UNIDAD 4: INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

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1 UNIDAD 4: INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA Bien! hemos pasado a la segunda parte de los contenidos, espero que esos ánimos sigan predispuestos a continuar con el estudio de estos nuevos contenidos. Lo invitamos entonces a iniciar con mayor entusiasmo el desarrollo de este bimestre, empezando con el tratamiento de algunos aspectos esenciales de la lógica. El primero y básico es el conocer un poco acerca de la importancia de esta rama de la ciencia que es la que determina si un razonamiento es válido o no. Algunos precursores de la lógica pudieron verificar que esta ciencia casi expresada en su totalidad en palabras no hacía posible una fácil aplicación sobre temas matemáticos cuyo procedimiento y desarrollo se quería comprobar, por lo que se introdujo símbolos que representan las definiciones y reglas dadas por la lógica, creándose por consiguiente la lógica simbólica, llamada lógica matemática. La lógica matemática usa lenguajes formales definidos artificialmente para formular enunciados acerca del mundo al que se refieran en un momento dado nuestros razonamientos, es por ello que en la actualidad también se la conoce como la lógica formal o matemática. Estimado estudiante, tenga presente que los temas tratados en esta unidad no se encuentran desarrollados en el texto básico por lo que es indispensable que se apoye de los anexos indicados para completar algunas de las temáticas citadas. Considerando estas aclaraciones, iniciemos con nuestro estudio. 2.1 Definición e importancia de la Lógica Este tema le resultará interesante, porque conocerá de que trata la lógica y porque es importante su estudio. Para empezar esta tarea necesitas revisar algunos fundamentos teóricos como por ejemplo: Qué es la Lógica?, De qué trata?... 1

2 Para lo cual lo invitamos a que inicie leyendo el anexo 3 Definición de Lógica, En el que podrá encontrar la definición y clasificación de la lógica, así como algunos aspectos importantes que forman parte de esta ciencia. Finalizada la lectura se podrá dar cuenta que la lógica se ocupa de las formas o estructura de los razonamientos, más no del contenido de verdad de las proposiciones particulares de que se trate. No hay que olvidar que En la lógica matemática se usan lenguajes formales, definidos artificialmente con gran precisión, para formular enunciados acerca del mundo al que se refieran en un momento dado nuestros razonamientos 1. Por lo cual podemos decir que se distinguen dos aspectos de la lógica: La Sintaxis La Semántica Reglas de formación. Gramática Relación entre el lenguaje y su significado Ahora es el momento de trabajar sobre la lectura. Actividades recomendadas 1. Elabore su propia definición de Lógica? 2. Por qué cree que es importante el estudio de la lógica en la carrera que está siguiendo?. 3. Escriba en tres o cuatro líneas en que aspectos de su vida has aplicado la lógica matemática. 2.2 Lógica Proposicional Sintaxis En esta sección conoceremos la parte de la lógica simbólica que estudia los enunciados como un todo y sus relaciones con otros enunciados. Antes de 1 Hortalá, M., Leach, J., Rodríguez, M. (2001). Matemática discreta y Lógica matemática, Madrid España, Editorial, Complutense. 2

3 introducirnos en este tema es necesario que conozca que una Proposición es aquel enunciado que afirma o niega algo y que puede ser verdadero (V) o falso (F). Por esta razón, es que a la lógica de proposiciones también se la conoce como lógica binaria, porque sólo tiene dos categorías de clasificación: las proposiciones verdaderas y las proposiciones falsas. Observe los ejemplos: Ejemplos: El balón es cuadrado El Ecuador está en Sudamérica Dos elevado al cuadrado es igual a seis Treinta es mayor que veinte (F) (V) (F) (V) Como puede observar es muy importante identificar cuando un enunciado es o no proposición, por ello, es necesario que conozca otros tipos de enunciados que no son proposiciones, por cuanto en las mismas no es posible determinar el valor de verdad, es decir si son verdaderas o falsas. Observe estos enunciados: - Cómo estás? - Dios mío! Entonces, apreciado estudiante es posible decir que el enunciado es verdadero o falso?, No verdad, por lo que concluiremos diciendo que estas frases no son proposiciones. Ahora es necesario que conozca que el lenguaje formal de la lógica de proposiciones resulta de un análisis lógico simple del lenguaje natural, basado en la distinción entre dos clases de enunciados o proposiciones: Simples o Compuestos. 3

4 Enunciados Simples o Atómicos Enunciados Compuestos o Moleculares Expresan una sola idea en su forma más simple. Aquellas proposiciones que no contienen dentro de sí más proposiciones que sí misma. Se construyen a partir de los enunciados simples, por medio de diversas partículas de enlace (y, o, si.. entonces..,...si y sólo si.. ) llamadas conectivas. Ejemplos: Ejemplos: - La Lógica Proposicional es interesante. - Juan es un buen jugador. - X>50 - y= x Este libro es de Química; sin embargo estoy estudiando informática. - Juan es deportista y María es estudiante. - X>50 ó X= 50 Es el momento de conocer el conjunto de símbolos con los que trabaja el lenguaje de la lógica proposicional, es decir, la formalización de los enunciados, que no es otra cosa que el estudio de los símbolos utilizados para representarlos, las principales conectivas lógicas que se utilizan para construir enunciados compuestos y la jerarquía de las mismas. Constantes: V (1), F (0) Variables o letras proposicionales: p, q, r,... Símbolos de Conectivas:, ^, v,, Signos de puntuación: ( ), [ ], {} Considerando la jerarquía entre conectivas, la fórmula p v q p ^ r, se reconocería como: [( p) v q] (p ^ r) Ahora, le proponemos la siguiente fórmula p ^ q r q ^ r para que la represente utilizando los signos de puntuación correspondientes. 4

5 Conectivas Lógicas Qué es una conectiva? Hagamos una breve revisión de su definición. Las conectivas las podemos entender como aquellas partículas de enlace del lenguaje natural que permiten unir enunciados simples. Listo, ya conocemos qué es una conectiva, ahora hay que tener en cuenta que éstas tienen un significado en el lenguaje de la lógica proposicional, y los enunciados un valor de verdad. Para conocer sobre esto lo invitamos a continuar con el desarrollo de los subtemas siguientes, no sin antes revisar las cinco conectivas principales utilizadas para la construcción de nuevas proposiciones, las cuales se muestran en el cuadro siguiente. Cuadro 1: Conectivas de la Lógica Proposicional. Recuperado de 5

6 En el cuadro anterior, usted podrá observar cómo se representan las conectivas y algunos ejemplos con las palabras que pueden ser reemplazadas. Ejemplos: - No es cierto que iré a la fiesta. - Este libro es de Química; sin embargo estoy estudiando lógica matemática. - Los felinos son fáciles de cazar o las carabinas son armas de largo alcance. - Newton dice la verdad si la física clásica es absoluta. - Bolívar lucho a favor de los patriotas si y sólo si nació en Venezuela. Ahora es su turno de trabajar sobre el tema. Actividades recomendadas Simbolice cada una de las proposiciones señaladas en el ejemplo anterior. 2.3 Tablas de verdad Antes de continuar con el desarrollo y estudio de las siguientes secciones, es necesario conocer la tabla de verdad de las conectivas lógicas descritas anteriormente, para ello: Realizar la lectura del anexo 3, sección Tablas de verdad, para conocer el valor de verdad de la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Como usted se dará cuenta, utilizando las conectivas lógicas es posible construir tablas de verdad de enunciados o proposiciones mucho más grandes, es decir, una 6

7 vez que conocemos el valor de verdad de las proposiciones simples y teniendo presente las definiciones de las conectivas resulta fácil determinar el valor de verdad que le corresponde a toda la proposición completa. Revisemos en este momento el ejemplo propuesto. Ejemplo: Si P y Q son proposiciones atómicas unidas con conectivas lógicas de la siguiente manera: p v q Entonces los pasos para la construcción podrían resumirse en los siguientes: 1. Como se está trabajando con dos variables, entonces se tendrán 2 2 = 4 filas en la tabla de verdad, que son a la vez las combinaciones de los valores de verdad de las variables. 2. Procedemos a dibujar la tabla separando hacia la izquierda las variables que intervienen, como tienen que dar 4 filas, la primera proposición tendrá dos valores de verdad con V y dos con F, y la proposición q tendrá intercalado los valores de verdad de la siguiente manera: P Q p p v q V V F V V F F F F V V V F F V V O lo que es lo mismo: P Q p p v q

8 3. En caso de que se estuviera utilizando signos de agrupación, se comienza a resolver de adentro hacia fuera, es decir de menor a mayor jerarquía. En nuestro ejemplo lo hemos realizado en este orden: negación, disyunción. Le recordamos que: V significa Verdadero. F significa Falso. Dada esta aclaración, detengámonos un momento a poner en práctica estos conocimientos, desarrollando la actividad siguiente: Actividades recomendadas Hallar las tablas de Verdad de: a) [ P ^ Q] [ P v Q] b) [ P v ( Q ^ R)] [( P v Q) ^ (P v R)] 2.4 Tautologías, contradicciones y contingencias Seguidamente, describiremos como la tabla de verdad de las proposiciones compuestas, pueden dar como resultado una: Tautología Contradicción Contingencia Hagamos ahora una revisión comprensiva de cada una. Tautología Se dice que una proposición compuesta es una tautología, cuando su tabla de verdad es siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las 8

9 proposiciones simples, es decir que su última columna de la tabla de verdad está formada sólo por V. Para dar mayor énfasis y comprender mejor esta explicación, veamos el ejemplo. Ejemplo: p v p P p p v p V F V F V V Tautología Contradicción Conviene mencionar ahora que una proposición compuesta es una contradicción, si la tabla de verdad es siempre falsa para todos los casos, es decir tiene sólo F en su última columna. Revisemos esta definición con el siguiente ejemplo: Ejemplo: (p q) ( p v q) P Q p p q p v q ( p v q) (p q) ( p v q) V V F V V F F V F F F F V F F V V V V F F F F V V V F F Contradicción 9

10 Sabía usted qué una de las contradicciones más usadas y más sencilla es la proposición compuesta p p?. Si la respuesta es NO, compruébelo usted mismo obteniendo su tabla de verdad. Contingencia Finalmente, que pasa si una proposición no es una tautología ni una contradicción, es decir, que contiene al menos un valor V y otro F, pues en este caso estaríamos frente a una contingencia. Veamos: Ejemplo: (p q) ( p ^ q) P Q p p q p ^ q (p q) ( p ^ q) V V F V F F V F F F F V F V V V V V F F V V F F Contingencia Como puede observar, la última columna está formada de V y F, por lo que concluimos que es una contingencia. Bien, ahora le proponemos los siguientes ejercicios, para que refuerce los conocimientos que ha adquirido: Actividades recomendadas Determine si son: tautologías, contradicciones o contingencias las siguientes expresiones: - (P ^ Q) - (P Q) ( Q P) 10

11 Hasta aquí hemos aprendido y conocido los aspectos fundamentales del lenguaje de proposiciones, ahora nos centraremos en conocer cómo deducir una proposición a partir de un conjunto de proposiciones dadas. Sigamos entonces con nuestro estudio. 2.5 Inferencia Partiremos aclarando la interrogante Qué es Inferencia?, pues bien podemos decir que inferencia no es más que una operación lógica que consiste en concluir una cierta proposición en forma inmediata sobre la base de una o dos proposiciones previamente asumidas llamadas premisas. En las demostraciones matemáticas se utilizan una serie de argumentos, por ello es necesario determinar cuáles son válidos o no, y para esto conoceremos a continuación algunas estrategias de deducción. Sistema de deducción natural Hemos llegado a otro interesante subtema de nuestra cuarta unidad, que le será de gran utilidad al momento de querer obtener una concusión de un argumento. En virtud de esto, diremos que el sistema en mención incorpora las estrategias de deducción como reglas de inferencia, de modo que facilite el proceso de deducción. El mismo que se resume como sigue: Se inicia con un conjunto de fórmulas llamadas premisas, luego se utilizan las reglas de inferencia de manera que conduzca a otras fórmulas denominadas conclusiones, que luego pueden ser reutilizadas nuevamente como premisas. El paso de las premisas a la conclusión es una deducción. Veamos un resumen de este proceso en el siguiente diagrama. 11

12 Inicio Conjunto de premisas Aplicación de reglas de inferencia Conclusión Fin Entonces, la conclusión que se obtiene se dice que es una consecuencia lógica de las premisas, si cada paso que se da para llegar a la conclusión está permitido por una regla. Estas son algunas pautas de este importante tema, de ahí la necesidad de adentrase en este ámbito. Acuda al anexo 3, y realice una lectura de la sección Inferencia Lógica. Podrá conocer los esquemas de inferencia de cada una de las reglas básicas del sistema de deducción natural y las derivaciones que se pueden dar de las mismas. Ahora, revisemos una breve explicación acerca de las reglas de inferencia, que le ayudaran a comprender mejor lo leído. Reglas de inferencia Para abordar esta temática trataremos de resumir las reglas de inferencia lógica más utilizadas, tomando como referencia los esquemas señalados por Barco y Aristizábal (1998:51). 12

13 a. Modus Ponendo Ponens (afirmando - afirma).- Esta regla tiene como esquema: [(p q) ^ p] q, que escrito en forma vertical adopta la forma: p q Premisa 1; p Premisa 2; q Conclusión. Sea abrevia: M. P En este caso las premisas están formadas de proposiciones atómicas, pero puede darse el caso que estén formadas de proposiciones moleculares. También se puede dar que las premisas estén expresadas en lenguaje natural como se indica a continuación: Si la noche está estrellada, el cielo está despejado. La noche está estrellada. Aquí es importante que primero identifique las premisas, teniendo en cuenta que cada oración es una premisa y que siempre van estar separadas por un punto seguido o por un punto aparte. Luego sí puede obtener la conclusión. Premisa 1: Si la noche está estrellada, Premisa 2: La noche está estrellada. Conclusión: Por lo tanto, el cielo está despejado. Puede hacer más fácil este proceso identificando las proposiciones que forman parte de las premisas y luego simbolizarlas. Recuerde aquí que una proposición molecular está formada de dos o más proposiciones atómicas unidas por conectores lógicos. 13

14 Entonces simbolizando quedaría. P: La noche está estrellada. Q: El cielo está despejado. Las premisas serían: (1) P Q (2) P Del esquema obtenido, aplicamos (MP) y concluimos que: (1) P Q (2) P Q M.P (1,2) Muy bien, ahora revisemos el siguiente ejemplo y comprobemos la aplicación de esta regla. Ejemplo: Hacemos que: P1 y P2 sean simbolizaciones de premisas y C simbolice la conclusión. Entonces tenemos: P1: Si la asamblea aprueba la ley, entonces hay amnistía. P2: La asamblea aprueba la ley. C: Hay amnistía. Simbolizando: P Q P Q 14

15 Bien, ahora revisemos que nos dice la siguiente regla. b. Modus Tollendo Tollens (negando - niega).- Esta regla tiene como esquema: [(p q) ^ q] p, que escrito en forma vertical adopta la forma: p q Premisa 1; q Premisa 2; p Conclusión. Se abrevia M. T En lenguaje natural: Si Juan está en el partido de fútbol, entonces está en el estadio. Juan no está en el estadio. Premisa 1: Si Juan está en el partido de fútbol, entonces está en el estadio. Premisa 2: Juan no está en el estadio. Conclusión: Por lo tanto, Juan no está en el partido de fútbol. Representado en forma simbólica: P: Juan está en el partido de fútbol. Q: Juan está en el estadio. (1) P Q (2) Q P M.T (1,2) Analicemos ahora el ejemplo propuesto. Ejemplo: P1: Si eres un estudiante irresponsable, entonces no apruebas la materia. P2: No es cierto que, no apruebas la materia. C: No eres un estudiante irresponsable. 15

16 Simbolizando: P Q Q P Realicemos un análisis del ejemplo: Según dice la regla, la segunda premisa debe ser la negación del consecuente, y si observa en el ejemplo la primera premisa ya está negado el consecuente, por lo que daría lo mismo poner como segunda premisa Q ó Q, puesto que este último lo puedo obtener por la doble negación presentada en el anexo 3. Se comprende la regla?, si su respuesta es positiva, por favor pasemos a revisar la siguiente regla, caso contrario dar una nueva revisada a la explicación y no olvidar reforzar con la lectura del anexo 3. c. Modus Tollendo Ponens (negando - afirma).- Método que negando un elemento de una disyunción se afirma el otro elemento. Esta regla tiene como esquema: [(p v q) ^ q] p, o [(p v q) ^ p] q, que escrito en forma vertical adopta la forma: p v q Premisa 1; p v q Premisa 1; q Premisa 2; p Premisa 2; p Conclusión. q Conclusión. Se abrevia M.T. P Como ejemplo en el lenguaje natural podríamos tener lo siguiente: Estoy en el Colegio o estoy en casa. No estoy en casa. 16

17 Premisa 1: Estoy en el Colegio o estoy en casa. Premisa 2: No estoy en casa. Conclusión: Por lo tanto, estoy en el Colegio. O también: Premisa 1: Estoy en el colegio o estoy en casa. Premisa 2: No estoy en el colegio. Conclusión: Por lo tanto, estoy en casa. En forma simbólica sería: P: Estoy en el colegio Q: Estoy en casa (1) P v Q (2) Q P M.T.P (1,2) (1) P v Q (2) P Q M.T.P (1,2) Vamos ahora a citar el siguiente ejemplo para confirmar lo explicado. Ejemplo: De la premisa P v Q Y la premisa Se puede concluir: Q P 17

18 Parece que nos quedan por revisar sólo los silogismos, veamos de qué tratan. d. Silogismo hipotético.- Esta regla consiste en que si se conocen dos proposiciones condicionales como premisas, tal que el consecuente de la una sea igual al antecedente de la otra, entonces con ellas, se puede establecer una nueva condicional con antecedente de la primera y el consecuente de la segunda. El esquema lógico es: p q Premisa 1. q r Premisa 2; p r Conclusión. humm parecido al axioma transitivo! Tiene razón, la regla es muy similar al axioma de transitividad (si a = b y b = c, entonces a = c), sólo que en nuestro caso queda representado mediante el lenguaje de la lógica proposicional. Su abreviatura: S. H. Como ejemplo en el lenguaje natural, sería: Premisa 1: Si a > b, entonces a b > 0. Premisa 2: Si a b > 0, entonces a b. Conclusión: Por lo tanto, Si a > b, entonces a b. 18

19 Al traducir al lenguaje formal las premisas, se tiene: P: a > b Q: a b > 0 R: a = b (1) P Q (2) Q R P R S.H (1,2) Bien, ahora para comprender mejor esta regla, daremos un ejemplo. Ejemplo: Dada las premisas: (P ^ Q) R R (S v T) Se concluye: (P ^ Q) (S v T) Fácil verdad?, como puede observar hasta este momento las reglas presentadas no son complicadas, sólo hay que saber aplicarlas correctamente, revisemos ahora la siguiente regla. e. Silogismo Disyuntivo.- Esta regla consiste en que si se conoce una disyunción inclusiva entre dos proposiciones y dos condicionales que tienen como antecedente cada una de las proposiciones de la disyunción, entonces se concluye la disyunción entre los consecuentes de las condicionales. Su esquema lógico es: p v q Premisa 1. p r Premisa 2 q s Premisa 3; r v s Conclusión. 19

20 Su abreviatura: S. D. En lenguaje natural: Premisa 1: 2 2 = 4 v 15 no es cuadrado perfecto. Premisa 2: Si 2 2 = 4, entonces la raíz cuadrada de 4 es 2. Premisa 3: Si 15 no es cuadrado perfecto, entonces 20 es el duplo de 10. Conclusión: Por lo tanto, la raíz cuadrada de 4 es 2 o 20 es el duplo de 10. En el lenguaje formal: P: 2 2 = 4 Q: 15 es cuadrado perfecto. R: La raíz cuadrada de 4 es 2. S: 20 es el duplo de 10. (1) P v Q (2) P R Q S R v S S.D. (1,2,3) Bien, Qué opina de esta regla?, ya no tenemos sólo dos premisas cierto!, aquí ya trabajamos con tres premisas, lo que implica que debemos tener un poco más de cuidado al momento de combinar las premisas. Sólo es cuestión de tener clara la estructura de cada una y listo no tendríamos problema al aplicarlas. Veamos el ejemplo. 20

21 Ejemplo: Dadas las premisas: P1: P v (Q ^ R) P2: P S P3: (Q ^ R) T La conclusión es: S v T Ahora, intente usted mismo aplicar siguiente actividad. las reglas antes indicadas, desarrollando la Actividades recomendadas Dadas las premisas, Demostrar F: (1) G H (2) G F (3) H Recuerde que cuenta con los para completar estas secciones. Recuerde que cuenta con los anexos para completar esta unidad. Con lo estudiado hasta aquí hemos concluido con la primera unidad del segundo bimestre, por lo que, a continuación le solicitamos desarrolle la autoevaluación, que le permitirá medir el nivel de conocimientos que usted adquirió. 21