III. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

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1 III. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1. INTRODUCCIÓN. El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones, haciendo abstracción del tipo de problemas que origina su planteamiento. Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Resolver un sistema es calcular su solución (o soluciones). Los casos más sencillos (2 ecuaciones con 2 incógnitas, 3 ecuaciones con 3 incógnitas,...) ya se han estudiado en cursos anteriores. Aquí, analizaremos el caso general: cualquier número de ecuaciones y cualquier número de incógnitas. 2. CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de ecuaciones de la forma: x j son las incógnitas, (j=1,2,...,n). a ij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n). c i son los términos independientes, (i=1,2,...,m). Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n. Los escalares a ij y c i son números reales. El escalar a ij es el coeficiente de x j en la i-ésima ecuación. Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t,... Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas. Cuando c i =0 para todo i, el sistema se llama homogéneo. Es un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas. Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1 y el término independiente de la misma es el SOLUCIÓN DE UN SISTEMA. Solución de un sistema. Es cada conjunto de valores que satisface todas las ecuaciones. Resolver un sistema. Es calcular su solución (o soluciones). Dado el sistema: Una solución suya es x= ; y= ; z=0; t=. Compruébese. 1

2 4. TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus soluciones: 1. Incompatible. No tiene solución. 2. Compatible. Tiene solución. a. Compatible determinado. Única solución. b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones. incompatible. No tiene solución. compatible determinado. Única solución. compatible indeterminado. Infinitas soluciones. Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado. 5. NOTACIONES MATRICIAL Y VECTORIAL. Los conocimientos adquiridos sobre matrices facilitan la escritura de un sistema de ecuaciones de manera más reducida. Consideremos un sistema como el [1], escrito en forma clásica. En él se pueden considerar las siguientes matrices: A es la matriz de los coeficientes de orden mxn. B es la matriz ampliada de orden mx(n+1). El sistema [1] se puede escribir en forma matricial así: Si en el sistema [1] consideramos las siguientes matrices:... El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma: 2

3 En esta notación, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma: S=(s 1, s 2,..., s n )0R n y se verifica la siguiente relación: A 1 + A A n = C Consideremos el sistema: A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada de orden 3x4. El sistema se puede escribir de las siguientes formas: Forma matricial: = Forma vectorial: x + y + z = En el sistema: el elemento s=(-1,1,3,2) es solución, ya que se verifica: (-1) + (1) + (3) + (2) =. Compruébese. 6. SISTEMAS EQUIVALENTES. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solución del primero es solución del segundo y viceversa (no es necesario que tengan el mismo número de ecuaciones). Los sistemas: son equivalentes. Ambos son compatibles determinados y su solución es: x=3, y=1. Definición. En un sistema de ecuaciones, una ecuación es combinación lineal de las ecuaciones del sistema, si se obtiene como resultado de sumar las ecuaciones del mismo previamente multiplicadas por un número real. Consideremos el sistema: Multiplicando la 1ª ecuación por 2, la 2ª por -1, la 3ª por 3 y sumándolas: 2(3x+2y) + (-1)(2x-2y+z) + 3(x-2y-2z) = + + Obtenemos: 7x - 7z = 2, que es combinación lineal de las del sistema dado. Los resultados que veremos a continuación, permiten ir transformando un sistema en otros equivalentes cuyas soluciones puedan obtenerse con mayor facilidad. A. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EQUIVALENCIA. CONSECUENCIAS. Teorema fundamental de equivalencia. Si en un sistema de ecuaciones se sustituye la ecuación i-ésima por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que multiplique a la ecuación i-ésima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente al primero. Sea el sistema: Multiplicando la primera ecuación por (-2) y sumándola a la segunda, se obtiene: 3

4 Multiplicando la tercera ecuación por (-3) y sumándola a la segunda: y, de aquí, se obtiene rápidamente como solución: z=-1, y=2, x=1. De este teorema se siguen las siguientes consecuencias: 1. Si en un sistema de ecuaciones se suprime una ecuación que es combinación lineal de las restantes, el sistema obtenido es equivalente al dado. 2. Si en un sistema de ecuaciones multiplicamos la ecuación i por " 0, se obtiene otro sistema equivalente. B. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Las operaciones efectuadas en el ejemplo anterior con las ecuaciones del sistema, podríamos realizarlas en la matriz ampliada del sistema, así surge el: MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. Los siguientes ejemplos explican detalladamente el proceso a seguir. Resolvamos el sistema: Consideramos la matriz ampliada asociada al sistema, separando un poco la columna de los términos independientes: (a) Y (b) Y (a) [ ] = 1-1 1] + [ ], [ ] = 1-1 1] + [ ] (b) [ ] = 1 3 1] + [ ] Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma: Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la última queda: z=, y=, x=. Se trata de un sistema compatible determinado. Resolvamos el sistema: La matriz ampliada es: Intercambiando la primera fila con la tercera queda: (a) Y (b) Y (a) [ ] = 2 2 2] + [ ] [ ] = 2 2 2] + [ ] (b) [ ] = ] + [ ] Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma: Resolvemos la última ecuación, z=1+2t; si hacemos t=", queda: z=1+2"; y= - ; x= - ; t=". Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro ". Es un sistema compatible indeterminado. Resolvamos el sistema: La matriz ampliada es: 4

5 Intercambiamos las dos primeras filas queda: (a) Y (a) [ ] = 2 4 3] + [ ] Luego el sistema nos ha quedado de la siguiente forma: Se observa que el sistema es incompatible. Ejercicios. 1. Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan, resuelve los sistemas: a) b) Solución. a) Incompatible. b) x=, y=, z=, t=". 7. SISTEMAS DE CRAMER. REGLA DE CRAMER. El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema de ecuaciones. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300 incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de seguir el proceso de triangulación como si nos interesaran todas ellas. La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones. Sistema de Cramer. Es un sistema en el que: m=n y *A* 0. Es decir: La matriz A es cuadrada y regular. En tal caso, A tiene inversa A -1, por lo que multiplicando [2] por la izquierda por A -1 : A -1 = A X=A O sea: que son las fórmulas de Cramer, las cuales se recogen en la siguiente regla: Regla de Cramer. El valor de la incógnita x j en un sistema de Cramer es una fracción, cuyo numerador es un determinante que se obtiene al reemplazar la columna j por la columna que forman los términos independientes, y cuyo denominador es *A*. Resolvamos el sistema: m=n=3 y *A*=7 0. Luego, es un sistema de Cramer. 5

6 ; ;. Por tanto, la solución del sistema es: x=, y=, z=. Resolvamos el sistema: m=n=3 y *A*= Luego, es un sistema de Cramer. Por tanto, la solución del sistema es: x=-1, y=2, z=. ; ;. Ejercicios. 1. Resuelve el sistema: Solución. *A*=13, x=1, y=2, z= Resuelve el sistema: Solución. *A*=2, x=, y=5, z=. 8. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Vamos a ver ahora el caso más general de sistemas de ecuaciones. Obtendremos una condición necesaria y suficiente de compatibilidad, un criterio de clasificación y un método de resolución. Todo ello se basa en el teorema de Rouché-Fröbenius. Consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones con n incógnitas: Escrito en forma vectorial: la matriz de los coeficientes. siendo A 1, A 2,..., A n las columnas de Sean: A la matriz de coeficientes, B la matriz ampliada y r(a)=h. 6

7 Teorema de Rouché-Fröbenius. a) El sistema [1] tiene solución ] rango (B) = h. b) Si h=n, el sistema tiene solución única. c) Si h<n, el sistema tiene infinitas soluciones. Demostración a) Si existe solución (s 1,s 2,...,s n ), la ecuación vectorial [2] indica que C puede ponerse como combinación lineal de A 1, A 2,..., A n, y, por tanto, r(b)=h. Recíprocamente, si r(b)=h, C podrá expresarse como combinación lineal de las h columnas A i linealmente independientes. Supongamos que sean A 1, A 2,..., A h. Existen (s 1,s 2,...,s n, 0,..., 0) tales que: A 1 + A A h + A A = C, y, por tanto, existe solución. b) Si r(b)=h, supongamos que son linealmente independientes A 1, A 2,..., A h. Entonces, la ecuación vectorial [2] puede escribirse de la siguiente forma: A 1 + A A h = C - A h A n [3] Esto indica que, cualesquiera que sean x h+1,..., x n, el segundo miembro de la expresión [3] es combinación lineal de A 1, A 2,..., A h. Si h=n, el segundo miembro de [3] queda reducido a C, y el sistema admitiría solución única. c) Si h<n, dando valores arbitrarios a x h+1,..., x n en la expresión [3], se obtienen infinitas soluciones. El teorema puede resumirse de la forma siguiente: Rango (A) Rango (B) ] Incompatible. Rango (A) = Rango (B) ] Compatible. Si h=n. Determinado. Solución única. Rango (A) = Rango (B) ] Compatible. Si h<n. Indeterminado. Infinitas soluciones que dependen de n-h parámetros. Discute y resuelve el sistema: *A*=1. r(a)=r(b)=3=nº incógnitas. El sistema es compatible determinado. Aplicando el método de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: z=-1, y=-3, x=2. Discute y resuelve el sistema: r(a)=r(b)=3=nº incógnitas. El sistema es compatible determinado. Aplicando el método de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: x=3, y=6, z=11. Discute y resuelve el sistema: r(a)=3; r(b)=4. El sistema es incompatible. Discute y resuelve el sistema: r(a)=r(b)=2 < nº incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Tomamos como incógnitas principales x, y. Obtenemos infinitas soluciones dependientes de dos parámetros: la regla de Cramer y haciendo z=" y t=ß, queda como solución: x=, y=, z=", t=ß. Aplicando Veamos algunas de las infinitas soluciones: Si hacemos "=1 y ß=1, obtenemos: x=, y=, z=1, t=1. Si hacemos "=-1 y ß=0, obtenemos: x=1, y=-2, z=-1, t=0. Discute y resuelve, según los valores de a, el sistema: Consideremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada: *A*=-a(a-1)(a-2). 7

8 Pueden considerarse los siguientes casos. 1 º ) Si a 0, a 1, a 2: *A* 0; por tanto r(a)=r(b)=3=nº incógnitas. S.C.D. Solución única. Resolviéndolo por la regla de Cramer, se obtiene: Por ejemplo, si a=-1, obtendríamos como solución: x=, y=, z=. 2 º ) Si a=0: Queda el sistema: Como r(a)=2 y r(b)=3, el sistema es incompatible, lo cual en este caso es evidente observando la segunda ecuación. 3 º ) Si a=1: Queda el sistema: r(a)=r(b)=2 < nº incógnitas. S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro. Aplicando Gauss, o Cramer, se obtiene: x=4-", y=", z=. 4 º ) Si a=2: Queda el sistema: Como r(a)=2 y r(b)=3, el sistema es incompatible. RESUMEN: Para a 0, a 1, a 2: S.C.D. Solución única. Para a=0: S.I. Ninguna solución. Para a=1: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro. Para a=2: S.I. Ninguna solución. Ejercicios. 1. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones según los valores del (de los) parámetros que se indican. a) b) Solución. S.I. Solución. Si a : S.C.D. Si a= : S.I. c) d) Solución. Para a 0, a 1: S.I. Ninguna solución. Para a=0: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro. x=t, y=-t, z=1. Para a=1: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de dos parámetros. x=", y=ß, z=1-"-ß. Solución. Si a 0, a 1: S.C.D. Si a=0: S.C.I. x=, y=", z=-2. Si a=1: S.I. e) Solución. Si b 0, a 1, a -2: S.C.D. Si a=-2 Y r(a)=2. Si b=-2 Y r(b)=2: S.C.I. Si a=-2 Y r(a)=2. Si b -2 Y r(b)=3: S.I. Si a=1 Y r(a)=1. Si b=1 Y r(b)=1: S.C.I. Si a=1 Y r(a)=1. Si by1 Y r(b)=2: S.I. Si b=0 y a=1 Y r(a)=1, r(b)=2: S.I. Si b=0 y a 1 Y r(a)=2, r(b)=3: S.I. 8

9 9. SISTEMAS HOMOGÉNEOS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN. Un sistema de ecuaciones es homogéneo, si todos los términos independientes son nulos. Consideremos el siguiente sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas: Aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius a este sistema, resulta que siempre tendrá solución, ya que siempre se cumple que r(a)=r(b). Si r(a)=número de incógnitas, existirá una única solución que será la solución trivial: x 1 = x 2 =... = x n = 0 Si r(a)<número de incógnitas, existirán infinitas soluciones. Podemos enunciar, pues, el siguiente teorema: Teorema. Un sistema de ecuaciones homogéneo tiene solución distinta de la trivial ] el rango de la matriz de los coeficientes es menor que el número de incógnitas. Corolario. Un sistema de ecuaciones homogéneo con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene solución distinta de la trivial ] el determinante de la matriz de coeficientes es nulo. Dado el sistema: Calculemos el rango de la matriz A. Y Y r(a)=2 < número de incógnitas=3. Luego habrá infinitas soluciones, que serán las del sistema equivalente: y=, x=. Dado el sistema: r(a)=2 < nº incógnitas=3. Por tanto habrá infinitas soluciones que dependen de un parámetro: x=", y=-", z=". Dado el sistema: *A* 0. r(a)=3=nº incógnitas, el sistema es compatible determinado. La única solución posible es la trivial: x=0, y=0, z=0. Ejercicios. 1. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos según los valores del (de los) parámetros que se indican. a) Solución. Si m 1, S.C.D. La única solución es la trivial. Si m=1, S.C.I. Las infinitas soluciones son: x=-2", y=", z=". 9

10 b) c) d) e) f) Solución. Si a=-2 ó a=, S.C.I. 10. EJERCICIOS. 1. Demuestra que un sistema de n ecuaciones con n-1 incógnitas es incompatible si *B* Discute y resuelve según los valores de a, el sistema: 3. Discute y resuelve según los valores de a, el sistema: 4. a) Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, puede ser incompatible? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo. b) Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, puede ser compatible determinado? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo. c) Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas, puede ser compatible determinado? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo. d) Un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, puede ser compatible determinado? Razónalo y en caso afirmativo, pon un ejemplo. 5. Discute y resuelve según los valores de a y b, el sistema: 10

11 11. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS P.A.U. 1. Determina el valor de m para que el sistema: sea compatible y calcula su solución. Solución. *B*=4m-48. Si m 12, S.I. Si m=12, S.C.D. x=4, y=2, z=5. 2. Discute el sistema: según los valores de a, y resuélvelo cuando sea compatible. Solución. *A*=-a 2. Si a 0, S.C.D. Si a=0, S.C.I. infinitas soluc. dep. 2 parámetros. 3. Un padre y sus dos hijos tienen un total de 84 años. Cuando el mayor tenía la edad del pequeño, la de éste era de la edad actual del mayor, y cuando el pequeño tenga la edad del mayor, los tres sumarán 102 años. Calcula la edad de cada uno resolviendo el sistema de ecuaciones a que dan lugar las condiciones anteriores. Solución. x, x+a, x+a+b. 1) 3x+2a+b=84, 2) 3x-7a=0, 3) 3x+5a+b=102. m=14, M=20, P= Determina el valor de a para que el sistema: sea compatible y calcula su solución. Solución. a=28. x=4, y=2, z=5. 5. Encuentra todas las soluciones del sistema siguiente según los valores de a: Solución. x=1-, y=, z=". 6. Resuelve el siguiente sistema e interpreta geométricamente el resultado: 7. Halla m para que el sistema: tenga solución distinta de la trivial. Solución. *A* = -2m 3-88m² + 93m Sus raíces son fraccionarias o irracionales y muy difíciles de calcular. Para las raíces (-44'97, -1'22 y 2'2) el sistema es indeterminado. 8. Discute el sistema de ecuaciones: según los valores de m0r, y resuélvelo para aquellos valores en que exista solución. Solución. *A*=2(m²-4). Si m=2 S.C.I. (3",-5","). Si m=-2 S.I. Si m 2 y m -2 S.C.D. [,, ]. 9. Dado el sistema de ecuaciones: a) Estúdialo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en los casos en que sea compatible. Solución. *A*=-a(a²+3). a) Si a=0 S.I. Si a 0 S.C.D. b) (Por Cramer). 11

12 10. Discute y resuelve el sistema según los valores del parámetro m: Solución. *A*=m-1. Si m=1 S.I. Si m 1 S.C.D. [,, m 2 +m] 11. Sea el sistema: Discútelo según los valores de m. Resuélvelo para m=5. Solución. Si m 5 y m S.C.D. (0, 0, 0). Si m=5 ó m= S.C.I. Si m=5 (-27", 8", 13"). 12. Discute y resuelve según los valores de a, el sistema: Solución. S.C.D. siempre. 13. Discute y resuelve según los valores de k, el sistema: Solución. S.I. en todos los casos. 14. Discute el siguiente sistema en función de a: Solución. Si a= S.I. Si a S.C.D. 15. Estudia el sistema: Solución. Si a=1 ó a= S.I. Si a 1 ó a S.C.D. 16. a) Discute y resuelve, en los casos que proceda, el sistema: b) Cómo sería la discusión si los términos independientes fuesen nulos? Solución. *A*=k(k-1)(k-2). a) Si k=0 S.I. Si k=1 S.C.I. [,, "] Si k=2 S.I. Si k 0, k 1 y k 2 S.C.D. [, -1, ] b) Si k=0 S.C.I. (", 0, ) Si k=1 S.C.I. (-5", ", -2") Si k=2 S.C.I. (", 0, 0) Si k 0, k 1 y k 2 S.C.D. (0, 0, 0,) 17. a) Estudia para qué valores de a el siguiente sistema es compatible: b) Existe algún valor de a para el que el sistema anterior sea compatible y determinado? Razona tu respuesta. Solución. *A*=(a-1) 3 (a+3). 12

13 18. a) Discute el sistema:. b) Para qué valores de a y b el siguiente sistema: es equivalente al anterior? Razona tu respuesta. Solución. a) *A*=0. Como 0 Y r(a)=2=r(b) ya que. Y S.C.I. 4 soluciones que dependen de 1 parámetro. b) Solución del primer sistema: x=-2+2", y=", z=3"-4. Solución del segundo sistema: x=-b-aß, y=ß, z=(1+b)ß+2a. Igualando soluciones: -2+2"=-b-aß, "=ß, 3"-4=(1+b)ß+2a. Resolviendo este sistema por sustitución se obtiene que a=-2 y que b=2. Salvo cuando "=±. 20. Sean a, b, c tres números reales positivos. Prueba que el sistema: tiene solución distinta de la trivial si y sólo si:. 21. Estudia para qué valores de a y b los siguientes sistemas de ecuaciones son equivalentes: Solución. a) Solución de (2) con parámetro z. b) Solución de (1) con parámetro z. c) Igualando soluciones:... a=6 y b= Dado el sistema de ecuaciones : a) Demuestra que si a=0, dicho sistema representa una recta y halla sus ecuaciones paramétricas. b) Para qué valores de a y b representa un plano? Solución. a) x=(2-b)-b", y=", z=b. b) a=, b= Discute y resuelve según los valores de a y b, el sistema: Solución. *A*=13(a-1). Si a 1 S.C.D. (Por Cramer). Si a=1 y b=3 S.C.I. (9"-5, ", 8-13"). Si a=1 y b 3 S.I. 24. Discute y, cuando sea compatible, resuelve el siguiente sistema: 25. Estudia el siguiente sistema según los valores de los parámetros a y b: Resuélvelo para algún valor de a y b que lo haga compatible determinado. 13

14 26. Discute según los valores de los parámetros que se indican el siguiente sistema: Solución. Si a c, a b, b c: S.C.D. Si a=c ó a=b ó b=c: Si a d y b d, S.I. Si a=c ó a=b ó b=c: Si a=d: S.C.I. Si a=c ó a=b ó b=c: Si a d y b=d: Si a=c b, S.C.I. Si a=c ó a=b ó b=c: Si a d y b=d: Si a=c=b, S.I. Si a=c ó a=b ó b=c: Si a d y b=d: Si a=b c, S.I. 12. BIBLIOGRAFÍA. * Apuntes del profesor Jesús Escudero Martín del I.E.S. Fray Luis de León (Salamanca). 14

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