Ampliación Matemática Discreta. Justo Peralta López
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- Carolina Molina San Segundo
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1 Justo Peralta López UNIVERSIDAD DE ALMERíA DEPARTAMENTO DE ÁGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO
2 1 Introducción 2 Definición semántica de las proposiciones 3 Diagrama de valores de certeza 4 Evaluación de fórmulas. Tablas de verdad 5 Concepto semántico de deducción 6 Tautología asociada a una deducción correcta 7 Álgebra de Boole 8 Forma disyuntiva normal
3 Introducción La teoría semántica del cálculo proposicional utiliza la misma simbolización que en los capítulos anteriores. En deducción natural, una estructura deductiva era válida (razomaiento correcto), si a partir de las premisas, usando los axiomas y reglas de inferencia, podíamos llegar a la conclusión. Ahora, para discutir sobre la validez de una estructura deductiva, lo haremos mediante la asignación de significados a las proposiciones. La descripción de este sistema está formado por: Conjunto de significados de las proposiciones. Definición semántica de las conectivas. Definición semántica de deducción correcta.
4 Definición semántica de las proposiciones Definición de las proposiciones atómicas A una proposición sólo se le puede asignar dos valores V F Si la proposición es verdadera Si la proposición es falsa Definición semántica de las conectivas Negación A A V F F V
5 Definición semántica de las proposiciones Definición de las conectivas Conjunción Disyunción A B A B V V V V F F F V F F F F A B A B V V V V F V F V V F F F Implicación o condicional simple Equivalencia o deble condicional A B A B V V V V F F F V V F F V A B A B V V V V F F F V F F F V
6 Diagrama de valores de certeza Debemos conocer el valor semántico de cada una de las proposiciones atómicas. Ejemplo ( P Q ) R
7 Evaluación de fórmulas. Tablas de verdad Ejemplo p (q r) (p q) (p r) A B p q r q r p (q r) p q (p q) (p r) A B V V V V V V V V V V F V V V V V V F V V V F V V V F F F F F F V F V V V F F F V F V F V F F F V F F V V F F F V F F F F F F F V
8 Evaluación de fórmulas. Tablas de verdad Interpretación: Una asignación particular de significados. Se corresponde con una línea de la tabla. Modelo: Interpretación cuyo resultado es V. Tautología: Si el significado es siempre verdad. Contradicción: Si el significado es siempre falso. Falacia: Si el significado es diferente según la interpretación.
9 Concepto semántico de deducción Definición Dada una estructura deductiva P 1, P 2,..., P n Q decimos que es correcta cuando no existe ninguna interpretación que simultaneamente haga a las premisas P 1, P 2,..., P n verdaderas y a la conclusión Q falsa. Ejemplo A, A B B A B A B B V V V V V F F F F V V V F F V F
10 Tautología asociada a una deducción correcta Lo que nos dice el teorema de la deducción es que si la estructura deductiva P 1, P 2,..., P n Q es correcta o válida, entonces también lo es (demostrar) P 1, P 2,..., P n 1 P n Q Si seguimos realizando la misma operación sucesivamente, también serán validas las estructuras P 1, P 2,..., P n 2 P n 1 (P n Q) P 1, P 2,..., P n 3 P n 2 (P n 1 (P n Q)). P 1 P 2 (P 3 (P 4... (P n Q)... ) P 1 (P 2 (P 3 (P 4... (P n Q)... )) Y cuando tenemos algo de la forma A, quiere decir que no hace falta ninguna premisa para que se deduzca A, o lo que es lo mismo, A siempre es verdad y por lo tanto debe ser una tautología.
11 Álgebra de Boole A partir de los significados {V, F} o {0, 1} definimos las siguientes operaciones:
12 Álgebra de Boole Definición < {0, 1}, +,, > es un álgebra de boole con las siguientes propiedades: 1 Conmutativa: 2 Existencia de Elemento Neutro. x + y = y + x yx xy x + 0 = x x 1 = x 3 Distributiva 4 Complementario 5 Idempotencia 6 Absorción x + (yz) = (x + y)(x + z) x(y + z) = xy + xz x + x = 1 xx = 0 x + x = x x x = x x + xz = x x(x + y) = x
13 Álgebra de Boole 1 Dominación 2 Doble negación 3 Asociativa 4 Morgan x + 1 = 1 x 0 = 0 (x ) = x x(yz) = (xy)z x + (y + z) = (x + y) + z (x + y) = x y (xy) = x + y
14 Forma disyuntiva normal Definición Sea x 1,..., x n un conjunto de variables. Por una expresión booleana E en estas variables, escrita como E(x 1,..., x n ), significamos cualquier expresión construida a partir de las variables, usando las operaciones booleanas conocidas. Definición Un literal es una variable o variable complementada Definición Un producto fundamental es un literal o producto de dos o más literales, en los que dos literales no contengan la misma variable. Definición Un producto fundamental se dice que está incluido en otro producto fundamental si los literales del primer producto P 1 está incluido en el segundo P 2. Definición Una expresión booleana E se dice que está en que está en forma disyuntiva normal si E es un producto fundamental o suma de dos o más productos fundamentales, tales que ninguno esté incluido en los otros.
15 Forma disyuntiva normal Algoritmo Forma Disyuntiva Normal 1 Usando las leyes de Morgan y la involución (D.N), podemos mover la operación complementaria a cualquier paréntesis hasta que finalmente se aplique a variables simples. 2 Usando la ley distributiva, podemos a su vez transformar E en una suma de productos; y entonces usando la ley conmutativa, idempotente y de absorción podemos transformar E a su f.d.n. Definición Una expresión E está en su forma disyuntiva normal completa, si está en f.d.n. y cada producto fundamental implica a todas las variables. Ejemplo Pasar a su f.d.n.c. la expresión E(a, b, c) = ((ab) c) ((a + c)(b + c ))
16 Forma disyuntiva normal Teorema Toda expresión booleana E(x 1,..., x n ) no nula puede ser puesta en su f.d.n o f.d.n.c y tal representación es única
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