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1 Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática I semestre 2012 Cálculo Diferencial e Integral. Prof. Juan José fallas. 1 Leyes de la lógica y reglas de inferencia 2 Ejercicios 1 Leyes de la lógica Equivalencia Implicación y disyunción (ID) P =) Q :P _ Q Doble negación (DN) ::P P De Morgan (DM) : (P _ Q) :P ^ :Q : (P ^ Q) :P _ :Q Contrapositiva P =) Q :Q =) :P Regla de inferencia Premisas Conclusión Modus Ponens (MP) P =) Q; P Q Modus Tollens (MT) P =) Q; :Q :P Silogismo disyuntivo (SD) P _ Q; :P Q Silogismo hipotético (SH) P =) Q; Q =) R P =) R Adjunción (ADJ) P; Q P ^ Q Simpli cación (SIMP) P ^ Q P; Q Adición (ADI) P P _ Q Q cualquier otra propos. 1. Redacte la contrapositiva y el recíproco de las siguientes proposiciones: (a) Si f es una función invertible, entonces es biyectiva. (b) Dos rectas oblicuas 2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es 1: (c) Sea f (x) = a x ; a > 0 y a 6= 1: Si a > 1; entonces f es una función creciente. 2. Si P; Q; R son verdaderas y S; T son falsas, determine el valor de verdad de la proposición: [P =) (R =) T )] () [(:P ^ S) =) (Q =) :T )] 3. Determine, utilizando tablas de verdad, si cada proposición compuesta es tautología, contradicción o contingencia: (a) : (P =) Q) () (P ^ :Q) (b) (P _ Q)! [Q =) (P ^ Q)] (c) [: (:P ^ R) _ Q] () [(:P _ R) ^ Q] 4. Use una tabla de verdad para determinar si bajo las premisas P =) Q y :P =) R es válido concluir Q _ R: Nota: Esto es equivalente a veri car que sea una tautología. [P =) Q ^ :P =) R] =) Q _ R 1 Varios de los ejercicios son tomados de Murillo, M (2010). Introducción a la Matemática Discreta. Cartago, Editorial Tecnológica de Costa Rica. 2 Una recta es oblicua si tiene pendiente real y diferente de cero.

2 5. Se tiene que R es una proposición verdadera y que P y Q son proposiciones cualesquiera. Por medio de una tabla de verdad determine si la proposición [(:P _ Q) ^ R] =) (P ^ :Q) es una tautología, contradicción o contingencia. 6. Determine una asignación de valores de verdad para A; B; C; D y E que veri que que [(A =) (B _ C)) ^ (C =) (D ^ E)) ^ :D] no implica tautológicamente a A =) E: Razone la asignación de tal manera que no tenga que construir una tabla de verdad. 7. Demuestre que : (S ^ :Q) a partir de :T; :P =) :S; y :P _ T. 8. Demuestre que R =) :Q a partir de : (R ^ S) y :S =) :Q: 9. Demuestre que : (S _ :Q) a partir de :S =) Q; : (T ^ R) ; S =) T ^ R: 10. Demuestre P a partir de (:P _ :Q) =) (R ^ S) ; R =) T; :T: 11. Demuestre U a partir de P ^ T; P =) Q; Q =) (R ^ S) ; :R _ :T _ U: 12. Por medio de las reglas de inferencia pruebe :T a partir de las siguientes premisas: P =) :Q; Q_:R; P ^ S y T =) R ^ S: 13. Determine la veracidad de las siguientes a rmaciones cuanti cadas: (a) 8n 2 IN n 2 < 27 : h i (b) 8x 2 IR (3x + 1) 2 > 0 : (c) 9n 2 IN 2 < n < 8 : (d) Dado que: A = 1; 2; 3 2 y B = 3; 2; 3 2 i. 9x 2 IN [x 2 A ^ x 2 B] : ii. 8x 2 A [x 0] : 2 B x 2 2 Z ^ x 2 2 A : 14. Escriba la negación de cada una de las proposiciones cuanti cadas: (a) 8n 2 IN n 2 < 27 : (b) 9n 2 IN n = 11 : (c) 9r 2 Q r 2 = 2 _ 2r + 1 < 0 :

3 3 Soluciones a los ejercicios 1. Solución: (a) Contrapositiva: Si f no es biyectiva, entonces no tiene inversa. Recíproco: Si f es biyectiva, entonces es invertible. (b) Contrapositiva: Si el producto de la pendientes no es 1; entonces las dos rectas oblicuas no son perpendiculares. Recíproco: Si el producto de las pendientes es 1; entonces las dos rectas oblicuas son perpendiculares. (c) Contrapositiva: Si f no es creciente, entonces 0 < a 1: Recíproco: Si f es una función creciente, entonces a > 1: 2. Es falsa pues: P Q R S T :P :T R =) T P =) (:P ^ S) (Q =) :T ) (:P ^ S) =) () (R =) T ) (Q =) :T ) V V V F F F V F F F V V F 3. Respuestas: (a) Es tautología pues: (b) Es una contingencia pues: (c) Es una contingencia pues: P Q :Q P =) Q : (P =) Q) P ^ :Q () V F V F V V V V V F V F F V F V F V F F V F F V V F F V P Q P _ Q P ^ Q Q =) (P ^ Q) () V F V F V V V V V V V V F V V F F F F F F F V F P Q R :P :P ^ R : (:P ^ R) : (:P ^ R) _ Q :P _ R (:P _ R) ^ Q () V V F F F V V F F V V F F F F V V F F V F V V V V F V V V V F F V V V F F V F V V V V F F V V V V V F F F V F V V V F F F V F V F V V V V V V F V F F V V V F F

4 4. El razonamiento es válido pues corresponde a una implicación tautológica: P Q R :P P =) Q :P =) R P =) Q ^ :P =) R Q _ R () V V F F V V V V V V F F F F V F F V F V V V V V V V V F F V V V V V V V V V V F V V V V V F F F V V F F F V F V F V V F F V V V F V F F V F V V Comentario: nótese que la frase "si bajo las premisas P =) Q y :P =) R" lleva implícito que interesa solamente los casos en que las proposiciones "P =) Q" y ":P =) R" sean verdaderas y que el consecuente "Q _ R" también sea verdadero, para concluir que el razonamiento es válido. Para el ejemplo solo interesan las las 1, 3, 4 y 5 de la tabla anterior. 5. Es una contingencia: 6. Se quiere que P Q R :P :Q :P _ Q (:P _ Q) ^ R P ^ :Q () V V V F F V V F F V F V F V F F V V F V V V F V V F F F F V V V V V F F [(A =) (B _ C)) ^ (C =) (D ^ E)) ^ :D] () =) (A =) E) () no sea una tautología. Para ello basta analizar el caso en que () sea verdadera y que () sea falsa. Para que () sea verdadera debe darse que las proposiciones (A =) (B _ C)), (C =) (D ^ E)) y :D sean todas verdaderas. Inmediatamente se deduce que D debe ser falsa y por ende D ^ E también lo es. Luego, dado que D ^ E es falsa para que (C =) (D ^ E)) sea verdadera debe darse que C sea falsa. Luego, como C es falsa, entonces la veracidad de B _ C depende de B: Por otra parte, si se ja B como falsa, entonces B _ C es falsa y para que (A =) (B _ C)) sea verdadera, entonces A debe ser falsa y esto provoca que (A =) E) es verdadera, independientemente del valor de verdad de E. Por ello B no puede ser falsa pues provoca que () sea verdadera. Así, je B como verdadera, entonces B _ C es verdadera y para que (A =) (B _ C)) sea verdadera, entonces A puede ser verdadera o falsa, sin embargo nótese que conviene asignar A como verdadera, para que la proposición A =) E resulte falsa luego de tomar E como falsa. En resumen, tómese: D falsa, C falsa, B verdadera, A verdadera, E falsa 7. Demuestre que : (S ^ :Q) a partir de :T; :P =) :S; y :P _ T 1. :T 2. :P =) :S 3. :P _ T 4. :P SD a 1 y 3 5. :S MP a 2 y 4 6. :S _ Q ADI a 5 7. : (S ^ :Q) DM y DN a 6

5 8. Demuestre que R =) :Q a partir de : (R ^ S) y :S =) :Q: 1. : (R ^ S) 2. :S =) :Q 3. :R _ :S DM a 1 4. R =) :S ID a 3 5. R =) :Q SH a 2 y 4 9. Demuestre que : (S _ :Q) a partir de :S =) Q; : (T ^ R) ; S =) T ^ R: 1. :S =) Q 2. : (T ^ R) 3. S =) T ^ R 4. :S MT a 2 y 3 5. Q MP a 1 y 4 6. :S ^ Q Adj 4 y 5 7. : (S _ :Q) DM y DN a Demuestre P a partir de (:P _ :Q) =) (R ^ S) ; R =) T; :T: 1. (:P _ :Q) =) (R ^ S) 2. R =) T 3. :T 4. :R MT a 2 y 3 5. :R _ :S ADI a 4 6. : (R ^ S) DM a 5 7. : (:P _ :Q) MT a 1 y 6 8. P ^ Q DM y DN a 7 9. P Simp a Demuestre U a partir de P ^ T; P =) Q; Q =) (R ^ S) ; :R _ :T _ U: 1. P ^ T 2. P =) Q 3. Q =) (R ^ S) 4. :R _ :T _ U 5. P Simp a 1 6. Q MP a 2. y 5 7. R ^ S MP a 3 y 6 8. R Simp a 7 9. T Simp a U SD a 4, 8 y Por medio de las reglas de inferencia pruebe :T a partir de las siguientes premisas: P =) :Q; Q_:R;

6 P ^ S y T =) R ^ S: 1. P =) :Q 2. Q _ :R 3. P ^ S 4. T =) R ^ S 5. P SIMP a 3 6. :Q MP a 1 y 5 7. :R SD a 2 y 6 8. :R _ :S ADI a 7 9. : (R ^ S) DM a :T MT a 4 y A rmaciones cuanti cadas: (a) 8n 2 IN n 2 < 27 : Falsa. La desigualdad n 2 < 27 no se satisface para n 6: h i (b) 8x 2 IR (3x + 1) 2 > 0 : Falsa. la desigualdad (3x + 1) 2 > 0 no se satisface para x = 1 3 : (c) 9n 2 IN 2 < n < 8 : Falsa. Para n = 1 se tiene que n = 2; para n = 2 se tiene que n = 9: Además, cualquier n 2 IN; n 3; satisface que n > 8: (d) Dado que: A = 1; 2; 3 2 y B = 3; 2; 3 2 i. 9x 2 IN [x 2 A ^ x 2 B] : Verdadera, tómese x = 2: ii. 8x 2 A [x 0] : Verdadera. Todos los elemento de A son mayores o iguales que cero. 2 B x 2 2 Z ^ x 2 2 A : Falsa. Nótese que para x = 2 2 B se cumple que x 2 = 1 2 Z y 1 2 A: 14. Las negaciones: (a) 8n 2 IN n 2 < 27 : Negación: 9n 2 IN n 2 2 : (b) 9n 2 IN n = 11 : Negación: 8n 2 IN n = 1 : (c) 9r 2 Q r 2 = 2 _ 2r + 1 < 0 : Negación: 8r 2 Q r 2 6= 2 ^ 2r + 1 0

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