Estimación de Parámetros de Sistemas Lineales vía Matrices Operacionales

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1 Esmacó de Parámeros de Ssemas Leales vía Marces Operacoales Isdro I. Lázaro, Salvador Ramírez Faculad de Igeería Elécrca-Uversdad Mchoacaa de Sa Ncolás de Hdalgo Morela, Mchoacá C.P. 58, Méxco Jua Azurez Dvsó de Esudos de Posgrado de la Faculad de Igeería Elécrca-Uversdad Mchoacaa de Sa Ncolás de Hdalgo Morela, Mchoacá C.P. 58, Méxco RESUMEN E ese arículo se presea ua écca efcee que perme defcar los parámeros de procesos que puede modelarse como Ssemas Leales Varaes e el Tempo (SLVT) o Ssemas Leales Ivaraes e el Tempo (SLIT), la herramea se basa e la ulzacó de seres orogoales y herrameas de cálculo operacoal las cuales perme obeer u ecuacó algebraca que se emplea para resolver el problema de defcacó paramérca cuado la dámca del modelo es coocda. Como casos de esudo empleados para valdar el méodo, se aalza u SLIT y oro SLVT. Debdo a vrud de que cualquer sere orogoal puede emplearse para realzar dcho aálss, la aproxmacó depederá del po de sere seleccoada y el úmero de érmos, e ese arículo se emplea las seres de Harley para realzar la defcacó paramérca. Palabras Claves: Marz Operacoal, Seres Harley, Idefcacó Paramérca, Ssemas Leales Varaes e Ivaraes e el Tempo y Redudaca Aalíca.. INTRODUCCIÓN El uso de las seres orogoales es amplamee coocdo e la aproxmacó y represeacó de fucoes, su ulzacó ha recbdo ua aecó cosderable al emplearse e varos problemas de la dámca de los ssemas, ales como el aálss, esmacó de parámeros y corol ópmo. Eemplos ípcos de aplcacoes se puede ecorar e [,,,4], e dode las marces operacoales uega u papel mporae e la rasformacó de ua ecuacó dferecal leal e ecuacoes algebracas. Por eemplo, ua ecuacó dferecal leal co coefcees varaes e el empo puede ser rasformada e u couo de ecuacoes algebracas vía marz operacoal de egracó. E ese arículo la marz operacoal de egracó, la marz produco y la marz de coefcees para las seres orogoales, perme desarrollar ua écca para la defcacó fuera de líea de parámeros de SLVT y SLIT. Auque la solucó es esecalmee la msma e odos los domos, las caraceríscas de las marces ermedas que so empleadas so usualmee dferees. Eemplos de ello so la aplcacó de los polomos de Chebyshev de prmer y segudo po, seres de Fourer, seres Walsh, seres de Bloques de Pulso, seres Harley y seres Haar. Como caso parcular se emplea las seres Harley para mosrar la aplcacó de la écca e la defcacó de parámeros de dos ssemas, uo de ellos es u SLIT y el oro u SLVT. Los resulados de la écca desarrollada se muesra a ravés de smulacoes realzadas e la plaaforma de Malab. El méodo ulza el cálculo de la pseudoversa e la solucó de los parámeros esmados, así como la redudaca aalíca, es decr la posbldad de realzar varos expermeos sobre el ssema al cual se esá defcado.. PROPIEDADES DEL CÁLCULO OPERACIONAL Y EXPANSIÓN EN SERIES ORTOGONALES Cocepos del Cálculo Operacoal Los méodos algebracos para la solucó de problemas descros por ecuacoes leales dferecales, ales como defcacó de ssemas, aálss, corol y reduccó de modelos ha sdo propuesos receemee. Los méodos algebracos ambé ha sdo ulzados para calcular la solucó del esado esable ssemas leales varaes e el empo, ssemas peródcos y o leales. Esos méodos algebracos proporcoa solucoes décas pero posee dferees propedades umércas. E esos méodos, la egracó umérca de las ecuacoes dferecales se basa e la expasó de fucoes e seres orogoales, e dode la dea básca cosse e coverr la ecuacó egral e ua algebraca usado la marz de egracó [5,6]. Seres Harley Cosderemos ua fucó f ( ) defda sobre el ervalo [,T], eoces f ( ) puede ser represeada por las seres Harley como: f ( ) = FΦ ( ) () Dode F F L F F F L () [ F ](, + ) = [ φ φ φ φ L φ ] Φ ( ) = L () Las fucoes base de las seres Harley se puede defr como φ = cas( w) = cos( w) + se( w). Cada coefcee del vecor F, se calcula por:

2 F = k f ) Φ( ) d ( (4) Por lo ao cualquer fucó que cumpla las codcoes de Drchle e el ervalo [,T] puede aproxmarse por medo de u produco marcal como lo dca la Ec. (), meras mayor sea el úmero de érmos que se ome e la sere meor será la aproxmacó. Las propedades operacoales de las seres orogoales puede ser escras e érmos de la marz de egracó, e dode el prcpal cocepo es el hecho de que la egral de ua sere orogoal ambé puede ser expresada como ua sere orogoal, e érmos geerales esa puede defrse como: { T ( τ ) dτ = P Φ( ) L (5) E el caso de las seres Harley e [5,6] se muesra como se puede dervar la esrucura de la marz de egracó P, cuya esrucura es: M N P = L π L π (6) N M (h+ ) (h+ ) E el caso del aálss de SLVT es ecesaro defr dos marces adcoales, las marces produco y de coefcees. El produco del vecor de las fucoes base de las seres orogoales y su raspuesa se llama marz produco Π(), eso es: Π ( ) = Φ ( ) Φ ( ) (7) La marz de coefcees es defda e érmo de la marz produco y el vecor de seres orogoales base como ua marz que sasface, C Φ = c (8) [ ] ( ) ( ) La marz [C] de orde h+ es la marz de coefcees dado u vecor c [6,7]. c c + c c + c c c c c + c c + c c c c + c c c c c + c c + c + c + c c + c + c c + c c c c + c c c c + c c c C = c c c c c c c c c c c + c c c c + c c c + c + c + c + c c + c c c c c + c c + c c c c + c + c + c + c c c c c + c c c + c c + c c [ ] (9). ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE SLVT Y SLIT Descrpcó del Méodo de Idefcacó Cosdere u ssema leal varae e el empo descro de la forma: x( ) = A() x( ) + B()u( ) () dode x() es el vecor de esado y u() el vecor de erada de ordees y q, respecvamee, y las correspodees marces de coefcees varaes A y B de orde y q, respecvamee. Ulzado aproxmacoes vía seres orogoales las a y b () de las marces expresoes de los elemeos ( ) A() y B() puede ser expresados como: a ( ) A Φ ( ) () dode b ( ) B Φ ( ) () [ A, L A, L A ] [ B L B B ] A, = () B,, L, = (4) Smlarmee, los elemeos del vecor x() y u() puede ser aproxmados como: x ( ) X Φ ( ) (5) u ( ) U Φ ( ) (6) Cosderado (5) y (6) el produco de las seres orogoales A()x() resula: A Φ( ) XΦ ( ) + L+ A Φ( ) X Φ( ) A ( ) X ( ) A ( ) X ( ) A( )x( ) Φ Φ + L+ Φ Φ = (7) M A Φ( ) XΦ ( ) + L+ A Φ( ) X Φ( ) Tomado el facor A Φ( ) X Φ ( ), dode cada produco A Φ ( ) y X Φ ( ) produce u escalar. Por esa razó, se puede reacomodar el produco como se muesra e la Ec. (8), al aplcar la raspuesa al érmo X Φ ( ) y la defcó de la Marz Produco [5,6]. A Φ( ) X ( ) Φ ( ) = A Φ( ) Φ ( ) X = A X Φ( ) (8) Dode X es la marz de coefcees del vecor x(). Ahora, recosruyedo el produco A()x() se obee: A A L A [ X] [ X ] A A A ( ) ( ) L ( ) A x = Φ (9) M M O M M A A L A [ X ] A( ) x( ) = A[ X ] Φ ( ) () dode X es la marz de coefcees correspodee a cada vecor de coefcees X, esa ee dmesoes (h ) (h ) X es la marz formada por odas la marces de coefcees X de orde + +, [ ] (h + ) (h + ). Meras que A es ua marz cosruda por cada vecor de cosaes A y es de dmesó

3 (h + ). Φ ( ) es el vecor de fucoes base de (h + ). De maera smlar se puede demosrar que el produco B( ) u( ) se puede aproxmar por. [ ] B( ) u( ) = B U Φ ( ) () E dode las dmesoes de las marces so B, [ U ] y Φ ( ) so respecvamee q(h + ), q(h + ) (h + ) y (h + ). Ua vez obedos esos resulados es posble deermar ua expresó para resolver el problema de la defcacó. Iegrado ambos lados de la Ec. (), obeemos: x( ) x ( ) = A x( ) d + B u( ) d () Ulzado las propedades de la marz de egracó y los resulados obedos e la Ec. () y la Ec. (), eemos: X Φ ( ) = X Φ ( ) + A[ X ] PΦ ( ) + B[ U ] PΦ ( ) () E la Ec. () X es del msmo orde de X y coee las codcoes cales de cada varable de esado, al y como se muesra e la Ec. (4). ( L x () L ) ( L x() L ) X = (4) M ( L x () L ) Cacelado Φ () e ambos lados de la Ec. (), obeemos [6,7]: dode: X = θ Z (5) θ = [ A B X ] (6) [ X] [ U] P Z = P e (7) e = [ L L ] (8) Es claro que para resolver ese problema y obeer los parámeros esmados es ecesaro aplcar el méodo de mímos cuadrados para obeer la pseudo versa de θ, así: ^ θ = XZ ( ZZ ) (9) Cuado se ee u SLIT las expresoes mosradas e las Ec. (5) a (9), sgue sedo váldas, la úca dfereca cosse X y [ U ], será marces e que las marces de coefcees [ ] dagoales, eso debdo a que u SLIT es u caso parcular de u SLVT. Redudaca Aalíca Dero de los ssemas dámcos es frecuee ecorar ua redudaca físca, es decr, la mplemeacó de varos dsposvos de las msmas caraceríscas dero de u msmo ssema de medcó y/o corol, por eemplo, cuado se ulza dos o más sesores para prever cualquer eveualdad ae ua falla del msmo que ocasoes ua esabldad del ssema, esa suacó ocurre e aquellos ssemas e dode se requere ssemas de respaldo para proporcoar cualquer cofabldad del ssema. Ora alerava a la redudaca físca que suele ser más ecoómca es la redudaca aalíca. Ese po de redudaca supoe la posbldad de realzar varos expermeos sobre el ssema a defcar, los expermeos realzados corpora Fg.. Esquema de redudaca aalíca. dferees modos de operacó cuado esos se exca co dferees pos de eradas e dferees ervalos de empo. Ora varae cosuye la aplcacó de la msma señal a dferees frecuecas, corrmeos de fase o cambos de magud. Poserormee se ulza oda esa formacó e u msmo proceso de esmacó, al y como se observa e al fgura, la desveaa de la redudaca aalíca es que hace que el proceso de defcacó se realce fuera de líea. 4. RESULTADOS A couacó se muesra los dos casos de esudo ulzados para valdar la écca de defcacó. Caso de Esudo I: Moor de CD co maes permaees (SLIT) E ese arículo se muesra como prmer caso de esudo la esmacó de parámeros de u moor de CD co maes permaees, para lo cual la máqua de CD se vsualza como u coverdor de eergía elecromagéca deal, cuyo crcuo equvalee se muesra e la fgura. Fg.. Crcuo equvalee del moor de CD. Ese moor de CD se puede modelar e varables de esado al y como se muesra e la Ec. (). Ra K a La L a a + L = v a a K f () r ω ω J J Dode: a.- Corree de armadura. ω.- Velocdad roacoal de la armadura K.- Cosae de velocdad

4 L a,.- Iducaca de armadura R a,.- Resseca del devaado de armadura f r.- Coefcee de frccó vscosa J.- Ierca del roor Caso de Esudo I: Idefcacó de parámeros de u Moor de CD (SLIT) Aplcado la meodología mosrada el ssema descro puede reescrbrse usado la Ec. (5), e ese caso se cosdera codcoes cales cero, por lo que se ee: θ R K I ap [ ] = L L L () I a ω ωp K b V P J J a La Ec. (9) aplcada a la Ec. () perme obeer la defcacó de parámeros ulzado la pseudoversa de Z para esmar θ. Co esa écca se obee la defcacó de los parámeros del moor a parr de la I a y ω, las cuales puede prover de u couo de medcoes. Los programas ulzados e el proceso de defcacó fuero mplemeados e el leguae de programacó de Malab, la abla muesra los parámeros reales del moor de CD co maes permaees modelado a ravés de la Ec. []. Tabla. Parámeros del moor de CD. Poeca omal P o W Volae omal V a 4 V Resseca R a. Ω Iducaca L a 5.84 x - H Coefcee K x - V/rpm Ierca del roor J.4 x -5 N.M.S. Coefcee de frccó f r.45 x -5 N.M/rpm Fg. Señal de erada aplcada al moor de cd. realzó usado como erada u escaló de magud 4 (emulado el arraque del moor), meras que e la seguda se coamó la erada co ua señal cuadrada de amplud de ±.5 del valor del escaló, al y como se muesra e la fgura. La esmacó de parámeros ee buea exacud e ambos casos pues el error es meor del 5%. Co el f de valdar los resulados obedos al usar esa écca de defcacó se compararo las respuesas del ssema ae ua erada escaló al usar los parámeros reales y los defcados. La fgura 4 muesra la gráfca de la corree al aplcarse u erada escaló de amplud 4 V al moor de cd, e ella se apreca que o exse dferecas oables ere la respuesa del ssema real cora el defcado. Para lograr la defcacó del ssema se realzaro smulacoes e el domo del empo (ODE 45) del arraque del moor de CD, empleado ua fucó escaló de magud 4, co el obeo de obeer la evolucó de las varables a y ω, que e ese caso se obuvero co 48 muesras para u empo de segudos, cada ua de ellas se pasaro al domo de la frecueca calculado sus coefcees usado como base orogoal las seres Harley para obeer las varables e el domo de la frecueca I a y ω. Tabla. Resulados de la esmacó de parámero usado 5 érmos. Parámero Reales Harley (erada escaló) Harley (erada señal cuadrada) R Ω L H 5.84E E E- K Nm / A 8.57E E- 8.57E- J kgm /s.4e-5.9e-5.959e-5 b Nms.45E-5.949E-5.8E-5 Ulzado 5 érmos de la fucó base se obee los resulados mosrados e la Tabla, e dode se muesra dos resulados de la defcacó de parámeros, ua prueba se Fg. 4 Comparacó de la respuesa de la Corree de Armadura ae erada escaló de magud 4V. La fgura 5 muesra la gráfca de la velocdad al aplcarse ua erada escaló de magud 4 al moor de cd, al gual que e el caso aeror o exse dferecas oables ere las respuesas del ssema real cora el defcado. Co la aplcacó de esa écca se puede resolver el problema de defcar parámeros, debdo a que hay ocasoes e las que el fabrcae o proporcoa odos los parámeros de u ssema, o be exse parámeros a los cuales o se les puede aplcar algua prueba para coocerse, e cambo s se aplca esa écca se puede deermar odos los parámero co a sólo dspoer de u couo de medcoes del comporameo del moor.

5 Harley (m), la redudaca aalíca empleada es de cuaro, por lo que se aplca 4 señales dsas para geerar los couos de medcoes para [X] y [ U ], las cuales fuero: u ( ) = cos( ) u ( ) =.cos( ) +.cos(5 ) u ( ) =.se( ) +.cos( ) u ( ) =.cos( ) +.s e( ) +.5cos( ) +. se(5 ) 4 Fg. 5 Comparacó de la respuesa de la velocdad ae erada escaló de magud 4V. Caso de Esudo II: Crcuo RLC (SLVT) Para mosrar la aplcacó de la écca e u SLVT, se presea la defcacó de parámeros de ua red RLC co elemeos leales peródcos e el empo como la mosrada e la fgura 6. Los resulados obedos de los parámeros esmados vs parámeros reales se muesra e la fgura 7, e dode ales parámeros se represear por: c( ) a ( ) = a ( ) = c( ) c( ) a( ) = R( ) + L( ) L( ) a( ) = L( ) Fg. 6 Crcuo RLC co elemeos peródcos. Al aalzar el crcuo elécrco medae LVK y LCK se obee el modelo de la red como se muesra e la Ec. () c( ) ( ) ( ) x( ) c c () x ( ) = + Vs ( ) ( ) ( ) x( ) x( ) R + L L( ) L( ) L( ) dode v ( ) ( ) c = x ( ) = x( ) Los parámeros de la red descra por la Ec..() so: R( ) =.5 +.s e ( ) L( ) =.4 +.se ( ) c( ) =.+. se( ) c( ) =.cos( ) L( ) =.cos( ) Vs( ) = cos( ) Para aplcar la écca propuesa para la esmacó de parámeros se resuelve la Ec. () usado u méodo de egracó umérca (ODE45). Co el f de proporcoar vía smulacó las medcoes requerdas. Para realzar las smulacoes se mplemearo los algormos del cálculo operacoal e Malab y se ulzaro 5 érmos de las seres Harley (h) y 56 puos para obeer la rasformada de Fg. 7 Comparacó ere los parámeros esmados de la marz co respeco a los reales usado 5 érmos. Fg. 8 Comparacó ere los parámeros esmados de la marz co respeco a los reales usado 45 érmos. De la fgura 7 se observa que el error e la defcacó es pequeño, al realzar dcha comparacó ere parámeros, ése dsmuye oablemee al cremear el úmero de érmos de la sere Harley. La fgura 8 muesra esa edeca cuado

6 Fg. 9 Hsograma del error para h=45. h=45. Así msmo, es posble emplear meos érmos a cambo de cremear la redudaca aalíca. E la fgura 9 se puede observar que el error ee ua dsrbucó gaussaa lo que perme uzgar la caldad del modelo ecorado e el proceso de defcacó, e promedo el error e cada parámero esmado es cero. Co respeco a los parámeros de la marz B, como se observa e la Ec. (), uo de ellos es el egavo del elemeo a (), meras que el oro es ua cosae y por razoes de espaco o se muesra e ese arículo dchos resulados. De los resulados obedos se desprede que la écca fuera de líea es cofable y de seclla mplemeacó compuacoal, por lo ao, puede adaparse para realzar defcacó co medcoes obedas drecamee del ssema físco a defcar. 5. CONCLUSIONES Se ha preseado ua écca basada e el domo de la frecueca para la esmacó de parámeros de SLVT y SLIT, esá emplea como herramea la eoría de cálculo operacoal y usa como base la marz de egracó para proporcoar ua ecuacó algebraca que perme la defcacó de parámeros, ésa úlma es resuela por medo de la pseudoversa. Además la écca perme deermar los parámeros del modelo couo del ssema, es decr, se realza la esmacó s eer que dscrezar el modelo. Los casos de esudo abordado perme mosrar la facldad e la mplemeacó compuacoal del méodo y la cofabldad de los resulados. De la comparacó realzada ere los parámeros esmados y los reales se observa que el error promedo dsmuye a medda que el úmero de érmos omados para la sere orogoal aumea, e el caso de los SLIT el error esa por debao del 5% y e el SLVT el error presea ua dsrbucó gaussaa dode el error promedo es cero, lo cual valda el modelo obedo. 6. REFERENCIAS [] M. Razzagh, A. Arabshah, Aalyss of lear varyg ad blear sysems va Fourer seres, Ieraoal Joural of Corol, V. 5, No., pp , 989. [] C. F. Che, Y. T. Tsay, Walsh Operaoal Marces for Fracoal Calculus ad her Applcao o Dsrbued Sysems, Joural of he Frakl Isue, Vol. 5, No.,pp , March 977. [] L. Cheg-Cha, S. Ye-Pg, Aalyss ad Opmal Corol of Tme-Varyg Sysems va Chebyshev Polyomals, Ieraoal Joural of Corol, V. 8, No. 5, pp. -, 98. [4] M. Samava, A. J. Rashde, A New Algorh for Aalyss ad Idefcao of Tme Varyg Sysem, Proceedg of he Amerca Corol Coferece. Seale, Washgo, pp. 78-7, Jue 995. [5] I. I. Lázaro, J. J. Rco & G. T. Heyd, Aalyss of swchg Loads Neworks Usg Operaoal Marces, IEEE Power Egeerg Revew, March, pp [6 ] J. J. Rco, G. T. Heyd, A. Keyha, B. L. Agrawal, D. Sel, A Algebrac Approach for Idefyg Operag Po Depede Parameers of Sychroous Meches Usg Orhogoal Seres Expasos, IEEE Trasacos o Eergy Coverso, Vol 6, No.,pp. 9-98, March. [7] N. Alvarado, Idefcacó de Cargas ae Codcoes o Seodales, usado Téccas de Esmacó e el Domo de la Frecueca medae Marces Operacoales, Tess de Maesría, Dvsó de Esudos de Posgrado de la Faculad de Igeería Elécrca de la UMSNH, Eero. BIOGRAFÍAS: Isdro Igaco Lázaro Casllo acó e Cordoba, Veracruz, Méxco. Recbó el grado de Igeero Elecrcsa e la Uversdad Mchoacaa de Sa Ncolás de Hdalgo, el grado de maesro e Igeería Elécrca e la msma Isucó e 99 y 999 respecvamee. Acualmee es Profesor Ivesgador de empo compleo de la msma Faculad. Auor del lbro Igeería de Ssemas de Corol Couo. Sus áreas de erés so Caldad de la Eergía, Corol e Isrumeacó. Jua Azurez Mar, acó e el esado de Puebla e 968. Recbó el íulo de: Igeero Elecrcsa por la Faculad de Igeería Elécrca de la Uversdad Mchoacaa de Sa Ncolás de Hdalgo e 99; Maesro e Cecas e Igeería Elecróca opcó srumeacó por el Isuo Tecológco de Chhuahua e 997 y Dr. e Cecas e Igeería Elécrca por el Cero de Ivesgacó y de Esudos Avazados del IPN, CINVESTAV, Udad Guadalaara e 7. Ha sdo profesor de la Faculad de Igeería Elécrca de la Uversdad Mchoacaa desde 987 acualmee colabora ao e los programas de Lcecaura como e Posgrado de la msma Faculad. Sus áreas de erés so Isrumeacó y Corol de Ssemas así como el desarrollo de algormos para el Dagósco de Fallas e Ssemas o Leales. Salvador Ramírez Zavala acó e Morela, Mch. Recbó el grado de Igeero Elecrcsa e la Uversdad Mchoacaa de Sa Ncolás de Hdalgo, el grado de Maesro e Igeería Elécrca e la msma Isucó e 99 y 998 respecvamee. Sus áreas de erés so, Corol e Isrumeacó.