ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES SISTEMA. Posee ESTRUCTURA. Figura 1.1: Definición de Sistema

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1 ANÁLISIS DE SISTEAS LINEALES 1. odeldo de item SISTEA Reliz FUNCIÓN Poee ESTRUCTURA Preent COPORTAIENTO Figur 1.1: Definición de Sitem Sitem: Un item reliz un función, poee un etructur y preent un comportmiento. 1/28

2 Sitem de control de lzo bierto E quel en el cul ni l vrible del item ni l lid influyen en el control de ét. El éxito del control de lzo bierto depende de: Exctitud del modelo del item Repetibilidd de lo evento relciondo durnte un lrgo período. (Auenci de perturbcione extern). Sitem de control de lzo cerrdo E quel en el cul l vrible del item o l lid influyen en el control de ét, típicmente por medio del uo de relimentción. 2/28

3 Relimentción Un muetr de l eñl de lid e tomd y redirigid hci l entrd pr fine de comprción. Plnt Equipo fíico que e relcion con l mgnitud que e control. Se repreentn como item linele invrible en el tiempo (LTI). Controldor Etbilidd Elemento que e ñde pr llevr cbo el control. Propiedd de un item que nte un entrd finit reccion con un lid finit. 3/28

4 Servocontrol Sitem en el cul l lid e l poición o lgun de u derivd. Sitem dinámico Unidd funcionl cuyo principle decriptore vrín en el tiempo y por lo tnto pueden er decrito como funcione del tiempo. odeldo El modeldo e un btrcción: l dinámic erá btríd del crácter fíico. 4/28

5 Objetivo de l btrcción Decribir lo proceo temporle por medio de funcione del tiempo (eñle). Reumir l relcione entre eo proceo como dependenci funcionle entre l funcione del tiempo. No import que repreenten l vrible temporle, ino cuále vrible del fenómeno reproducen el comportmiento dinámico del item en cuetión. odeldo: Simulción: Identificción: Comportmiento Función Función Comportmiento Comportmiento Etructur Tbl 1: Relcione entre lo componente de un item 5/28

6 Po del odeldo 1) Decripción concret del problem (y l plnt). 2) Selección de l vrible que on importnte pr l decripción del comportmiento dinámico 3) Definición de l exctitud del modelo (linelizcione, proximcione) 4) Identificción de entrd y lid (ún de perturbcione) 5) Creción de un decripción de l etructur Identificr lo componente importnte y u relcione Prtir el item en u elemento, (y luego trtmiento prcil). L relcione cuntittiv no interen ún Será evidente cuále vrible pueden er influencid externmente, cule on intern y cuále pueden er medid externmente. 6) Obtención de l relcione funcionle pr cd elemento o componente. Anlíticmente ( prtir de leye fíic) Empíricmente (experimentlmente) reultdo : modelo cuntittivo 6/28

7 7) Prueb del modelo Análii (Etbilidd, error de etdo etcionrio, repuet de frecuenci) Simulción (comprción de lo reultdo de l imulción con medid del proceo) Síntei del controldor (dieño) Etructur del item Importnci Contribuye l comprenión del comportmiento del item muetr l relción entre l prte proporcion un viión globl de l propiedde dinámic del item. muetr donde el item e encuentr relimentdo, lo punto donde etá fuerte o débilmente copldo y eventulmente puede prtire. 7/28

8 Repreentcione gráfic de l etructur del item Por medio de digrm bloque: L etructur del item e decribe trvé de un conjunto de elemento de trnferenci (trnmitnci) y l relcione entre éto. d(t) v(t) + + y(t) - Figur 1.2: Sitem de control relimentdo 8/28

9 Elemento del digrm de bloque + - Punto de um (ret) Linele Decripción - Ecucione diferencile - Trnformd - Funcione de trnferenci - Vrible de etdo - Gráfico de curv crcterític No linel Señl Vectore (de eñle) Figur 1.3: Elemento del digrm de bloque 9/28

10 Digrm de Flujo de Señle L etructur del item e decribe trvé de un gráfico dirigido, donde lo nodo repreentn l eñle y l flech repreentn propiedde de trnferenci. x Señl x (nodo) Relcione funcionle (Propiedde de trnferenci) (flech) 1 G 1 1 W E U Y -G 2 E = W 1 - U G 2 U = E G1 Y = U 1 Figur 1.4: Elemento del digrm de flujo de eñle 10/28

11 Decripción de item linele en el tiempo ) A trvé de ecucione diferencile Leye fíic modelo mtemático Sitem eléctrico Leye de Kirchhoff Sitem mecánico Leye de Newton Leye de conervción de l energí e impulo Se trbjrá con item linele, de prámetro concentrdo e invrinte en el tiempo (LTI). u(t) Sitem dinámico (LTI) y(t) Figur 1.5: Sitem dinámico linel invrinte en el tiempo 11/28

12 Form generl de l ecución diferencil (relción dinámic entre y(t) y u(t)). d n y t n 1 () d y() t dy () t n n + n 1 n 1 + K y() t = b dut q q 1 () d u() t b b du () t q q + q 1 q 1 + K but 0 () () 1 Ecución diferencil ordinri de n-orden, donde i y b i on rele y provienen de lo prámetro fíico del item. Condicione inicile n d y ( ) n 1 0 d y ( 0 ),,, n n y ( ); 1 L 0 q < n pr culidd Dd u(t) pr t 0 y l condicione inicile e poible conocer y(t) 12/28

13 Función de Trnferenci Cálculo de l función de trnferenci: plicmo l Trnformd de Lplce l ecucion (1) y poniendo tod l condicione inicile en cero e tiene: n n 1 q 1 Y () + Y () + K+ Y () + Y () = b U () + K + bu () + bu () n n q n n 1 q q 1 ( + + K+ + ) Y() = ( b + b + K + b + b ) U() n n q q Propiedde de l Trnformd de Lplce que e plicn L f(t) d L f(t) & = F() f () t = { } t= 0 ; F ()= L { f(t) } L k d f(t) k k k k d f t = F() f() t f& () () t K t= 0 t= 0 t= 0 13/28

14 Y () = U() q q 1 b + b + K+ b+ b q q 1 n n K + + n n = G () Función de trnferenci en form de cociente de polinomio Crcterític de l función de trnferenci: Tiene n polo y q cero E complet (lo coeficiente de l ecución diferencil etán contenido completmente) Depende únicmente de l plnt (no de l entrd o de lo vlore inicile, eto on cero) 14/28

15 15/28 Otr form de repreentr G() ) )( )( ( ) ( ) )( ( ) ( n q q C G λ λ λ = L Función de trnferenci en form de cociente de producto de cero entre producto de polo = = = n i i q i i q C G 1 1 ) ( ) ( ) ( λ ) ( lim b G K p = = q < n Función etrictmente propi (plnt) q = n Función propi (controldor) q > n Función impropi (no exite)

16 odelo de Elemento ecánico Elemento mecánico de trlción (e uponen linele) x 2 x 1 K Reorte F = K( x 1 x2) B Fricción vico F = B( x& ) 1 x& 2 = & x 1 Figur 1.6: Elemento mecánico de trlción 16/28

17 x 1 F F = K x K F F = B dx = B v, v = dx x 2 x 1 F = B(v1 -v2) = B ( dx 1 dx 2 ) Figur 1.7: odelo linele de elemento mecánico de trlción 17/28

18 Ley de Newton F = m Efecto de l grvedd: El efecto de l grvedd puede uprimire de l ecucione i e hce un cmbio del item de referenci. K K y f(t) δ g+f(t) Kδ = F = g x Figur 1.8: Efecto de l grvedd obre un item mecánico 18/28

19 Ejemplo 1.1: odeldo de un item mecánico de trnlción x x 2 x 1 F F K F F = (x 1 -x 2 )K Figur 1.9: Digrm de cuerpo libre del reorte 19/28

20 x 2 x 1 B K Punto P (x 1 ): B dx 2 d2 x 1 2 F = F K(x 1 -x 2 ) d 2 x ΣF = F K(x 1 -x 2 ) = 0 F - K(x 1 -x 2 ) = d 2 x 1 2 Punto Q (x 2 ): F = 0 Kx ( x B dx 1 2) = ( ) 2 Figur 1.10: Digrm del item mecánico totl y de cuerpo libre de l m 20/28

21 Elemento mecánico de rotción Σ = J α celerción ngulr momento de inerci J omento rotcionl Reorte torionl θ 2 θ 1 K = B(ω 1 -ω 2 ) ω 2 ω 1 B omento en el reorte torionl: = K( θ - θ ) 1 2 Figur 1.11: Elemento mecánico de rotción 21/28

22 Ejemplo 1.2: odeldo de un item mecánico de rotción θ 3 θ 2 θ 1 B J ) 1 2 K B θ 2 θ 1 J b) B J θ, α, ω c) Figur 1.12: Digrm del item mecánico de rotción 22/28

23 Ecución de movimiento pr l figur 1.12c J d 2 θ B d θ 2 + = 0 J d 2 θ 2 = Bdθ 23/28

24 Ejemplo 1.3: odeldo de un otor CD controldo por rmdur con excitción independiente (contnte) R L + U U i - Figur 1.13: otor CD controldo por rmdur con excitción contnte Ecucione del motor: φ e = K i t 1 e() i () t = cte φ = cte e e α i 24/28

25 = Ci φ e U i α ω( n) U i = Cφ e dθ U = 0 U Ri L di Ui = 0 L di dθ + Ri + Cφe = U L di + Ri = U Ui 25/28

26 Undo Trnformd de Lplce e tiene mt () = Ci() t φ () = Cφ I () e e I () Cφ e () L di + Ri = U Ui LI () + RI () = U () U() i I ()( L + R ) = ( U U ) i I = U Ui 1 = ( U Ui) ( L + R ) ( L + R ) 26/28

27 U ( L + R ) I U i dθ Ui = Cφe U = Cφ θ() i e U i () Cφ e θ() 27/28

28 f = β θ β I + U Cφ ( L + R ) e ( J m ) θ U i Cφ e θ() Figur 1.14: Digrm de bloque pr el motor CD controldo por rmdur 2 d θ dθ J = β 2 2 J θ ( ) = ( ) β θ θ ( ) = ( ( ) ( ) ) f 1 2 J 28/28

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