MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 de Abril de MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clse ) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Universidd Centrl de Venezuel Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

2 Puntos trtr. Determinnte de un mtriz. Propieddes de los determinntes. Cálculo del determinnte usndo operciones elementles. Determinnte de orden Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

3 Determinnte de un mtriz Se A un mtriz de orden n, si n se tiene: A[], det A Se llm determinnte de l mtriz A de orden l número. -. y escribimos: Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

4 Puntos trtr. Determinnte de un mtriz. Propieddes de los determinntes. Cálculo del determinnte usndo operciones elementles. Determinnte de orden Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

5 Propieddes de los determinntes. Determinnte de l trspuest Si A es culquier mtriz cudrd, entonces: det(a) det(a ) t. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos fils de A, entonces el determinnte cmbi de signo: det B - det A (OPERACIÓN ELEMENTAL ). Si B se obtiene MULTIPLICANDO un fil de A por el esclr c, entonces el determinnte qued multiplicdo por c. det B c (det A) (OPERACIÓN ELEMENTAL ) Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

6 Propieddes de los determinntes. Si B se obtiene sumndo un fil de A un múltiplo de otr fil de A, entonces el determinnte no se lter det B det A (OPERACIÓN ELEMENTAL ) 5. Determinnte de un mtriz tringulr El determinnte de un mtriz tringulr está ddo por el producto de los elementos de su digonl.... n... n det... n nn... nn Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

7 Propieddes de los determinntes 6. Determinnte de l invers Si A es no singulr, entonces det(a), y : det( A ) det( A) Es decir un mtriz tiene invers si su determinnte es diferente de cero. Si el determinnte de un mtriz es cero, l mtriz no tiene invers. Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

8 Propieddes de los determinntes. Si un renglón o column tiene solo ceros, el determinnte es cero. b. Si se intercmbin renglones o columns, el signo del determinnte cmbi c. Si dos columns o renglones son igules, el determinnte es cero. d. Si se multiplic un renglón o column por un numero rel el determinnte se multiplic por ese número rel. e. Si se sum un múltiplo de un renglón o column otro renglón o column, el determinnte no se lter. f. El determinnte de un producto de mtrices es igul l producto de los determinntes de cd un. g. El determinnte de l invers es el inverso del determinnte de l mtriz originl. Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

9 Propieddes de los determinntes det A T det A 5 7 T 5 det A det A 7 Si dos fils (columns) de un mtriz A de n n son idéntics, entonces det A. 6 6 A det A 9 9 Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

10 Propieddes de los determinntes Si todos los elementos de un fil (column) de un mtriz A de n n son cero, entonces det A. Si B es l mtriz obtenid por intercmbio de dos fils (columns) de un mtriz A n n, entonces: det B det A 9 det B det A 9 Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

11 Propieddes de los determinntes Si B se obtiene de un mtriz A n n multiplicndo un fil (column) por un número rel k, entonces: det B k det A det B ki Ci + kici + + kincin k ( i Ci + i Ci + + in Cin ) k expnsión de det A por cofctores lo lrgo de l i-ésim fil det A ( ) 8 Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

12 Propieddes de los determinntes Si A y B son mtrices n n, entonces det AB det A det B. A 6, B 5 AB 6 9 det AB, det A 8, det B, det AB det A det B. Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

13 Si B se obtiene como combinciones lineles de fils o columns de un mtriz A n n, entonces: det B det A Propieddes de los determinntes Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero det A 5 det B 5. A B R R

14 Propieddes de los determinntes A det A (. ) mtriz tringulr inferior A det A ( ). ( ) Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

15 Propieddes de los determinntes mtriz digonl A 6 det A 6 ( ) Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

16 Puntos trtr. Determinnte de un mtriz. Propieddes de los determinntes. Cálculo del determinnte usndo operciones elementles. Determinnte de orden Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero 6

17 Cálculo del determinnte por operciones elementles Se h firmdo que pr el cso especil de un mtriz tringulr, el determinnte es igul l producto de los elementos sobre l digonl. Entonces, si un mtriz puede reducirse un mtriz esclond por fils, es evidente que el determinnte podrá clculrse como el producto de los elementos digonles, considerndo en el desrrollo ls operciones elementles por fils y su efecto en el vlor del determinnte. Se usrá un ejemplo pr ilustrr est situción: Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

18 Cálculo del determinnte por operciones elementles Hllr el determinnte de l mtriz A Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

19 Solución: se tiene que (sum de fils) (multiplicción por un esclr) 8 8 () Cálculo del determinnte por operciones elementles Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero (multiplicción por un esclr) (dos veces sum de fils) (sum de fils) (intercmbio de fils) det (A)(-)()(7)-68 7 ()

20 Cálculo del determinnte por operciones elementles Es conveniente clrr que pr el cálculo de los determinntes, ls operciones básics tmbién pueden relizrse por columns, dependiendo del ejemplo de que se trte. Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

21 Puntos trtr. Determinnte de un mtriz. Propieddes de los determinntes. Cálculo del determinnte usndo operciones elementles. Determinnte de orden Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

22 Determinnte de un mtriz de orden En el cso de mtrices cudrds de orden, tmbién podemos clculr el determinnte de l siguiente mner: Copie l primer y segund column de l mtriz su derech: A ( + ) A Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

23 7 5 A B. Evlúe el determinnte de ls siguientes mtrices: Ejercicios Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero. Pr que vlor de el determinnte es cero: +

24 Pensmiento de hoy No es lo que no sbemos lo que nos inquiet, es lo quesbemosquenoessí. Will Rogers Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

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