Tema 6: Teoría Semántica

Transcripción

1 Tema 6: Teoría Semántica

2 Sintáxis Lenguaje de de las las proposiciones Lenguaje de de los los predicados Semántica Valores Valores de de verdad verdad Tablas Tablas de de verdad verdad Tautologías Satisfacibilidad Validez Validez Consecuencia Equivalencia Sistemas deductivos Resolución Deducción natural natural Tablas Tablas semánticas

3 Introducción a la T. Semántica Utiliza la simbolización vista hasta el momento La diferencia principal es que el sistema de fórmulas y estructuras deductivas válidas no se construye a partir de los axiomas y reglas sino mediante una simbolización del significado de las proposiciones

4 Introducción a la T. Semántica Para esto, se necesita Un conjunto de significados atribuibles a las proposiciones {V,F} o {,} Definición semántica de las conectivas (tablas de verdad) Una definición semántica de deducción correcta

5 Evaluación de Fórmulas Es posible construir la tabla de significado de cualquier fórmula a partir de las correspondientes fórmulas parciales que la integran Interpretación: asignación de significados a sus componentes básicas (una línea de la tabla de verdad) Modelo: interpretación que hace cierta una fórmula Contramodelo (contraejemplo): interpretación que hace falsa la fórmula

6 Tablas de verdad En cálculo de proposiciones Ejemplo TV para conectivas Como crear TV para 3 variables

7 Tablas de verdad Ejemplo: (A B) (B A) A B A B B A (A B) (B A) A B <=>B A? A B <=>~A v B? Modelos Contramodelos

8 Evaluación de Fórmulas De acuerdo con el resultado de las interpretaciones, las fórmulas pueden clasificarse en: Tautología: siempre es verdad ( ) Contradicción: siempre es falsa Contingencia: valores distintos (ninguna de las anteriores) Una fórmula que tiene al menos un modelo es satisfacible (al menos una línea en la que todas las fórmulas son válidas) Una fórmula sin contraejemplos es semánticamente válida

9 Evaluación de Fórmulas De tres fórmulas, una insatisfacible (contradicción) y dos satisfacibles El conjunto de fórmulas no es satisfacible (ninguna línea con todo s) Una fórmula insatisfacible es una tautología negada

10 Deducción Correcta Dada una estructura deductiva p,p 2,p 3,,p n q se define como correcta cuando no existe una interpretación que haga p,p 2,p 3,,p n verdadero y q falso Para demostrar que una estructura deductiva es incorrecta, basta con encontrar una interpretación que no cumpla la regla anterior

11 Tablas de verdad Ejemplo de deducción correcta: A B, B C => A C C A C B C A B B A

12 Teorema de la Deducción Es demostrable mediante la definición semántica de deducción Si p,p 2,p 3,,p n q Es una deducción correcta p,p 2,,p n- p n q También es una deducción correcta

13 Tautologías asociadas una Deducción C. Si p,p 2,p 3,,p n q es una deducción semánticamente correcta, entonces p (p 2 (p 3 (p n q) ) también lo es Si p,p 2,p 3,,p n q es una deducción semánticamente correcta, entonces p p 2 p 3 p n q también lo es Son equivalencias, por lo tanto, la fórmula recíproca también es cierta en ambos casos

14 Tautologías asociadas una Deducción C. Dos ideas importantes: Mediante la TS podemos comprobar si una deducción es correcta, pero no demostrar dicha corrección Si una deducción es correcta, la fórmula asociada es una tautología. Lo recíproco también es cierto

15 Comprobación de Deducciones Frente a los sistemas axiomáticos, TS permite definir un procedimiento sistemático para comprobar si una deducción es correcta Procedimiento Construir una fórmula asociada Generar interpretaciones y calcular significados para la fórmula Buscar algún significado falso

16 Ejemplo Comprobar si es una deducción correcta: buscar V F (~A ~B) ~(A B). (~A ~B) ~(A B) Falso 2. (~A ~B) ~(A B) Verdad O ambas verdaderas y negadas (ambas F) 3.(~A ~B) ~(A B) o (~A ~B) ~(A B) V F F V Pueden ser A verdadera y B verdadera en el consecuente?

17 Propiedades Formales de Cálculo Prop. Satisfacibilidad Consecuencia Equivalencia Validez

18 Propiedades Formales de Cálculo Prop. Ejemplo:. Si (<encendido> y <configurado> y <conectado>) entonces <accedo servidor> 2. Si <luce piloto> entonces <encendido> 3. Si <icono parpadea> entonces <conectado> 4. <luce piloto> e <icono parpadea> y no <accedo servidor> Satisfacibilidad: de todas las interpretaciones posibles, alguna hay que consigue que esas cuatro declaraciones compuestas resulten simultáneamente verdaderas. Consecuencia: en todas las interpretaciones en que las cuatro declaraciones sean verdaderas (en todas), resultará que la expresión no <configurado> se evaluaría como verdadera. Equivalencia: si se compara la declaración Si <luce piloto> entonces <encendido> con esta otra Si no <encendido> entonces no <luce piloto>, resultará que presentan una relación curiosa: toda interpretación que hace a una de ellas verdadera también lo hace a la otra, y lo mismo ocurre con las interpretaciones que las hacen falsas. Son dos formas distintas de expresar lo mismo. Validez: es posible construir expresiones que sean verdaderas en toda interpretación, análogamente a cómo, en el lenguaje de la aritmética, x+3+(-x) = 3 no importa cuál sea el valor de x. En nuestro ejemplo, sería posible construir una única expresión de este estilo con las cuatro declaraciones y una quinta: no <configurado>.

19 Propiedades Formales de Cálculo Prop. El sistema formal de cálculo proposicional desarrollado en TD y DN tiene como propiedades: Consistencia: no es demostrable una fórmula y su negación Completitud: toda fórmula válida según una interpretación prefijada es demostrable en el sistema Decidibilidad: existe un procedimiento efectivo de comprobar si una fórmula es válida en el sistema Teorema de Post: B es demostrable B

20 Sistema deductivo Procedimiento de deducción: tablas de verdad El método más directo (y costoso) para decidir la satisfacibilidad de una fórmula (o de un conjunto) consiste en recorrer todas las interpretaciones de la tabla de verdad, hasta encontrar:. Un resultado afirmativo: por lo tanto es satisfacible y basta con encontrar la primera interpretación satisfactoria. o 2. Un resultado negativo: no es satisfacible y es preciso recorrer todas las interpretaciones posibles. Problema: si en un conjunto de fórmulas aparecen n letras proposicionales, el número de interpretaciones distintas es 2 n. Es decir, si n = 3, sería preciso comprobar una tabla de verdad con más de mil millones de entradas.

21 Sistema deductivo En Lógica de proposiciones, donde el número de interpretaciones distintas es finito, la relación de consecuencia lógica se puede decidir mediante el siguiente procedimiento:. Construir la tabla de verdad común de todas las fórmulas (considerando todas las variables) 2. Señalar las líneas verdaderas de cada una de las hipótesis p, de la segunda p 2, de la enésima p n. 3. Determinar la intersección de estos conjuntos de líneas 4. Valorar la consecuencia q sólo en esas líneas comunes (el valor de la consecuencia en el resto es irrelevante):. si es verdadera en todas ellas, entonces q es consecuencia del conjunto p, p 2, p n. Es decir: p,p 2,p 3,,p n q

22 Sistema deductivo Estrategia deductiva por refutación: Proviene de la estrecha relación entre consecuencia y satisfacibilidad. Es decir, si q es consecuencia de un conjunto de fórmulas p,p 2,p 3,,p n se puede reducir a otro problema: ver si p,p 2,p 3,,p n y ~q pueden darse simultáneamente (verdaderos). Así que p,p 2,p 3,,p n q si y sólo si p,p 2,p 3,,p n,~q es insatisfacible Por lo tanto, si desea comprobar que una fórmula es consecuencia de otras, basta con negarla e incorporarla a las premisas. Si este nuevo conjunto resulta insatisfacible se puede afirmar que efectivamente existía aquella relación de consecuencia.

23 T.S. en Lógica de predicados En la semántica proposicional se utilizan las tablas de verdad para fijar los conceptos de consecuencia lógica, validez y equivalencia. Para aprovechar estas mismas intuiciones basta considerar que ahora, para una fórmula cualquiera, existen las tabla de verdad pero con infinitas líneas o interpretaciones distintas. Todos los esquemas utilizados en lógica de proposiciones siguen siendo válidos: así, una fórmula será consecuencia de otra si es verdadera en todas las líneas en que ésta lo es Y un conjunto de fórmulas será satisfacible si existe al menos una línea (una interpretación asignación) donde coincidan en ser verdaderas.

24 Teoría Semántica en Predicados

25 Introducción a la T. Semántica Se construye en base a la atribución de significado a las fórmulas Al ser más complejas que en proposiciones, la interpretación requiere un mayor número de elementos

26 Evaluación de Fórmulas Una interpretación requiere los siguientes elementos: Dominio de referencia, no vacío, para interpretar las letras de término (constantes, variables y funciones) Definición del conjunto de significados a asignar a las fórmulas (V o F) Definición semántica de conectivas ~,, y (iguales que en cálculo proposicional)

27 Evaluación de Fórmulas Interpretación de letras de término y función A las constantes se les asigna un elemento concreto del dominio A las variables se les puede asignar cualquier elemento del dominio A las funciones se les puede asignar una aplicación concreta f: D n n de entre todas las posibles x f(x) a a b a c b

28 Evaluación de Fórmulas Interpretación de letras de predicado A cada predicado se le asigna una relación concreta n-aria definida en el dominio de referencia Una interpretación de predicado se define mediante una correspondencia concreta D n {V,F} o {,}

29 Evaluación de Fórmulas Definición semántica de cuantificadores El significado de una fórmula cuantificada se obtiene de acuerdo con las siguientes consideraciones A una fórmula con respecto x se le asignará el valor V si para todos los elementos del dominio, la fórmula es V A una fórmula con respecto de x se le asignará el valor V si para algún elemento del dominio la fórmula es V. En caso contrario será F.

30 Evaluación de Fórmulas Ejemplo: D = {a,b,c} x y P(x,y) a a V a b V a c F b a F b b V b c F c a F c b V c c F x yp(x,y) es Verdadero x yp(x,y) es Verdadero x yp(x,y) es Falso x yp(x,y) es Falso

31 Evaluación de Fórmulas Definición semántica de deducción correcta Dada una estructura deductiva p,p 2,p 3,,p n q se define como correcta cuando no existe una interpretación que haga p,p 2,p 3,,p n verdadero y q falso

32 Evaluación de Fórmulas Ejemplo : x(p(x) R(x)) yq(y) Proponemos la siguiente interpretación: D = {a,b,c} Predicados básicos x P(x) R(x) Q(x) a x a P(x) Evaluamos por partes: si yq(y) es falso Podemos llegar a x(p(x) Q(x)) Verdadero??? R(x) P(x) Q(x) x(p(x) Q(x)) b c b c No se cumple Por lo tanto el significado de la fórmula es Verdadero para la interpretación propuesta

33 Evaluación de Fórmulas Ejemplo 2: P(x) x(r(x) P(y)) yq(x,y) Proponemos la siguiente interpretación: D = {a,b}, y las variables libres, x=a e y=b. Predicados básicos x y Q(x,y) P(x) R(x) a a a b b a b b

34 Ejemplo 2 (continuación): Evaluación de Fórmulas P(a) x(r(x) P(b)) yq(x,y) x R(x) R(x) P(b) x(r(x) P(b)) P(a) x(r(x) P(b)) a b y Q(a,y) yq(,y) a b Cierto

35 Evaluación de Fórmulas Ejemplo 3: dado el dominio {a} y la fórmula x y(p(x) P(y)) averiguar si es Satisfacible y válida en el dominio. x y P(a) P(x) P(y) y(p(x) P(y)) x y(p(x) P(y)) a a

36 Evaluación de Fórmulas Ejemplo 4: y(p(y) x(p(x) q)) y(p(y) x(p(x) q)) D = {a,b,c} Satisfacible? Válida en el dominio? Semánticamente válidos? x q P(x) P(x) q x(p(x) q) P(y) x(p(x) q) a b c a b c

37 Definiciones Relacionadas con TS Una fórmula es satisfacible si tiene al menos una interpretación que la verifique Las interpretaciones que satisfacen una fórmula se denominan modelos Las interpretaciones que no satisfacen una fórmula se denominan contraejemplos

38 Fórmulas Semánticamente Válidas Una fórmula es válida en un dominio si cualquier interpretación que pueda plantearse en ese dominio satisface la fórmula Una fórmula válida en un dominio D2 que incluye otro D, es válida en D Una fórmula no válida en D no lo puede ser en D2 Una fórmula es semánticamente válida cuando es válida en cualquier dominio La comprobación de la validez semántica en predicados no es trivial Consiste en buscar un dominio donde no sea válida

39 Deducción Semánticamente Correcta Dada una estructura deductiva p,p 2,p 3,,p n q se define como semánticamente correcta cuando todo modelo del conjunto de premisas p,p 2,p 3,,p n satisface q O lo que es lo mismo, p,p 2,p 3,,p n q es válida si y solo si la fórmula p p 2 p 3 p n q no es semánticamente válida Esto permite la comprobación a través de la búsqueda de contraejemplos

40 Contraejemplos Ejemplo 5: (A P(y)) (P(x) A) Válida?. (A P(y)) (A x(p(x))) Falso 2. (A P(y)) (A x(p(x))) Verdadero Falso 3. (A P(y)) (A x(p(x))) V V V F Tiene que haber algún predicado que no sea V en P(x) para todos los elementos del dominio D, se puede pensar en un predicado que sea V para algún valor de y pero no para todos? Salvo en dominios con un elemento, SI (contrejemplo a continuación)

41 Contraejemplos Ejemplo 5 (continuación): (A P(y)) (A x(p(x))) D = {a,b} A x P(x) x P(x) A P(y) A x P(x) a b

42 Contraejemplos Ejemplo 6: (P(y) A) ( xp(x) A) Válida?. (P(y) A) ( xp(x) A) Falso 2. (P(y) A) ( xp(x) A) Verdadero Falso 3. (P(y) A) ( xp(x) A) F F V F Se puede pensar en un predicado P(y) que sea falso para algún valor de y pero NO para todos?

43 Propiedades Formales de Cálculo Pred El sistema de cálculo de predicados desarrollado tiene las siguientes propiedades: Consistencia: toda fórmula demostrable en el sistema axiomático es válida en TS Basta con comprobar que los axiomas 9 y de Kleene y que las 4 reglas de inferencia relativas a cuantificadores son semánticamente válidas Completitud: toda fórmula semánticamente válida es demostrable en el sistema axiomático Decidibilidad: no existe un procedimiento finito que permita decidir si una fórmula o deducción es demostrable