Tema 3.- SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

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1 Tema 3- SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES Ampliación de Matemáticas Ingeniería Técnica Industrial Especialidad en Electrónica Industrial Índice General 1 Introducción 1 2 Sistemas lineales de primer orden Generalidades 3 3 Sistemas lineales de primer orden homogéneos Sistemas fundamentales de soluciones 4 4 Cálculo de las soluciones de un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes por el método de los autovalores y autovectores 5 5 Sistemas lineales de primer orden no homogéneos 8 1 Introducción A lo largo de este tema estudiaremos los sistemas de ecuaciones diferenciales Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones diferenciales que contienen varias funciones incógnitas y sus derivadas Ejemplo 11 El sistema de ecuaciones diferenciales ½ x x 0 1 x 2 = e 3t x 0 2 6x 1 =0 posee como funciones incógnitas x 1 (t) y x 2 (t) La variable independiente es t y una solución de este sistema en el intervalo (, + ) está dada por el par de funciones x 1 (t) =e 3t,x 2 (t) =2e 3t,como puede comprobarse mediante una simple sustitución Normalmente, se usa la letra t para denotar a la variable independiente, y las letras x 1,x 2,,x n o y 1,y 2,,y n para indicar las funciones incógnitas, aunque si los sistemas tienen sólo dos o tres ecuaciones es también frecuente el uso de las letras x, y, z para las funciones incógnitas A veces se utiliza la letra x para la variable independiente cuando son y 1,y 2,,y n las que se usan para las funciones incógnitas Seguiremos además la costumbre de no indicar explícitamente la variable independiente (excepto si ello fuera necesario) Por el contexto debe quedar claro que letras designan a las funciones incógnitas y cúal es la variable independiente La forma más general que adopta un sistema de ecuaciones diferenciales es la siguiente ³ F 1 t, x 1,x 2,,x n,x 0 1,x 0 2,,x 0 n,,x p) 1,xp) 2,,xp) n =0 ³ F 2 t, x 1,x 2,,x n,x 0 1,x 0 2,,x 0 n,,x p) 1,xp) 2,,xp) n =0 F m ³ t, x 1,x 2,,x n,x 0 1,x 0 2,,x 0 n,,x p) 1,xp) 2,,xp) n =0 1

2 Tema 3 Sistemas diferenciales lineales Ampliación de Matemáticas Esp Electrónica Industrial 2 Puede observarse la presencia de la variable independiente t,delasnfunciones incógnitas x 1 (t),x 2 (t),,x n (t), y de las derivadas de estas funciones, hasta el orden p Debido a esto último, se dice que el sistema es de orden p El número de ecuaciones es m Los sistemas en los que el número de ecuaciones es distinto al de funciones incógnitas plantean problemas en cuanto a la existencia de soluciones, y precisan de un estudio particular para cada caso Por ello, en este tema sólo consideraremos sistemas con igual número (usualmente n) de ecuaciones que de incógnitas En cuanto al orden, nos limitaremos a los sistemas de primer orden y veremos cómo pasar a sistemas de primer orden otros de orden superior Ponemos de manifiesto esta idea en los siguientes ejemplos Ejemplo 12 Un caso de especial importancia es el de una ecuación diferencial de orden n con una solo incógnita x n) = f ³t, n 1) x, x 0,,x Esta ecuación puede expresarse como un sistema de primer orden haciendo u 1 = x, u 2 = x 0, u 3 = x 00,, u n = x n 1) Así se obtiene u 0 1 = u 2 u 0 2 = u 3 u 0 n 1 = u n u 0 n = f(t, u 1,u 2,,u n ) Ejemplo 13 Consideremos el sistema de dos ecuaciones ½ F (t, x1,x 0 1,x 00 1,x 2,x 0 2,x 00 G (t, x 1,x 0 1,x 00 1,x 2,x 0 2,x 00 2,x 000 2,x )=0 2 )=0 Este sistema es de tercer orden porque la derivada de orden más alto que en él figura es x Supongamos que es posible despejar las derivadas de orden más alto en ambas funciones incógnitas x 00 1 y x Si ahora introducimos las incógnitas auxiliares ½ x 00 1 = f (t, x 1,x 0 1,x 2,x 0 2,x 00 2) x = g (t, x 1,x 0 1,x 2,x 0 2,x00 2 ) u 1 = x 1 u 2 = x 0 1 u 3 = x 2 u 4 = x 0 2 u 5 = x 00 2 obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden u 0 1 = u 2 u 0 2 = f (t, u 1,u 2,u 3,u 4,u 5 ) u 0 3 = u 4 u 0 4 = u 5 u 0 5 = g (t, u 1,u 2,u 3,u 4,u 5 ) Lossistemasquehemosobtenidoenlosdosejemplosanteriorestienentodassusderivadasdespejadas en el primer miembro de las ecuaciones y además, tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas Un sistema de primer orden que está escrito de esa forma se dice que está en forma normal

3 Tema 3 Sistemas diferenciales lineales Ampliación de Matemáticas Esp Electrónica Industrial 3 El aspecto más general que presenta un sistema de primer orden en forma normal es x 0 1 = f 1 (t, x 1,x 2,,x n ) x 0 2 = f 2 (t, x 1,x 2,,x n ) x 0 n = f n (t, x 1,x 2,,x n ) Si denotamos mediante X la función vectorial (x 1,x 2,,x n ) t cuyas componentes son las funciones incógnitas y F(t, X) es la función vectorial (f 1,f 2,,f n ) t podemos escribir el sistema de primer orden en forma normal de una manera más compacta X 0 = F(t, X) Una solución de este sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones (x 1,x 2,,x n ) t que satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema en algún intervalo I R Consideremos n números reales x 10,x 20,,x n0 que pueden tratarse como las componentes de un vector X 0 R n El problema (cuya solución está por ver si existe) de encontrar una solución del sistema de ecuaciones diferenciales X 0 = F(t, X) que en t 0 I cumpla las igualdades x 1 (t 0 )=x 10,x 2 (t 0 )=x 20,, x n (t 0 )=x n0 o lo que es lo mismo X(t 0 )=X 0, se llama problema de valores iniciales o de condiciones iniciales Los números x 10,x 20,,x n0 son los valores iniciales y las igualdades x 1 (t 0 )=x 10,x 2 (t 0 )=x 20,, x n (t 0 )=x n0 son las condiciones iniciales De forma resumida, un problema de valores iniciales está constituido por el par ¾ X 0 = F(t, X) X(t 0 )=X 0 En lo que sigue, trabajaremos con sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma normal Daremos un teorema de existencia y unicidad de soluciones para un problema de valores iniciales y aquellos resultados generales que justifican el método de cálculo de las soluciones que veremos al trabajar con sistemas lineales con coeficientes constantes 2 Sistemas lineales de primer orden Generalidades A partir de ahora nos centraremos en los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, es decir, sistemas que en forma normal se expresan mediante x 0 1 = a 11 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 0 2 = a 21 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) x 0 n = a n1 (t)x a nn (t)x n + b n (t) El sistema anterior se dice homogéneo si b i (t) 0 para todo i =1, 2,,n En caso contrario, se dice no homogéneo Una forma usual de expresar los sistemas diferenciales lineales de primer orden en forma normal es utilizar la notación matricial: x 0 1 x 0 2 x 0 n a 11 (t) a 1n (t) = a 21 (t) a 2n (t) a n1 (t) a nn (t) x 1 x 2 x n + b 1 (t) b 2 (t) b n (t)

4 Tema 3 Sistemas diferenciales lineales Ampliación de Matemáticas Esp Electrónica Industrial 4 Aún más brevemente podemos escribir X 0 = A(t) X + B(t) Si comparamos con la expresión más general de los sistemas de primer orden en forma normal vemos que F(t, X) =A(t) X + B(t) Cuando los elementos de la matriz A(t) sean constantes pondremos X 0 = A X + B(t) En notación matricial, un problema de valores iniciales para un sistema de ecuaciones lineales de primer orden en forma normal se escribe mediante X 0 = A(t) X + B(t), X(t 0 )=X 0 Teorema 21 (Existencia y unicidad) Si A(t) y B(t) son continuas en un intervalo I R, que contiene al punto t 0,entonceselproblema de valores iniciales X 0 = A(t) X + B(t) X(t 0 )=X 0 para cualquier vector X 0 R n dado, tiene una única solución definida en el intervalo I Obsérvese que el teorema anterior permite asegurar que todo sistema diferencial de la forma X 0 = A(t) X + B(t), en el que A(t) y B(t) son continuas en un intervalo I, tieneinfinitas soluciones 3 Sistemas lineales de primer orden homogéneos Sistemas fundamentales de soluciones Vamos a estudiar en esta sección técnicas de resolución de sistemas diferenciales lineales homogéneos Para ello necesitamos conocer las propiedades de las soluciones de este tipo de sistemas Ante todo observemos que X(t) =0 para todo t I es una solución de cualquier sistema homogéneo Esta solución se llama solución trivial Definición 31 Consideremos X, X 1, X 2,,X k : I R n, k +1 funciones vectoriales definidas en el intervalo I SedicequeX es combinación lineal de la funciones X 1, X 2,,X k en el intervalo I si existen k números reales C 1,C 2,,C k tales que ¾ X(t) =C 1 X 1 (t)+c 2 X 2 (t)+ + C k X k (t) t I Se dice que las funciones X 1, X 2,,X k son linealmente independientes (li) en el intervalo I, cuando los únicos números reales C 1,C 2,,C k para los que se verifica la igualdad C 1 X 1 (t)+c 2 X 2 (t)+ + C k X k (t) =0 t I son C 1 = C 2 = = C k =0 En caso contrario, se dicen linealmente dependientes (ld) Teorema 31 Consideremos el sistema lineal homogéneo X 0 = A(t) X, donde A(t) es una función matricial continua en el intervalo abierto I Se verifican las siguientes propiedades: 1 Si X(t) es una solución no trivial, entonces X(t) 6= 0 para todo t I 2 Si X(t) e Y(t) son soluciones y a, b R, entoncesax(t)+by(t) también es solución

5 Tema 3 Sistemas diferenciales lineales Ampliación de Matemáticas Esp Electrónica Industrial 5 3 El conjunto de todas las soluciones del sistema homogéneo es un espacio vectorial de dimensión n, siendo n el número de ecuaciones e incógnitas del sistema De este teorema se deduce que cualquier solución del sistema lineal homogéneo puede expresarse como combinación lineal de las funciones de una base de soluciones Una tal base se denomina sistema fundamental de soluciones del sistema lineal homogéneo Así pues, la solución general del sistema lineal homogéneo es X(t) =C 1 X 1 (t)+c 2 X 2 (t)+ + C n X n (t) donde C 1,C 2,,C n R y X 1 (t), X 2 (t),,x n (t) ª es un sistema fundamental de soluciones Otra forma más breve de escribir la solución general, consiste en considerar el vector C =(C 1,C 2,,C n ) t y la matriz M(t) = X 1 (t) X 2 (t) X n (t) cuyas columnas son las soluciones del sistema fundamental De esta forma la solución general puede escribirse en la forma X(t) =M(t) C Una matriz, cuyas columnas forma un sistema fundamental se llama matriz fundamental Para el cálculo de la solución general de un sistema lineal homogéneo necesitamos no sólo encontrar n soluciones, sino que éstas deben formar base En este sentido, resulta muy útil disponer de un criterio de independencia lineal como el que proporciona el siguiente teorema Teorema 32 (Criterio de independencia lineal) Consideremos el sistema lineal homogéneo X 0 = A(t) X, donde A(t) es continua en el intervalo abierto I Sean t 0 un punto cualquiera del intervalo I y X 1, X 2,,X k soluciones de este sistema Entonces, las soluciones X 1, X 2,,X k son linealmente independientes en el intervalo I si y sólo si los vectores X 1 (t 0 ), X 2 (t 0 ),,X k (t 0 ) son linealmente indepedientes 4 Cálculo de las soluciones de un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes por el método de los autovalores y autovectores Se pretende ahora obtener las soluciones de un sistema homogéneo de coeficientes constantes X 0 = A X La teoría anterior nos asegura que este sistema tiene infinitas soluciones en el intervalo (, + ), yque bastará encontrar n soluciones linealmente independientes de dicho sistema para determinar cualquier solución del mismo Es lógico pensar que el sistema admita soluciones de tipo exponecial de la forma X(t) =e λt v donde λ es un número real y v =(v 1,v 2,,v n ) t es un vector de R n Evidentemente si v = 0 obtenemos una solución del sistema que es la solución trivial X(t) =0 para todo t R Comprobaremos ahora si X(t) =e λt v es solución del sistema X 0 = A X para algún número real λ y algún vector v no nulo X(t) =e λt v es solución del sistema X 0 = A X λe λt v = A e λt v t R λe λt v =e λt A v t R A v =λv Por tanto, para que X(t) =e λt v 6= 0 sea solución del sistema diferencial X 0 = A X es condición necesaria y suficiente que λ sea autovalor (valor propio) de A y v 6= 0 un autovector (vector propio)

6 Tema 3 Sistemas diferenciales lineales Ampliación de Matemáticas Esp Electrónica Industrial 6 asociado Así que, cuando calculemos los autovalores y autovectores de la matriz A, tendremos soluciones de nuestro sistema diferencial Sin embargo, no se debe olvidar que necesitamos obtener n soluciones linealmente independientes Supongamos que se han calculado ya los autovalores y autovectores de A Entonces, nos podemos encontrar dos situaciones: (a) Que la matriz A tenga n autovectores v 1, v 2,v n linealmente independientes, asociados a los autovalores λ 1, λ 2,,λ n, respectivamente (los n autovalores no han de ser distintos), es decir, la matriz A es diagonalizable (b) Que la matriz A sólo tenga k (k < n) autovectores linealmente independientes, es decir, la matriz A no es diagonalizable Analizaremos las dos situaciones: Caso (a): En esta situación contamos con n soluciones del sistema X 0 = A X que son e λ 1t v 1,e λ 2t v 2,,e λ nt v n y que además son linealmente independientes, ya que al evaluarlas en el punto t =0los vectores obtenidos son linealmente independientes Por tanto, en este caso, toda solución del sistema se puede expresar en la forma X(t) =C 1 e λ 1t v 1 + C 2 e λ 2t v C n e λ nt v n donde C 1,C 2,,C n R Un caso en el que podemos asegurar que la matriz A contará con n autovectores linealmente independientes se produce cuando los n autovalores de A son distintos, ya que, recuérdese, autovectores asociados a autovalores diferentes son siempre linealmente independientes Debe observarse que cuando algún autovalor λ de A sea complejo (no real), entonces los autovectores v asociados son también complejos Por tanto, la solución X(t) =e λt v es compleja Si interesa expresar las soluciones en el campo real, bastará saber que las partes reales e imaginarias de una solución compleja del sistema también son soluciones En efecto, si X(t) =Y(t)+iZ(t) es solución de X 0 = A X, entonces Y 0 (t)+iz 0 (t) =A (Y(t)+iZ(t)) = A Y(t)+iA Z(t) por lo que igualando partes reales e imaginarias obtenemos Y 0 (t) =A Y(t), Z 0 (t) =A Z(t) de modo que Y(t) y Z(t) son soluciones reales del sistema Por tanto, si λ = α +iβ es un autovalor de A con un autovector asociado v = u +iw, entonces descomponiendo la solución X(t) =e λt v en la forma e λt v = e (α+iβ)t (u +iw) =e αt (cos βt +isenβt)(u +iw) = = e αt (u cos βt w sen βt)+ie αt (w cos βt + u sen βt) obtenemos que sus partes real e imaginaria Y(t) =e αt (u cos βt w sen βt), Z(t) =e αt (w cos βt + u sen βt) son dos soluciones reales linealmente independientes del sistema X 0 = A X, ya que evaluándolas en t =0 obtenemos los vectores u y w que son linealmente independientes

7 Tema 3 Sistemas diferenciales lineales Ampliación de Matemáticas Esp Electrónica Industrial 7 Nótese que si λ = α +iβ es autovalor de A con autovector asociado v = u +iw, entonces v = u iw es también autovector de A asociado al autovalor λ = α iβ De esta forma, las dos soluciones complejas dan lugar únicamente a dos soluciones reales linealmente independientes Caso (b): Esta situación se presenta cuando la matriz A de orden n no es diagonalizable, es decir, existe algún autovalor repetido cuya multiplicidad algebraica no coincide con su multiplicidad geométrica En este caso, los k autovectores linealmente independientes determinarán k soluciones linealmente independientes, pero aún nos faltan otras n k soluciones Para determinar las n k soluciones que formen con las anteriores un sistema fundamental de soluciones tendremos en cuenta el siguiente resultado: Si λ es un autovalor de multiplicidad algebraica m y multiplicidad geométrica 1 siendo un autovector asociado v 1, entonces, existen m soluciones linealmente independientes de la forma: X 1 (t) =e λt v 1 X 2 (t) =e λt v 12 + t (A λi) v 12 donde v 12 es un vector que verifica que (A λi) v 12 6= 0 y (A λi) 2 v 12 = 0 µ X 3 (t) =e λt v 13 + t (A λi) v 13 + t2 2! (A λi)2 v 13 donde v 13 es un vector que verifica que (A λi) 2 v 13 6= 0 y (A λi) 3 v 13 = 0 X m (t) =e λt µ v 1m + t (A λi) v 1m + + tm 1 (m 1)! (A λi)m 1 v 1m donde v 1m verifica que (A λi) m 1 v 1m 6= 0 y (A λi) m v 1m = 0 Se puede comprobar que efectivamente X 1 (t), X 2 (t),,x m (t) son soluciones del sistema homogéneo sustituyendo estas expresiones en X 0 = A X Los vectores v 12, v 13,,v 1m se denominan autovectores generalizados asociados al autovalor λ yla existencia de estos autovectores generalizados está garantizada por el siguiente resultado Teorema 41 Si los autovalores de la matriz A son λ 1, λ 2,,λ k y tienen multiplicidades algebráicas m 1,m 2,,m k, respectivamente, entonces para cada λ i (1 i k) existenm i vectores linealmente independientes que verifican (A λ i I) r v = 0 para algún entero positivo r El conjunto formado por los n = m 1 + m m k vectores así construidos, considerando todos los autovalores, es linealmente independiente Además, si v es autovector generalizado asociado a λ i,entonces(a λ i I) mi v = 0 Resumiendo lo anterior, un método algorítmico para encontrar n soluciones li de un sistema diferencial lineal homogéneo X 0 = A X, es decir, para determinar la solución general del sistema, es el que se describe a continuación Buscamos los autovalores y autovectores de la matriz A Entonces: (a) Si A tiene n autovectores li, la solución general es X(t) =C 1 e λ 1t v 1 + C 2 e λ 2t v C n e λ nt v n donde v 1, v 2,v n son n autovectores li asociados a los autovalores λ 1, λ 2,,λ n respectivamente

8 Tema 3 Sistemas diferenciales lineales Ampliación de Matemáticas Esp Electrónica Industrial 8 (b) Si A tiene únicamente k < nautovectores li, entonces inicialmente se tienen únicamente k soluciones li del tipo e λt v, correspondientes a esos k autovectores li Para encontrar las n k restantes soluciones li que nos hacen falta, se procede como sigue: Para cada autovalor λ repetido cuya multiplicidad algebraica no coincida con la multiplidad geométrica se encuentran todos los vectores v para los cuales Para cada uno de estos vectores v se tiene que (A λi) v 6= 0, (A λi) 2 v = 0 e λt (v + t (A λi) v) es una solución adicional li con las anteriores Si aún no se tienen n soluciones li, entonces para cada autovalor λ repetido cuya multiplicidad algebraica no coincida con la multiplidad geométrica, se encuentran todos los vectores v para los cuales (A λi) 2 v 6= 0, (A λi) 3 v = 0 Para estos vectores se tiene que µ e λt v + t (A λi) v+ t2 2! (A λi)2 v es una solución adicional li con las anteriores Este proceso se continúa hasta encontrar para cada autovalor repetido tantos vectores li como indique su multiplicidad algebráica NOTA: Para los sistemas lineales homogéneos con coeficientes variables, no se cuenta con un método general para determinar n soluciones li 5 Sistemas lineales de primer orden no homogéneos Pretendemos ahora resolver un sistema diferencial lineal no homogéneo X 0 = A(t) X + B(t) Para ello consideramos el siguiente teorema que nos da información acerca de sus soluciones Teorema 51 Dado el sistema lineal no homogéneo X 0 = A(t) X + B(t) en el que A(t) y B(t) son continuas en el intervalo abierto I, ysiendot 0 I, se verifican las siguientes propiedades: 1 Si X(t) e Y(t) son dos soluciones tales que X(t 0 ) 6= Y(t 0 ),entoncesx(t) 6= Y(t) para todo t I 2 Si X p (t) es una solución del sistema no homogéneo y X g (t) es la solución general del sistema homogéneo asociado X 0 = A(t) X, entoncestodaslassolucionesx(t) del sistema no homogéneo se pueden expresar en la forma X(t) =X g (t)+x p (t) y esta expresión constituye la solución general del sistema no homogéneo

9 Tema 3 Sistemas diferenciales lineales Ampliación de Matemáticas Esp Electrónica Industrial 9 De acuerdo con el segundo apartado de este teorema, cuando se quiera resolver el sistema no homogéneo X 0 = A(t) X + B(t), bastará encontrar la solución general X g (t) del sistema homogéneo X 0 = A(t) X y una solución particular X p (t) del sistema completo Ya hemos desarrollado un método para obtener la solución general X g (t) del sistema homogéneo cuando los coeficientes son constantes Ahora, nos dedicaremos a desarrollar métodos para encontrar una solución particular del sistema completo, suponiendo que se tiene resuelto el sistema lineal homogéneo asociado PRIMER MÉTODO: Variación de constantes Supongamos que X 1 (t), X 2 (t),,x n (t) son n soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo X 0 = A(t) X, y que por tanto su solución general X g (t) puede expresarse en la forma X g (t) = C 1 X 1 (t)+c 2 X 2 (t)+ + C n X n (t) = C 1 = X 1 (t) X 2 (t) X n (t) C 2 = M(t) C donde M(t) es una matriz fundamental de soluciones del sistema homogéneo Si ahora sustituimos el vector constante C por una función vectorial C(t), veremos que es posible determinar esta función para que X p (t) =M(t) C(t) sea solución del sistema completo X 0 = A(t) X + B(t) En efecto: X p (t) = M(t) C(t) es solución en I de X 0 = A(t) X + B(t) M 0 (t) C(t)+M(t) C 0 (t) =A(t) M(t) C(t)+B(t) t I M(t) C 0 (t) =(A(t) M(t) M 0 (t)) C(t)+B(t) t I M(t) C 0 (t) =B(t) t I C 0 (t) =M 1 (t) B(t) t I Z C(t) = M 1 (t) B(t)dt C n Concluimos por tanto, que una solución particular del sistema completo es Z X p (t) =M(t) M 1 (t) B(t)dt Así que las soluciones del sistema no homogéneo se pueden expresar en la forma Z X(t) =M(t) C + M(t) M 1 (t) B(t)dt donde, como se ha dicho, M(t) es una matriz fundamental del sistema homogéneo, y C es una columna de constantes arbitrarias Nótese que el método de variación de constantes puede ser aplicado para encontrar una solución particular de cualquier sistema diferencial del cual conozcamos una matriz fundamental M(t) del sistema homogéneo asociado, no necesariamente ha de ser éste un sistema con coeficientes constantes (aunque sea éste el único caso en el que tenemos un procedimiento sistemático para la obtención de M(t))

10 Tema 3 Sistemas diferenciales lineales Ampliación de Matemáticas Esp Electrónica Industrial 10 SEGUNDO MÉTODO: Coeficientes indeterminados Si consideramos un sistema diferencial de coeficientes constantes X 0 = A X + B(t) donde el término B(t) posee una estructura determinada (está formado por funciones polinómicas, exponenciales, senos, cosenos o sumas y productos finitos de éstas) podemos recurrir al método de los coeficientes indeterminados para obtener una solución particular del sistema no homogéneo DichométodosebasaenlabúsquedadeunasoluciónparticularX p (t) del mismo tipo que la función vectorial B(t) (este método ofrece mejores resultados, y es más sistemático, cuando se aplica sobre ecuaciones diferenciales lineales de orden n) A modo de ejemplo resolvemos el sistema X 0 = A X + B(t) siendo A = y B(t) = 9t t La solución general del sistema homogéneo X 0 = A X viene dada por (calcúlese) X g (t) =C 1 e 3t C 2 e 3t C 3 e 3t Puesto que B(t) =tc, siendoc =( 9, 0, 18) t, buscaremos una solución particular de la forma X p (t) =ta + b donde a y b son vectores contantes de R 3 por determinar (a y b son los coeficientes indeterminados) Imponiendo que X p (t) =ta + b sea solución del sistema resulta que es decir, por lo que igualando coeficientes obtenemos a = A (ta + b)+tc t (Aa + c)+(ab a) =0 Aa = c y Ab = a Resolviendo el primer sistema se tiene que a =(5, 2, 4) t, sustituyendo este valor en el segundo sistema obtenemos b =(1, 0, 2) t y por tanto, una solución particular del sistema no homogéneo es X p (t) =t Así, la solución general del sistema no homogéneo es X(t) =C 1 e 3t C 2 e 3t C 3 e 3t t Señalamos que la solución particular propuesta debe modificarse si alguno de sus sumandos es solución del sistema homogéneo asociado Para los sistemas no explicaremos como modificar la solución propuesta Esta modificación se ha desarrollado con todo detalle para las ecuaciones diferenciales lineales de orden n y de coeficientes constantes en un tema anterior