde(x i ;y i );coni=0;1;2;3;4:entoncesladiferenciaadelantadaparaf 0 (x 2 )= f 0 (3)conh=1nosdar ³a f 0 (x 2 ) ¼ f(x 3) f(x 2 ) = y 3 y 2 x 3 x 2 1 =16 8=8 Analogamenteparaladiferenciaadelantadanosdar ³af 0 (x 2 ) ¼4,yparaladiferencia centralnosdaf 0 (x 2 ) ¼6: Sinembargo,podemosutilizarestasf ormulas,peroconh'sm asaltas,porejemplocon h=2paraladiferenciacentralnosdar ³af 0 (x 2 ) ¼7:5:Losdatosqueacabamosdeutilizar son de la funci on y = f(x) = 2 x, por lo que podemos comparar las estimaciones de las derivadasconlosverdaderosvalores. Enestecasof 0 (x)=2 x (log2);as ³quef 0 (3) ¼5:544: F ormulasgeneralesdetrespuntos Avecesinterpolarunafunci onatrav esde un polinomio es mejor que a trav es de una recta, adem as de que puede utilizar m as puntos. Por loquevamosaampliar lasdosprimerasf ormulasantesmencionadas. Diferencia adelantacon tres puntos f 0 (x i ) ¼ f(x i+2)+4f(x i+1 ) 3f(x i ) x i+2 x i = y i+2+4y i+1 3y i x i+2 x i 24

25 Diferencia atrasada con tres puntos f 0 (x i ) ¼ 3f(x i) 4f(x i 1 )+2f(x i 2 ) x i x i 2 = 3y i 4y i 1 +2y i 2 x i x i 2 Aplicadasal ejemplo anterior vemos que con la diferencia adelantada detrespuntos f 0 (x 2 ) ¼4;yladiferenciaatrasadadetrespuntosnosdaf 0 (x 2 ) ¼5;porloquevemosque entrem aspuntosutilicemos, m asnosacercamosal verdaderovalor. Empero, estasaproximacionesrequieren queladistanciaentrelasx'ssea constante, pero no siempre este es el caso, por lo que el polinomio interpolador de Lagrange s olo necesita quex 1 <x 2 <x 3 : Recordemoslaformageneraldelpolinomioquepasapornpuntos(x 1 ;y 1 );:::;(x n ;y n ) por lo que tiene n t erminos quecorresponden a cada un de los puntos: p(x)=l 1 y 1 +L 2 y 2 +:::+L n y n onde L k (x)= (x x 1):::(x x k 1 )(x x k+1 ):::(x x n ) (x k x 1 ):::(x k x k 1 )(x k x k+1 ):::(x k x n ) Elnumeradoreselproducto N k (x)=(x x 1 ):::(x x k 1 )(x x k+1 ):::(x x n ) por lo que podemos escribir p(x)=c 1 N 1 +c 2 N 2 +:::+c n N n ondec k sonloscoe cientesdelpolinomiointerpoladordelagrange c k = y k (x k x 1 ):::(x k x k 1 )(x k x k+1 ):::(x k x n ) En nuestro an alisis con tres puntos el polinomio interpolador delagrange ser ³a: L(x)=L 1 (x)y 1 +L 2 (x)y 2 +L 3 (x)y 3 La aproximaci on a la primera derivada de f viene de f 0 (x) ¼ L 0 (x); que se puede 25

26 escribircomo L 0 (x)=l 0 1(x)y 1 +L 0 2(x)y 2 +L 0 3(x)y 3 onde L 0 1(x) = L 0 2(x) = L 0 3(x) = 2x x 2 x 3 (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) 2x x 1 x 3 (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) 2x x 1 x 2 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) Porlotanto, f 0 (x) ¼ 2x x 2 x 3 (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) y 1+ 2x x 1 x 3 (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) y 2+ 2x x 1 x 2 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) y 3 Por ejemplo, tenemos los puntos (-2,4), (0,2) y (2,8), entonces en un archivo.m escribimoslossiguinetescomandos que nosayudan adeterminar loscoe cientes del polinomio interpolador delagrangeyel resultadodedicho polinomio. function p=lagrange coef(x,y) % Calcula los coeficientes de las funciones de Lagrange n=length(x); for k=1:n d(k)=1; for i=1:n if i~=k d(k)=d(k)*(x(k)-x(i)); c(k)=y(k)/d(k) function p=lagrange eval(t,x,c) % Evalua el polinomio interpolador de Lagrange en x=t m=length(x); l=length(t); 26

27 for i=1:l p(i)=0; for j=1:m N(j)=1; for k=1:m if (j~=k) N(j)=N(j)*(t(i)-x(k)); p(i)=p(i)+n(j)*c(j); Enelcualenestecasonosvaadarp(x)=x 2 +x+2,conlocualevaluadoenx=2; nosdap(2)=8: >>x=[-202] x= -202 >>y=[428] y= 428 >> Lagrangecoef(x,y) c= 4 c= -2 c= c= c= c=

28 c= c= c= >>Lagrangeeval(2,x,[.5-.51]) ans= Segundas derivadas Lasf ormulasdederivadasm asaltas sepueden encontrar diferenciandovariasvecesel polinomio interpolador o con las expansiones de Taylor. Por ejemplo, dados tres puntos con distanciasigualesentreellos, laf ormuladelasegundaderivadaes f 00 (x i ) ¼ 1 h 2[f(x i+1) 2f(x i )+f(x i 1 )] as ³queusandolospuntos(2,4),(3,8),(4,16)conh=1evaluadoenx 2 =3,tenemos f 00 (3) ¼[f(4) 2f(3)+f(2)]=4 Con laayuda del teoremade Taylor, podemosescribir lassiguientesf ormulas dediferenciacentral: f 000 (x i ) ¼ 1 2h 3[f(x i+2) 2f(x i+1 )+2f(x i 1 ) f(x i 2 )] f 0000 (x i ) ¼ 1 h 4[f(x i+2) 4f(x i+1 )+6f(x i ) 4f(x i 1 ) f(x i 2 )] 28

29 3 Resolverun sistema de ecuaciones no lineales con m etodos de gradiente Algunos conceptosde equilibrio est an expresados como sistemas de ecuacionesnolineales. Estos problemas generalmente toman dos formas: ceros y puntos jos. Si f : R n! R n, entoncesuncerode f escualquierxtalquef(x)=0,yunpunto jo de f escualquierx talquef(x)=x:estossonb asicamenteelmismoporoblema,yaquexesunpunto jode f(x)siys olosi(sii)esuncerodef(x) x:enestecap ³tuloveremosm etodosnum ericos para resolver ecuaciones no lineales. El concepto de equilibrio general de Arrow-Debreu consiste esencialmente en encontrar unvectordepreciostalqueelexcesodedemandaescero,yesteenefectoesunproblemade un sistema de ecuaciones no lineales. Otro ejemplo es el de equilibrios de Nash con estrategias continuas y lastrayectorias de transici on de los sistemas deterministicos din amicos. As ³ que como pueden ver en econom ³a existen varios problemas de estos y nosotros lo que queremos es tratar de resolverlos con m etodos num ericos. Primero veremosm etodospara resolver problemasen una dimensi on ydespu esveremos pararesolverimensi on nita. Comosuelesucederconestosm etodos, esquenoexiste el m etodo perfecto, sini quecada uno tienesus ventajas ysus desventajas, adem as de que unos son mejores para determinados modelosque otros. Para enter mejor la aplicaci on de estosm etodos en econom ³a, veremos algunos ejemplosinteresantes, aunque todav ³a sencillos. 3.1 Problemas unidimensionales Seaf :R!Ryqueremosresolverelproblemaf(x)=0:Estecasoesmuyimportante,ya queesla basepara muchosm etodosmultidimensionales. A los problemaspara encontrar cerodelafunci on nolineal, tambi en selellama ra ³cesdeunaecuaci on nolineal Bisecci on El m etodo de la bisecci on es una t ecnica sistem atica deb usqueda para encontrar el cero deunafunci oncontinua. Estem etodosebasaenencontrarunintervaloenelcualuncero se sabequeexiste, dividio el intervalo en dos subintervalosigualesy determinar cual subintervalo contiene al cero. Seaf continuaconf(a)<0<f(b)paraalgunaa;b;a<b, comosepuedeverenla gr a ca

30 f(x) a c b Gr a ca3.1. M etododelabisecci on Dadasestascondiciones,elteoremadelvalormedionosdiceque 9f(»)=0;» 2(a;b), entonces el m etodo dela bisecci on usa esteresultado variasveces paracomputar un cero. Consideremos c = 1 (a+b); es decir el punto intermedio de [a;b]. Si f(c) = 0; pues ya 2 tenemos nuestro resultado. Si f(c) > 0, como en la gr a ca, entonces existe un cero en (a;c)yelm etododelabisecci oncontin uacon(a;c):an alogoparaelcasoenquef(c)<0: Entonceslo quehaceel m etododelabisecci on esqueva atrabajar cadavezen intervalos m as peque~nos, aunque cabe se~nalar que puede haber varios ceros, y el objetivo este m etodo es encontrar un cero. Sin embrago, podemos usar este m etodo varias vecespara encontrar m asceros. Veamosa continuaci on el algor ³tmo deestem etodo: Objetivo: Encontrarf(x)=0;f :R!R Paso1: Encontrarx I <x D talquef(x I )f(x D )<0yescogerlatolerancia";±>0 Paso2: Computarelpuntomediox M = xi +x D 2 Paso3: Re narlosl ³mites,esdecir,sif(x M )f(x I )<0;entoncesx D =x M ynocambia x I,enotrocasox I =x M ynocambiarx D Paso 4: Veri car si x D x I "(j1+jx I j+jx D j) o jf(x M )j ±, entonces detener y reportarlasoluci onenx M,enotrocaso,volveralpaso1. Mientras queel m etodo dela bisecci on essimple, nosdiceloscomponentesimportantes pararesolvercualquierecuaci on nolineal, esdecir, hacemosunguess inicial, computamos 30

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