Taller de Matemáticas II

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1 Taller de Matemáticas II 1 Universidad CNCI de Méico

2 Temario 1. Funciones Trigonométricas para ángulos agudos 1.1. Unidades de medición de ángulos 1.. Funciones Trigonométricas Directas 1.3. Funciones Trigonométricas Recíprocas 1.4. Cálculo de valores de las funciones trigonométricas 30º, 45º 60º. Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud.1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano.1.1. Distancia al origen.1.. Signos valores de las funciones trigonométricas.. Funciones Trigonométricas en el círculo unitario.3. Gráfica de funciones trigonométricas.4. Identidades Pitagóricas 3. Lees de senos cosenos Universidad CNCI de Méico

3 Sesión 9 Los temas a revisar el día de ho son: 1. Funciones Trigonométricas para ángulos agudos 1.1. Unidades de medición de ángulos 1. Funciones Trigonométricas para ángulos agudos Función: es la relación o correspondencia eistente entre dos variables (por ejemplo, ), de tal manera que a cada valor de le corresponde eactamente un sólo elemento de. Esto se epresa: f(), se lee: es una función de. De tal suerte que se obtienen pares ordenados (, ). Trigonometría: es una rama de las Matemáticas cuo significado etimológico es la medición de los triángulos. Función Trigonométrica: la Trigonometría como rama de las Matemáticas realiza su estudio en la relación entre lados ángulos de un triángulo rectángulo, con una práctica inmediata en geometría sus aplicaciones, para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones, que han sobrepasado su fin original, convirtiendo en muchos casos en elementos matemáticos estudiados en sí mismos, con aplicaciones en los campos más diversos Unidades de medición de ángulos Unidades angulares: Las unidades para medir ángulos en el sistema seagesimal son los grados Ejemplo: Para convertir de minutos segundos a grados: 87º 4 4 Convertirlo a grados Solución: El valor en grados de los minutos, divídelos entre 60, es decir, 4 / El valor en grados de los segundos, divídelos entre 3,600, 4 / 3, Sumas los resultados anteriores obtienes: 87º º. 3 Universidad CNCI de Méico

4 Ejemplo: Para convertir de grados a minutos segundos: º Convertirlo a grados, minutos segundos Solución: El valor de los minutos, multiplica el decimal por 60, El valor de los segundos, el decimal anterior se multiplica por 60, Entonces, º 45º Unidades circulares: Otra unidad más práctica es el radián, el cual se basa en la longitud del arco (medida del ángulo central) obtenida en una circunferencia de radio 1 de una circunferencia. Ejemplo: Si la circunferencia tiene una longitud de πr, entonces el ángulo que forma mide πr 360. Si r 1, entonces π 180. π entonces, 1 radián 57º º Para convertir de radianes a grados: rad convertirlo a grados 135 Para convertir de grados a radianes: 18º Convertirlos a radianes, como 180º, entonces:, resuelves la proporción: Se deja indicado el valor de no se multiplica porque es un número irracional no finito. 4 Universidad CNCI de Méico

5 Práctica 5 I. Convierte de grados a radianes viceversa. 1) 5º a radianes. ) 5/3 π rad a grados. 3) 15º a radianes. 4) 7/6 π rad a grados. 5),054º a radianes. 6) 19/ π rad a grados. 7) 3º5 1 a radianes. 8) 1.85 π rad a grados. 9) 1,56º1 a radianes. 10) 7/4 π rad a grados. 5 Universidad CNCI de Méico

6 Sesión 10 El tema a revisar el día de ho es: 1.. Funciones Trigonométricas Directas 1.. Funciones Trigonométricas Directas La Trigonometría estudia la relación que ha entre las medidas de los lados los ángulos de un triángulo rectángulo. Para definir las funciones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará es: La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de maor longitud del triángulo rectángulo. El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo a determinar. El cateto adacente (b) es el lado adacente (contiguo) al ángulo a determinar. Las proporciones que se obtienen al comparar la medida de los lados del triángulo rectángulo se les conoce como razones trigonométricas son las siguientes: Cada razón trigonométrica recibe un nombre distinto: 1. La razón entre el cateto opuesto la hipotenusa recibe el nombre de seno (sen).. La razón entre el cateto adacente la hipotenusa recibe el nombre de coseno (cos). 3. La razón entre el cateto opuesto el cateto adacente recibe el nombre de tangente (tan). cos tan 6 Universidad CNCI de Méico

7 Taller de Matemát ticas II Semana 3 4 Convino llamar a dicho conjunto de razones trigonométricas como funciones trigonométricas directas. Ejemplo: Obtén el valor de los lados de ángulos faltantes. 1) Reconoce los datos proporcionados. El ángulo proporcionado es A 34º El lado proporcionado corresponde al lado. opuesto al ángulo A, es decir, b 5 ) Identifica los datos faltantes. Los datos faltantes son: El lado adacente al ángulo A, es decir, el lado a. La hipotenusa c. El ángulo B del triángulo rectángulo. 3) Resuelve. Para obtener el ángulo B utilizas la propiedad de los ángulos internos de triángulo que corresponde a la siguiente igualdad: un A + B + C 180º Como A 34º C el ángulo recto, es decir, C90º entonces, sustitues todos estos valores en la igualdad anterior obtienes el ángulo B de tal forma que te resulta lo siguiente. Sustitues cada valor identificado anteriormente: A + B + C 180º Despejas el ángulo B: 34º + B + 90º 180º Simplificas: B 180º 90º 34º Y listo! B66º 7 Universidad CNCI de Méico

8 Ya obtuviste el ángulo interior faltante en el triangulo, ahora falta calcular el lado adacente a la hipotenusa c. Encuentra la necesidad de las funciones trigonométricas para la resolución de este ejercicio, el detalle consiste en reconocer la razón trigonométrica que te facilitará determinar el valor de los datos faltantes. cos tan Tanto la razón coseno como la tangente se pueden utilizar para determinar los dos valores faltantes. Entonces, si utilizas la función cos : Despejas el lado c : Sustitues los valores b 5 α 34º: Determinas el valor de cos 34º: Simplificas: Y listo! c 5/ 0.86 c 5.81 Ya que obtuviste el valor de la hipotenusa c, a partir de otra razón trigonométrica puedes obtener el otro valor faltante o también, tienes la opción de utilizar la fórmula del teorema de Pitágoras, a que se trata de un triángulo rectángulo. Razón Trigonométrica De la razón: tan α a/b Despejas a : a b tan α Sustitues: a 5 tan 34º Obtienes tan: a 5 (0.5914) Simplificas: a.96 Teorema de Pitágoras De la fórmula: c a + b Despejas a : a c b Sustitues: a (5.81) (5) Simplificas: a Obtienes raíz: a 8.76 Listo: a.96 Has logrado observar que en ambos casos obtienes los mismos resultados. Entonces puedes utilizar cualquiera de los dos. Nota: Para la obtención del valor correspondiente a las funciones trigonométricas puedes hacerlo a través de la calculadora o de la tabla de funciones trigonométricas, ambas se encuentran en el aneo al final del material. 8 Universidad CNCI de Méico

9 Práctica 6 1) Completa la siguiente tabla con las razones trigonométricas directas usando el triángulo rectángulo siguiente. Funciones Trigonométricas Directas sen D cos D tan D Funciones Trigonométricas Directas sen E cos E tan E ) En los siguientes ejercicios resuelve lo siguiente: a) Determina los datos faltantes a cada triángulo, a sea el ángulo o lado del mismo. b) Escribe las tres razones trigonométricas de cada ángulo. 9 Universidad CNCI de Méico

10 Sesión 11 El tema a revisar el día de ho es: 1.3. Funciones Trigonométricas Recíprocas 1.3. Funciones Trigonométricas Recíprocas Habrás notado que en el tema anterior sólo trabajaste tres tipos de las seis razones que obtuviste entre los lados del triángulo rectángulo, en dónde queda el resto? Para averiguarlo, compara las seis razones tal como se presentan a continuación, una frente a otra: (1) () cos (3) tan (4) (5) (6) Qué característica encuentras? Eacto! La razón (4) es recíproca de la razón (1), la (5) de la () la (6) de la (3). Por esta razón, estas razones trigonométricas reciben el nombre de funciones trigonométricas recíprocas. A su vez, cada una de estas razones recibe un nombre específico como se muestra a continuación: 1. La razón entre la hipotenusa el cateto opuesto recibe el nombre de cosecante (csc).. La razón entre la hipotenusa el cateto adacente recibe el nombre de secante (sec). 3. La razón entre el cateto adacente el cateto opuesto recibe el nombre de cotangente (cot). sec cot 10 Universidad CNCI de Méico

11 Taller de Matemát ticas II Semana 3 4 Cómo se le llama a estee conjunto trigonométricas? de razones Ejemplo: Obtén el valor de las funciones trigonométricas del siguientee triángulo rectángulo: Solución: 35 c 1 G Para determinar las funciones trigonométricas es indispensable conocer el valor de todos los lados del triángulo rectángulo. El valor faltante es la hipotenusa, el cual lo puedes obtener a través del teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras Sustitues los catetos: Elevas al cuadrado: Simplificas: Obtienes raíz: Y listo: c c c c a + b (1) + (35) c 37 Ya que obtuviste la hipotenusa, puedes obtener el valor de las funciones trigonométricas. 1) Identifica el lado adacente el opuesto. a lado opuestoo 35 b lado adacente 1 c hipotenusa Universidad CNCI de Méico

12 Taller de Matemát ticas II Semana 3 4 ) Sustitue los valores correspondientes en cada función. Funciones Trigonométricas Directas Funciones Trigonométricas Recíprocas Para obtener la amplitud del ángulo G, sólo es cuestión de que despejes de cualquiera de las razones anteriores el ángulo determines, a sea mediante las tablas de razones trigonométricas o mediante la calculadora científica el valor de la función trigonométrica inversa. Funciones Trigonométricas Directas Funciones Trigonométricas Recíprocas G sen -1 (a / c) G sen -1 (0.9459) G 71º G cscc -1 (c / a) G csc -1 (1.0571) G 71º G cos -1 (b / c) G cos - 1 (0.343) G 71º G sec -1 (c / b) G sec -1 (3.0833) G 71º G tan -1 (a / b) G tan - 1 (.9167) G 71º G ctan -1 (b / a) G ctan -1 (0.348) G 71º Práctica 7 1) Calcula en el triángulo: Encuentra el seno, el coseno la tangente de los ángulos α β. 1 Universidad CNCI de Méico

13 Taller de Matemát ticas II Semana 3 4 Sabiendo que 0 <α < 90, completa la siguiente tabla usando las relaciones α β Seno 0. 8 Coseno Tangente Cotangentee Secante Cosecantee 1.5 Determina la amplitud de los ángulos α β. ) Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la visual entre su casa la rampa, resultando ser de 70. Calcula la altura de la casa de Carlos el ángulo que ha entre la rampa el suelo. 3) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente la amplitud de los ángulos α β. α 1.3m 1.m β 4) Encuentra la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superiorr de la antena bajo un ángulo de 30. 5) Encuentra las razones trigonométricas de los ángulos α β del triángulo ABC sabiendo que es rectángulo. 13 Universidad CNCI de Méico

14 Sesión 1 El tema a revisar el día de ho es: 1.4. Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30º, 45º 60º 1.4. Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30º, 45º 60º Las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo implican un ángulo recto, es decir, un ángulo con una medida de 90º. Considera un triángulo equilátero cua longitud de sus lados es igual a dos unidades. Ahora, por ser éste equilátero, la amplitud de sus ángulos son congruentes cua medida es de 60º. Al cortar dicho triángulo equilátero eactamente por la mitad, corta la longitud del lado eactamente a la mitad la amplitud del ángulo eactamente a la mitad, por lo que se obtienen los siguientes dos triángulos rectángulos cuas medidas son las siguientes: La longitud del lado faltante lo obtienes a través del teorema de Pitágoras. c a + b a c b a () (1) a Universidad CNCI de Méico

15 Sus respectivas razones trigonométricas correspondientes son: Ángulo 60º Ángulo 30º sen 60º csc 60º sen 30º csc 30º cos 60º sec 60º cos 30º sec 30º tan 60º cot 60º tan 30º cot 30º Ahora, considera un triángulo isósceles, la propiedad de los ángulos isósceles señala que al poseer dos lados iguales, los ángulos opuestos a dichos lados también son iguales. Si dicho triángulo es un triángulo rectángulo al mismo tiempo isósceles, la medida de los ángulos lados queda determinada bajo las siguientes características: Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º entonces, como a tienes uno de 90º dos iguales, tienes algo de la forma: 180º 90º, despejando realizando las operaciones necesarias obtienes que 45º, dicho valor corresponde a la amplitud de cada uno de los ángulos congruentes en el triángulo rectángulo isósceles. Como observas en la imagen, falta determinar un lado del triángulo el cual corresponde al valor de la hipotenusa, pero, con la auda del teorema de Pitágoras es fácil que obtengas su valor. c a + b c (1) + (1) c Sus respectivas razones trigonométricas son: Obtén el valor de las razones trigonométricas recíprocas para el ángulo de 45º. Ángulo 45º sen 45º cos 45º tan 45º 15 Universidad CNCI de Méico

16 Ejemplo: Con la tabla de valores obtenidos anteriormente resuelve el siguiente triángulo rectángulo: 1) Calcula la medida de los catetos del siguiente triángulo rectángulo. Toma cualquiera de las razones trigonométricas obtén el valor número de la función trigonométrica como sigue: Por ejemplo: Si tomas la función sen 45º a/ c, obtienes: Despejas a c sen 45º Obtienes el valor de sen a c (0.7071) Sustitues c a (8) (0.7071) Simplificas: a Y por ser un triángulo rectángulo, la amplitud de su ángulo faltante mide también 45º, por lo que se trata de un triángulo rectángulo isósceles por lo tanto la medida de sus catetos son congruentes. Práctica 8 1) Un ecursionista desea subir a la parte más alta de un cerro que tiene 800 m de altura. Si el camino por donde va a subir tiene un ángulo de elevación de 60º, qué distancia deberá recorrer para llegar a su meta? ) Un edificio proecta una sombra de 0 metros en el momento en que el sol forma un ángulo de 60º con el horizonte. Qué altura tiene el edificio? Calcula además de las 6 funciones trigonométricas, los lados ángulos faltantes en los siguientes ejercicios: 3) La base de un triángulo rectángulo mide 30 m, su lado adjunto 60º 4) Uno de los lados de un triángulo rectángulo mide 8 cm su hipotenusa 10 cm. 5) El ángulo adacente a la base mide 39º la hipotenusa del triángulo rectángulo mide 18 cm. 16 Universidad CNCI de Méico

17 Aneo Tabla con valores trigonométricos para los ángulos múltiplos de 15º 17 Universidad CNCI de Méico

18 Sesión 13 Los temas a revisar el día de ho son:. Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud.1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano.1.1. Distancia al origen.1.. Signos valores de las funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud Ya aprendiste a obtener los valores de las funciones trigonométricas para ángulos agudos, qué ocurre con los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud? A continuación aprenderás a obtener dichos valores a trabajar las propiedades características de las funciones trigonométricas en particular..1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano Anteriormente comenzaste a trabajar con las funciones trigonométricas, las obtuviste a partir de la relación que eiste entre los lados de un triángulo rectángulo, pero, te has preguntado cómo es el comportamiento de dichas funciones en el plano cartesiano? Ya que se tratan de funciones, se pueden representar en el plano cartesiano mediante una gráfica, todos los valores correspondientes que obtuviste en la relación de los lados de un triángulo rectángulo conforman su gráfica. Antes de obtener los valores de una función trigonométrica en el plano, es importante que aprendas a calcular la distancia que eiste del origen a cualquier punto en el plano. Un ángulo normal se considera así por su posición, a que en un sistema de coordenadas rectangulares, su vértice está en el origen su lado inicial coincide con el eje positivo de las. Ángulo de referencia: es el ángulo más pequeño que se forma con el eje de las, éste puede ser medido en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, si el lado inicial está sobre el lado positivo del eje de las, o en el sentido de las manecillas del reloj, si el lado inicial está sobre el lado negativo del eje de las Distancia al origen Considera a θ como el origen del plano cartesiano un punto cualquiera en el mismo P (a, b), para calcular la distancia que eiste del origen a ese punto, recurres a la formación de un triángulo rectángulo, trazas una línea vertical del punto P al eje de las (a la abscisa a ) la unes con el origen, a que se formó el triángulo rectángulo, determinas lo siguiente: 18 Universidad CNCI de Méico

19 a : abscisa, cateto adacente. b: ordenada, cateto opuesto. r : distancia del origen al punto, hipotenusa. θ: ángulo formado por la horizontal el punto P. Taller de Matemáticas II Semana 3 4 Mediante las funciones trigonométricas puedes obtener la medida del ángulo θ. cos tan sec cot Ejemplo: Ubica en el plano cartesiano el punto Q (7, 7); calcula la distancia de este punto al origen el ángulo que forma con la horizontal. Solución: Aplica el teorema de Pitágoras para obtener la distancia del punto Q al origen O: c a + b r r r 98 r Una vez que obtuviste el valor de la hipotenusa (r), para determinar la amplitud del ángulo, puedes realizarlo a través de cualquiera de las funciones trigonométricas mediante la calculadora o de las tablas trigonométricas. Entonces, si usas la función tangente: Sustitue los valores correspondientes: 19 Universidad CNCI de Méico Despeja el ángulo θ: Aplica la función: tanθ 7 tanθ θ tan (1) θ 45º cateto opuesto cateto adacente

20 .1.. Signos valores de las funciones trigonométricas Taller de Matemáticas II Semana 3 4 Si utilizas puntos en el plano cua distancia al origen siempre sea igual a 1, es decir, que al formar el triángulo rectángulo su hipotenusa siempre sea 1, qué ocurre con las funciones trigonométricas? Si la hipotenusa vale 1, lo sustitues en la siguiente fórmula: Obtienes que la función seno es equivalente a la medida del segmento que corresponde al cateto opuesto (vertical): senθ cateto opuesto hipotenusa cateto opuesto senθ 1 senθ cateto opuesto Es decir, el valor de la ordenada. senθ Qué valores toma el cateto opuesto (la ordenada ) cuando la hipotenusa se va moviendo de lugar? En la figura puedes apreciar el comportamiento del cateto opuesto cuando la hipotenusa se mueve de lugar sobre el plano cartesiano, pero siempre guardando su valor unitario. Mientras el ángulo aumenta el valor del cateto opuesto, se acerca al de la hipotenusa, pero cuando rebasa los 90º éste disminue nuevamente. Además, encuentras que las medidas de los catetos opuestos son equivalentes para ciertos ángulos, de lo que conclues por ejemplo que: sen 30º sen 150º sen 60º sen 10º sen 0º sen 180º 0 Universidad CNCI de Méico

21 Si la hipotenusa continúa moviéndose sobre el plano cartesiano, los valores del cateto opuesto cateto opuesto en el tercer cuarto cuadrante toma valores negativos, en cuanto a la magnitud son equivalentes a los valores del primer segundo cuadrante, pero con signo contrario. En estos cuadrantes también se cumple que: sen 10º sen 330º sen 40º sen 300º sen 70º sen 90º sen 330º sen 30º sen 10º sen 150º sen 300º sen 60º Algo similar ocurre con la función coseno, observa la gráfica: Algunas equivalencias que logras deducir en la gráfica anterior son: cos 30º cos 330º cos 60º cos 300º cos 90º cos 70º cos 30º cos 150º cos 40º cos 300º cos 180º cos 0º Para la función tangente, como ésta depende de los dos catetos, su valor numérico varía mucho, en el primer cuadrante sus valores aumentan hasta llegar a infinito al pasar los 90º van disminuendo hasta llegar a cero. Qué ocurre con los signos de las tres funciones en cada cuadrante del plano cartesiano? 1 Universidad CNCI de Méico

22 SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Cuadrante Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante I II + + III + + IV + + senθ + c tanθ + cosθ + secθ 1 + tanθ + c secθ 1 + senθ + c tanθ cosθ secθ 1 tanθ c secθ 1 + senθ c tanθ + cosθ secθ 1 tanθ + c secθ 1 Universidad CNCI de Méico

23 senθ c tanθ cosθ + secθ 1 + tanθ c secθ 1 Ejemplo: Si el sen θ 5/9, determina el valor del resto de las funciones trigonométricas del ángulo θ. Solución: Según has visto, para la función seno eisten dos valores equivalentes para ángulos diferentes, observa la gráfica. En este caso, la distancia del punto al origen es igual a 9 unidades, valor que corresponde a la hipotenusa, según está determinada la función seno. c.o. 5, h 9 cateto opuesto senθ hipotenusa 3 Universidad CNCI de Méico 5 9 Para determinar el valor de las otras funciones trigonométricas es necesario que obtengas primero el cateto adacente. A través del teorema de Pitágoras obtienes el dato faltante: c a + b Despeja el cateto adacente: Sustitue los valores correspondientes: Aplica los cuadrados: r (c.a.) + (c.o.) (c.a.) r (c.o.) (c.a.) 9 ( 5) (c.a.) 81 5 (c.a.) 56 c.a. ± 14

24 Simplifica: Obtén la raíz cuadrada: Para el cateto adacente corresponden dos valores, que según sea el cuadrante es su signo. Para el ángulo en el III cuadrante Para el ángulo en el IV cuadrante senθ senθ cosθ 14 9 cosθ 14 9 tanθ tanθ cotθ cotθ secθ secθ 9 14 cscθ cscθ El ángulo formado lo puedes obtener a partir de cualquiera de las funciones anteriores. 4 Universidad CNCI de Méico

25 Práctica 9 I. Determina el valor de todas las funciones trigonométricas dadas las siguientes funciones: 1) sen θ ¾ ) tan θ /5 3) sec θ 8/3 4) csc θ 7 5) sec θ 3 6) sen θ /7 7) tan θ /3 8) cos θ /3 está en el segundo cuadrante 9) sec θ 6/7 10) csc θ 5 Universidad CNCI de Méico

26 Sesión 14 El tema a revisar el día de ho es:.. Funciones Trigonométricas en el círculo unitario.. Funciones Trigonométricas en el círculo unitario Si recuerdas bien, las funciones trigonométricas que obtuviste anteriormente con un valor fijo para la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por un punto en el plano su origen, la distancia (segmento) entre ambos se consideró como la unidad. Trabajaste los valores de las funciones seno, coseno tangente para dichos valores, advertiste que cuando el punto se movía por el plano, guardando siempre la misma distancia de éste al origen, forma un CÍRCULO UNITARIO. Reconociste los valores signos que corresponden a las funciones trigonométricas cuando el segmento que forma un punto del círculo unitario al origen, siempre es la unidad. I Cuadrante senθ c tanθ cosθ secθ 1 tanθ csecθ 1 II Cuadrante 6 Universidad CNCI de Méico

27 senθ c tanθ cosθ secθ 1 III Cuadrante tanθ csecθ 1 senθ c tanθ cosθ secθ 1 tanθ csecθ 1 IV Cuadrante senθ c tanθ cosθ secθ 1 tanθ csecθ 1 De lo anterior conclues en forma general que los signos de las funciones trigonométricas en el círculo unitario corresponden a los siguientes: 7 Universidad CNCI de Méico

28 Qué valores toma cada punto P (, ) P (seno, coseno) en el círculo unitario cuando se forman los ángulos: 30º, 45º, 60º, 90º, 10º, 135º, 150º, 180º, 10º, 5º, 40º, 70º, 300º, 315º, 330º 360º? sen θ sen 30º ½ cos θ cos 30º Por lo tanto el punto es P(, ½) De la misma manera obtienes el resto de las coordenadas de los puntos sobre el círculo unitario para cada ángulo formado, obteniendo lo siguiente: 8 Universidad CNCI de Méico

29 A este tipo de funciones obtenidas a través de un segmento unitario en el plano cartesiano se denominan también funciones circulares. Práctica 30 I. Encuentra los valores de las siguientes funciones recíprocas. 1) sec 45º ) csc 30º 3) cot 60º 4) sec 0º 5) csc 90º 6) cot 45º 7) cot 10º 8) sec 135º 9) csc 5º 10) sec 10º II. Indica en el plano cartesiano los signos correspondientes a las funciones recíprocas. 9 Universidad CNCI de Méico

30 Sesión 15 El tema a revisar el día de ho es:.3. Gráfica de funciones trigonométricas.3. Gráfica de funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas tienen una relación de correspondencia con el ángulo, por tal razón es posible trazar sus respectivas gráficas. Al agrupar todos esos datos obtienes lo siguiente: Función Seno Primer cuadrante Segundo cuadrante Grados 0º 30º 45º 60º 90º 10º 135º 150º 180º 30 Universidad CNCI de Méico

31 Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/ π/3 3π/4 5π/6 π sen θ Tercer cuadrante Cuarto cuadrante Grados 10º 5º 40º 70º 300º 315º 330º 360º Radianes 7π/6 5π/4 4π/3 3π/ 5π/3 7π/4 11π/6 π sen θ Y sus respectivas gráficas corresponden a las siguientes: Intersecciones con el eje de las sen θ 1,5 1,0 0,5 0, ,5 Puedes observar en la gráfica que la función seno tiene las siguientes propiedades: 1) La curva oscila entre 1 1 en el eje de las. ) Crece de 0º a 90º (I cuadrante) de 70º a 360º (IV cuadrante). 3) Decrece de 90º a 70º (II III cuadrante). 4) Es positiva de 0º a 180º (I II cuadrante). 5) Es negativa de 180º a 360º (III IV cuadrante). 31 Universidad CNCI de Méico -1,0-1,5 Periodo de la función de 360º

32 6) Tiene un periodo de π, es decir, la figura se repite cada 360º. 7) A la gráfica de la función seno se le conoce como senoidal o sinusoidal, es ondulada continua. Función Coseno Primer cuadrante Segundo cuadrante Grados 0º 30º 45º 60º 90º 10º 135º 150º 180º Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/ π/3 3π/4 5π/6 π cos θ Tercer cuadrante Cuarto cuadrante Grados 10º 5º 40º 70º 300º 315º 330º 360º Radianes 7π/6 5π/4 4π/3 3π/ 5π/3 7π/4 11π/6 π cos θ Intersecciones con el eje de las cos θ 1,5 1,0 0,5 0, ,5-1,5 Periodo de la función de 360º Puedes observar en la gráfica que la función seno tiene las siguientes propiedades: 1) La curva oscila entre 1 1 en el eje de las. ) Decrece de 0º a 180º (I II cuadrante) crece de 180º a 360º (III IV cuadrante). -1,0 3 Universidad CNCI de Méico

33 3) Es positiva de 0º a 90º (I cuadrante) de 70º a 360º (IV cuadrante). 4) Es negativa de 90º a 70º (II III cuadrante). 5) Tiene un periodo de π, es decir, la figura se repite cada 360º. 6) A la gráfica de la función coseno se le conoce como cosenoide o curva cosenoidal, es ondulada continua. Función Tangente Primer cuadrante Segundo cuadrante Grados 0º 30º 45º 60º 90º 10º 135º 150º 180º Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/ π/3 3π/4 5π/6 π tan θ / Tercer cuadrante Cuarto cuadrante Grados 10º 5º 40º 70º 300º 315º 330º 360º Radianes 7π/6 5π/4 4π/3 3π/ 5π/3 7π/4 11π/6 π tan θ / Asíntotas Intersecciones con el eje de las Puedes observar en la gráfica que la función seno tiene las siguientes propiedades: 1) No está definida en 90º 70º (asíntotas). ) Toma valores de - hasta. 3) Es periódica. Gráfica de función seno coseno en el mismo plano 33 Universidad CNCI de Méico

34 1,5 1,0 0,5 0, ,5-1,0 cos θ sen θ -1,5 Ejemplo: Completa la tabla traza la gráfica de la siguiente función: sen 3θ θ sen 3θ θ sen 3θ 0º 0 10º -1 30º 1 5º º º 0 60º 0 70º 1 90º º 0 10º 0 315º º º º 1 360º 0 180º 0 34 Universidad CNCI de Méico

35 sen 3θ 1,5 1,0 0,5 0, ,5-1,0-1,5 35 Universidad CNCI de Méico

36 Práctica 31 I.- Completa la siguiente tabla traza la gráfica correspondiente a cada una de las siguientes funciones: csc θ; sec θ; cot θ. θ csc θ 1/sen θ sec θ 1/cos θ cot θ 1/tan θ 0º 30º 45º 60º 90º 10º 135º 150º 180º 10º 5º 40º 70º 300º 315º 330º 360º II. Responde correctamente cada una de las siguientes preguntas. 1) En qué rango están los valores de cada una de las funciones en el eje? ) Para qué valores no está definida la función? 3) Son parecidas las funciones sen θ csc θ? Por qué? 36 Universidad CNCI de Méico

37 Sesión 16 El tema a revisar el día de ho es:.4. Identidades Pitagóricas.4. Identidades Pitagóricas Recuerda que una identidad algebraica es una epresión que resulta verdadera para cualquier valor asignado a las variables empleadas, por ejemplo: a a + a. Una identidad pitagórica es una igualdad entre epresiones trigonométricas que resulta de aplicar el teorema de Pitágoras se cumple para todo ángulo. En el caso del tema actual, considera el círculo unitario cuos valores a tratar son: Según el teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulo de la figura se cumple lo siguiente: r (c.a.) + (c.o.) (c.a.) + (c.o.) 1 Además, sabes que según la fórmula de la función seno el triángulo rectángulo de la imagen, la siguiente igualdad es correcta: senθ cateto opuesto hipotenusa senθ cateto opuesto cateto adacente cosθ hipotenusa cosθ cateto adacente De ambas conclusiones de la igualdad obtenida por el teorema de Pitágoras, obtienes la siguiente igualdad: (c.a.) + (c.o.) 1 cos θ + sen θ 1 (1) 37 Universidad CNCI de Méico

38 Qué ocurre si divides la identidad pitagórica (1) entre cos θ? cos cos cos θ + sen θ 1 θ sen θ + θ cos θ 1 cos θ 1 sec cos θ sen tan cos θ θ 1 + tan θ sec θ () θ θ Qué ocurre si divides la identidad pitagórica (1) entre sen θ? cos cos θ + sen θ θ + sen θ 1 sen θ sen θ 1 sen θ 1 csc sen θ cos cot sen θ θ cot θ + 1 csc θ (3) θ θ Estas tres identidades son conocidas como identidades pitagóricas. cos θ + sen θ 1 (1) 1 + tan θ sec θ () cot θ + 1 csc θ (3) 38 Universidad CNCI de Méico

39 Identidades recíprocas: Identidades de cocientes: senθ 1 cscθ tanθ senθ cosθ cosθ tanθ 1 secθ 1 cotθ cosθ cot θ senθ cotθ 1 tanθ secθ 1 cosθ cscθ 1 senθ Ejemplo: Verifica que la siguiente igualdad es válida: θ sen cos tanθ secθ θ Solución: Si usas tanθ inicial obtienes: senθ cosθ 1 sec θ lo sustitues en la igualdad cosθ 39 Universidad CNCI de Méico

40 senθ cos tanθ secθ senθ cos senθ 1 cosθ cosθ senθ cos θ cos senθ cos θ cos θ θ θ θ Práctica 3 I.- Verifica que las siguientes igualdades sean válidas. 1) tan θ + cot θ csc θ sec θ secθ tanθ tanθ secθ ) cosθ cotθ 3) cot θ sec θ csc θ 4) 1 (cos θ sen θ tan θ) cos θ 5) cos θ (tan θ + 1) 1 6) 1 sen θ cos θ cot θ sen θ 7) (sec θ 1) cos θ sen θ (1 + senθ )(1 senθ ) cosθ 8) cosθ 1 cos 1+ cos 4 θ 9) sen θ θ 10) tan θ (sen θ + cot θ cos θ ) sec θ 40 Universidad CNCI de Méico

41 Sesión 17 El tema a revisar el día de ho es: 3. Lees de senos cosenos 3. Lees de senos cosenos Hasta ahora sólo has trabajado la trigonometría con ángulos agudos, es decir, con ángulos menores a 90º, pero, te has preguntado qué ocurre con los triángulos oblicuos, es decir, con triángulos que poseen ángulos maores a 90º? Cuando se trata de resolver un triángulo, se trata de encontrar todos los datos desconocidos de éste, a sea la longitud de sus lados o la amplitud de sus ángulos. En esta sección utilizarás dos lees para la resolución de ángulos oblicuángulos: Le de los senos Le de los cosenos Le de los Senos Para aplicarla es necesario que consideres algunas propiedades. Para que calcules el área del triángulo de la figura, es necesario que conozcas su altura base, a que la fórmula está dada por A ½ b h. En el caso de que no conozcas la altura del triángulo, dicho valor lo puedes obtener mediante las funciones trigonométricas, en donde sen A h/c. Despejas la altura obtienes h c sen A. Y cuando lo sustitues en la fórmula del área te resulta lo siguiente: A ½ b c sen A Cuando divides todo esto entre ½ a b c obtienes: sena a 41 Universidad CNCI de Méico senb b senc c Esta epresión que acabas de obtener es nada más nada menos que la le de senos.

42 Dicha le epresa tetualmente lo siguiente: Taller de Matemáticas II Semana 3 4 La relación que eiste entre el lado de un ángulo cualquiera el valor del seno del ángulo opuesto, siempre será la misma. Ejemplo: Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo usando la le de senos. Solución: Datos proporcionados: c 1, A 39º B 63º Datos faltantes:,, C Con la propiedad de los ángulos internos de un triángulo es posible que obtengas el ángulo C. A + B + C 180º 39º + 63º + C 180º C 180º 10º C 78º Mediante el uso de la le de senos obtienes los datos faltantes: Le de senos: Sustitue valores correspondientes: Aplica las funciones: Simplifica: Listo! senb senc c sen63º sen78º Universidad CNCI de Méico

43 Procede de forma similar para obtener el valor de. sena sen39º senc c sen78º 1 Los valores faltantes son 10.66, 7.33 C 78º. Le de los Cosenos Qué igualdad emplearías para utilizar la función coseno? Taller de Matemáticas II Semana 3 4 b Considera de nuevo el triángulo oblicuángulo anterior con los datos marcados como se muestra en la imagen. La recta de la altura corta al triángulo oblicuángulo en dos triángulos rectángulos, a los cuales se les puede aplicar la fórmula del teorema de Pitágoras como sigue: Por un lado: c + h Para el otro triángulo rectángulo: a h + (b ) Desarrollas el cuadrado: a h + b b + Ordenas los términos: a b b + h + Como c + h, entonces lo sustitues: a b b + c Ordenas los términos: a b + c b Además, c cos A, lo sustitues: a b + c bc cos A Esta epresión que acabas de obtener es la le de cosenos. 43 Universidad CNCI de Méico

44 Otras epresiones que forman parte de la le de los cosenos que se derivan de forma similar del triángulo oblicúangulo anterior son: Ejemplo: a b + c bc cos A b a + c ac cos B c a + b ab cos C Encuentra la longitud del lado faltante en el siguiente triángulo determina la amplitud de sus ángulos. Solución: Datos proporcionados: a 8, b 1, C 37º Datos faltantes: c, A, B La fórmula de la le de cosenos que más conviene usar para obtener es: Le de cosenos: c a + b ab cos C Sustitue los valores: c (8)(1)cos 37º Aplica la función coseno los cuadrados: c (0.7986) Simplifica: c Aplica la raíz cuadrada: c c º Los datos faltantes los puedes obtener mediante la le de senos: senb senc b c senb sen37º senb senb senb (1) B sen B 78º 1 (0.978) 44 Universidad CNCI de Méico Ya que obtuviste el ángulo B 78º que conoces el ángulo C 37º, mediante la propiedad de los ángulos internos de un triángulo obtendrás el ángulo faltante A, en la siguiente operación. A + B + C 180º A 180º B C A 180º 78º 37º A 65º

45 Práctica 33 Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos obteniendo los datos faltantes, según sea el caso. 1) α 0º, β 50º a 8 cm ) a 10.8 cm, b 16. cm γ 36º 3) α 110º, β 40º a 13 cm 4) a 8.8 cm, b 1.6 cm α 46.1º 5) α 5.5º, β 40º a 15 cm 6) a 5.1 cm, b 10.5 cm c 11.6 cm 7) A 0.5º, Β 48º a 5 cm 8) a 5.9 cm, b 6.5 cm c 7.8 cm 9) C 45º, a 4.6 b 5 10) b 5.5 cm, c 9 cm A 145º 45 Universidad CNCI de Méico

46 Aneo Para obtener el valor de una función trigonométrica en la calculadora, por ejemplo tan 67º, realiza los siguientes pasos: 1) Verifica que el modo de tu calculadora se encuentre en DEG D. ) Si no es así, presiona el botón DRG o MODE según sea el modelo de tu calculadora. Caso 1 3) En el caso de las calculadoras con botón DRG conforme presionas dicho botón, en la pantalla te aparecen tres opciones: DEG, RAD, GRAD. 4) Selecciona la opción DEG. Caso 3) En el caso de las calculadoras que tengan el botón MODE, conforme presionas el botón te aparece la opción en pantalla Deg (1), Rad (), Gra (3). 4) Selecciona la opción (1) ingresando el número 1 en tu calculadora. 5) Identifica los botones de las funciones: sin(seno), cos(coseno) tan(tangente). 6) Presiona el botón de la función que estás trabajando, según el ejemplo: presionas tan. Caso 1 7) Si en la pantalla de tu calculadora aparece la función tan continúa con el siguiente paso. 8) En seguida introduces el ángulo, según el ejemplo: 67, por lo que en la pantalla de la calculadora tendrás: tan Universidad CNCI de Méico

47 Caso 7) Si en la pantalla de tu calculadora NO aparece la función tan, entonces, primero introduce el valor numérico (ángulo) de la función, en este ejemplo: 67. 8) Luego, aplica la función trigonométrica correspondiente al valor que introdujiste, en este ejemplo: 67 tan. 9) Pides el resultado presionando la tecla, o ee. El cual en este ejemplo resulta: tan 67º.3558 DEG MODE DRG Para obtener el valor de una función trigonométrica a partir de la Tabla de razones trigonométricas, realiza los siguientes pasos según sea el caso: Caso 1 tan 67.5º 1) Convierte los grados decimales a minutos segundos. 67.5º 67º 30 ) En la lista de ángulos del lado izquierdo ubica los grados, es decir, 67º. 3) Ahora, trasládate hasta los 30 sobre el mismo renglón localiza la función trigonométrica que estás trabajando. En este ejemplo: tan. Determinas entonces que la tangente de 67.5º 67º Universidad CNCI de Méico

48 Caso tan º 4) Convierte los grados decimales a minutos segundos º 67º 48 5) En la lista de ángulos del lado izquierdo ubica los grados, es decir, 67. 6) Ahora, si observas bien, los minutos están proporcionados en cifras cerradas, por lo que no encontrarás, en este caso, procedes como sigue: 7) Ubica los minutos anteriores posteriores a con sus respectivos valores: β sen β 67º 0 67º 67º En el esquema anterior, las llaves corchetes con flecha señalan la diferencia entre los valores conocidos, así, entre 67º 0 67º30 ha 10. Entre En el esquema anterior, las llaves corchetes con flecha señalan la diferencia entre los valores conocidos, así, entre 67º 0 67º30 ha 10. Entre ha 197. La diferencia entre 67º0 67º es de.3945 a se desconoce, por lo que se le asigna la variable, así pues, para encontrar su valor realizas la siguiente operación: Despejas : Simplificas: Y listo: 39.4 Redondeas este valor: 39 Lo añades a.3945 como sigue: , Por lo que te resulta:.3984 listo! 48 Universidad CNCI de Méico

49 Nota 1: Cabe aclarar que los valores de las tablas son aproimaciones con cuatro decimales. Nota : En la tabla trigonométrica, los ángulos menores a 45º los ubicas en el sentido arriba-abajo, en donde los minutos 0-50 van correspondiendo al grado ubicado en la parte superior izquierda. Nota 3: En la tabla trigonométrica, los ángulos superiores a 45º los ubicas en el sentido abajo-arriba, en donde los minutos 0-50 van correspondiendo al grado ubicado en la parte inferior derecha. Para obtener el valor de una función trigonométrica inversa a partir de la Tabla de razones trigonométricas, realiza lo siguiente. 1) Localiza la función trigonométrica que se debe aplicar. ) Ubica el valor numérico sobre la misma función. 3) Verifica los minutos grados que corresponden a dicho valor. 49 Universidad CNCI de Méico

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