Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

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1 12 de octubre de 2014

2 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión de A es m n. Si m = n, decimos que A es cuadrada; si m n decimos que es rectangular.

3 Matrices Diagonal principal. Si A es una matriz cuadrada de dimensión n, los elementos a ii, i = 1,..., n forman la diagonal principal de la matriz; la suma de estos elementos es la traza de la matriz. Traspuesta de una matriz: es la matriz que se obtiene cuando intercambiamos las filas y las columnas (PIZARRA)

4 Matrices Tipos especiales: (PIZARRA) Matriz identidad. Matriz diagonal. Matrices triangulares (superior, inferior). Matriz nula. Matriz fila, matriz columna. Matriz simétrica, hemisimétrica (antisimétrica).

5 Matrices Operaciones: (PIZARRA) 1. Suma. Propiedades: Conmutativa. Asociativa. Elemento neutro: matriz nula. Elemento inverso: opuesta de una matriz. 2. Multiplicación por un número. Propiedades: λ (A + B) = λ A + β B (λ + µ) A = λ A + µ A λ (µ A) = (λ µ) A 1 A = A.

6 Matrices Operaciones: (PIZARRA) 3. Multiplicación de dos matrices. Propiedades: En general no es conmutativa. Asociativa. Elemento neutro para matrices cuadradas: matriz identidad. Elemento inverso para algunas matrices cuadradas: matriz inversa. (A B) T = B T A T.

7 Matrices Inversa de una matriz: dada una matriz cuadrada A, A 1 (su inversa) es la matriz, si existe, que cumple A A 1 = A 1 A = I A 1 no siempre existe. Se puede caracterizar cuándo existe utilizando determinantes, o la noción de rango. (A 1 ) T = (A T ) 1. (A B) 1 = B 1 A 1 Dos opciones para calcularla: determinantes o el método de Gauss-Jordan (lo veremos más adelante).

8 Determinantes Dada una matriz cuadrada A, el determinante de A, que representamos por A, es un número que asociamos con A. Decimos que A tiene orden n, si la dimensión de A es n n.

9 Determinantes A se define primero para orden 2 (PIZARRA). Los determinantes de orden 3 se calculan desarrollando por una fila o columna, reduciendo por tanto el cálculo a orden 2. Por ejemplo, si A es 3 3, desarrollando por la primera fila (aunque se puede elegir cualquier otra fila, o cualquier columna), tenemos a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 donde A ij representa el adjunto del elemento a ij (es decir, el menor complementario multiplicado por ( 1) i+j ). En el caso de matrices for 3 3, la Regla de Sarrus puede ser, también, útil. (PIZARRA). Igualmente, los determinantes de orden 4 se calculan desarrollando por una fila o columna, etc.

10 Determinantes Propiedades básicas: 1. A = A t 2. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces A B = A B. 3. Si todos los elementos de una fila (o columna) tienen un factor común, dicho factor se puede extraer fuera del determinante. 4. Si intercambiamos dos filas (o dos columnas), el determinante cambia de signo.

11 Determinantes Propiedades básicas: 5. Si A tiene una fila o una columna de 0 s, entonces A = Si A tiene dos filas (o dos columnas) iguales o proporcionales, entonces A = 0. Si hay una fila o columna que es combinación lineal de otras, el determinante también es cero. 7. El valor del determinante no cambia si añadimos a una fila (o columna) una combinación lineal de otras filas (o columnas). Esta propiedad es esencial para calcular el valor de un determinante de manera eficiente. Cálculo práctico de determinantes: PIZARRA

12 Determinantes Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada A. La inversa A 1 existe si y sólo si A 0. A 1 = 1 A AdjT (A), donde Adj(A) es la matriz adjunta, es decir, la matiz cuyo elemento i, j es el adjunto del elemento a ij. Alternativa: método de Gauss. (PIZARRA)

13 Rango de una Matriz Decimos que una fila r (análogamente, una columna) es una combinación lineal de las filas r i1,..., r is si existen números α 1,..., α s tales que r = α 1 r i1 + + α s r is. Los α 1,..., α s se llaman coeficientes de la combinación lineal. Decimos que ciertas filas (análogamente, columnas) son linealmente independientes, si ninguna se puede obtener como combinación lineal del resto. En caso contrario, decimos que son linealmente dependientes. Pregunta: Cómo podemos reconocer fácilmente si dos filas (o dos columnas) son linealmente dependientes?

14 Rango de una Matriz Definición El rango de una matriz A, rg(a), es el número de filas (o de columnas) linealmente independientes de la matriz. Definición (equivalente) de rango, en términos de determinantes. Se dice que un menor, en una matriz A, es cualquier determinante que podamos obtener a partir de la matriz original, eliminando filas y/o columnas. Se puede ver entonces que rg(a) es el máximo orden de los menores no nulos de A. (PIZARRA)

15 Rango de una Matriz Observaciones/propiedades: Decimos que una matriz A de orden n tiene rango completo (o que es regular), si rg(a) = n. Esto sucede si y sólo si A 0 (es decir, si y sólo si A es invertible). Si A es cuadrada y no tiene rango completo, se dice que es singular; una matriz singular no tiene inversa. El rango por filas coincide con el rango por columnas. rg(a) = rg(a T ). Si la dimensión de A es m n, entonces rg(a) min(m, n). Al calcular el rango, estamos encontrando filas (o columnas) independientes!

16 Rango de una Matriz Algunas reglas para calcular rg(a): Una matriz tiene rango 0 si y sólo si todos sus elementos son 0. una fila/columna de 0s no cuenta para el cálculo de rangos. Igualmente, una fila/columna que es múltiplo de otra fila/columna, o es combinación lineal de otras filas/columnas, no cuenta tampoco. El rango no cambia si realizamos operaciones elementales por filas en la matriz A (intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número, sumar a una fila una combinación lineal de otras filas); análogamente por columnas. El cálculo práctico de rangos se puede realizar utilizando determinantes, o el método de Gauss. (PIZARRA)

17 Sistemas lineales: definiciones Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones del tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m x i s: incógnitas a ij s: coeficientes b j s: términos independientes

18 Sistemas lineales: definiciones El sistema se puede escribir en forma matricial como: a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x 2. = a m1 a m2 a mn x n b 1 b 2. b m En forma abreviada, A x = b A: Matriz de coeficientes. x: vector de incógnitas. b: vector de términos independientes.

19 Clasificación de Sistemas Lineales Clasificación de Sistemas Lineales: Un sistema lineal puede ser: 1 Compatible, si tiene solución. En este caso, puede ser: Determinado, si tiene solución única. Indeterminado, si tiene infinitas soluciones. 2 Incompatible, si no tiene solución.

20 Clasificación de Sistemas Lineales Matriz ampliada: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 B = a m1 a m2 a mn b m

21 Clasificación de Sistemas Lineales Teorema (Teorema de Rouché-Fröbenius) Sea A x = b un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas, y sea B la matriz ampliada del sistema. El sistema es compatible si y sólo si rg(a) = rg(b); en este caso, el sistema es determinado si rg(a) = rg(b) = n, y es indeterminado si rg(a) = rg(b) < n. Si rg(a) = rg(b) = n, la diferencia n rg(a) es el número de parámetros de los que depende la solución.

22 Resolución de sistemas lineales Dos posibilidades: 1 Método de Cramer: utiliza determinantes y debe aplicarse sobre un sistema de Cramer (es decir, un sistema donde la matriz de coeficientes tenga rango completo). 2 Método de Gauss, y de Gauss-Jordan: no requiere calcular determinantes, sino realizar únicamente operaciones sobre filas/columnas. Es el método que está implementado en los paquetes de software matemático. En ambos casos, PIZARRA

23 Sistemas Lineales Homogéneos Sistemas lineales donde los términos independientes son todos nulos: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = 0... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = 0 Siempre son compatibles (por qué?) La pregunta interesante es si tienen o no otras soluciones, además de la solución trivial (en cuyo caso tienen infinitas!) Esto sucede si y sólo si rg(a) < n. Si A es cuadrada, esto es equivalente a A = 0.

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